1 · P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,2: unabhängig?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ja. 0,4 · 0,5 = 0,2 stimmt mit P(A ∩ B) überein.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Stochastische Unabhängigkeit: verstehen und üben
Prüfe, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind. Vergleiche bedingte Wahrscheinlichkeiten, verwende die Produktregel und unterscheide Unabhängigkeit vom gegenseitigen Ausschließen.
Ändert die Information die Wahrscheinlichkeit?
P(A | B) = P(A)
Wenn B eine positive Wahrscheinlichkeit hat, bedeutet Unabhängigkeit: Die Information über B verändert die Wahrscheinlichkeit von A nicht.
Lernschritt 1
Was bedeutet stochastisch unabhängig?
Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Diese Gleichung ist die allgemeine Definition. Sie setzt keine zeitliche Reihenfolge voraus. Die Ereignisse können bei zwei Ziehungen auftreten oder zwei Eigenschaften desselben Ergebnisses beschreiben.
Wenn P(B) > 0 ist, kannst du gleichwertig prüfen, ob P(A | B) = P(A) gilt. Bei P(A) > 0 gilt entsprechend P(B | A) = P(B). Unabhängigkeit ist also eine symmetrische Beziehung.
„Die Ereignisse wirken auf den ersten Blick unverbunden“ ist keine rechnerische Begründung. Prüfe das Wahrscheinlichkeitsmodell oder die Angaben. Stochastische Abhängigkeit allein beweist außerdem keinen ursächlichen Zusammenhang.
Lernschritt 2
Unabhängigkeit an einer Vierfeldertafel prüfen
| Ereignis | B | nicht B | Summe |
|---|---|---|---|
| A | 12 | 18 | 30 |
| nicht A | 28 | 42 | 70 |
| Summe | 40 | 60 | 100 |
30 Karten tragen einen Stern, 40 sind blau und 12 sind blau mit Stern. Deshalb ist P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 und P(A ∩ B) = 0,12.
P(A) · P(B) = 0,3 · 0,4 = 0,12
Das stimmt mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit überein. Die Ereignisse sind für dieses Kartenmodell unabhängig.
Auch die bedingte Rechnung zeigt das:
P(A | B) = = 0,3 = P(A)
Unter den blauen Karten beträgt der Sternanteil 30 %, genauso wie unter allen Karten. Unter den nicht blauen Karten gilt ebenfalls = 30 %.
Lernschritt 3
Ein Gegenbeispiel: Die Wahrscheinlichkeit ändert sich
Betrachte nun ein anderes Modell mit 100 gleichwahrscheinlich ausgewählten Karten: 50 tragen einen Stern, 30 sind blau und 20 erfüllen beides.
P(A ∩ B) = 0,2
P(A) · P(B) = 0,5 · 0,3 = 0,15
0,2 und 0,15 sind verschieden. Die Ereignisse sind abhängig. Bedingt auf eine blaue Karte beträgt der Sternanteil ≈ 66,67 % statt insgesamt 50 %.
Bereits eine verletzte Gleichheit genügt, um Unabhängigkeit auszuschließen. Achte bei Dezimalzahlen aber auf Rundungen: Vergleiche nach Möglichkeit exakte Brüche oder ungerundete Angaben.
Lernschritt 4
Unabhängig ist nicht dasselbe wie unvereinbar
Unvereinbare Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten. Dann ist A ∩ B leer und P(A ∩ B) = 0. Wenn beide Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit haben, sind sie gerade nicht unabhängig.
Beispiel: Bei einem fairen Würfel sei A = „gerade Zahl“ und B = „ungerade Zahl“. Beide haben Wahrscheinlichkeit , aber gemeinsam können sie nicht eintreten.
P(A ∩ B) = 0 ≠ ·
Wenn du weißt, dass das Ergebnis gerade ist, ist die Wahrscheinlichkeit für ungerade 0. Die zusätzliche Information verändert die Wahrscheinlichkeit also deutlich.
Die Aussage gilt hier für zwei Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit. Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 ist nach der Produktdefinition unabhängig von jedem Ereignis; die bedingte Formel mit diesem Ereignis im Nenner ist dagegen nicht definiert.
Lernschritt 5
Unabhängige Ereignisse bei einem einzigen Würfelwurf
Auch im selben Zufallsexperiment können zwei Ereignisse unabhängig sein. Bei einem fairen Würfel sei A = {2; 4; 6} und B = {3; 6}.
A bedeutet „gerade“, B bedeutet „durch 3 teilbar“. Gemeinsam tritt nur die 6 auf:
P(A) = = ; P(B) = =
P(A ∩ B) = = ·
Damit sind A und B unabhängig. Weißt du bereits, dass das Ergebnis durch 3 teilbar ist, bleiben die gleichwahrscheinlichen Ergebnisse 3 und 6. Davon ist genau eines gerade – wieder Wahrscheinlichkeit .
Lernschritt 6
Ziehen mit und ohne Zurücklegen vergleichen
Eine Urne enthält drei rote und zwei blaue Kugeln. Es wird zweimal zufällig gezogen. A heißt „erste Kugel rot“, B heißt „zweite Kugel rot“.
Mit Zurücklegen und erneutem Durchmischen: Vor der zweiten Ziehung ist die ursprüngliche Zusammensetzung wiederhergestellt. Im üblichen Modell unabhängiger Zufallsziehungen gilt:
P(A ∩ B) = · =
Ohne Zurücklegen: Nach einer roten Kugel bleiben zwei rote unter vier Kugeln. Dann ist:
P(B | A) = =
Ohne Wissen über die erste Farbe beträgt P(B) weiterhin . Die Information über A ändert die Wahrscheinlichkeit von B. Die beiden Ereignisse sind abhängig, und P(A ∩ B) = · = .
Lernschritt 7
Die Pfadregel gilt auch bei Abhängigkeit
Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades zu multiplizieren ist nicht nur bei Unabhängigkeit erlaubt. Die allgemeine Regel lautet, sofern P(A) > 0:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
Die zweite Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf den bereits eingeschlagenen ersten Zweig. Nur wenn Unabhängigkeit vorliegt, darfst du P(B | A) durch die unbedingte Wahrscheinlichkeit P(B) ersetzen.
Im Urnenbeispiel ohne Zurücklegen musst du am zweiten roten Ast daher verwenden. Einfach zweimal zu multiplizieren würde ein anderes Modell berechnen.
Lernschritt 8
Unabhängigkeit systematisch untersuchen
- Definiere die Ereignisse eindeutig.
- Bestimme P(A), P(B) und P(A ∩ B) aus den Angaben.
- Berechne P(A) · P(B).
- Vergleiche mit P(A ∩ B).
- Formuliere das Ergebnis für das betrachtete Modell.
Alternativ vergleichst du eine bedingte mit der passenden unbedingten Wahrscheinlichkeit, sofern die Bedingung positive Wahrscheinlichkeit hat.
Wenn A und B unabhängig sind, gilt dies auch für A und nicht B, nicht A und B sowie beide Gegenereignisse. In real erhobenen Stichprobendaten beweist eine zufällige Übereinstimmung von Anteilen jedoch nicht automatisch Unabhängigkeit in der gesamten Population. Hier prüfen wir exakt vorgegebene Modelle.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,1: unabhängig?
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Nein. Das Produkt ist 0,2 und nicht 0,1.
Erklärung wiederholen →3 · Im Kartenbeispiel: Berechne P(B | A).
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Unter 30 Sternkarten sind 12 blau: = 0,4 = P(B).
Erklärung wiederholen →4 · Können zwei unvereinbare Ereignisse mit positiven Wahrscheinlichkeiten unabhängig sein?
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Nein. Ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist 0, das Produkt ihrer positiven Einzelwahrscheinlichkeiten aber größer als 0.
Erklärung wiederholen →5 · Ohne Zurücklegen: Nach einer roten Kugel aus 3 roten und 2 blauen folgt wie wahrscheinlich erneut rot?
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Es bleiben 2 rote unter 4 Kugeln: = 50 %.
Erklärung wiederholen →6 · Welche zweite Wahrscheinlichkeit steht allgemein in der Pfadregel nach A?
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P(B | A). Nur bei Unabhängigkeit kannst du dafür P(B) einsetzen.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Vierfeldertafeln sicher auswerten
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Ist Unabhängigkeit eine zeitliche Aussage?
Nein. Sie beschreibt eine Beziehung zwischen Ereigniswahrscheinlichkeiten. Auch zwei Eigenschaften eines einzigen Ergebnisses können unabhängig sein.
Darf ich bei abhängigen Ereignissen multiplizieren?
Ja, mit der allgemeinen Pfadregel: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A), sofern P(A) > 0. Die zweite Wahrscheinlichkeit muss die Bedingung berücksichtigen.
Sind Gegenereignisse unabhängig?
Ein Ereignis und sein eigenes Gegenereignis sind bei Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 abhängig. Wenn dagegen A und B unabhängig sind, bleiben sie beim Ersetzen eines oder beider Ereignisse durch das jeweilige Gegenereignis unabhängig.