1 · Wie viele Personen sind im Beispiel weder in Sport noch Musik?
Lösung und Rechenweg ansehen
40 Personen, im Feld nicht A und nicht B.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Vierfeldertafeln und bedingte Wahrscheinlichkeit: verstehen und üben
Ordne Daten in einer Vierfeldertafel und berechne Wahrscheinlichkeiten sicher. Erkenne, welche Bezugsgruppe zählt, und unterscheide gemeinsame und bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Die Bezugsgruppe macht den Unterschied
20 von 100 insgesamt
20 von 30 aus der Musik-AG
Derselbe Zähler kann zu verschiedenen Wahrscheinlichkeiten führen. Entscheidend ist die Frage.
Lernschritt 1
Eine Vierfeldertafel lesen
| Teilnahme | Musik-AG (B) |
Keine Musik-AG (nicht B) |
Summe |
|---|---|---|---|
| Sport-AG (A) | 20 | 30 | 50 |
| Keine Sport-AG (nicht A) | 10 | 40 | 50 |
| Summe | 30 | 70 | 100 |
Die vier weißen Innenfelder zählen die Gruppen. Die hellblauen Randfelder zeigen die Summen. Jede Person steht in genau einem Innenfeld.
Eine Vierfeldertafel ordnet zwei Merkmale mit jeweils zwei Möglichkeiten. In unserem Beispiel steht A für „nimmt an der Sport-AG teil“ und B für „nimmt an der Musik-AG teil“. Wer beide AGs besucht, steht im Feld A und B.
Die vier inneren Felder enthalten 20, 30, 10 und 40 Personen. Sie überschneiden sich nicht und ergeben zusammen 100. Die Randzahlen sind die Zeilen- und Spaltensummen.
Für die Wahrscheinlichkeiten auf dieser Seite wählen wir eine Person aus diesen 100 gleichwahrscheinlich aus. Die Tabelle ist ein Übungsbeispiel und keine Aussage darüber, wie häufig bestimmte AGs allgemein besucht werden.
Lernschritt 2
Fehlende Felder mit den Randsummen ergänzen
Wenn einige Felder fehlen, helfen Addition und Subtraktion. Aus „50 Personen in der Sport-AG, davon 20 auch in der Musik-AG“ folgt: 50 − 20 = 30 nur in der Sport-AG.
- Beschrifte beide Ereignisse und ihre Gegenereignisse.
- Trage sichere Angaben in die richtigen Felder oder Ränder ein.
- Ergänze fehlende Werte durch Zeilen- und Spaltensummen.
- Prüfe, dass alle vier inneren Felder zusammen die Gesamtzahl ergeben.
- Prüfe auch beide Zeilensummen und beide Spaltensummen.
Im Beispiel sind insgesamt 30 Personen in der Musik-AG. Davon sind 20 auch in der Sport-AG, also bleiben 10 ohne Sport-AG. Das letzte Feld ist 100 − 20 − 30 − 10 = 40.
| Teilnahme | Musik-AG (B) |
Keine Musik-AG (nicht B) |
Summe |
|---|---|---|---|
| Sport-AG (A) | 20 | ? | 50 |
| Keine Sport-AG (nicht A) | 10 | ? | 50 |
| Summe | 30 | 70 | 100 |
Nutze zuerst die beiden Zeilensummen. Kontrolliere anschließend die Spalte „Keine Musik-AG“.
Ausgefüllte Tafel und Rechenweg ansehen
Oben fehlt 50 − 20 = 30. Unten fehlt 50 − 10 = 40. Die Spaltenkontrolle ergibt 30 + 40 = 70.
| Teilnahme | Musik-AG (B) |
Keine Musik-AG (nicht B) |
Summe |
|---|---|---|---|
| Sport-AG (A) | 20 | 30 | 50 |
| Keine Sport-AG (nicht A) | 10 | 40 | 50 |
| Summe | 30 | 70 | 100 |
Lernschritt 3
Einfache und gemeinsame Wahrscheinlichkeiten
Ohne zusätzliche Bedingung bezieht sich die Frage auf alle 100 Personen. Eine Randzahl liefert die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses:
P(A) = = 0,5 = 50 %
P(B) = = 0,3 = 30 %
A ∩ B bedeutet „A und B treten beide ein“. Dafür verwendest du das gemeinsame innere Feld:
| Teilnahme | Musik-AG (B) |
Keine Musik-AG (nicht B) |
Summe |
|---|---|---|---|
| Sport-AG (A) | 20Zähler | 30 | 50 |
| Keine Sport-AG (nicht A) | 10 | 40 | 50 |
| Summe | 30 | 70 | 100Nenner |
Blau markiert: 20 Personen besuchen beide AGs. Der Nenner ist die Gesamtzahl 100. Rechnung: 20 von 100.
P(A ∩ B) = = 0,2 = 20 %
„Nur A“ bedeutet A und nicht B. Dafür gilt hier P(A ∩ nicht B) = = 30 %. Das ist etwas anderes als P(A), denn zu A gehören auch die Personen aus beiden AGs.
Lernschritt 4
Mindestens eines: A oder B
„A oder B“ bedeutet in der Wahrscheinlichkeitsrechnung normalerweise: mindestens eines der beiden Ereignisse, also auch beide zusammen. Das Zeichen dafür ist A ∪ B.
In der Tabelle zählen die Felder 20, 30 und 10 dazu. Zusammen sind das 60 Personen. Alternativ addierst du die beiden Randsummen und ziehst die doppelt gezählte Schnittmenge einmal ab:
| Teilnahme | Musik-AG (B) |
Keine Musik-AG (nicht B) |
Summe |
|---|---|---|---|
| Sport-AG (A) | 20mitzählen | 30mitzählen | 50 |
| Keine Sport-AG (nicht A) | 10mitzählen | 40 | 50 |
| Summe | 30 | 70 | 100Nenner |
Die drei blauen Felder zählen: 20 + 30 + 10 = 60. Das Feld „beide AGs“ wird nur einmal gezählt. Bezugsgruppe: alle 100 Personen.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 − 0,2 = 0,6
„Weder A noch B“ trifft auf die übrigen 40 Personen zu. „Genau eine AG“ wäre dagegen nur Sport oder nur Musik: 30 + 10 = 40 Personen. Lies Wörter wie „mindestens“, „genau“ und „beide“ sorgfältig.
Lernschritt 5
Bedingte Wahrscheinlichkeit: eine kleinere Bezugsgruppe
Nun wissen wir bereits, dass die ausgewählte Person in der Musik-AG ist. Gefragt ist: Wie wahrscheinlich ist es unter dieser Bedingung, dass sie auch in der Sport-AG ist?
Betrachte nur die Spalte B: Von den 30 Personen in der Musik-AG sind 20 auch in der Sport-AG. Die übrigen 70 Personen gehören jetzt nicht zur Bezugsgruppe.
| Teilnahme | Musik-AG (B) |
Keine Musik-AG (nicht B) |
Summe |
|---|---|---|---|
| Sport-AG (A) | 20Zähler | 30 | 50 |
| Keine Sport-AG (nicht A) | 10 | 40 | 50 |
| Summe | 30Nenner | 70 | 100 |
Die Bedingung B begrenzt die Rechnung auf die Musik-Spalte. Zähler: 20 mit Sport. Nenner: alle 30 aus dieser Spalte. Die 70 Personen ohne Musik-AG zählen hier nicht mit.
P(A | B) = = ≈ 66,67 %
Der senkrechte Strich wird als „unter der Bedingung“ gelesen. Rechts davon steht die bekannte Bedingung. Manche Schulbücher schreiben dafür PB(A).
P(A | B) =
Diese Formel setzt P(B) > 0 voraus. Mit Häufigkeiten kannst du direkt „passendes gemeinsames Feld geteilt durch Summe der Bedingungsgruppe“ rechnen. Mit Wahrscheinlichkeiten ergibt sich hier und damit derselbe Wert.
Lernschritt 6
Die Bedingung nicht vertauschen
P(A | B) fragt nach Sport unter den Musik-Teilnehmenden. P(B | A) fragt nach Musik unter den Sport-Teilnehmenden. Die zweite Bezugsgruppe enthält 50 Personen:
| Teilnahme | Musik-AG (B) |
Keine Musik-AG (nicht B) |
Summe |
|---|---|---|---|
| Sport-AG (A) | 20Zähler | 30 | 50Nenner |
| Keine Sport-AG (nicht A) | 10 | 40 | 50 |
| Summe | 30 | 70 | 100 |
Jetzt begrenzt die Bedingung A die Rechnung auf die Sport-Zeile. Zähler: wieder 20 mit Musik. Nenner: diesmal alle 50 aus dieser Zeile.
P(B | A) = = 40 %
| Frage | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Sport und Musik unter allen Personen | 20 % | |
| Sport unter den Musik-Teilnehmenden | etwa 66,67 % | |
| Musik unter den Sport-Teilnehmenden | 40 % |
Der gemeinsame Zähler ist gleich, die Nenner sind verschieden. Deshalb darfst du P(A | B) und P(B | A) nicht einfach austauschen.
Probier es selbst: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Sport, wenn die Person nicht in der Musik-AG ist?
Lösung ansehen
P(A | nicht B) = = ≈ 42,86 %.
Lernschritt 7
Von der Vierfeldertafel zum Baumdiagramm
Du kannst dieselben Daten als zweistufigen Baum darstellen. Wenn du zuerst nach Sport-AG verzweigst, steht am ersten Ast P(A) = 0,5 und am anderen P(nicht A) = 0,5.
| Erster Zweig | Zweite Stufe: B | Zweite Stufe: nicht B |
|---|---|---|
| A | = 0,4 | = 0,6 |
| nicht A | = 0,2 | = 0,8 |
Auf einem Pfad multiplizierst du: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) = 0,5 · 0,4 = 0,2. Für das Ereignis B addierst du beide passenden Pfade: 0,5 · 0,4 + 0,5 · 0,2 = 0,3.
Wird zuerst nach B verzweigt, ändern sich die Astwahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeiten der vier gemeinsamen Endereignisse bleiben gleich.
Lernschritt 8
Die Richtung mit der Bayes-Formel umkehren
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit lässt sich als P(A) · P(B | A) schreiben. Einsetzen in die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt:
| Teilnahme | Musik-AG (B) |
Keine Musik-AG (nicht B) |
Summe |
|---|---|---|---|
| Sport-AG (A) | 20Zähler | 30 | 50 |
| Keine Sport-AG (nicht A) | 10 | 40 | 50 |
| Summe | 30Nenner | 70 | 100 |
P(B | A) nutzt 20 von 50. Für P(A | B) wird derselbe gemeinsame Anteil auf die 30 Musik-Teilnehmenden bezogen. Die Bayes-Formel rechnet genau diesen Wechsel.
P(A | B) =
Im Beispiel sind das = . Die Formel hilft, wenn Angaben für die eine Richtung bekannt sind, die Frage aber die andere Richtung verlangt. Eine Vierfeldertafel macht dieselbe Rechnung oft besonders übersichtlich.
Prüfe vor jeder Rechnung: Was ist gesucht? Was ist bereits bekannt? Welche Personen oder Ergebnisse bilden deshalb den Nenner? Eine Bedingung mit Wahrscheinlichkeit 0 erlaubt diese Quotientenformel nicht.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Bestimme P(B).
Lösung und Rechenweg ansehen
P(B) = = 30 %.
Erklärung wiederholen →3 · Bestimme P(A ∩ B).
Lösung und Rechenweg ansehen
P(A ∩ B) = = 20 %.
Erklärung wiederholen →4 · Bestimme P(B | A).
Lösung und Rechenweg ansehen
Unter den 50 Sport-Teilnehmenden sind 20 in Musik: = 40 %.
Erklärung wiederholen →5 · Bestimme P(A | B).
Lösung und Rechenweg ansehen
Unter den 30 Musik-Teilnehmenden sind 20 in Sport: = ≈ 66,67 %.
Erklärung wiederholen →6 · Wie groß ist P(A ∪ B)?
Lösung und Rechenweg ansehen
= 60 %. Beide AGs werden nur einmal gezählt.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
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Vierfeldertafeln üben
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten üben
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Material ansehen →Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen A ∩ B und A | B?
A ∩ B bezeichnet das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse. Bei P(A | B) wird innerhalb der Gruppe gerechnet, für die B bereits feststeht.
Kann ich direkt mit Anzahlen rechnen?
Ja, wenn die Ergebnisse gleichwahrscheinlich ausgewählt werden: passendes Feld geteilt durch die Anzahl in der Bezugsgruppe. Vermische dabei nicht Anzahlen und Prozentwerte.
Müssen in einer Vierfeldertafel immer 100 Personen stehen?
Nein. Die Gesamtzahl kann beliebig sein. Eine Wahrscheinlichkeitstafel hat stattdessen die Gesamtsumme 1 beziehungsweise 100 %.