1 · Spiegle P(4 | −1) an der y-Achse.
Lösung und Rechenweg ansehen
P′(−4 | −1). Nur x wechselt das Vorzeichen.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Spiegelungen im Vergleich: verstehen und üben
Achsenspiegelung oder Punktspiegelung? Vergleiche dieselbe Figur in beiden Fällen, erkenne die entscheidenden Merkmale und prüfe dein Wissen mit Lösungen und kostenlosen Arbeitsblättern.
Gerade oder Punkt?
Achsenspiegelung: eine Gerade halbiert senkrecht.
Punktspiegelung: ein Zentrum ist die Mitte.
Gleiche Abstände sind bei beiden wichtig. Ihre Anordnung macht den Unterschied.
Lernschritt 1
Der wichtigste Unterschied
| Merkmal | Achsenspiegelung | Punktspiegelung |
|---|---|---|
| Spiegelung an … | einer Geraden g | einem Punkt Z |
| Lage von P und P′ | PP′ senkrecht zu g; g halbiert PP′ | P, Z, P′ auf einer Geraden; Z halbiert PP′ |
| Feste Punkte | alle Punkte auf g | nur das Zentrum Z |
| Orientierung einer Eckpunktfolge | wird umgekehrt | bleibt erhalten |
| Als Bewegung beschreiben | Umklappen über die Achse | Drehen um 180° um Z |
Bei beiden Spiegelungen bleiben Seitenlängen und Winkel erhalten. Original und Bild sind kongruent. Deshalb kannst du die Spiegelungsart nicht allein an der Größe der Figuren erkennen.
Für einen Punkt außerhalb der Achse beziehungsweise des Zentrums gilt die jeweilige Verbindungsregel. Ein fester Punkt fällt mit seinem Bild zusammen; dort gibt es keine Verbindungsstrecke mit positiver Länge.
Lernschritt 2
Dieselbe Ausgangsfigur – zwei verschiedene Bilder
Vergleiche die folgenden Zeichnungen. Original und Maßstab sind gleich. Links und rechts beziehen sich auf das Koordinatensystem, nicht auf die Lage der Abbildungen auf deinem Bildschirm.
Spiegelung an der y-Achse
Die Höhe jedes Punktes bleibt gleich. Nur die Seite links beziehungsweise rechts der y-Achse wechselt.
Spiegelung am Ursprung
Links/rechts und oben/unten wechseln. Das ganze Dreieck ist um eine halbe Umdrehung versetzt.
Lernschritt 3
Drei Regeln, die du auseinanderhalten solltest
| Abbildung | Regel | Für P(3 | 2) |
|---|---|---|
| An der y-Achse spiegeln | (x | y) → (−x | y) | (−3 | 2) |
| An der x-Achse spiegeln | (x | y) → (x | −y) | (3 | −2) |
| Am Ursprung spiegeln | (x | y) → (−x | −y) | (−3 | −2) |
An einer Koordinatenachse wechselt eine Koordinate ihr Vorzeichen. Bei der Punktspiegelung am Ursprung wechseln beide. Null bleibt beim Vorzeichenwechsel Null.
Die Regeln sind an die genannten Achsen und den Ursprung gebunden. Für eine andere Spiegelachse oder ein anderes Zentrum verwendest du die geometrische Konstruktion.
Lernschritt 4
So erkennst du die Spiegelungsart in einer Zeichnung
- Suche mindestens zwei passende Original- und Bildpunktpaare, zum Beispiel A/A′ und B/B′.
- Zeichne ihre Verbindungsstrecken und markiere die Mittelpunkte.
- Für eine Achsenspiegelung müssen die Mittelsenkrechten dieser Strecken dieselbe Gerade sein.
- Für eine Punktspiegelung müssen die Mittelpunkte derselbe Punkt sein.
- Prüfe die vermutete Achse oder das Zentrum an den übrigen Eckpunkten.
Bei einem festen Punkt überspringst du die Strecke der Länge 0 und überprüfst stattdessen, ob er auf der vermuteten Achse beziehungsweise im Zentrum liegt.
Probier es selbst: Reicht ein einziges Paar verschiedener Punkte P und P′ zur eindeutigen Unterscheidung?
Lösung ansehen
Nein. Die Mittelsenkrechte von PP′ ist eine mögliche Spiegelachse. Der Mittelpunkt von PP′ ist zugleich ein mögliches Zentrum einer Punktspiegelung. Weitere zugeordnete Punkte helfen beim Unterscheiden.
Lernschritt 5
Zwei Achsenspiegelungen können eine Drehung ergeben
Spiegle P(3 | 2) zuerst an der y-Achse: Es entsteht (−3 | 2). Spiegle diesen Bildpunkt anschließend an der x-Achse: Es entsteht (−3 | −2). Das Ergebnis ist die Punktspiegelung am Ursprung.
(3 | 2) → (−3 | 2) → (−3 | −2)
Das funktioniert hier, weil die beiden Achsen senkrecht aufeinander stehen und sich im Ursprung schneiden. Die beiden Spiegelungen zusammen ergeben eine 180°-Drehung um ihren Schnittpunkt.
Zweimal an derselben Achse zu spiegeln führt dagegen zurück zum Original. „Zwei Spiegelungen“ bedeutet daher nicht automatisch „Punktspiegelung“.
Lernschritt 6
Spiegelung ist nicht dasselbe wie Symmetrie
Eine Spiegelung kannst du auf jede Figur anwenden. Eine Symmetrie liegt vor, wenn die Figur bei der betrachteten Abbildung genau auf sich selbst passt.
- Ein Rechteck ist achsensymmetrisch zu seinen beiden Mittellinien und punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt.
- Ein gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck hat eine Symmetrieachse, aber kein Zentrum einer Punktspiegelung auf sich selbst.
- Ein Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist, ist punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch.
Eine Figur kann also beide Symmetriearten, nur eine oder keine besitzen. Die Form allein legt keine beliebige Spiegelachse fest.
Lernschritt 7
Häufige Fehler gezielt vermeiden
- Nur auf gleiche Abstände achten: Prüfe zusätzlich die Senkrechte zur Achse oder die gemeinsame Gerade durch das Zentrum.
- Immer beide Vorzeichen ändern: Das gilt am Ursprung, nicht an einer einzelnen Koordinatenachse.
- Spiegelung und Verschiebung verwechseln: Bei einer Verschiebung haben alle Verbindungspfeile dieselbe Richtung und Länge.
- Symmetrie behaupten, obwohl das Bild daneben liegt: Für Symmetrie muss die Bildfigur das Original als Ganzes genau überdecken.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Spiegle denselben Punkt am Ursprung.
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P′(−4 | 1). Beide Vorzeichen wechseln.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Punkte bleiben bei einer Achsenspiegelung fest?
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Alle Punkte auf der Spiegelachse.
Erklärung wiederholen →4 · Alle Mittelpunkte zugeordneter Punktpaare fallen in Z zusammen. Welche Abbildung passt?
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Eine Punktspiegelung an Z, wenn diese Zuordnung für die ganze Figur gilt. Z halbiert jede Verbindungsstrecke.
Erklärung wiederholen →5 · Was ergeben Spiegelungen zuerst an der y- und danach an der x-Achse?
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Eine Punktspiegelung am Ursprung, also eine 180°-Drehung.
Erklärung wiederholen →6 · Kann eine Figur gleichzeitig achsen- und punktsymmetrisch sein?
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Ja. Zum Beispiel ein Rechteck bezüglich seiner Mittellinien und seines Mittelpunktes.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist eine Punktspiegelung einfach eine Achsenspiegelung?
Nein. Eine Punktspiegelung ist eine Drehung um 180°. Bei ihr bleibt nur das Zentrum fest; eine Achsenspiegelung lässt alle Punkte ihrer Achse fest.
Warum kann ein Punktpaar zu beiden Spiegelungsarten passen?
Seine Mittelsenkrechte ist eine mögliche Achse, sein Mittelpunkt ein mögliches Zentrum. Zum Unterscheiden brauchst du weitere Informationen oder Punktpaare.
Bleibt der Flächeninhalt beim Spiegeln gleich?
Ja. Beide Spiegelungsarten erhalten Form und Größe und damit auch den Flächeninhalt.