Funktionstransformationen: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was wird an einem Funktionsgraphen verändert?

Eine Funktionstransformation verändert einen bekannten Graphen systematisch. Du kannst ihn verschieben, strecken, stauchen oder spiegeln, ohne jeden Funktionswert neu zu berechnen.

Veränderungen außerhalb von f betreffen die y-Koordinaten. Veränderungen im Argument von f betreffen die x-Koordinaten. Die Reihenfolge mehrerer Veränderungen ist wichtig.

Beginne mit wenigen markanten Punkten, etwa einem Scheitelpunkt, einem Achsenschnittpunkt oder einem anderen leicht berechenbaren Punkt. An ihnen kannst du die Transformation kontrollieren.

Lernschritt 2

Nach oben oder unten verschieben

Bei g(x) = f(x) + d werden alle y-Werte um d verändert. Für d > 0 geht der Graph nach oben, für d < 0 nach unten.

f(x) = x² → g(x) = x² + 3

Der Scheitel verschiebt sich von (0 | 0) nach (0 | 3). Aus dem Punkt (2 | 4) wird (2 | 7). Die x-Koordinaten bleiben gleich.

Eine solche Verschiebung verändert die Steigungen nicht. Deshalb besitzen f und f + d dieselbe Ableitung, wo sie existiert.

Lernschritt 3

Nach rechts oder links verschieben

Bei g(x) = f(x − c) wird der Graph um c nach rechts verschoben, wenn c positiv ist. Für c < 0 geht er nach links.

g(x) = (x − 2)²

Der Scheitel liegt bei (2 | 0). Warum nach rechts, obwohl ein Minus im Term steht? Der Ausdruck x − 2 ist erst bei x = 2 gleich 0. Dort wird also der ursprüngliche Funktionswert f(0) erreicht.

Bei (x + 3)² liegt der Scheitel entsprechend bei (−3 | 0). Aus einem ursprünglichen Punkt (u | v) wird bei f(x − c) der Punkt (u + c | v).

Lernschritt 4

In y-Richtung strecken und spiegeln

Bei g(x) = a · f(x) werden die y-Koordinaten mit a multipliziert. Für |a| > 1 wächst der Abstand zur x-Achse, für 0 < |a| < 1 wird er kleiner.

Ein negatives a spiegelt zusätzlich an der x-Achse. Beispielsweise wird aus f(x) = x² durch g(x) = −2x² eine nach unten geöffnete Parabel. Aus (1 | 1) wird (1 | −2).

Bei −f(x) spiegelst du an der x-Achse, bei f(−x) an der y-Achse. Das sind unterschiedliche Vorgänge. Bei der symmetrischen Parabel x² ist die Spiegelung an der y-Achse zwar nicht sichtbar; bei einem unsymmetrischen Graphen im Allgemeinen schon.

Lernschritt 5

Ein Faktor im Argument wirkt mit dem Kehrwert

Bei g(x) = f(bx), mit b ≠ 0, werden die x-Koordinaten durch b geteilt. Der horizontale Streckfaktor ist daher 1 geteilt durch |b|.

• b = 2: Die x-Abstände werden halbiert, der Graph wird horizontal gestaucht.
• b = 0,5: Die x-Abstände verdoppeln sich.
• b < 0: Zusätzlich erfolgt eine Spiegelung an der y-Achse.

Ein Punkt (4 | 7) von f wird bei f(2x) zu (2 | 7). Kontrolliere: Das neue Argument 2 · 2 ist wieder die ursprüngliche Eingabe 4.

Lernschritt 6

Mehrere Veränderungen in der richtigen Reihenfolge

Für g(x) = a · f(b(x − c)) + d mit a ≠ 0 und b ≠ 0 kannst du jeden Punkt (u | v) des ursprünglichen Graphen direkt zuordnen:

(u | v) → (c + ub | av + d)

In x-Richtung teilst du zuerst durch b und addierst dann c. In y-Richtung multiplizierst du zuerst mit a und addierst dann d.

Beispiel g(x) = 2f(x − 1) − 2: Ein Punkt (2 | 4) wird zu (3 | 6). Eine andere Reihenfolge kann ein anderes Ergebnis liefern: Erst 2 nach unten und dann mit 2 multiplizieren ergäbe bei der y-Koordinate 4 statt 6.

Lernschritt 7

Eine Parabel vollständig transformieren

Aus f(x) = x² soll g(x) = 2(x − 1)² − 2 entstehen. Die Schritte sind: um 1 nach rechts verschieben, die y-Werte mit 2 multiplizieren und anschließend um 2 nach unten verschieben.

Kontrollpunkte: (0 | 0) wird zu (1 | −2). (1 | 1) wird zu (2 | 0), und (−1 | 1) wird zu (0 | 0). Der neue Graph hat also Nullstellen bei 0 und 2.

Auch die direkte Rechnung bestätigt das: 2(x − 1)² − 2 = 0 führt zu (x − 1)² = 1 und damit zu x = 0 oder x = 2.

Lernschritt 8

Den inneren Ausdruck erst passend umformen

Bei f(2x − 4) steht die Verschiebung nicht sofort in der Form b(x − c). Klammere zuerst 2 aus:

f(2x − 4) = f(2(x − 2))

Damit ist b = 2 und c = 2. Die x-Koordinaten werden halbiert und danach um 2 nach rechts verschoben. Die Verschiebung beträgt nicht 4.

Beispiel: Der ursprüngliche Punkt mit x-Koordinate 6 landet bei 6 geteilt durch 2 plus 2 = 5. Einsetzen liefert 2 · 5 − 4 = 6. So kannst du die Zuordnung unabhängig vom Aussehen des Graphen prüfen.

Lernschritt 9

Definitionsbereich und Wertemenge mitverändern

Die Ausgangsfunktion f(x) = √x ist nur für x ≥ 0 definiert. Für g(x) = √(2(x − 3)) + 1 muss das neue Argument erlaubt sein:

2(x − 3) ≥ 0 → x ≥ 3

Der neue Graph beginnt bei (3 | 1). Seine Werte sind mindestens 1. Die Definition des neuen Bereichs folgt aus dem Argument und nicht nur aus einer groben Skizze.

Bei einem negativen inneren Faktor kann sich auch die Richtung einer Bereichsgrenze umkehren. Für √(−x) sind beispielsweise x ≤ 0 erlaubt.

Lernschritt 10

Dein Rechenplan

1. Bestimme die bekannte Ausgangsfunktion.
2. Bringe den inneren Ausdruck möglichst in die Form b(x − c).
3. Trenne Änderungen in x- und y-Richtung.
4. Übertrage mehrere markante Punkte mit der Punktzuordnung.
5. Prüfe Definitionsbereich, Wertemenge und besondere Punkte.
6. Kontrolliere mindestens einen Punkt durch direktes Einsetzen.

Die allgemeine Punktzuordnung oben betrachtet echte Streckungen mit a und b ungleich 0. Bei einem Faktor 0 entsteht ein Sonderfall, der direkt am Funktionsterm geprüft werden sollte.

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