Prüfe, ob zwei Ereignisse sich im Wahrscheinlichkeitsmodell beeinflussen. Vergleiche gemeinsame Chance und Produkt, unterscheide Unabhängigkeit vom gegenseitigen Ausschluss und untersuche Ziehungen mit und ohne Zurücklegen.
Hilfreiches Vorwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafeln und Pfadregeln.
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Wahrscheinlichkeiten als Bruch mit / oder Dezimalzahl mit Komma oder Punkt eingeben. Mehrere Werte mit Semikolon trennen. Ohne Rundungsauftrag exakt rechnen.
Verstehen
Ändert die Information die Wahrscheinlichkeit?
P(A | B) = P(A)
Wenn B eine positive Wahrscheinlichkeit hat, bedeutet Unabhängigkeit: Die Information über B verändert die Wahrscheinlichkeit von A nicht.
Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Diese Gleichung ist die allgemeine Definition. Sie setzt keine zeitliche Reihenfolge voraus. Die Ereignisse können bei zwei Ziehungen auftreten oder zwei Eigenschaften desselben Ergebnisses beschreiben.
Wenn P(B) > 0 ist, kannst du gleichwertig prüfen, ob P(A | B) = P(A) gilt. Bei P(A) > 0 gilt entsprechend P(B | A) = P(B). Unabhängigkeit ist also eine symmetrische Beziehung.
„Die Ereignisse wirken auf den ersten Blick unverbunden“ ist keine rechnerische Begründung. Prüfe das Wahrscheinlichkeitsmodell oder die Angaben. Stochastische Abhängigkeit allein beweist außerdem keinen ursächlichen Zusammenhang.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Vergleiche dieses Produkt mit der gegebenen gemeinsamen Wahrscheinlichkeit.
Das ist die Prüfung im beschriebenen Wahrscheinlichkeitsmodell.
| Ereignis | B | nicht B | Summe |
|---|---|---|---|
| A | 12 | 18 | 30 |
| nicht A | 28 | 42 | 70 |
| Summe | 40 | 60 | 100 |
Beispiel – Schritt für Schritt
100 gleichwahrscheinliche Karten
A: 30 Sternkarten · B: 40 blaue Karten
Beides: 12 Karten
Zwölf Karten sind blau und tragen einen Stern.
Berechne das Produkt unabhängig von der bereits abgelesenen gemeinsamen Wahrscheinlichkeit.
Die Werte stimmen exakt überein. A und B sind für dieses Kartenmodell unabhängig.
Beispiel – Schritt für Schritt
100 gleichwahrscheinliche Karten
A: 30 Sternkarten · B: 40 blaue Karten
Beides: 12 Karten
Nicht blau: 60 Karten, davon 18 mit Stern
Unter den 40 blauen Karten tragen zwölf einen Stern. P(B) ist positiv, daher ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit definiert.
Unter den 60 nicht blauen Karten tragen 18 einen Stern. Der Sternanteil beträgt in beiden Gruppen 30 Prozent, genauso wie unter allen Karten.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
P(A) = 0,3 und P(B) = 0,4.
Ja, im Modell dieser Tabelle sind A und B unabhängig.
Betrachte nun ein anderes Modell mit 100 gleichwahrscheinlich ausgewählten Karten: 50 tragen einen Stern, 30 sind blau und 20 erfüllen beides.
Beispiel – Schritt für Schritt
100 gleichwahrscheinliche Karten
A: 50 Sternkarten · B: 30 blaue Karten
Beides: 20 Karten
50, 30 und 20 Karten von jeweils 100 entsprechen diesen Anteilen.
Dies wäre bei Unabhängigkeit die gemeinsame Wahrscheinlichkeit.
Die tatsächliche gemeinsame Wahrscheinlichkeit stimmt nicht mit dem Produkt überein.
Unter den blauen Karten ist der Sternanteil größer als unter allen Karten. Die Information über B verändert die Wahrscheinlichkeit von A.
Bereits eine verletzte Gleichheit genügt, um Unabhängigkeit auszuschließen. Achte bei Dezimalzahlen aber auf Rundungen: Vergleiche nach Möglichkeit exakte Brüche oder ungerundete Angaben.
Unvereinbare Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten. Dann ist A ∩ B leer und P(A ∩ B) = 0. Wenn beide Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit haben, sind sie gerade nicht unabhängig.
Beispiel: Bei einem fairen Würfel sei A = „gerade Zahl“ und B = „ungerade Zahl“. Beide haben Wahrscheinlichkeit , aber gemeinsam können sie nicht eintreten.
Beispiel – Schritt für Schritt
Ein fairer Würfelwurf
A: gerade Zahl · B: ungerade Zahl
Eine Augenzahl kann nicht gleichzeitig gerade und ungerade sein.
Beide Einzelereignisse haben eine positive Wahrscheinlichkeit von 1/2.
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit und Produkt unterscheiden sich. Die Ereignisse sind unvereinbar und abhängig.
Wenn das Ergebnis gerade ist, ist die Wahrscheinlichkeit für ungerade null. Die zusätzliche Information verändert sie deutlich.
Die Aussage gilt hier für zwei Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit. Ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 ist nach der Produktdefinition unabhängig von jedem Ereignis; die bedingte Formel mit diesem Ereignis im Nenner ist dagegen nicht definiert.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die beiden Werte sind verschieden.
Wenn A eintritt, kann B sicher nicht eintreten. Gegenseitiger Ausschluss ist keine Unabhängigkeit.
Auch im selben Zufallsexperiment können zwei Ereignisse unabhängig sein. Bei einem fairen Würfel sei A = {2; 4; 6} und B = {3; 6}.
A bedeutet „gerade“, B bedeutet „durch 3 teilbar“. Gemeinsam tritt nur die 6 auf:
Beispiel – Schritt für Schritt
Ein fairer Würfelwurf
A: gerade Zahl · B: durch 3 teilbar
Der faire Würfel hat sechs gleichwahrscheinliche Ergebnisse. Drei sind gerade, zwei sind durch 3 teilbar.
Nur die 6 erfüllt beide Bedingungen.
Die Produktdefinition ist erfüllt, obwohl beide Ereignisse denselben Wurf betreffen.
Bei bekanntem B bleiben die gleichwahrscheinlichen Ergebnisse 3 und 6. Genau eines davon ist gerade.
Eine Urne enthält drei rote und zwei blaue Kugeln. Es wird zweimal zufällig gezogen. A heißt „erste Kugel rot“, B heißt „zweite Kugel rot“.
Mit Zurücklegen und erneutem Durchmischen: Vor der zweiten Ziehung ist die ursprüngliche Zusammensetzung wiederhergestellt. Im üblichen Modell unabhängiger Zufallsziehungen gilt:
Beispiel – Schritt für Schritt
3 rote und 2 blaue Kugeln
A: erster Zug rot · B: zweiter Zug rot
Mit Zurücklegen und erneutem Durchmischen
Nach Zurücklegen und erneutem Durchmischen sind wieder drei von fünf Kugeln rot. Im genannten Modell beeinflusst die erste Ziehung die zweite nicht.
Für zweimal Rot multiplizierst du die beiden Wahrscheinlichkeiten.
Ohne Zurücklegen: Nach einer roten Kugel bleiben zwei rote unter vier Kugeln.
Beispiel – Schritt für Schritt
3 rote und 2 blaue Kugeln
A: erster Zug rot · B: zweiter Zug rot
Ohne Zurücklegen
Wenn die erste Kugel rot war, sind noch zwei rote und zwei blaue Kugeln vorhanden.
War die erste Kugel blau, bleiben drei rote unter vier Kugeln.
Addiere die Pfade Rot–Rot und Blau–Rot. Ohne Wissen über die erste Farbe beträgt die Wahrscheinlichkeit für Rot beim zweiten Zug weiterhin 3/5.
Die Information über A ändert die Wahrscheinlichkeit von B.
Die Pfadregel verwendet beim zweiten Zug die bedingte Wahrscheinlichkeit 2/4.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Ohne die Information über den ersten Zug gilt P(B) = 2/5.
Mit Zurücklegen und erneutem Mischen wären beide Wahrscheinlichkeiten 2/5.
Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades zu multiplizieren ist nicht nur bei Unabhängigkeit erlaubt. Die allgemeine Regel lautet, sofern P(A) > 0:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
Die zweite Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf den bereits eingeschlagenen ersten Zweig. Nur wenn Unabhängigkeit vorliegt, darfst du P(B | A) durch die unbedingte Wahrscheinlichkeit P(B) ersetzen.
Im Urnenbeispiel ohne Zurücklegen musst du am zweiten roten Ast daher verwenden. Einfach zweimal zu multiplizieren würde ein anderes Modell berechnen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die zweite Wahrscheinlichkeit muss zum bereits eingetretenen ersten Ereignis passen.
Die Pfadregel gilt auch ohne Unabhängigkeit; die bedingte Wahrscheinlichkeit macht den Unterschied.
Alternativ vergleichst du eine bedingte mit der passenden unbedingten Wahrscheinlichkeit, sofern die Bedingung positive Wahrscheinlichkeit hat.
Wenn A und B unabhängig sind, gilt dies auch für A und nicht B, nicht A und B sowie beide Gegenereignisse. In real erhobenen Stichprobendaten beweist eine zufällige Übereinstimmung von Anteilen jedoch nicht automatisch Unabhängigkeit in der gesamten Population. Hier prüfen wir exakt vorgegebene Modelle.
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Mathehelfer
Gib eine vollständige Vierfeldertafel ein und vergleiche die exakten Anteile. Oder untersuche zwei Kugelziehungen mit und ohne Zurücklegen. Die Prüfung gilt für das eingegebene Modell; eine beobachtete Stichprobe beweist damit keine Unabhängigkeit in der gesamten Bevölkerung.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
P(A) = 0,4
P(B) = 0,5
P(A ∩ B) = 0,2
Multipliziere die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.
Ja, die Gleichheit ist erfüllt. A und B sind unabhängig.
Lösung – Schritt für Schritt
P(A) = 0,4
P(B) = 0,5
P(A ∩ B) = 0,1
Bei Unabhängigkeit müsste dies die gemeinsame Wahrscheinlichkeit sein.
Nein, die Ereignisse sind abhängig.
Lösung – Schritt für Schritt
100 gleichwahrscheinliche Karten
A: 30 Sternkarten · B: 40 blaue Karten
Beides: 12 Karten
Gesucht: P(B | A)
Im ersten Kartenmodell tragen 30 Karten einen Stern; davon sind zwölf blau. Die Bedingung A hat positive Wahrscheinlichkeit.
Der Blauanteil unter den Sternkarten ist genauso groß wie unter allen Karten.
Lösung – Schritt für Schritt
A und B sind unvereinbar.
P(A) > 0 und P(B) > 0
Beide Ereignisse können nicht gemeinsam eintreten.
Das Produkt zweier positiver Wahrscheinlichkeiten ist positiv.
Nein. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit null kann dem positiven Produkt nicht entsprechen.
Lösung – Schritt für Schritt
Urne: 3 rote und 2 blaue Kugeln
Die erste Kugel war rot.
Ohne Zurücklegen
Die zuerst gezogene rote Kugel wird nicht zurückgelegt.
Unter den vier übrigen Kugeln sind zwei rot.
Lösung – Schritt für Schritt
Gesucht: P(A ∩ B)
Voraussetzung: P(A) > 0
Für P(A) > 0 steht nach dem ersten Ereignis A die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B | A).
Nur bei Unabhängigkeit darfst du stattdessen die unbedingte Wahrscheinlichkeit P(B) einsetzen.
Dein nächster Schritt
Ergänzendes kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zur Grundlage des Unabhängigkeitstests.
Material ansehen →
Ergänzendes kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen für die Tabellenrechnung. Die Unabhängigkeit prüfst du mit den Beispielen und Selbstchecks auf dieser Seite.
Material ansehen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Sie beschreibt eine Beziehung zwischen Ereigniswahrscheinlichkeiten. Auch zwei Eigenschaften eines einzigen Ergebnisses können unabhängig sein.
Ja, mit der allgemeinen Pfadregel: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A), sofern P(A) > 0. Die zweite Wahrscheinlichkeit muss die Bedingung berücksichtigen.
Ein Ereignis und sein eigenes Gegenereignis sind bei Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 abhängig. Wenn dagegen A und B unabhängig sind, bleiben sie beim Ersetzen eines oder beider Ereignisse durch das jeweilige Gegenereignis unabhängig.
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Von 100 gleichwahrscheinlichen Karten tragen 30 einen Stern und 40 einen blauen Hintergrund.