1 · Verschiebe P(−1 | 3) um 4 nach rechts und 2 nach unten.
Lösung und Rechenweg ansehen
P′(3 | 1). Rechne x: −1 + 4 und y: 3 − 2.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Verschiebung und Drehung: verstehen und üben
Verschiebe und drehe Figuren, ohne ihre Form oder Größe zu verändern. Mit interaktiven Dreiecken, verständlichen Zeichenanleitungen, Übungen und einem passenden kostenlosen Arbeitsblatt.
Gleiche Figur – neue Lage
Verschieben: gleicher Weg für alle Punkte.
Drehen: gleicher Winkel um ein Zentrum.
Seitenlängen und Winkel bleiben bei beiden Abbildungen erhalten.
Lernschritt 1
Was unterscheidet Verschiebung und Drehung?
Bei einer Verschiebung wandert jeder Punkt gleich weit in dieselbe Richtung. Du kannst dir ein Blatt vorstellen, das du auf dem Tisch geradlinig verschiebst, ohne es zu drehen.
Bei einer Drehung bewegt sich jeder Punkt auf einem Kreis um ein festes Drehzentrum Z. Alle Punkte durchlaufen denselben Drehwinkel und dieselbe Drehrichtung. Punkte weiter vom Zentrum legen dabei einen längeren Kreisbogen zurück.
Bei beiden Abbildungen bleiben Längen, Winkel, Flächeninhalt und die Orientierung der Eckpunktfolge erhalten. Original und Bild sind kongruent. Ein Bildpunkt zu A wird A′ genannt: „A Strich“.
Lernschritt 2
Eine Figur Schritt für Schritt verschieben
Die Anweisung „2 nach rechts und 1 nach oben“ legt eine Verschiebung fest. Wende sie auf jeden Eckpunkt an.
- Markiere die Ecken A, B und C.
- Gehe von jeder Ecke zwei Kästchen nach rechts und eines nach oben.
- Beschrifte die neuen Punkte mit A′, B′ und C′.
- Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie das Original.
(x | y) → (x + 2 | y + 1)
Für A(0 | 1), B(1 | 1), C(0 | 2) erhältst du A′(2 | 2), B′(3 | 2), C′(2 | 3). Allgemein addierst du zu x den waagerechten und zu y den senkrechten Verschiebungsanteil. Negative Anteile bedeuten links beziehungsweise unten.
Probier es selbst: Verschiebe P(−2 | 4) um 3 nach rechts und 2 nach unten.
Lösung ansehen
P′(1 | 2), denn −2 + 3 = 1 und 4 − 2 = 2.
Lernschritt 3
Probiere eine Verschiebung aus
Dein Versuch: Stelle zuerst (2 | 1), dann (−2 | −1) ein. Vergleiche die Lage des Bilddreiecks mit dem Original. Jeder Bildpunkt entsteht durch dieselbe Rechenregel.
Bei einer Verschiebung um (0 | 0) bewegt sich nichts. Um eine Verschiebung rückgängig zu machen, kehrst du beide Richtungsanteile um.
Lernschritt 4
Eine Drehung zeichnen: Zentrum, Winkel, Richtung
Für eine eindeutige Drehung brauchst du drei Angaben: Drehzentrum, Drehwinkel und Drehrichtung. Beispiel: „90° gegen den Uhrzeigersinn um Z“.
- Verbinde Z mit dem Punkt P.
- Trage den angegebenen Winkel bei Z in der richtigen Richtung ab.
- Miss die Länge ZP oder nimm sie mit dem Zirkel auf.
- Trage dieselbe Länge auf dem neuen Strahl von Z aus ab. Dort liegt P′.
- Wiederhole das für alle Eckpunkte und verbinde die Bildpunkte.
Es gilt immer ZP = ZP′. Das Drehzentrum selbst bleibt fest. Bei 180° führen beide Drehrichtungen zum selben Bildpunkt; bei 90° normalerweise nicht.
Ein gleicher Drehwinkel bedeutet nicht, dass alle Punkte gleich weit auf ihrer Kreisbahn laufen. Entscheidend ist der gleiche Winkel am Zentrum.
Lernschritt 5
Drehe ein Dreieck um den Ursprung
Dein Versuch: Vergleiche 0°, 90°, 180°, 270° und 360°. Nach einer vollen Drehung liegt die Figur wieder auf dem Original. Bei 180° siehst du zugleich eine Punktspiegelung am Ursprung.
Das Drehzentrum ist hier fest Z(0 | 0). Die Regler zeigen die Bewegung; für eine Konstruktion auf Papier benutzt du Winkelmesser und Zirkel. Bei Zwischenwinkeln können nicht ganzzahlige Koordinaten entstehen.
Lernschritt 6
Koordinatenregeln für Viertel- und Halbdrehungen
| Drehung um (0 | 0) | Regel | Beispiel P(3 | 2) |
|---|---|---|
| 90° gegen den Uhrzeigersinn | (x | y) → (−y | x) | P′(−2 | 3) |
| 90° im Uhrzeigersinn | (x | y) → (y | −x) | P′(2 | −3) |
| 180° | (x | y) → (−x | −y) | P′(−3 | −2) |
270° gegen den Uhrzeigersinn ergeben dieselbe Lage wie 90° im Uhrzeigersinn. Die Tabelle gilt für das Zentrum im Ursprung. Für ein anderes Zentrum kannst du zuerst die Lage relativ zu Z bestimmen, diese drehen und anschließend wieder von Z aus eintragen.
Lernschritt 7
So kontrollierst du deine Zeichnung
- Verschiebung: Alle Verbindungspfeile von Original zu Bild müssen gleich lang und gleich gerichtet sein.
- Drehung: Prüfe Zentrum, Drehrichtung, Winkel und gleichen Abstand zum Zentrum.
- Beide: Die Seitenlängen des Bildes müssen zum Original passen.
- Eckpunkte: Verbinde die zugehörigen Punkte in der richtigen Reihenfolge.
Probier es selbst: Reicht für eine Drehung die Angabe „90°“?
Lösung ansehen
Nein. Ohne Zentrum und Drehrichtung ist die Drehung im Allgemeinen nicht eindeutig.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Verschiebung führt (2 | −1) nach (−1 | 3)?
Lösung und Rechenweg ansehen
3 nach links und 4 nach oben, also (−3 | 4).
Erklärung wiederholen →3 · Drehe P(3 | 2) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
Lösung und Rechenweg ansehen
P′(−2 | 3). Nutze (x | y) → (−y | x).
Erklärung wiederholen →4 · Drehe Q(−2 | 4) um 180° um den Ursprung.
Lösung und Rechenweg ansehen
Q′(2 | −4). Beide Vorzeichen wechseln.
Erklärung wiederholen →5 · P liegt 5 cm von Z entfernt. Wie weit liegt sein gedrehter Bildpunkt von Z entfernt?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ebenfalls 5 cm. Die Drehung erhält den Abstand zum Zentrum.
Erklärung wiederholen →6 · Werden die Seiten eines Dreiecks beim Verschieben länger?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Form und Größe bleiben erhalten; die Figur ist kongruent zum Original.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Kostenlos weiterlernen
Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Verschiebung und Drehung üben
Das passende kostenlose Arbeitsblatt für Klasse 6–7 mit Lösungen. Zeichne selbst und kontrolliere anschließend deine Ergebnisse.
Material ansehen →
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Spiegelungen im Vergleich
Übe die Unterscheidung von Achsen- und Punktspiegelung mit dem passenden Arbeitsblatt und Lösungen.
Material ansehen →Optional ergänzen
Mathe-Regeln auf Papier nachschlagen
Die gedruckten Spickzettel für Klasse 5–7 ergänzen das Üben mit kompakten Regeln und Übersichten zu vielen Rechenthemen.
Kostenpflichtige Ergänzung
Mathe-Spickzettel · Klasse 5–7
Kompakte Regeln und Übersichten zum Nachschlagen und Wiederholen.
Produkt und aktuellen Preis ansehen →Häufige Fragen
Was ist ein Verschiebungsvektor?
Er beschreibt, wie weit und in welche Richtung verschoben wird. In der Ebene geben zwei Komponenten die waagerechte und senkrechte Änderung an.
Ist eine Drehung um 180° eine Punktspiegelung?
Ja. Beide ergeben für dasselbe Zentrum dieselben Bildpunkte.
Kann ich eine Drehung rückgängig machen?
Ja. Drehe um dasselbe Zentrum um denselben Winkel in die entgegengesetzte Richtung.