Mathe · etwa 30–45 Minuten
Du löst lineare Ungleichungen, prüfst die Richtung des Vergleichszeichens und beschreibst die vollständige Lösung.
Lineare Gleichungen, negative Zahlen und Klammern.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Prüfe eine einfache Umformung, einen negativen Faktor und einen Randwert.
Antworte etwa x < 5 oder x >= -2. Auch ≤ und ≥ sind möglich. Sonderfälle: alle oder keine. Bei Zahlenaufgaben nur die verlangte Zahl; Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Gesucht sind alle passenden Zahlen
x + 4 < 9 → x < 5
Zum Beispiel passen 0, 3 und 4,9. Die Zahl 5 passt nicht, denn 5 + 4 ist gleich 9 und nicht kleiner.
| Zeichen | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| < | kleiner als | x < 5: 5 gehört nicht dazu |
| > | größer als | x > 5: 5 gehört nicht dazu |
| ≤ | kleiner oder gleich | x ≤ 5: 5 gehört dazu |
| ≥ | größer oder gleich | x ≥ 5: 5 gehört dazu |
„Höchstens“ bedeutet ≤, „mindestens“ bedeutet ≥. „Weniger als“ und „mehr als“ schließen die Grenze aus.
In den Rechenaufgaben dieser Seite suchen wir rationale Zahlen, sofern die Aufgabe nichts anderes vorgibt. Dazu gehören ganze Zahlen und Brüche. Bei Anzahlen können dagegen nur ganze Zahlen sinnvoll sein.
Um x freizustellen, addierst oder subtrahierst du auf beiden Seiten denselben Wert. Das Vergleichszeichen bleibt dabei gleich.
Beispiel · Schritt für Schritt
x + 4 < 9
Bei einer Subtraktion bleibt das Vergleichszeichen unverändert.
Alle rationalen Zahlen kleiner als 5 passen. Der Randwert 5 gehört nicht dazu.
Auch beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer positiven Zahl bleibt die Richtung erhalten:
Beispiel · Schritt für Schritt
3x − 2 ≤ 10
Das Zeichen ≤ erlaubt auch Gleichheit.
Die Richtung bleibt beim Addieren gleich.
Das Zeichen bleibt erhalten. Die Grenze 4 ist eingeschlossen, weil 3 · 4 − 2 = 10 gilt.
Lösung · Schritt für Schritt
2x + 1 > 7
Stelle x schrittweise frei.
Führe die Subtraktion auf beiden Seiten aus.
2 ist positiv. Das Zeichen bleibt gleich; 3 selbst ist ausgeschlossen.
Passend weiterüben: Ungleichungen mit dem kostenlosen Arbeitsblatt üben →
Multiplizierst oder dividierst du beide Seiten mit derselben negativen Zahl, musst du das Vergleichszeichen umdrehen.
Beispiel · Schritt für Schritt
−2x < 6
Vor x steht der Faktor −2.
Beim Teilen beider Seiten durch eine negative Zahl kehrt sich die Richtung um: aus < wird >.
Alle rationalen Zahlen größer als −3 passen. Entsprechend tauschen auch ≤ und ≥ beim Teilen durch eine negative Zahl ihre Richtung.
Warum? Aus 2 < 5 wird beim Multiplizieren mit −1 die Aussage −2 > −5. Auf der Zahlengeraden liegt −2 weiter rechts als −5.
Beispiel · Schritt für Schritt
5 − 3x ≥ 11
Zuerst wird der konstante Summand entfernt.
Subtrahieren ändert die Richtung nicht.
Jetzt dreht sich das Zeichen um. Der Randwert −2 gehört zur Lösung.
Lösung · Schritt für Schritt
−4x ≤ 12
Der Faktor vor x ist negativ.
Drehe deshalb ≤ zu ≥ um.
Die Grenze −3 ist eingeschlossen.
Löse zuerst die Klammern korrekt auf. Sammle dann die x-Teile auf einer Seite.
Beispiel · Schritt für Schritt
2(x + 1) < x + 7
Links steht eine Klammer, rechts ebenfalls ein x-Term.
Multipliziere beide Summanden in der Klammer mit 2.
Die x-Terme werden links gesammelt. Das Zeichen bleibt unverändert.
Die Grenze 5 wird nicht eingeschlossen.
Beim Abziehen von x ändert sich das Zeichen nicht. Die Richtungsumkehr betrifft das Multiplizieren oder Dividieren mit negativen Zahlen, nicht jedes sichtbare Minus.
Teile nicht ohne Vorzeichenprüfung durch einen Ausdruck mit x. Sein Wert könnte positiv, negativ oder 0 sein. Bei den linearen Aufgaben hier teilen wir zum Freistellen nur durch bekannte Zahlen ungleich 0.
Lösung · Schritt für Schritt
4x − 3 ≥ 2x + 5
Sammle die x-Terme auf einer Seite.
Die Richtung bleibt gleich.
Entferne den konstanten Summanden links.
Die positive Zahl 2 verändert die Richtung nicht.
Die Lösung x < 5 meint alle erlaubten Zahlen unterhalb von 5, nicht nur die Zahl 4. Auch 4,5 oder 4,99 passen.
| Lösung | Markierung an der Grenze | Richtung auf der Zahlengeraden |
|---|---|---|
| x < 5 | Offener Punkt bei 5 | Nach links |
| x ≤ 5 | Ausgefüllter Punkt bei 5 | Nach links |
| x > 5 | Offener Punkt bei 5 | Nach rechts |
| x ≥ 5 | Ausgefüllter Punkt bei 5 | Nach rechts |
Zeichne beim Skizzieren die Grenze zuerst. Markiere dann die richtige Seite. Der offene Punkt schließt die Grenze aus, der ausgefüllte schließt sie ein. Eine durchgehende Markierung veranschaulicht die Richtung; bei unserer Grundmenge ℚ sind davon nur die rationalen Zahlen gemeint.
Zum Beispiel −2 und 0 als Lösungen. −3 ist kein Lösungswert. Der Randwert −2 gehört dazu.
Wenn die x-Teile beim Umformen wegfallen, prüfst du die übrig bleibende Aussage.
Beispiel · Schritt für Schritt
2x + 1 < 2x + 3
Auf beiden Seiten steht derselbe x-Term.
Die Variable fällt vollständig weg.
1 ist immer kleiner als 3. Deshalb erfüllen alle rationalen Zahlen die Ungleichung.
Beispiel · Schritt für Schritt
2x + 5 < 2x + 3
Ziehe auf beiden Seiten 2x ab.
Diese Aussage ist falsch, unabhängig von x.
Es gibt keine rationale Zahl, die die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Multiplizieren mit 0 ist keine geeignete Umformung zum Lösen: Dabei gehen Informationen verloren. Durch 0 darfst du ohnehin nicht teilen.
Ein Ausflug kostet 5 € Grundpreis und 3 € je Fahrt. Du hast höchstens 20 €. Für die Anzahl n der Fahrten gilt:
Beispiel · Schritt für Schritt
Grundpreis: 5 €
Je Fahrt: 3 €
Budget: höchstens 20 €
5 € Grundpreis plus 3 € je Fahrt dürfen höchstens 20 € kosten. n ist eine nichtnegative ganze Zahl.
Für die einzelnen Fahrten bleiben höchstens 15 € übrig.
Die positive Zahl 3 lässt die Richtung unverändert.
Du kannst höchstens fünf Fahrten bezahlen. Bruchteile einer Fahrt passen nicht zu dieser Aufgabe.
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe x > −3 für −2x < 6
Testwerte: 0, −4 und −3
Für die Lösung x > −3 liefert 0 eine wahre Aussage in der Ausgangsungleichung −2x < 6.
8 < 6 ist falsch. −4 gehört nicht zur Lösung.
6 < 6 ist ebenfalls falsch. Die Grenze −3 ist deshalb ausgeschlossen.
Beim Teilen durch −2 wurde das Zeichen nicht gedreht. Richtig ist x > −3.
Passend weiterüben: Die Umformungsregeln auf der Lernkarte wiederholen →
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Die Grundmenge ist ℚ, sofern die Aufgabe nichts anderes sagt. Bei Anzahlen sind nur passende ganze Zahlen sinnvoll.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
x − 3 < 4
Entferne die −3 auf der linken Seite.
Das Zeichen bleibt gleich. Alle rationalen Zahlen kleiner als 7 sind Lösungen.
Lösung · Schritt für Schritt
2x + 5 ≤ 13
Stelle den x-Term frei.
Wende die Subtraktion auf beide Seiten an.
Der positive Divisor erhält das Zeichen; 4 gehört dazu.
Lösung · Schritt für Schritt
−3x > 12
Der Faktor −3 ist negativ.
Aus > wird <. Die Grenze −4 ist nicht eingeschlossen.
Lösung · Schritt für Schritt
7 − 2x ≥ 1
Entferne zuerst den konstanten Summanden.
Das Minuszeichen im Ergebnis ist kein Anlass, die Richtung zu ändern.
Erst diese Division durch eine negative Zahl kehrt das Vergleichszeichen um.
Lösung · Schritt für Schritt
3(x − 1) < 2x + 4
Multipliziere die linke Klammer vollständig aus.
Der Faktor 3 wirkt auf x und auf −1.
Alle x-Terme stehen nun links.
Die Richtung bleibt bei allen Schritten unverändert.
Lösung · Schritt für Schritt
5x + 2 ≤ 5x + 1
Die x-Terme sind auf beiden Seiten gleich.
Die verbleibende Aussage ist falsch.
Kein x kann die Ungleichung erfüllen.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Formeln umstellen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Nur beim Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten mit einer negativen Zahl. Beim Addieren oder Subtrahieren bleibt die Richtung gleich.
Für rationale Zahlen nein: 4,9 und 4,99 sind ebenfalls Lösungen. Nur wenn ganze Zahlen verlangt sind, ist 4 die größte Lösung.
Gesucht sind alle rationalen Zahlen, für die die linke Seite kleiner als 9 ist.