1 · f(4) = 11 und f ist umkehrbar. Was ist f⁻¹(11)?
Lösung und Rechenweg ansehen
4. Die Umkehrfunktion geht zur ursprünglichen Eingabe zurück.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Umkehrfunktionen: verstehen und üben
Bestimme Umkehrfunktionen, vertausche Definitions- und Wertemenge und erkenne, wann eine Einschränkung nötig ist. Mit Rechenwegen, Spiegelung an y = x und Aufgaben zum Selbstcheck.
Ausgaben wieder zu Eingaben machen
f(3) = 7 → f⁻¹(7) = 3
Die Umkehrfunktion macht eine eindeutige Zuordnung rückgängig. Das Zeichen f⁻¹ bedeutet hier nicht den Kehrwert von f.
Lernschritt 1
Was macht eine Umkehrfunktion?
Eine Funktion ordnet einer Eingabe x eine Ausgabe y zu. Eine Umkehrfunktion geht den Weg zurück: Aus der Ausgabe wird wieder die ursprüngliche Eingabe.
Beispiel f(x) = 2x + 1: Aus 3 wird 7. Rückwärts subtrahierst du zuerst 1 und teilst dann durch 2. Aus 7 wird so wieder 3.
f⁻¹(x) =
Das hochgestellte −1 kennzeichnet die Umkehrfunktion. Der Kehrwert 1 geteilt durch f(x) wäre dagegen ein anderer Funktionsterm. Bei unserem Beispiel lautet er 1 geteilt durch (2x + 1).
Lernschritt 2
Wann ist eine Funktion umkehrbar?
Die Rückrichtung muss eindeutig sein: Verschiedene Eingaben dürfen nicht dieselbe Ausgabe haben. Diese Eigenschaft heißt injektiv. Betrachtet man die tatsächliche Wertemenge als Zielmenge, besitzt eine solche Funktion eine Umkehrfunktion.
Am Graphen kannst du prüfen, ob eine waagerechte Gerade den Graphen höchstens einmal schneidet. Zwei Schnittpunkte mit demselben y-Wert würden beim Rückweg zwei verschiedene Ausgaben liefern.
Strenge Monotonie auf einem Intervall ist eine hilfreiche hinreichende Bedingung: Eine dort streng steigende oder streng fallende Funktion ist auf ihre Wertemenge umkehrbar.
Die Funktion x² auf ganz ℝ ist nicht umkehrbar, denn beispielsweise 2 und −2 ergeben beide 4. Du musst zuerst einen geeigneten Teil des Definitionsbereichs auswählen.
Lernschritt 3
Eine Umkehrfunktion rechnerisch bestimmen
Wir bestimmen die Umkehrfunktion von f(x) = 3x − 6 auf ℝ.
- Schreibe y = 3x − 6.
- Löse nach der ursprünglichen Eingabe x auf: y + 6 = 3x, also x = (y + 6) geteilt durch 3.
- Vertausche die Bezeichnungen x und y, damit die neue Funktion wieder mit Eingabe x geschrieben wird.
f⁻¹(x) =
Kontrolle: f(5) = 9 und f⁻¹(9) = 5. Die beiden Rechnungen passen zusammen.
Du kannst auch zuerst x und y vertauschen und danach nach y auflösen. Wichtig ist, die Rollen konsequent zu tauschen und den Definitionsbereich nicht zu vergessen.
Lernschritt 4
Definitionsmenge und Wertemenge tauschen
Die Eingaben der Umkehrfunktion sind die bisherigen Ausgaben. Deshalb gilt:
D(f⁻¹) = W(f); W(f⁻¹) = D(f)
Für f(x) = x² mit x ≥ 0 ist die Wertemenge ebenfalls [0; ∞). Die Umkehrfunktion lautet √x und hat ebenfalls nur nichtnegative Eingaben und Ausgaben.
Für f(x) = x² + 2 mit x ≥ 0 ist dagegen W(f) = [2; ∞). Die Umkehrfunktion √(x − 2) ist deshalb erst für x ≥ 2 definiert.
Die Formel allein ist keine vollständige Antwort, wenn Einschränkungen für die ursprüngliche oder die neue Funktion gelten.
Lernschritt 5
Warum die Wahl des Parabelasts entscheidend ist
Aus y = x² folgt beim Auflösen formal x = ±√y. Die zwei Vorzeichen zeigen, warum x² auf ganz ℝ keinen eindeutigen Rückweg besitzt.
- Beschränkung auf x ≥ 0: Umkehrfunktion f⁻¹(x) = √x.
- Beschränkung auf x ≤ 0: Umkehrfunktion f⁻¹(x) = −√x.
In beiden Fällen ist die neue Definitionsmenge x ≥ 0. Die Wertemengen unterscheiden sich: Der positive Ast liefert nichtnegative, der negative Ast nichtpositive Werte.
Eine einzelne Umkehrfunktion darf bei einer Eingabe nicht beide Werte ±√x ausgeben. Welche Variante passt, entscheidet der zuvor gewählte Definitionsbereich.
Lernschritt 6
Die Graphen an y = x spiegeln
Die Vertauschung von Eingabe und Ausgabe bedeutet geometrisch, dass die Koordinaten jedes Punkts getauscht werden. Aus (1 | 3) wird (3 | 1).
Für eine unverzerrte Spiegelung in der Zeichnung müssen die Achsen gleich skaliert sein. Unterschiedliche Kästchenwerte können den optischen Eindruck verändern.
Lernschritt 7
Exponentialfunktion und Logarithmus
Ein weiteres wichtiges Paar sind die Exponentialfunktion und der Logarithmus. Für f(x) = 2ˣ auf ℝ gilt W(f) = (0; ∞). Die Umkehrfunktion ist:
f⁻¹(x) = log₂(x), x > 0
Weil 2³ = 8, ist log₂(8) = 3. Der Logarithmus nimmt den positiven Funktionswert entgegen und liefert den zugehörigen Exponenten.
Ebenso gehören eˣ und ln(x) zusammen. Der Logarithmus einer nichtpositiven Zahl ist im reellen Zahlenbereich nicht definiert.
Lernschritt 8
Die Umkehrung durch Einsetzen prüfen
Für passende Werte müssen beide Hintereinanderausführungen die ursprüngliche Eingabe zurückgeben:
f⁻¹(f(x)) = x für x in D(f)
f(f⁻¹(x)) = x für x in W(f)
Bei f(x) = 2x + 1 ergibt das Rückwärtsrechnen ((2x + 1) − 1) geteilt durch 2 = x.
Bei der eingeschränkten Quadratfunktion gilt √(x²) = x nur für x ≥ 0. Auf ganz ℝ wäre √(x²) = |x|. Genau daran erkennst du, dass die Einschränkung unverzichtbar ist.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = 5x + 2 auf ℝ.
Lösung und Rechenweg ansehen
f⁻¹(x) = .
Erklärung wiederholen →3 · Warum ist x² auf ganz ℝ nicht umkehrbar?
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Verschiedene Eingaben wie 2 und −2 haben denselben Funktionswert 4.
Erklärung wiederholen →4 · Welche Umkehrfunktion gehört zu x² auf x ≤ 0?
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−√x mit Definitionsmenge x ≥ 0 und nichtpositiver Wertemenge.
Erklärung wiederholen →5 · Wo landet (2 | 9) bei der Umkehrung?
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Bei (9 | 2), durch Vertauschen der Koordinaten.
Erklärung wiederholen →6 · Was ist die Definitionsmenge von log₂(x)?
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Die positiven reellen Zahlen: x > 0.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist f⁻¹(x) dasselbe wie 1 geteilt durch f(x)?
Nein. f⁻¹ bezeichnet hier die Umkehrfunktion. Der Kehrwert ist eine andere Operation.
Muss eine umkehrbare Funktion steigen?
Nein. Eine streng fallende Funktion auf einem Intervall ist ebenfalls auf ihre Wertemenge umkehrbar.
Warum brauche ich bei x² eine Einschränkung?
Ohne sie wäre der Rückweg mehrdeutig. Die Auswahl des positiven oder negativen Asts legt die eindeutige Umkehrung fest.