Die Zählformel setzt gleich wahrscheinliche Ergebnisse voraus.
Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 beziehungsweise 0 % und 100 %.
Eine Wahrscheinlichkeit beschreibt die Chance, dass ein Ereignis eintritt. Wir schreiben beispielsweise P(E) für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E.
In den endlichen Schulbeispielen hier steht 0 für ein unmögliches und 1 für ein sicheres Ereignis. 0,5 entspricht 50 %: Ereignis und Gegenereignis haben dieselbe Chance. Eine Wahrscheinlichkeit kann nicht negativ oder größer als 1 sein.
50 % bedeutet nicht, dass bei zwei Versuchen zwingend genau ein Treffer kommt. Die Angabe beschreibt eine Chance, keine feste Reihenfolge von Ergebnissen.
Günstige durch mögliche Ergebnisse: die Laplace-Regel
Wenn alle einzelnen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt:
P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse : Anzahl aller Ergebnisse
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Wahrscheinlichkeit mit der Laplace-Regel
Fairer Würfel mit 6 Seiten E: „gerade Zahl“
RechnungErklärung zum Schritt
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1 Gleiche Chancen prüfen
Beim fairen sechsseitigen Würfel sind diese sechs einzelnen Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Daher gilt die Laplace-Regel.
E = {2, 4, 6}
2 Günstige Ergebnisse wählen
Für das Ereignis „gerade Zahl“ sind drei Ergebnisse günstig.
P(E) = 3 : 6 = 0,5
3 Günstige durch mögliche teilen
Teile die Anzahl günstiger durch die Anzahl aller Ergebnisse.
P(E) = 50 %
4 In Prozent umrechnen
Wandle die Dezimalzahl in Prozent um.
Ereignis
Günstige Augenzahlen
Wahrscheinlichkeit
„eine 6“
{6}
1/6 ≈ 16,7 %
„höchstens 2“
{1, 2}
2/6 = 1/3 ≈ 33,3 %
„größer als 4“
{5, 6}
2/6 = 1/3 ≈ 33,3 %
„mindestens 2“
{2, 3, 4, 5, 6}
5/6 ≈ 83,3 %
„Günstig“ bedeutet hier nur „zum Ereignis passend“. Es muss kein Gewinn oder persönlich erwünschtes Ergebnis sein.
Kugeln ziehen: die einzelnen Kugeln zählen
In einem Beutel liegen drei rote und zwei blaue Kugeln. Jede einzelne Kugel soll beim verdeckten Ziehen dieselbe Chance haben, zum Beispiel weil die Kugeln gleich groß sind und gut gemischt werden.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Wahrscheinlichkeit für Rot
3 rote und 2 blaue Kugeln Jede Kugel hat dieselbe Chance
RechnungErklärung zum Schritt
Anzahl aller Kugeln = 3 + 2 = 5
1 Alle Kugeln zählen
Zähle die einzelnen gleich wahrscheinlichen Kugeln, nicht nur die beiden Farben.
P(rot) = 3 : 5 = 0,6
2 Anteil roter Kugeln berechnen
Drei der fünf Kugeln sind rot und damit günstig.
P(rot) = 60 %
3 Ergebnis deuten
Die Farbe Rot ist wahrscheinlicher als Blau; zwei Farben bedeuten hier nicht gleiche Chancen.
Es gibt zwar nur zwei Farben. Diese sind aber nicht gleich wahrscheinlich: Rot wird von drei Kugeln vertreten, Blau nur von zwei. Deshalb ist „zwei Farben, also je 50 %“ falsch.
Die Laplace-Regel funktioniert hier, wenn du die fünf einzelnen Kugeln als gleich wahrscheinliche Ergebnisse betrachtest. Dann sind drei davon für das Ereignis „rot“ günstig.
Mit dem Gegenereignis leichter rechnen
Entweder tritt E ein oder sein Gegenereignis „nicht E“. Deshalb ergänzen sich ihre Wahrscheinlichkeiten zu 1.
P(nicht E) = 1 − P(E)
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Chance, keine 6 zu würfeln
Fairer Würfel mit 6 Seiten
RechnungErklärung zum Schritt
P(6) = 1/6
1 Chance für eine 6 bestimmen
Beim fairen sechsseitigen Würfel ist genau eine Augenzahl eine 6.
P(keine 6) = 1 − 1/6
2 Gegenereignis verwenden
Nutze das Gegenereignis. E und nicht E ergänzen sich zum sicheren Ereignis.
P(keine 6) = 5/6
3 Bruch berechnen
Schreibe 1 als 6/6 und subtrahiere.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Chance auf keinen Gewinn
P(Gewinn) = 20 %
RechnungErklärung zum Schritt
P(Gewinn) = 20 %
1 Gegebene Chance ablesen
Die gegebene Chance bezieht sich auf das Ereignis „Gewinn“.
P(kein Gewinn) = 100 % − 20 %
2 Von 100 Prozent abziehen
Ziehe die Gewinnchance von der Gesamtwahrscheinlichkeit ab.
P(kein Gewinn) = 80 %
3 Ergebnis angeben
Das Gegenereignis umfasst alle Ergebnisse ohne Gewinn.
Probier es selbst: Die Chance auf eine rote Kugel beträgt 60 %. Wie groß ist die Chance auf keine rote Kugel?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Chance auf keine rote Kugel
P(rot) = 60 %
RechnungErklärung zum Schritt
P(nicht rot) = 100 % − P(rot)
1 Gegenereignis aufstellen
„Keine rote Kugel“ ist das Gegenereignis zu „rote Kugel“.
P(nicht rot) = 100 % − 60 % = 40 %
2 Wert einsetzen
Setze die gegebene Wahrscheinlichkeit ein.
Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit unterscheiden
Die Wahrscheinlichkeit gehört zum Modell des Versuchs. Die relative Häufigkeit berechnest du aus tatsächlich beobachteten Ergebnissen.
Begriff
Beispiel: faire Münze
Wahrscheinlichkeit für Kopf
0,5 = 50 % im Modell
Absolute Häufigkeit
12-mal Kopf in einer Serie von 20 Würfen
Relative Häufigkeit
12 : 20 = 0,6 = 60 % in dieser Serie
Beispiel · Schritt für Schritt
Vergleiche Beobachtung und Modellwahrscheinlichkeit
Faire Münze 12-mal Kopf bei 20 Würfen
RechnungErklärung zum Schritt
h(Kopf) = 12 : 20
1 Treffer durch Versuche teilen
Die relative Häufigkeit ist die beobachtete Trefferzahl geteilt durch die Versuchszahl.
h(Kopf) = 0,6 = 60 %
2 Relative Häufigkeit berechnen
In dieser Serie waren 60 % der Würfe Kopf.
P(Kopf) = 0,5 = 50 %
3 Mit dem Modell vergleichen
Die Modellwahrscheinlichkeit der fairen Münze bleibt 50 %. Beobachtete relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit müssen nicht übereinstimmen.
Bei vielen unabhängigen Wiederholungen unter denselben Bedingungen liegt die relative Häufigkeit typischerweise näher an der Wahrscheinlichkeit. Sie muss sich aber nicht mit jedem weiteren Versuch annähern oder jemals exakt gleich sein.
Auch nach fünfmal Kopf bleibt bei einer fairen Münze und unabhängigen Würfen die Chance auf Kopf beim nächsten Wurf 50 %. Die Münze muss frühere Ergebnisse nicht „ausgleichen“.
Zwei Schritte: Pfade multiplizieren, Ereignisse zusammenfassen
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der vollständigen Wege
Zwei unabhängige Würfe mit einer fairen Münze
RechnungErklärung zum Schritt
P(Kopf) = P(Zahl) = 1/2
1 Einzelchancen festlegen
Wir werfen eine faire Münze zweimal unabhängig voneinander. Beide Ausgänge haben bei jedem Wurf dieselbe Chance.
P(Kopf–Kopf) = 1/2 · 1/2 = 1/4
2 Entlang eines Weges multiplizieren
Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang des vollständigen Weges.
P(jeder einzelne Weg) = 1/4
3 Alle Wege vergleichen
Für Kopf–Zahl, Zahl–Kopf und Zahl–Zahl gilt dieselbe Rechnung. Die vier vollständigen Wege sind gleich wahrscheinlich.
Ergebnis
Wahrscheinlichkeit
Genau einmal Kopf?
Kopf–Kopf
¼
Nein
Kopf–Zahl
¼
Ja
Zahl–Kopf
¼
Ja
Zahl–Zahl
¼
Nein
Beispiel · Schritt für Schritt
Fasse die passenden Wege zusammen
Zwei unabhängige faire Münzwürfe E: „genau einmal Kopf“
RechnungErklärung zum Schritt
E = {Kopf–Zahl, Zahl–Kopf}
1 Günstige Wege auswählen
Genau einmal Kopf umfasst zwei verschiedene vollständige Wege. Sie schließen einander aus.
P(E) = 1/4 + 1/4
2 Wahrscheinlichkeiten addieren
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der beiden passenden Wege.
P(E) = 1/2 = 50 %
3 Ergebnis vereinfachen
Vereinfache und wandle in Prozent um.
Beispiel · Schritt für Schritt
Rechne über das Gegenereignis
Zwei unabhängige faire Münzwürfe E: „mindestens einmal Kopf“
RechnungErklärung zum Schritt
P(kein Kopf) = 1/4
1 Chance für keinen Kopf bestimmen
Kein Kopf ist nur der Weg Zahl–Zahl.
P(mindestens ein Kopf) = 1 − 1/4
2 Von 1 abziehen
Nutze das Gegenereignis zu keinem Kopf.
P(mindestens ein Kopf) = 3/4 = 75 %
3 Ergebnis berechnen
Direkt gezählt sind drei der vier Wege günstig: Kopf–Kopf, Kopf–Zahl und Zahl–Kopf.
An einem Wahrscheinlichkeitsbaum werden die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert. Für ein Ereignis addierst du die Wahrscheinlichkeiten der passenden verschiedenen vollständigen Pfade. Die Wahrscheinlichkeiten an späteren Ästen müssen zur jeweiligen Situation passen.
Warum Zurücklegen einen Unterschied macht
Wir ziehen zweimal aus dem Beutel mit drei roten und zwei blauen Kugeln. Gesucht ist „zweimal rot“.
Mit Zurücklegen und erneutem Mischen:
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Chance auf zweimal Rot
3 rote und 2 blaue Kugeln Zwei Züge mit Zurücklegen und Mischen
RechnungErklärung zum Schritt
P(rot beim 1. Zug) = 3/5
1 Erste Chance bestimmen
Vor dem ersten Zug liegen drei rote unter fünf Kugeln im Beutel.
P(rot beim 2. Zug nach rot) = 3/5
2 Zweite Chance bestimmen
Durch Zurücklegen und erneutes Mischen liegen wieder drei rote unter fünf Kugeln im Beutel; die Chancen bleiben gleich.
P(zweimal rot) = 3/5 · 3/5
3 Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizieren
Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang des Weges Rot–Rot.
P(zweimal rot) = 9/25 = 36 %
4 In Prozent umrechnen
Multipliziere Zähler und Nenner und rechne in Prozent um.
Ohne Zurücklegen:
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Chance auf zweimal Rot
3 rote und 2 blaue Kugeln Zwei Züge ohne Zurücklegen
RechnungErklärung zum Schritt
P(rot beim 1. Zug) = 3/5
1 Erste Chance bestimmen
Zu Beginn sind drei der fünf Kugeln rot.
P(rot beim 2. Zug nach rot) = 2/4
2 Verbleibende Kugeln zählen
Nach der ersten roten Kugel bleiben zwei rote unter insgesamt vier Kugeln. Jede verbleibende Kugel hat dieselbe Chance.
P(zweimal rot) = 3/5 · 2/4
3 Passende Chancen multiplizieren
Verwende beim Multiplizieren die zur Vorgeschichte passende zweite Wahrscheinlichkeit.
P(zweimal rot) = 6/20 = 30 %
4 Ergebnis berechnen
Kürzen liefert 3/10. Ohne Zurücklegen beträgt die Chance hier 30 %.
Die zweite Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen gilt hier für den Weg, auf dem zuerst Rot gezogen wurde. Nach einer blauen Kugel wäre die Zusammensetzung anders.
Eine Rechnung sinnvoll prüfen
Gleiche Chancen: Ist die Voraussetzung für die Laplace-Regel erfüllt?
Ereignis: Sind „genau“, „mindestens“ und „höchstens“ richtig berücksichtigt?
Wertebereich: Liegt das Ergebnis zwischen 0 % und 100 %?
Mehrere Schritte: Wird zurückgelegt? Ändern sich die Chancen?
Interpretation: Eine hohe Wahrscheinlichkeit ist keine Garantie für den nächsten Versuch.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
18 Aufgaben · 3 Stufen
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Prüfe die Modellannahmen: gleiche Chancen, Unabhängigkeit und Zurücklegen gelten nur, wenn sie angegeben sind.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
5 gemischte Aufgaben
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
1 · Wie wahrscheinlich ist eine ungerade Zahl beim fairen sechsseitigen Würfel?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Wahrscheinlichkeit
Fairer Würfel mit 6 Seiten E: „ungerade Zahl“
RechnungErklärung zum Schritt
E = {1, 3, 5}
1 Günstige Augenzahlen bestimmen
Die drei ungeraden Augenzahlen sind günstig. Beim fairen Würfel sind alle sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
5 · Ein Beutel enthält 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen; jede verbleibende Kugel hat dieselbe Chance. Wie wahrscheinlich ist genau eine rote Kugel?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Chance auf genau eine rote Kugel
3 rote und 2 blaue Kugeln Zwei Züge ohne Zurücklegen
RechnungErklärung zum Schritt
E = {Rot–Blau, Blau–Rot}
1 Passende Wege auswählen
Genau eine rote Kugel lässt zwei passende Wege zu. Rot–Rot gehört nicht dazu.
P(Rot–Blau) = 3/5 · 2/4
2 Rot–Blau ansetzen
Zuerst sind drei von fünf Kugeln rot. Danach bleiben zwei blaue unter vier Kugeln.
P(Rot–Blau) = 6/20 = 3/10
3 Ersten Weg berechnen
Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Weges und kürze.
P(Blau–Rot) = 2/5 · 3/4
4 Blau–Rot ansetzen
Zuerst sind zwei von fünf Kugeln blau. Danach bleiben drei rote unter vier Kugeln.
P(Blau–Rot) = 6/20 = 3/10
5 Zweiten Weg berechnen
Der zweite Nenner ist wieder 4, weil nicht zurückgelegt wird.
P(E) = 3/10 + 3/10
6 Passende Wege addieren
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der beiden verschiedenen, einander ausschließenden Wege.
P(E) = 6/10 = 60 %
7 Ergebnis angeben
Entlang eines Weges wird multipliziert; passende Wege werden durch Addition zusammengefasst.
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Wann darf ich günstige durch mögliche Ergebnisse teilen?
Wenn die gezählten einzelnen Ergebnisse alle gleich wahrscheinlich sind. Andernfalls musst du ihre tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten berücksichtigen.
Ist eine Wahrscheinlichkeit von 120 % möglich?
Nein. Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 % und 100 %.
Warum unterscheiden sich Versuchsergebnisse von der berechneten Chance?
Endliche Versuchsreihen schwanken zufällig. Außerdem muss das angenommene Modell, etwa eine faire Münze, zum wirklichen Versuch passen.
Beim fairen sechsseitigen Würfel sind diese sechs einzelnen Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Daher gilt die Laplace-Regel.