1 · Berechne den Mittelwert von 2, 5 und 8.
Lösung und Rechenweg ansehen
(2 + 5 + 8) : 3 = 5.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Mittelwert, Median und Boxplot: verstehen und üben
Fasse Daten mit passenden Kennzahlen zusammen. Berechne Mittelwert und Median, bestimme Quartile und zeichne einen Boxplot – mit Beispielen, Selbstcheck und kostenlosen Materialien.
Daten aus drei Blickwinkeln
Mittelwert: rechnerischer Durchschnitt.
Median: Mitte der sortierten Liste.
Boxplot: Lage und Streuung im Überblick.
Die Kennzahlen beantworten unterschiedliche Fragen.
Lernschritt 1
Mit einer geordneten Datenliste beginnen
Wir verwenden die acht Zahlen 2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 12. Sie sind bereits aufsteigend sortiert. Jeder Eintrag zählt als einzelne Beobachtung, auch wenn ein Wert mehrfach vorkommt.
Zum Beispiel könnten die Zahlen die Anzahlen gelesener Bücher von acht Personen beschreiben. Die Kennzahlen fassen diese Daten zusammen; sie ersetzen aber nicht alle Informationen der ursprünglichen Liste.
Sortieren ist besonders für Median und Quartile wichtig. Für den Mittelwert spielt die Reihenfolge keine Rolle. Doppelte Werte darfst du beim Sortieren nicht streichen.
Lernschritt 2
Den Mittelwert berechnen
Für das arithmetische Mittel addierst du alle Werte und teilst die Summe durch die Anzahl der Werte.
Mittelwert = Summe der Werte : Anzahl
Unsere Summe beträgt 2 + 4 + 4 + 6 + 8 + 10 + 10 + 12 = 56. Es gibt acht Beobachtungen. Also ist der Mittelwert 56 : 8 = 7.
Du kannst ihn als gleichmäßige Verteilung verstehen: Würden insgesamt 56 Bücher gleichmäßig auf acht Personen verteilt, entfielen sieben auf jede Person. Das bedeutet nicht, dass tatsächlich eine Person genau sieben Bücher gelesen hat.
Probier es selbst: Berechne den Mittelwert von 3, 5 und 10.
Lösung ansehen
(3 + 5 + 10) : 3 = 18 : 3 = 6.
Lernschritt 3
Den Median finden: zuerst sortieren
Der Median liegt in der Mitte der sortierten Datenliste.
- Ungerade Anzahl: Nimm den einzelnen mittleren Wert. Bei 2, 4, 9 ist der Median 4.
- Gerade Anzahl: Bilde den Mittelwert der beiden mittleren Werte. Bei 2, 4, 6, 10 ist das (4 + 6) : 2 = 5.
In unserer Liste mit acht Werten sind der vierte und der fünfte Wert die beiden mittleren: 6 und 8. Der Median beträgt deshalb (6 + 8) : 2 = 7.
Der Median ist nicht automatisch die Mitte zwischen dem kleinsten und dem größten Wert. Er richtet sich nach den mittleren Positionen in der sortierten Liste.
Lernschritt 4
Warum Mittelwert und Median verschieden sein können
Ändere in unserer Liste nur den letzten Wert von 12 auf 40. Dann stehen dort 2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 40.
| Kennzahl | Vorher | Nachher |
|---|---|---|
| Summe | 56 | 84 |
| Mittelwert | 7 | 84 : 8 = 10,5 |
| Median | 7 | 7 |
Der große Einzelwert erhöht den Mittelwert deutlich. Die beiden mittleren Positionen bleiben hier unverändert, deshalb bleibt der Median 7. Der Median ist gegenüber einzelnen extremen Werten oft robuster.
Welche Kennzahl sinnvoller ist, hängt von der Frage ab. Der Mittelwert berücksichtigt die Größe jedes Werts. Der Median beschreibt eine mittlere Position, ohne von der Größe eines einzelnen sehr hohen Werts stark beeinflusst zu werden.
Lernschritt 5
Quartile und Spannweite bestimmen
Quartile helfen, die sortierte Liste in Bereiche aufzuteilen. Hier benutzen wir folgende Regel: Q₁ ist der Median der unteren Hälfte, Q₃ der Median der oberen Hälfte. Bei ungerader Anzahl lassen wir den Gesamtmedian beim Bilden dieser Hälften weg.
Unsere untere Hälfte ist 2, 4, 4, 6: Q₁ = (4 + 4) : 2 = 4. Die obere Hälfte ist 8, 10, 10, 12: Q₃ = (10 + 10) : 2 = 10.
| Kennzahl | Rechnung oder Ablesen | Ergebnis |
|---|---|---|
| Minimum | kleinster Wert | 2 |
| Unteres Quartil Q₁ | Median der unteren Hälfte | 4 |
| Median | Mitte der gesamten Liste | 7 |
| Oberes Quartil Q₃ | Median der oberen Hälfte | 10 |
| Maximum | größter Wert | 12 |
| Spannweite | 12 − 2 | 10 |
| Quartilsabstand | 10 − 4 | 6 |
Für Quartile gibt es verschiedene Rechenkonventionen. Schulbücher und Programme können bei derselben Liste unterschiedliche Quartile liefern. Verwende in einer Aufgabe die vorgegebene Methode; die Beispiele hier folgen der beschriebenen Halbierung.
Lernschritt 6
Einen Boxplot zeichnen und lesen
- Zeichne eine gleichmäßig eingeteilte Zahlenskala.
- Markiere Minimum, Q₁, Median, Q₃ und Maximum an ihren Zahlenpositionen.
- Zeichne die Box von Q₁ bis Q₃.
- Zeichne den Median als Linie innerhalb der Box.
- Verbinde die Box mit Minimum und Maximum und markiere dort die Enden.
Die Box zeigt den Bereich zwischen den Quartilen, der die mittleren Daten beschreibt. Ihre Länge ist der Quartilsabstand. Ein größerer Abstand auf der Skala bedeutet eine größere Streuung in diesem Wertebereich.
Der Boxplot zeigt nicht jeden Einzelwert und auch nicht automatisch den Mittelwert. Aus ihm allein kannst du die vollständige Datenliste normalerweise nicht rekonstruieren.
Hier verwenden wir den einfachen Schul-Boxplot mit Enden bei Minimum und Maximum. Andere Varianten markieren Ausreißer separat und verwenden andere Endpunkte für die „Antennen“.
Lernschritt 7
Typische Fehler vermeiden
- Durch die falsche Anzahl teilen: Zähle alle Beobachtungen, einschließlich mehrfach vorkommender Werte.
- Median vor dem Sortieren suchen: Ordne die Liste zuerst.
- Bei gerader Anzahl die Mitte falsch bestimmen: Für den Median mittelt man genau die beiden mittleren Werte.
- Boxplot-Markierungen gleich weit verteilen: Ihre Abstände richten sich nach der Zahlenskala.
- Spannweite und Quartilsabstand verwechseln: Vergleiche Maximum mit Minimum beziehungsweise Q₃ mit Q₁.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Bestimme den Median von 9, 1, 4, 7, 3.
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Sortiert: 1, 3, 4, 7, 9. Der Median ist 4.
Erklärung wiederholen →3 · Bestimme den Median von 2, 4, 8, 10.
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Die mittleren Werte sind 4 und 8. Median: (4 + 8) : 2 = 6.
Erklärung wiederholen →4 · Bestimme Q₁ und Q₃ für 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
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Untere Hälfte: 1, 3, 5, 7 → Q₁ = 4. Obere Hälfte: 9, 11, 13, 15 → Q₃ = 12.
Erklärung wiederholen →5 · Minimum 3, Maximum 18: Wie groß ist die Spannweite?
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18 − 3 = 15.
Erklärung wiederholen →6 · Ist die Linie in der Box immer der Mittelwert?
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Nein. In unserem Boxplot markiert die Linie den Median. Der Mittelwert ist nicht eingezeichnet.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Produkt und aktuellen Preis ansehen →Häufige Fragen
Müssen Mittelwert und Median in der Datenliste vorkommen?
Nein. Beide können zwischen beobachteten Werten liegen, zum Beispiel 7 bei der Liste 2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 12.
Was ist der Modalwert?
Der am häufigsten vorkommende Wert. Es kann mehrere gleich häufige Modalwerte geben; in unserer Liste sind das 4 und 10.
Warum zeigt mein Programm andere Quartile?
Programme können andere Quartilsdefinitionen verwenden. Prüfe die verwendete Methode und vergleiche nur Ergebnisse derselben Konvention.