Mathe · etwa 35–50 Minuten
Du unterscheidest Achsen- und Punktspiegelung anhand von Bildpunkten, Mittelpunkt und Spiegelachse.
Koordinaten, Vorzeichen und Mittelpunkte.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Punkte als x | y, Zahlen mit Komma oder Punkt und Brüche mit / eingeben. Bei Begriffen die passende Bezeichnung, bei Kongruenzsätzen SSS, SWS, WSW oder SsW. Entscheidungen: ja oder nein. Achte auf die verlangte Einheit.
02 · Verstehen
Gerade oder Punkt?
Achsenspiegelung: eine Gerade halbiert senkrecht.
Punktspiegelung: ein Zentrum ist die Mitte.
Gleiche Abstände sind bei beiden wichtig. Ihre Anordnung macht den Unterschied.
| Merkmal | Achsenspiegelung | Punktspiegelung |
|---|---|---|
| Spiegelung an … | einer Geraden g | einem Punkt Z |
| Lage von P und P′ | PP′ senkrecht zu g; g halbiert PP′ | P, Z, P′ auf einer Geraden; Z halbiert PP′ |
| Feste Punkte | alle Punkte auf g | nur das Zentrum Z |
| Orientierung einer Eckpunktfolge | wird umgekehrt | bleibt erhalten |
| Als Bewegung beschreiben | Umklappen über die Achse | Drehen um 180° um Z |
Bei beiden Spiegelungen bleiben Seitenlängen und Winkel erhalten. Original und Bild sind kongruent. Deshalb kannst du die Spiegelungsart nicht allein an der Größe der Figuren erkennen.
Für einen Punkt außerhalb der Achse beziehungsweise des Zentrums gilt die jeweilige Verbindungsregel. Ein fester Punkt fällt mit seinem Bild zusammen; dort gibt es keine Verbindungsstrecke mit positiver Länge.
Vergleiche die folgenden Zeichnungen. Original und Maßstab sind gleich. Links und rechts beziehen sich auf das Koordinatensystem, nicht auf die Lage der Abbildungen auf deinem Bildschirm.
Beispiel · Schritt für Schritt
Dreieck: A(1 | 1), B(3 | 1), C(1 | 3)
Spiegelachse: y-Achse
Die Höhe bleibt gleich. Beide Punkte sind drei Einheiten von der y-Achse entfernt.
Verbinde A′, B′ und C′ entsprechend den ursprünglichen Seiten. Die Seite links beziehungsweise rechts der Achse wechselt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Dasselbe Dreieck: A(1 | 1), B(3 | 1), C(1 | 3)
Spiegelzentrum: Ursprung (0 | 0)
Bei dieser Punktspiegelung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen.
Links/rechts und oben/unten wechseln; der Ursprung liegt in der Mitte der Verbindung.
Das gesamte Dreieck wird um 180° um den Ursprung gedreht. Die Orientierung der Eckpunktfolge bleibt dabei erhalten.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: P(3 | 2)
Spiegelung an der y-Achse
Ändere nur das Vorzeichen von x.
Die y-Koordinate 2 bleibt erhalten; beide Punkte liegen waagerecht gegenüber.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: P(3 | 2)
Spiegelung an der x-Achse
Ändere nur das Vorzeichen von y.
Die x-Koordinate 3 bleibt erhalten; beide Punkte liegen senkrecht übereinander.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: P(3 | 2)
Punktspiegelung am Ursprung (0 | 0)
Diese Regel gilt für das Zentrum (0 | 0).
Der Ursprung ist der Mittelpunkt von PP′. Das entspricht einer halben Umdrehung.
An einer Koordinatenachse wechselt eine Koordinate ihr Vorzeichen. Bei der Punktspiegelung am Ursprung wechseln beide. Null bleibt beim Vorzeichenwechsel Null.
Die Regeln sind an die genannten Achsen und den Ursprung gebunden. Für eine andere Spiegelachse oder ein anderes Zentrum verwendest du die geometrische Konstruktion.
Bei einem festen Punkt überspringst du die Strecke der Länge 0 und überprüfst stattdessen, ob er auf der vermuteten Achse beziehungsweise im Zentrum liegt.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: ein Paar verschiedener Punkte P und P′
Frage: Lässt sich die Spiegelungsart damit eindeutig erkennen?
Für zwei verschiedene Punkte ist ihre Mittelsenkrechte eine Achse, an der P auf P′ gespiegelt wird.
Dasselbe Punktpaar passt auch zu einer Punktspiegelung an seinem Mittelpunkt.
Nein. Untersuche weitere zugeordnete Punkte beziehungsweise die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ausgangspunkt P(3 | 2)
Zuerst an der y-Achse, danach an der x-Achse spiegeln
Nur die x-Koordinate wechselt ihr Vorzeichen.
Spiegle den ersten Bildpunkt, nicht erneut den Originalpunkt. Jetzt wechselt nur y das Vorzeichen.
Zusammen wechseln beide Vorzeichen. Das ist die Punktspiegelung am Ursprung beziehungsweise eine 180°-Drehung.
Das funktioniert hier, weil die beiden Achsen senkrecht aufeinander stehen und sich im Ursprung schneiden. Die beiden Spiegelungen zusammen ergeben eine 180°-Drehung um ihren Schnittpunkt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ausgangspunkt P(x | y)
Zweimal an derselben y-Achse spiegeln
Als Vergleich betrachten wir zweimal dieselbe Achse.
Der zweite Vorzeichenwechsel macht den ersten rückgängig. Jeder Punkt landet wieder am Ausgangsort.
Zweimal an derselben Achse zu spiegeln führt zurück zum Original. „Zwei Spiegelungen“ bedeutet daher nicht automatisch „Punktspiegelung“.
Eine Spiegelung kannst du auf jede Figur anwenden. Eine Symmetrie liegt vor, wenn die Figur bei der betrachteten Abbildung genau auf sich selbst passt.
Eine Figur kann also beide Symmetriearten, nur eine oder keine besitzen. Die Form allein legt keine beliebige Spiegelachse fest.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Zeichne oder begründe auf Papier. Lies genau, ob ein Punkt, eine Zahl, ein Begriff oder eine Entscheidung gefragt ist.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: P(4 | −1)
Gesucht: Bildpunkt bei Spiegelung an der y-Achse
Nur x wechselt das Vorzeichen.
Die y-Koordinate bleibt negativ.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: P(4 | −1)
Gesucht: Bildpunkt bei Spiegelung am Ursprung
Hier wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen.
Aus der ursprünglichen y-Koordinate −1 wird +1.
Lösung · Schritt für Schritt
Achsenspiegelung an der Geraden g
Gesucht: alle Punkte, die an ihrem Ort bleiben
Der Bildpunkt liegt genau auf demselben Punkt.
Alle Punkte auf der Spiegelachse bleiben fest. Ein Punkt außerhalb wird auf die andere Seite abgebildet.
Lösung · Schritt für Schritt
Alle Mittelpunkte zugeordneter Punktpaare liegen in demselben Punkt Z
Gesucht: passende Abbildung
Z muss jede Verbindungsstrecke halbieren. Bei verschiedenen Punkten liegen Original, Z und Bild auf einer Geraden.
Das passt, wenn diese Beziehung für die ganze Figur gilt. Ein fester Punkt muss mit Z zusammenfallen.
Lösung · Schritt für Schritt
Zuerst Spiegelung an der y-Achse, danach an der x-Achse
Gesucht: die Gesamtabbildung
An der y-Achse wird das Vorzeichen von x geändert.
An der x-Achse wird danach das Vorzeichen von y geändert.
Das ist die Punktspiegelung am Ursprung, also eine 180°-Drehung. Die beiden Achsen stehen senkrecht aufeinander.
Lösung · Schritt für Schritt
Frage: Kann eine Figur achsen- und punktsymmetrisch zugleich sein?
Prüfe ein Rechteck
Das Rechteck wird auf sich selbst abgebildet; seine beiden Mittellinien sind Symmetrieachsen.
Auch diese Abbildung deckt das Rechteck wieder mit sich selbst. Ja, eine Figur kann beide Symmetriearten besitzen.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Verschiebung und Drehung vergleichen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Eine Punktspiegelung ist eine Drehung um 180°. Bei ihr bleibt nur das Zentrum fest; eine Achsenspiegelung lässt alle Punkte ihrer Achse fest.
Seine Mittelsenkrechte ist eine mögliche Achse, sein Mittelpunkt ein mögliches Zentrum. Zum Unterscheiden brauchst du weitere Informationen oder Punktpaare.
Ja. Beide Spiegelungsarten erhalten Form und Größe und damit auch den Flächeninhalt.
An der y-Achse wechselt nur das Vorzeichen der x-Koordinate.