Zahlenmengen einfach erklärt: ℕ, ℤ, ℚ & Übungen

Mathe · Grundlagen und Wiederholung

Welche Zahlen gehören zusammen?

Lerne natürliche, ganze und rationale Zahlen zu unterscheiden. Vereinfache Brüche, ordne Dezimalzahlen ein und prüfe dein Wissen mit Beispielen und Aufgaben.

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Eine Menge steckt in der nächsten

ℚ · rationale Zahlen
Zum Beispiel 0,5 und −1,25

ℤ · ganze Zahlen
Zusätzlich zum Beispiel −1 und −8

ℕ · natürliche Zahlen
Hier: 0, 1, 2, 3, …

Lernschritt 1

Was ist eine Zahlenmenge?

Eine Zahlenmenge fasst Zahlen mit einer gemeinsamen Eigenschaft zusammen. Das hilft dir, mögliche Ergebnisse einzuschätzen: 3 − 8 ergibt keine natürliche Zahl, aber eine ganze Zahl. Bei 3 : 4 brauchst du eine rationale Zahl.

Unser Einstieg: Wir betrachten zuerst ℕ, ℤ und ℚ. Wenn eine Aufgabe nach der kleinsten passenden Menge fragt, wählst du unter den dort genannten Mengen. Eine Zahl kann gleichzeitig zu mehreren Mengen gehören.

Lernschritt 2

Natürliche Zahlen ℕ

Die natürlichen Zahlen kennst du vom Zählen. Auf dieser Seite und in unserem Buch verwenden wir ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. Die Punkte bedeuten: Es geht immer weiter.

Zu den natürlichen Zahlen gehören beispielsweise 0, 7 und 125. −3 und 0,5 gehören nicht dazu.

Gehört 0 dazu? Dafür gibt es zwei gebräuchliche Vereinbarungen. Manche Schulbücher beginnen ℕ bei 1 und schreiben ℕ₀ für die Menge mit 0. Prüfe immer die Vereinbarung deiner Aufgabe.

Probier es selbst: Gehören 0, 16 und 2,5 nach unserer Vereinbarung zu ℕ?

Lösung und Rechenweg ansehen

0 und 16 gehören zu ℕ. 2,5 liegt zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen und gehört nicht dazu.

Lernschritt 3

Ganze Zahlen ℤ

Ganze Zahlen umfassen alle natürlichen Zahlen sowie ihre negativen Gegenstücke: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}.

Ein Kontostand von −8 € lässt sich durch eine ganze Zahl beschreiben. Ein Wert von −8,50 € ist keine ganze Zahl. Entscheidend ist der Wert: 4,0 = 4 ist ganz, obwohl ein Komma geschrieben wurde.

3 − 8 = −5 ∈ ℤ

Das Zeichen ∈ liest du als „ist Element von“ oder „gehört zu“.

Probier es selbst: Ordne −12, 6,0 und −1,5 ein: Welche sind ganz?

Lösung und Rechenweg ansehen

−12 und 6,0 = 6 sind ganze Zahlen. −1,5 liegt zwischen −2 und −1 und ist nicht ganz.

Passend weiterüben: Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden vergleichen →

Lernschritt 4

Rationale Zahlen ℚ

Eine rationale Zahl lässt sich als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben. Der Nenner darf nicht 0 sein.

ℚ = { ab | a, b ∈ ℤ; b ≠ 0 }

Das bedeutet: a und b sind ganze Zahlen, und b ist ungleich 0. Dazu gehören gewöhnliche Brüche, ganze Zahlen und endliche oder periodische Dezimalzahlen.

Zahl	Als Bruch	Einordnung
0,75	75100 = 34	rational, nicht ganz
−1,2	−1210 = −65	rational, nicht ganz
5	51	natürlich, ganz und rational
0,333… (die 3 wiederholt sich unendlich)	13	rational, nicht ganz

Endlich oder periodisch: 0,125 ist rational, weil 0,125 = 125 : 1000 gilt. Bei einer periodischen Dezimalzahl wiederholt sich ab einer Stelle immer derselbe Ziffernblock. Beliebige unendliche Dezimalzahlen müssen dagegen nicht rational sein.

Passend weiterüben: Rationale Zahlen ordnen und vergleichen →

Lernschritt 5

So findest du die kleinste passende Menge

Vereinfache die Zahl. Rechne beispielsweise einen Bruch aus oder kürze ihn.
Prüfe ℕ. Ist der Wert eine nichtnegative ganze Zahl?
Prüfe ℤ. Ist er eine negative ganze Zahl?
Prüfe ℚ. Lässt er sich als Bruch ganzer Zahlen mit Nenner ungleich 0 schreiben?

Ausdruck	Zuerst vereinfachen	Kleinste Menge unter ℕ, ℤ, ℚ
186	3	ℕ
−124	−3	ℤ
0,6	35	ℚ
−0	0	ℕ

Probier es selbst: Welche kleinste Menge passt zu −155?

Lösung und Rechenweg ansehen

−15 : 5 = −3. Die Zahl ist negativ und ganz. Die kleinste passende Menge unter ℕ, ℤ und ℚ ist ℤ. Sie gehört zusätzlich zu ℚ.

Lernschritt 6

Zusatzwissen: reelle Zahlen ℝ

Später lernst du Zahlen kennen, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lassen, zum Beispiel √2 und π. Sie heißen irrational. Ihre Dezimaldarstellung endet nicht und wird nicht periodisch.

Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die reellen Zahlen ℝ. Es gilt:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

⊂ bedeutet hier „ist eine echte Teilmenge von“: Alle Elemente der kleineren Menge liegen in der größeren, aber die größere enthält weitere Zahlen.

Nicht jede Wurzel ist irrational: √9 = 3 ist natürlich. √2 ist irrational. Eine gerundete Angabe wie 1,414 ist eine rationale Näherung an √2, nicht der exakte Wert.

Lernschritt 7

Fehlerdetektiv: Stimmt das?

Jemand sagt: „186 gehört nur zu ℚ, denn es ist ein Bruch.“

Probier es selbst: Finde den Fehler und verbessere die Aussage.

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Der Ausdruck hat den Wert 3. Die Schreibweise als Bruch ändert daran nichts. 3 gehört zu ℕ, ℤ und ℚ; die kleinste dieser Mengen ist ℕ.

Dein Wissen anwenden

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Rechne zuerst selbst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Wenn etwas nicht klappt, führt dich der Link zur passenden Erklärung.

1 · Ordne 27 ein.

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27 ist natürlich. Kleinste Menge: ℕ; außerdem ℤ und ℚ.

Erklärung wiederholen →

2 · Ordne −9 ein.

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−9 ist negativ und ganz: ℤ, außerdem ℚ.

Erklärung wiederholen →

3 · Ordne 1,25 ein.

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1,25 = 125/100 = 5/4. Der Wert ist nicht ganz: ℚ.

Erklärung wiederholen →

4 · Ordne 24 : 8 ein.

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Erst ausrechnen: 24 : 8 = 3. Kleinste Menge: ℕ.

Erklärung wiederholen →

5 · Ist 0 eine rationale Zahl?

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Ja: 0 lässt sich als 0/1 schreiben. Nach unserer Vereinbarung liegt 0 außerdem in ℕ und ℤ.

Erklärung wiederholen →

6 · Ist √16 irrational?

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Nein. √16 = 4. Der Wert ist sogar natürlich.

Erklärung wiederholen →

Der Selbstcheck hilft dir bei der Orientierung. Er ersetzt keinen vollständigen Lernstandstest. Übe nach einem Fehler eine ähnliche Aufgabe und probiere den Check später erneut.

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