Mathe · Grundlagen und Wiederholung

Ungleichungen: verstehen und üben

Löse lineare Ungleichungen Schritt für Schritt und beschreibe alle passenden Zahlen. Lerne, wann das Vergleichszeichen wechselt und ob ein Randwert zur Lösung gehört.

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Gesucht sind alle passenden Zahlen

x + 4 < 9 → x < 5

Zum Beispiel passen 0, 3 und 4,9. Die Zahl 5 passt nicht, denn 5 + 4 ist gleich 9 und nicht kleiner.

Lernschritt 1

Die vier Vergleichszeichen verstehen

Zeichen	Bedeutung	Beispiel
<	kleiner als	x < 5: 5 gehört nicht dazu
>	größer als	x > 5: 5 gehört nicht dazu
≤	kleiner oder gleich	x ≤ 5: 5 gehört dazu
≥	größer oder gleich	x ≥ 5: 5 gehört dazu

„Höchstens“ bedeutet ≤, „mindestens“ bedeutet ≥. „Weniger als“ und „mehr als“ schließen die Grenze aus.

Wie im Buch suchen wir in den Rechenaufgaben dieser Seite rationale Zahlen, sofern die Aufgabe nichts anderes vorgibt. Dazu gehören ganze Zahlen und Brüche. Bei Anzahlen können dagegen nur ganze Zahlen sinnvoll sein.

Lernschritt 2

Auf beiden Seiten dieselbe Umformung

Um x freizustellen, addierst oder subtrahierst du auf beiden Seiten denselben Wert. Das Vergleichszeichen bleibt dabei gleich.

Rechnung	Umformung
x + 4 < 9	Auf beiden Seiten 4 abziehen
x < 5	Alle rationalen Zahlen kleiner als 5 sind Lösungen

Auch beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer positiven Zahl bleibt die Richtung erhalten:

3x − 2 ≤ 10 → 3x ≤ 12 → x ≤ 4

Zuerst auf beiden Seiten 2 addieren, dann beide Seiten durch 3 teilen. Da „kleiner oder gleich“ gilt, gehört 4 dazu.

Probier es selbst: Löse 2x + 1 > 7.

Lösung ansehen

Auf beiden Seiten 1 abziehen: 2x > 6. Durch 2 teilen: x > 3.

Passend weiterüben: Ungleichungen mit dem kostenlosen Arbeitsblatt üben →

Lernschritt 3

Bei einer negativen Zahl dreht sich das Zeichen um

Multiplizierst oder dividierst du beide Seiten mit derselben negativen Zahl, musst du das Vergleichszeichen umdrehen.

−2x < 6 → x > −3

Hier wurde durch −2 geteilt. Aus < wird >. Entsprechend tauschen auch ≤ und ≥ ihre Richtung.

Warum? Aus 2 < 5 wird beim Multiplizieren mit −1 die Aussage −2 > −5. Auf der Zahlengeraden liegt −2 weiter rechts als −5.

Beispiel mit zwei Schritten: 5 − 3x ≥ 11. Zuerst 5 abziehen: −3x ≥ 6. Dann durch −3 teilen und das Zeichen drehen: x ≤ −2.

Probier es selbst: Löse −4x ≤ 12.

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Durch −4 teilen und das Zeichen umdrehen: x ≥ −3.

Lernschritt 4

Klammern und x auf beiden Seiten

Löse zuerst die Klammern korrekt auf. Sammle dann die x-Teile auf einer Seite.

Schritt	Rechnung
Klammer ausmultiplizieren	2(x + 1) < x + 7 → 2x + 2 < x + 7
Auf beiden Seiten x abziehen	x + 2 < 7
Auf beiden Seiten 2 abziehen	x < 5

Beim Abziehen von x ändert sich das Zeichen nicht. Die Richtungsumkehr betrifft das Multiplizieren oder Dividieren mit negativen Zahlen, nicht jedes sichtbare Minus.

Teile nicht ohne Vorzeichenprüfung durch einen Ausdruck mit x. Sein Wert könnte positiv, negativ oder 0 sein. Bei den linearen Aufgaben hier teilen wir zum Freistellen nur durch bekannte Zahlen ungleich 0.

Probier es selbst: Löse 4x − 3 ≥ 2x + 5.

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2x − 3 ≥ 5 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4.

Lernschritt 5

Lösungen und Randwerte richtig angeben

Die Lösung x < 5 meint alle erlaubten Zahlen unterhalb von 5, nicht nur die Zahl 4. Auch 4,5 oder 4,99 passen.

Lösung	Markierung an der Grenze	Richtung auf der Zahlengeraden
x < 5	Offener Punkt bei 5	Nach links
x ≤ 5	Ausgefüllter Punkt bei 5	Nach links
x > 5	Offener Punkt bei 5	Nach rechts
x ≥ 5	Ausgefüllter Punkt bei 5	Nach rechts

Zeichne beim Skizzieren die Grenze zuerst. Markiere dann die richtige Seite. Der offene Punkt schließt die Grenze aus, der ausgefüllte schließt sie ein. Eine durchgehende Markierung veranschaulicht die Richtung; bei unserer Grundmenge ℚ sind davon nur die rationalen Zahlen gemeint.

Probier es selbst: Nenne zwei Lösungen und einen Nichtlösungswert für x ≥ −2.

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Zum Beispiel −2 und 0 als Lösungen. −3 ist kein Lösungswert. Der Randwert −2 gehört dazu.

Lernschritt 6

Manchmal passen alle Zahlen oder keine

Wenn die x-Teile beim Umformen wegfallen, prüfst du die übrig bleibende Aussage.

2x + 1 < 2x + 3 → 1 < 3

Das ist immer wahr. Alle rationalen Zahlen sind Lösungen.

2x + 5 < 2x + 3 → 5 < 3

Das ist falsch. Es gibt keine Lösung.

Multiplizieren mit 0 ist keine geeignete Umformung zum Lösen: Dabei gehen Informationen verloren. Durch 0 darfst du ohnehin nicht teilen.

Lernschritt 7

Grenzen im Alltag und eine sinnvolle Probe

Ein Ausflug kostet 5 € Grundpreis und 3 € je Fahrt. Du hast höchstens 20 €. Für die Anzahl n der Fahrten gilt:

5 + 3n ≤ 20 → 3n ≤ 15 → n ≤ 5

Da n eine Anzahl ist, sind hier nur 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sinnvoll. Du kannst höchstens fünf Fahrten bezahlen. Eine Angabe wie n = 4,5 passt nicht zum Kontext.

Prüfe einen passenden und einen unpassenden Wert in der ursprünglichen Ungleichung. Bei −2x < 6 passt x = 0, denn 0 < 6. x = −4 passt nicht, denn 8 < 6 ist falsch. Die Grenze x = −3 ergibt 6 < 6 und ist ausgeschlossen.

Probier es selbst: Fehlerdetektiv: „−2x < 6 ergibt x < −3.“

Lösung ansehen

Beim Teilen durch −2 wurde das Zeichen nicht gedreht. Richtig ist x > −3.

Passend weiterüben: Die Umformungsregeln auf der Lernkarte wiederholen →

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