1 · Wie wahrscheinlich ist eine ungerade Zahl beim fairen sechsseitigen Würfel?
Lösung und Rechenweg ansehen
3/6 = 1/2 = 50 %, denn 1, 3 und 5 sind günstig.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Wahrscheinlichkeit: verstehen und üben
Berechne Chancen bei Würfeln, Münzen und Kugelziehungen. Lerne, wann du günstige durch mögliche Ergebnisse teilen darfst und wie du Wahrscheinlichkeiten von beobachteten Häufigkeiten unterscheidest.
Wie groß ist die Chance?
Fairer Würfel: 3 gerade Augenzahlen von 6.
P(gerade Zahl) = 3 : 6 = 50 %.
Die Zählformel setzt gleich wahrscheinliche Ergebnisse voraus.
Lernschritt 1
Was bedeutet Wahrscheinlichkeit?
Eine Wahrscheinlichkeit beschreibt die Chance, dass ein Ereignis eintritt. Wir schreiben beispielsweise P(E) für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E.
In den endlichen Schulbeispielen hier steht 0 für ein unmögliches und 1 für ein sicheres Ereignis. 0,5 entspricht 50 %: Ereignis und Gegenereignis haben dieselbe Chance. Eine Wahrscheinlichkeit kann nicht negativ oder größer als 1 sein.
50 % bedeutet nicht, dass bei zwei Versuchen zwingend genau ein Treffer kommt. Die Angabe beschreibt eine Chance, keine feste Reihenfolge von Ergebnissen.
Lernschritt 2
Günstige durch mögliche Ergebnisse: die Laplace-Regel
Wenn alle einzelnen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt:
P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse : Anzahl aller Ergebnisse
Ein fairer sechsseitiger Würfel hat sechs gleich wahrscheinliche Augenzahlen. Für „gerade Zahl“ sind 2, 4 und 6 günstig. Also gilt P(E) = 3 : 6 = 0,5 = 50 %.
| Ereignis | Günstige Augenzahlen | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| „eine 6“ | {6} | 1/6 ≈ 16,7 % |
| „höchstens 2“ | {1, 2} | 2/6 = 1/3 ≈ 33,3 % |
| „größer als 4“ | {5, 6} | 2/6 = 1/3 ≈ 33,3 % |
| „mindestens 2“ | {2, 3, 4, 5, 6} | 5/6 ≈ 83,3 % |
„Günstig“ bedeutet hier nur „zum Ereignis passend“. Es muss kein Gewinn oder persönlich erwünschtes Ergebnis sein.
Lernschritt 3
Kugeln ziehen: die einzelnen Kugeln zählen
In einem Beutel liegen drei rote und zwei blaue Kugeln. Jede einzelne Kugel soll beim verdeckten Ziehen dieselbe Chance haben, zum Beispiel weil die Kugeln gleich groß sind und gut gemischt werden.
P(rot) = 3 : 5 = 60 %
Es gibt zwar nur zwei Farben. Diese sind aber nicht gleich wahrscheinlich: Rot wird von drei Kugeln vertreten, Blau nur von zwei. Deshalb ist „zwei Farben, also je 50 %“ falsch.
Die Laplace-Regel funktioniert hier, wenn du die fünf einzelnen Kugeln als gleich wahrscheinliche Ergebnisse betrachtest. Dann sind drei davon für das Ereignis „rot“ günstig.
Lernschritt 4
Mit dem Gegenereignis leichter rechnen
Entweder tritt E ein oder sein Gegenereignis „nicht E“. Deshalb ergänzen sich ihre Wahrscheinlichkeiten zu 1.
P(nicht E) = 1 − P(E)
Beim fairen Würfel gilt P(keine 6) = 1 − 1/6 = 5/6. Bei einer Gewinnchance von 20 % beträgt die Wahrscheinlichkeit für „kein Gewinn“ 80 %.
Probier es selbst: Die Chance auf eine rote Kugel beträgt 60 %. Wie groß ist die Chance auf keine rote Kugel?
Lösung ansehen
100 % − 60 % = 40 %.
Lernschritt 5
Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit unterscheiden
Die Wahrscheinlichkeit gehört zum Modell des Versuchs. Die relative Häufigkeit berechnest du aus tatsächlich beobachteten Ergebnissen.
| Begriff | Beispiel: faire Münze |
|---|---|
| Wahrscheinlichkeit für Kopf | 0,5 = 50 % im Modell |
| Absolute Häufigkeit | 12-mal Kopf in einer Serie von 20 Würfen |
| Relative Häufigkeit | 12 : 20 = 0,6 = 60 % in dieser Serie |
Bei vielen unabhängigen Wiederholungen unter denselben Bedingungen liegt die relative Häufigkeit typischerweise näher an der Wahrscheinlichkeit. Sie muss sich aber nicht mit jedem weiteren Versuch annähern oder jemals exakt gleich sein.
Auch nach fünfmal Kopf bleibt bei einer fairen Münze und unabhängigen Würfen die Chance auf Kopf beim nächsten Wurf 50 %. Die Münze muss frühere Ergebnisse nicht „ausgleichen“.
Lernschritt 6
Zwei Schritte: Pfade multiplizieren, Ereignisse zusammenfassen
Wir werfen eine faire Münze zweimal unabhängig voneinander. Jeder vollständige Weg hat Wahrscheinlichkeit ½ · ½ = ¼.
| Ergebnis | Wahrscheinlichkeit | Genau einmal Kopf? |
|---|---|---|
| Kopf–Kopf | ¼ | Nein |
| Kopf–Zahl | ¼ | Ja |
| Zahl–Kopf | ¼ | Ja |
| Zahl–Zahl | ¼ | Nein |
„Genau einmal Kopf“ umfasst zwei verschiedene Wege: ¼ + ¼ = ½ = 50 %. „Mindestens einmal Kopf“ umfasst drei Wege und hat Wahrscheinlichkeit ¾ = 75 %. Über das Gegenereignis erhältst du ebenfalls 1 − P(kein Kopf) = 1 − ¼ = ¾.
An einem Wahrscheinlichkeitsbaum werden die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert. Für ein Ereignis addierst du die Wahrscheinlichkeiten der passenden verschiedenen vollständigen Pfade. Die Wahrscheinlichkeiten an späteren Ästen müssen zur jeweiligen Situation passen.
Lernschritt 7
Warum Zurücklegen einen Unterschied macht
Wir ziehen zweimal aus dem Beutel mit drei roten und zwei blauen Kugeln. Gesucht ist „zweimal rot“.
- Mit Zurücklegen und erneutem Mischen: Vor beiden Ziehungen liegen wieder drei rote unter fünf Kugeln im Beutel. P(zweimal rot) = 3/5 · 3/5 = 9/25 = 36 %.
- Ohne Zurücklegen: Nach einer ersten roten Kugel bleiben zwei rote unter vier Kugeln. P(zweimal rot) = 3/5 · 2/4 = 3/10 = 30 %.
Die zweite Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen gilt hier für den Weg, auf dem zuerst Rot gezogen wurde. Nach einer blauen Kugel wäre die Zusammensetzung anders.
Lernschritt 8
Eine Rechnung sinnvoll prüfen
- Gleiche Chancen: Ist die Voraussetzung für die Laplace-Regel erfüllt?
- Ereignis: Sind „genau“, „mindestens“ und „höchstens“ richtig berücksichtigt?
- Wertebereich: Liegt das Ergebnis zwischen 0 % und 100 %?
- Mehrere Schritte: Wird zurückgelegt? Ändern sich die Chancen?
- Interpretation: Eine hohe Wahrscheinlichkeit ist keine Garantie für den nächsten Versuch.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Ein Beutel enthält 4 rote und 6 blaue gleichwahrscheinliche Kugeln. Wie groß ist P(rot)?
Lösung und Rechenweg ansehen
4/10 = 40 %.
Erklärung wiederholen →3 · P(Gewinn) = 0,15. Wie groß ist P(kein Gewinn)?
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1 − 0,15 = 0,85 = 85 %.
Erklärung wiederholen →4 · 9 Treffer bei 30 Versuchen: Wie groß ist die relative Häufigkeit?
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9 : 30 = 0,3 = 30 %. Das beschreibt diese Versuchsreihe.
Erklärung wiederholen →5 · Wie wahrscheinlich ist mindestens einmal Kopf bei zwei unabhängigen Würfen einer fairen Münze?
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3/4 = 75 %. Nur Zahl–Zahl gehört nicht zum Ereignis.
Erklärung wiederholen →6 · Nach fünfmal Kopf: Wie groß ist die Chance auf Zahl beim nächsten unabhängigen fairen Münzwurf?
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Weiterhin 50 %. Frühere Würfe ändern die nächste Chance nicht.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wann darf ich günstige durch mögliche Ergebnisse teilen?
Wenn die gezählten einzelnen Ergebnisse alle gleich wahrscheinlich sind. Andernfalls musst du ihre tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten berücksichtigen.
Ist eine Wahrscheinlichkeit von 120 % möglich?
Nein. Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 % und 100 %.
Warum unterscheiden sich Versuchsergebnisse von der berechneten Chance?
Endliche Versuchsreihen schwanken zufällig. Außerdem muss das angenommene Modell, etwa eine faire Münze, zum wirklichen Versuch passen.