Du verschiebst und drehst Punkte, beachtest Zentrum und Richtung und führst mehrere Schritte aus.
Voraussetzungen ansehen
Koordinaten, negative Zahlen und Winkel.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
3 kurze Aufgaben
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Zeichne oder rechne zunächst ohne Hilfe.
Punkte als x | y eingeben, zum Beispiel −2 | 3. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt; Brüche mit /. Bei Entscheidungen ja oder nein. Achte darauf, ob ein Punkt, eine Änderung oder eine einzelne Zahl gefragt ist.
02 · Verstehen
Was unterscheidet Verschiebung und Drehung?
Gleiche Figur – neue Lage
Verschieben: gleicher Weg für alle Punkte. Drehen: gleicher Winkel um ein Zentrum.
Seitenlängen und Winkel bleiben bei beiden Abbildungen erhalten.
Bei einer Verschiebung wandert jeder Punkt gleich weit in dieselbe Richtung. Du kannst dir ein Blatt vorstellen, das du auf dem Tisch geradlinig verschiebst, ohne es zu drehen.
Bei einer Drehung bewegt sich jeder Punkt auf einem Kreis um ein festes Drehzentrum Z. Alle Punkte durchlaufen denselben Drehwinkel und dieselbe Drehrichtung. Punkte weiter vom Zentrum legen dabei einen längeren Kreisbogen zurück.
Bei beiden Abbildungen bleiben Längen, Winkel, Flächeninhalt und die Orientierung der Eckpunktfolge erhalten. Original und Bild sind kongruent. Ein Bildpunkt zu A wird A′ genannt: „A Strich“.
Eine Figur Schritt für Schritt verschieben
Die Anweisung „2 nach rechts und 1 nach oben“ legt eine Verschiebung fest. Wende sie auf jeden Eckpunkt an.
Markiere die Ecken A, B und C.
Gehe von jeder Ecke zwei Kästchen nach rechts und eines nach oben.
Beschrifte die neuen Punkte mit A′, B′ und C′.
Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie das Original.
(x | y) → (x + 2 | y + 1)
Beispiel · Schritt für Schritt
Alle Ecken um denselben Weg verschieben
A(0 | 1), B(1 | 1), C(0 | 2) 2 nach rechts · 1 nach oben
Rechnung / KonstruktionErklärung zum Schritt
(x | y) → (x + 2 | y + 1)
1 Die gemeinsame Verschiebungsregel festlegen
Addiere zu jeder x-Koordinate 2 und zu jeder y-Koordinate 1: zwei Einheiten rechts, eine nach oben.
A′(0 + 2 | 1 + 1) = A′(2 | 2)
2 Den Eckpunkt A verschieben
Verschiebe die erste Ecke mit derselben Regel.
B′(1 + 2 | 1 + 1) = B′(3 | 2)
3 Den Eckpunkt B verschieben
Verschiebe auch die zweite Ecke.
C′(0 + 2 | 2 + 1) = C′(2 | 3)
4 Den Eckpunkt C verschieben und das Bild verbinden
Verschiebe die dritte Ecke und verbinde A′, B′, C′ in derselben Reihenfolge. Allgemein bedeuten negative Anteile links beziehungsweise unten.
Probier es selbst: Verschiebe P(−2 | 4) um 3 nach rechts und 2 nach unten.
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den Bildpunkt einer Verschiebung berechnen
P(−2 | 4) 3 nach rechts · 2 nach unten
Rechnung / KonstruktionErklärung zum Schritt
x′ = −2 + 3 = 1
1 Die neue x-Koordinate berechnen
Drei nach rechts bedeutet 3 zur x-Koordinate addieren.
y′ = 4 − 2 = 2
2 Die neue y-Koordinate berechnen
Zwei nach unten bedeutet 2 von der y-Koordinate abziehen.
P′(1 | 2)
3 Die Bildkoordinaten zusammensetzen
Setze die neuen Koordinaten in der Reihenfolge x, y zusammen.
Probiere eine Verschiebung aus
Blau: Originaldreieck A(0 | 1), B(1 | 1), C(0 | 2). Mint: Bilddreieck. Ein Kästchen entspricht einer Einheit.
Festes Beispiel. Die Regler werden aktiviert, sobald die interaktive Darstellung geladen ist.
Dein Versuch: Stelle zuerst (2 | 1), dann (−2 | −1) ein. Vergleiche die Lage des Bilddreiecks mit dem Original. Jeder Bildpunkt entsteht durch dieselbe Rechenregel.
Bei einer Verschiebung um (0 | 0) bewegt sich nichts. Um eine Verschiebung rückgängig zu machen, kehrst du beide Richtungsanteile um.
Eine Drehung zeichnen: Zentrum, Winkel, Richtung
Für eine eindeutige Drehung brauchst du drei Angaben: Drehzentrum, Drehwinkel und Drehrichtung. Beispiel: „90° gegen den Uhrzeigersinn um Z“.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Drehung mit Winkelmesser und Zirkel konstruieren
Um Z drehen · zum Beispiel 90° gegen den Uhrzeigersinn
Rechnung / KonstruktionErklärung zum Schritt
Zentrum Z, Winkel und Richtung festlegen
1 Zentrum, Winkel und Richtung festlegen
Zum Beispiel 90° gegen den Uhrzeigersinn um Z. Für einen Punkt P ≠ Z sind alle folgenden Schritte nötig.
Strahl von Z durch P zeichnen
2 Den Ausgangsstrahl zeichnen
Dieser Strahl bildet die Ausgangsrichtung für den Drehwinkel.
Drehwinkel bei Z abtragen
3 Den Winkel am Zentrum abtragen
Zeichne den neuen Strahl in der angegebenen Drehrichtung. Miss den Winkel am Zentrum, nicht am Punkt P.
Radius ZP übernehmen
4 Den Abstand zum Zentrum übernehmen
Nimm den Abstand mit dem Zirkel auf oder miss ihn.
ZP′ = ZP
5 Den Bildpunkt im gleichen Abstand markieren
Trage den Abstand auf dem neuen Strahl von Z aus ab. Sein Schnitt mit dem Kreis um Z durch P ist P′.
Für alle Ecken wiederholen
6 Die übrigen Ecken drehen und verbinden
Verwende für jede Ecke dasselbe Zentrum, denselben Winkel und dieselbe Richtung; jeder Punkt behält seinen eigenen Abstand zu Z. Verbinde die Bildpunkte in entsprechender Reihenfolge. Liegt ein Punkt in Z, bleibt er unverändert.
Es gilt immer ZP = ZP′. Das Drehzentrum selbst bleibt fest. Bei 180° führen beide Drehrichtungen zum selben Bildpunkt; bei 90° normalerweise nicht.
Ein gleicher Drehwinkel bedeutet nicht, dass alle Punkte gleich weit auf ihrer Kreisbahn laufen. Entscheidend ist der gleiche Winkel am Zentrum.
Drehe ein Dreieck um den Ursprung
Blau: Originaldreieck A(0 | 1), B(1 | 1), C(0 | 2). Mint: Bilddreieck. Ein Kästchen entspricht einer Einheit.
Festes Beispiel. Die Regler werden aktiviert, sobald die interaktive Darstellung geladen ist.
Dein Versuch: Vergleiche 0°, 90°, 180°, 270° und 360°. Nach einer vollen Drehung liegt die Figur wieder auf dem Original. Bei 180° siehst du zugleich eine Punktspiegelung am Ursprung.
Das Drehzentrum ist hier fest Z(0 | 0). Die Regler zeigen die Bewegung; für eine Konstruktion auf Papier benutzt du Winkelmesser und Zirkel. Bei Zwischenwinkeln können nicht ganzzahlige Koordinaten entstehen.
Koordinatenregeln für Viertel- und Halbdrehungen
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn berechnen
P(3 | 2) · Zentrum Z(0 | 0) 90° gegen den Uhrzeigersinn
Rechnung / KonstruktionErklärung zum Schritt
Z(0 | 0), 90° gegen den Uhrzeigersinn
1 Zentrum und Drehrichtung prüfen
Diese Regel gilt im üblichen Koordinatensystem mit x nach rechts und y nach oben.
(x | y) → (−y | x)
2 Die passende Koordinatenregel wählen
Die neue x-Koordinate ist das Negative der alten y-Koordinate; die neue y-Koordinate ist die alte x-Koordinate.
P(3 | 2) → P′(−2 | 3)
3 Die Koordinaten einsetzen
Setze die Koordinaten des gegebenen Punkts ein.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn berechnen
P(3 | 2) · Zentrum Z(0 | 0) 90° im Uhrzeigersinn
Rechnung / KonstruktionErklärung zum Schritt
Z(0 | 0), 90° im Uhrzeigersinn
1 Die entgegengesetzte Drehrichtung beachten
Die entgegengesetzte Drehrichtung erfordert eine andere Vorzeichenregel.
(x | y) → (y | −x)
2 Die passende Koordinatenregel wählen
Vertausche die Koordinaten und negiere dabei die ursprüngliche x-Koordinate.
P(3 | 2) → P′(2 | −3)
3 Die Koordinaten einsetzen
Der Bildpunkt liegt rechts unterhalb des Ursprungs.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine halbe Drehung berechnen
P(3 | 2) · Zentrum Z(0 | 0) Drehwinkel 180°
Rechnung / KonstruktionErklärung zum Schritt
Z(0 | 0), 180°
1 Zentrum und Drehwinkel prüfen
Bei einer halben Drehung führen beide Drehrichtungen zum selben Bildpunkt.
(x | y) → (−x | −y)
2 Beide Vorzeichen wechseln
Wechsle beide Vorzeichen. Das ist zugleich die Punktspiegelung am Ursprung.
P(3 | 2) → P′(−3 | −2)
3 Den Bildpunkt angeben
Original- und Bildpunkt liegen einander am Zentrum gegenüber.
270° gegen den Uhrzeigersinn ergeben dieselbe Lage wie 90° im Uhrzeigersinn. Die Regeln oben gelten für das Zentrum im Ursprung. Für ein anderes Zentrum bestimmst du zuerst die Lage relativ zu Z, drehst diese und trägst sie anschließend wieder von Z aus ein.
Beispiel: Drehe P(3 | 2) um Z(1 | 1) um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
Beispiel · Schritt für Schritt
Um ein anderes Zentrum drehen
P(3 | 2) · Zentrum Z(1 | 1) 90° gegen den Uhrzeigersinn
Rechnung / KonstruktionErklärung zum Schritt
(3 − 1 | 2 − 1) = (2 | 1)
1 Die Koordinaten relativ zu Z bestimmen
Ziehe die Koordinaten des Zentrums von P ab. So erhältst du den relativen Ortsvektor von Z nach P.
(2 | 1) → (−1 | 2)
2 Den relativen Vektor drehen
Drehe nur diesen relativen Vektor um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
(1 + (−1) | 1 + 2) = (0 | 3)
3 Die Koordinaten des Zentrums wieder addieren
Addiere die Koordinaten des Zentrums wieder hinzu.
P′(0 | 3)
4 Den Bildpunkt angeben
Das ist der Bildpunkt bei Drehung um Z(1 | 1), nicht um den Ursprung.
So kontrollierst du deine Zeichnung
Verschiebung: Alle Verbindungspfeile von Original zu Bild müssen gleich lang und gleich gerichtet sein.
Drehung: Prüfe Zentrum, Drehrichtung, Winkel und gleichen Abstand zum Zentrum.
Beide: Die Seitenlängen des Bildes müssen zum Original passen.
Eckpunkte: Verbinde die zugehörigen Punkte in der richtigen Reihenfolge.
Probier es selbst: Reicht für eine Drehung die Angabe „90°“?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Welche Angaben fehlen für eine eindeutige Drehung?
Angabe: „Drehe um 90°“
Rechnung / KonstruktionErklärung zum Schritt
Drehwinkel: 90°
1 Die vorhandene Winkelangabe erkennen
Diese Angabe allein beschreibt nur den Drehbetrag.
Drehzentrum und Richtung ergänzen
2 Zentrum und Richtung ergänzen
Verschiedene Zentren oder entgegengesetzte Richtungen liefern im Allgemeinen andere Bildpunkte.
Beispiel: um Z(0 | 0), 90° gegen den Uhrzeigersinn
3 Eine vollständige Drehvorschrift angeben
Mit diesen drei Angaben ist die Drehung eindeutig festgelegt.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
18 Aufgaben · 3 Stufen
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Nutze ein kariertes Blatt für deine Zeichnung. Die Skizzen zeigen die Ausgangslage; bestimme den gesuchten Bildpunkt selbst.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
5 gemischte Aufgaben
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
1 · Verschiebe P(−1 | 3) um 4 nach rechts und 2 nach unten.
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Was ist ein Verschiebungsvektor?
Er beschreibt, wie weit und in welche Richtung verschoben wird. In der Ebene geben zwei Komponenten die waagerechte und senkrechte Änderung an.
Ist eine Drehung um 180° eine Punktspiegelung?
Ja. Beide ergeben für dasselbe Zentrum dieselben Bildpunkte.
Kann ich eine Drehung rückgängig machen?
Ja. Drehe um dasselbe Zentrum um denselben Winkel in die entgegengesetzte Richtung.
Addiere zu jeder x-Koordinate 2 und zu jeder y-Koordinate 1: zwei Einheiten rechts, eine nach oben.