Umkehrfunktionen

02 · Verstehen

Was macht eine Umkehrfunktion?

Eine Funktion ordnet einer Eingabe x eine Ausgabe y zu. Eine Umkehrfunktion geht den Weg zurück: Aus der Ausgabe wird wieder die ursprüngliche Eingabe.

Beispiel: f(x) = 2x + 1.

f⁻¹(x) = x − 12

Das hochgestellte −1 kennzeichnet die Umkehrfunktion. Der Kehrwert 1 geteilt durch f(x) wäre dagegen ein anderer Funktionsterm. Bei unserem Beispiel lautet er 1 geteilt durch (2x + 1).

Wann ist eine Funktion umkehrbar?

Die Rückrichtung muss eindeutig sein: Verschiedene Eingaben dürfen nicht dieselbe Ausgabe haben. Diese Eigenschaft heißt injektiv. Betrachtet man die tatsächliche Wertemenge als Zielmenge, besitzt eine solche Funktion eine Umkehrfunktion.

Am Graphen kannst du prüfen, ob eine waagerechte Gerade den Graphen höchstens einmal schneidet. Zwei Schnittpunkte mit demselben y-Wert würden beim Rückweg zwei verschiedene Ausgaben liefern.

Strenge Monotonie auf einem Intervall ist eine hilfreiche hinreichende Bedingung: Eine dort streng steigende oder streng fallende Funktion ist auf ihre Wertemenge umkehrbar.

Die Funktion x² auf ganz ℝ ist nicht umkehrbar, denn beispielsweise 2 und −2 ergeben beide 4. Du musst zuerst einen geeigneten Teil des Definitionsbereichs auswählen.

Eine Umkehrfunktion rechnerisch bestimmen

Wir bestimmen die Umkehrfunktion von f(x) = 3x − 6 auf ℝ.

Kontrolle: f(5) = 9 und f⁻¹(9) = 5. Die beiden Rechnungen passen zusammen.

Du kannst auch zuerst x und y vertauschen und danach nach y auflösen. Wichtig ist, die Rollen konsequent zu tauschen und den Definitionsbereich nicht zu vergessen.

Definitionsmenge und Wertemenge tauschen

Die Eingaben der Umkehrfunktion sind die bisherigen Ausgaben. Deshalb gilt:

D(f⁻¹) = W(f); W(f⁻¹) = D(f)

Für f(x) = x² mit x ≥ 0 ist die Wertemenge ebenfalls [0; ∞). Die Umkehrfunktion lautet √x und hat ebenfalls nur nichtnegative Eingaben und Ausgaben.

Beispiel mit verschobener Wertemenge: f(x) = x² + 2 für x ≥ 0.

Die Formel allein ist keine vollständige Antwort, wenn Einschränkungen für die ursprüngliche oder die neue Funktion gelten.

Warum die Wahl des Parabelasts entscheidend ist

Aus y = x² folgt beim Auflösen formal x = ±√y. Die zwei Vorzeichen zeigen, warum x² auf ganz ℝ keinen eindeutigen Rückweg besitzt.

• Beschränkung auf x ≥ 0: Umkehrfunktion f⁻¹(x) = √x.
• Beschränkung auf x ≤ 0: Umkehrfunktion f⁻¹(x) = −√x.

In beiden Fällen ist die neue Definitionsmenge x ≥ 0. Die Wertemengen unterscheiden sich: Der positive Ast liefert nichtnegative, der negative Ast nichtpositive Werte.

Eine einzelne Umkehrfunktion darf bei einer Eingabe nicht beide Werte ±√x ausgeben. Welche Variante passt, entscheidet der zuvor gewählte Definitionsbereich.

Die Graphen an y = x spiegeln

Die Vertauschung von Eingabe und Ausgabe bedeutet geometrisch, dass die Koordinaten jedes Punkts getauscht werden. Aus (1 | 3) wird (3 | 1).

Für eine unverzerrte Spiegelung in der Zeichnung müssen die Achsen gleich skaliert sein. Unterschiedliche Kästchenwerte können den optischen Eindruck verändern.

Exponentialfunktion und Logarithmus

Ein weiteres wichtiges Paar sind die Exponentialfunktion und der Logarithmus. Für f(x) = 2ˣ auf ℝ gilt W(f) = (0; ∞). Die Umkehrfunktion ist:

f⁻¹(x) = log₂(x), x > 0

Weil 2³ = 8, ist log₂(8) = 3. Der Logarithmus nimmt den positiven Funktionswert entgegen und liefert den zugehörigen Exponenten.

Ebenso gehören eˣ und ln(x) zusammen. Der Logarithmus einer nichtpositiven Zahl ist im reellen Zahlenbereich nicht definiert.

Die Umkehrung durch Einsetzen prüfen

Für passende Werte müssen beide Hintereinanderausführungen die ursprüngliche Eingabe zurückgeben:

f⁻¹(f(x)) = x für x in D(f)

f(f⁻¹(x)) = x für x in W(f)

Beispiel: f(x) = 2x + 1 und f⁻¹(x) = x − 12, jeweils auf ℝ.

Bei der eingeschränkten Quadratfunktion gilt √(x²) = x nur für x ≥ 0. Auf ganz ℝ wäre √(x²) = |x|. Genau daran erkennst du, dass die Einschränkung unverzichtbar ist.