Mathe · etwa 35–50 Minuten
Du berechnest Lagekennzahlen und Quartile, liest Boxplots und beurteilst, welche Informationen sie enthalten.
Grundrechenarten, Daten ordnen und Brüche.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Brüche mit /, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt und Wurzeln als sqrt(2) eingeben. Mehrere gefragte Werte mit Semikolon trennen. Prozentzahlen und Einheiten nur so eingeben, wie es die Aufgabe verlangt. Ohne Rundungsauftrag exakt rechnen.
02 · Verstehen
Daten aus drei Blickwinkeln
Mittelwert: rechnerischer Durchschnitt.
Median: Mitte der sortierten Liste.
Boxplot: Lage und Streuung im Überblick.
Die Kennzahlen beantworten unterschiedliche Fragen.
Wir verwenden die acht Zahlen 2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 12. Sie sind bereits aufsteigend sortiert. Jeder Eintrag zählt als einzelne Beobachtung, auch wenn ein Wert mehrfach vorkommt.
Zum Beispiel könnten die Zahlen die Anzahlen gelesener Bücher von acht Personen beschreiben. Die Kennzahlen fassen diese Daten zusammen; sie ersetzen aber nicht alle Informationen der ursprünglichen Liste.
Sortieren ist besonders für Median und Quartile wichtig. Für den Mittelwert spielt die Reihenfolge keine Rolle. Doppelte Werte darfst du beim Sortieren nicht streichen.
Für das arithmetische Mittel addierst du alle Werte und teilst die Summe durch die Anzahl der Werte.
Mittelwert = Summe der Werte : Anzahl
Beispiel · Schritt für Schritt
Daten: 2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 12
Jeder Eintrag zählt als eine Beobachtung
Addiere alle Werte; der Zeilenumbruch setzt dieselbe Summe fort.
Die acht Personen haben zusammen 56 Bücher gelesen.
Teile die Summe durch die Anzahl der Beobachtungen.
Du kannst ihn als gleichmäßige Verteilung verstehen: Würden insgesamt 56 Bücher gleichmäßig auf acht Personen verteilt, entfielen sieben auf jede Person. Das bedeutet nicht, dass tatsächlich eine Person genau sieben Bücher gelesen hat.
Lösung · Schritt für Schritt
Daten: 3, 5, 10
Addiere die drei Werte.
Teile durch die Anzahl 3.
Der Median liegt in der Mitte der sortierten Datenliste.
Beispiel · Schritt für Schritt
Sortierte Daten: 2, 4, 9
Ungerade Anzahl: 3 Werte
Die drei Werte sind schon aufsteigend sortiert.
Bei ungerader Anzahl ist die Position des Medians (n + 1) : 2.
Lies den zweiten Wert ab.
Beispiel · Schritt für Schritt
Sortierte Daten: 2, 4, 6, 10
Gerade Anzahl: 4 Werte
Die Liste ist sortiert. Bei vier Werten liegen die mittleren Werte an Position 2 und 3.
Bilde den Mittelwert dieser beiden Werte.
Der Median muss nicht selbst in der Datenliste vorkommen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ausgangsliste: 2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 12
Gerade Anzahl: 8 Werte
Bei acht sortierten Werten liegen die mittleren Positionen bei 4 und 5.
Lies die beiden mittleren Werte der Ausgangsliste ab.
Bilde ihren Mittelwert.
Der Median ist nicht automatisch die Mitte zwischen dem kleinsten und dem größten Wert. Er richtet sich nach den mittleren Positionen in der sortierten Liste.
Ändere in unserer Liste nur den letzten Wert von 12 auf 40. Dann stehen dort 2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 40.
Beispiel · Schritt für Schritt
Neue Liste: 2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 40
Nur der letzte Wert ändert sich: 12 → 40
Ersetze in der alten Summe nur den letzten Wert.
Die Summe steigt um 28.
Die Anzahl der Beobachtungen bleibt acht.
In der sortierten Liste bleiben der vierte und fünfte Wert unverändert. Deshalb ändert sich der Median hier nicht.
| Kennzahl | Vorher | Nachher |
|---|---|---|
| Summe | 56 | 84 |
| Mittelwert | 7 | 84 : 8 = 10,5 |
| Median | 7 | 7 |
Der große Einzelwert erhöht den Mittelwert deutlich. Die beiden mittleren Positionen bleiben hier unverändert, deshalb bleibt der Median 7. Der Median ist gegenüber einzelnen extremen Werten oft robuster.
Welche Kennzahl sinnvoller ist, hängt von der Frage ab. Der Mittelwert berücksichtigt die Größe jedes Werts. Der Median beschreibt eine mittlere Position, ohne von der Größe eines einzelnen sehr hohen Werts stark beeinflusst zu werden.
Quartile helfen, die sortierte Liste in Bereiche aufzuteilen. Hier benutzen wir folgende Regel: Q₁ ist der Median der unteren Hälfte, Q₃ der Median der oberen Hälfte. Bei ungerader Anzahl lassen wir den Gesamtmedian beim Bilden dieser Hälften weg.
Beispiel · Schritt für Schritt
Sortierte Daten: 2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 12
Regel: Median der unteren und der oberen Hälfte
Teile die acht sortierten Werte in zwei Hälften mit je vier Werten.
Das untere Quartil ist nach unserer Konvention der Median der unteren Hälfte.
Betrachte die letzten vier Werte.
Das obere Quartil ist der Median der oberen Hälfte.
| Kennzahl | Rechnung oder Ablesen | Ergebnis |
|---|---|---|
| Minimum | kleinster Wert | 2 |
| Unteres Quartil Q₁ | Median der unteren Hälfte | 4 |
| Median | Mitte der gesamten Liste | 7 |
| Oberes Quartil Q₃ | Median der oberen Hälfte | 10 |
| Maximum | größter Wert | 12 |
| Spannweite | 12 − 2 | 10 |
| Quartilsabstand | 10 − 4 | 6 |
Beispiel · Schritt für Schritt
Minimum: 2 · Maximum: 12
Q₁ = 4 · Q₃ = 10
Subtrahiere das Minimum vom Maximum. Die Spannweite beschreibt die Ausdehnung aller Daten.
Subtrahiere Q₁ von Q₃. Das ist die Länge der Box auf der Zahlenskala.
Für Quartile gibt es verschiedene Rechenkonventionen. Schulbücher und Programme können bei derselben Liste unterschiedliche Quartile liefern. Verwende in einer Aufgabe die vorgegebene Methode; die Beispiele hier folgen der beschriebenen Halbierung.
Die Box zeigt den Bereich zwischen den Quartilen, der die mittleren Daten beschreibt. Ihre Länge ist der Quartilsabstand. Ein größerer Abstand auf der Skala bedeutet eine größere Streuung in diesem Wertebereich.
Der Boxplot zeigt nicht jeden Einzelwert und auch nicht automatisch den Mittelwert. Aus ihm allein kannst du die vollständige Datenliste normalerweise nicht rekonstruieren.
Hier verwenden wir den einfachen Schul-Boxplot mit Enden bei Minimum und Maximum. Andere Varianten markieren Ausreißer separat und verwenden andere Endpunkte für die „Antennen“.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Für Quartile gilt: Median jeder Hälfte, bei ungerader Anzahl den Gesamtmedian weglassen. Boxplots sind einfache Schul-Boxplots mit Enden bei Minimum und Maximum.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
Daten: 2, 5, 8
Addiere die drei Beobachtungen.
Teile die Summe durch ihre Anzahl.
Lösung · Schritt für Schritt
Unsortierte Daten: 9, 1, 4, 7, 3
Sortiere zuerst die ursprüngliche Liste 9, 1, 4, 7, 3.
Bei fünf Werten bleibt genau der dritte Wert in der Mitte.
Lies den dritten Wert der sortierten Liste ab.
Lösung · Schritt für Schritt
Sortierte Daten: 2, 4, 8, 10
Die vier Werte sind sortiert. Die mittleren Positionen sind 2 und 3.
Bilde den Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Vereinfache die Rechnung.
Lösung · Schritt für Schritt
Sortierte Daten: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
Gesucht: Q₁ und Q₃ nach der Halbierungsregel
Halbiere die bereits sortierte Liste mit acht Werten.
Mittle die beiden mittleren Werte der unteren Hälfte.
Verwende die letzten vier Werte für das obere Quartil.
Mittle die beiden mittleren Werte der oberen Hälfte.
Lösung · Schritt für Schritt
Minimum: 3 · Maximum: 18
Für die Spannweite brauchst du nur die beiden Extremwerte.
Setze die Werte ein und subtrahiere.
Nein. In unserem Boxplot markiert die Linie den Median. Der Mittelwert ist nicht eingezeichnet.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Streuung mit Varianz und Standardabweichung untersuchen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Beide können zwischen beobachteten Werten liegen, zum Beispiel 7 bei der Liste 2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 12.
Der am häufigsten vorkommende Wert. Es kann mehrere gleich häufige Modalwerte geben; in unserer Liste sind das 4 und 10.
Programme können andere Quartilsdefinitionen verwenden. Prüfe die verwendete Methode und vergleiche nur Ergebnisse derselben Konvention.
Zähle alle acht Beobachtungen. Die doppelten Werte 4 und 10 zählen jeweils zweimal.