1 · f liegt hoch über der x-Achse, ist dort aber waagerecht. Was ist f′?
Lösung und Rechenweg ansehen
0. Die Ableitung beschreibt die Steigung, nicht die Höhe.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Graphisches Ableiten: verstehen und üben
Skizziere die Ableitung aus einem Funktionsgraphen. Lies Steigungen statt Höhen ab, erkenne Vorzeichenwechsel und verbinde Extrempunkte, Wendepunkte und die Graphen von f, f′ und f″.
Aus Steigung wird ein y-Wert
Steigung von f bei x₀ → Höhe von f′ bei x₀
Steigt f, ist f′ positiv. Fällt f, ist f′ negativ. Eine waagerechte Tangente an f liefert f′ = 0.
Lernschritt 1
Was bedeutet graphisches Ableiten?
Beim graphischen Ableiten erhältst du einen Graphen von f und zeichnest daraus einen passenden Graphen von f′. Du brauchst dafür nicht unbedingt einen Funktionsterm.
Der x-Wert bleibt derselbe. Die Höhe des neuen Graphen entspricht jedoch der Tangentensteigung des ursprünglichen Graphen an dieser Stelle. Ein hoher Funktionswert bedeutet nicht automatisch eine große Ableitung.
Ein Beispiel: Eine waagerechte Gerade bei y = 10 hat überall die Ableitung 0. Ihre Höhe 10 spielt für die Steigung keine Rolle.
Lernschritt 2
Zuerst positive, negative und waagerechte Abschnitte finden
Lies den ursprünglichen Graphen von links nach rechts. Wo seine Tangenten nach rechts ansteigen, liegt f′ oberhalb der x-Achse. Wo sie fallen, liegt f′ unterhalb der x-Achse.
An Stellen mit waagerechter Tangente ist f′ gleich 0, sofern die Ableitung existiert. Trage diese Stellen zuerst als Orientierung in die Ableitungsskizze ein.
Auf einem Intervall gilt: f′ > 0 garantiert streng steigendes f, f′ < 0 streng fallendes f. Umgekehrt kann eine streng steigende Funktion an einzelnen Stellen durchaus f′ = 0 haben, etwa x³ im Ursprung.
Lernschritt 3
Steilheit abschätzen und Zahlenwerte ablesen
Je steiler die Tangente steigt, desto größer ist der positive Wert von f′. Je steiler sie fällt, desto stärker negativ ist f′. Eine flache Tangente führt zu einem Wert nahe 0.
Zeichne an einer geeigneten Stelle eine Tangente und nutze ein Steigungsdreieck:
f′(x₀) ≈
Steigt die Tangente bei 2 Einheiten nach rechts um 3 Einheiten, ist die Steigung ungefähr 1,5. Dann trägst du in der Ableitungsskizze bei x₀ einen Punkt mit y-Wert 1,5 ein.
Beachte die Zahlen an den Achsen. Ein Kästchen kann auf der x-Achse eine andere Einheit darstellen als auf der y-Achse. Der optische Winkel allein genügt nicht.
Lernschritt 4
Ein vollständiges Beispiel: f und f′ vergleichen
Am Hochpunkt von f bei x = −1 wechselt f′ von positiv zu negativ. Am Tiefpunkt bei x = 1 wechselt f′ von negativ zu positiv. Bei x = 0 fällt f besonders steil; dort hat f′ seinen Tiefpunkt mit Wert −3.
Die Funktionsterme dienen hier zur Kontrolle. Beim rein graphischen Vorgehen leitest du diese Merkmale aus den Tangentenrichtungen und ihrer Veränderung ab.
Lernschritt 5
Extrempunkte mit Vorzeichenwechseln verbinden
Ein Hochpunkt mit waagerechter Tangente an einer inneren Stelle führt typischerweise zu einer Nullstelle von f′ mit Wechsel von + nach −. Bei einem Tiefpunkt ist es umgekehrt.
Aber eine Nullstelle von f′ allein beweist keinen Extrempunkt von f. Für f(x) = x³ gilt f′(x) = 3x². Die Ableitung ist bei 0 gleich 0, bleibt links und rechts davon jedoch positiv.
Der Graph von x³ steigt durch den Ursprung hindurch. Dort liegt ein stationärer Wendepunkt, kein Hoch- oder Tiefpunkt.
Lernschritt 6
Von der Änderung der Steigung zu f″
Wenn die Tangentensteigungen von f beim Nach-rechts-Gehen zunehmen, steigt f′. Wenn sie abnehmen, fällt f′. Die zweite Ableitung beschreibt diese Änderung:
- f″ > 0: f′ steigt; der Graph von f ist linksgekrümmt beziehungsweise konvex.
- f″ < 0: f′ fällt; der Graph von f ist rechtsgekrümmt beziehungsweise konkav.
Bei einem Krümmungswechsel von f entsteht unter den üblichen glatten Voraussetzungen eine Extremstelle von f′. Im kubischen Beispiel ist x = 0 eine Wendestelle von f und eine Tiefstelle von f′.
Für f(x) = x³ − 3x gilt f″(x) = 6x. Die zweite Ableitung wechselt bei 0 von negativ zu positiv. f′ nimmt also zunächst ab und danach zu.
Lernschritt 7
Knicke, Lücken und Grenzen einer Skizze beachten
An einem Knick kann die Ableitung fehlen. Bei f(x) = |x| ist die Steigung links von 0 gleich −1 und rechts gleich 1. Am Ursprung existiert keine eindeutige Ableitung. Trage dort keinen erfundenen Zwischenwert ein.
Auch bei einer Definitionslücke der Funktion kannst du nicht ohne Weiteres eine Ableitung an dieser Stelle angeben. Verbinde getrennte Abschnitte nicht automatisch über die Lücke hinweg.
Eine aus einer Zeichnung abgelesene Ableitung ist meist eine Näherung. Ohne genaue Skalierung kannst du häufig Vorzeichen und ungefähren Verlauf erkennen, aber keine verlässlichen Zahlenwerte bestimmen.
Lernschritt 8
Was verrät f′ über f – und was nicht?
Aus f′ kannst du steigende und fallende Bereiche sowie mögliche Extremstellen von f ableiten. Die absolute Höhe des Graphen von f ist jedoch nicht festgelegt.
Die Funktionen x², x² + 3 und x² − 5 haben alle dieselbe Ableitung 2x. Eine Verschiebung nach oben oder unten ändert die Steigung nicht.
Wenn du f aus f′ rekonstruieren sollst, brauchst du deshalb für eine eindeutige Höhenlage noch einen Funktionswert oder einen bekannten Punkt.
Lernschritt 9
Dein Ablauf für die Ableitungsskizze
- Prüfe Achsenskalierung, Definitionsbereich und mögliche Knicke.
- Markiere Stellen mit waagerechter Tangente.
- Bestimme die positiven und negativen Bereiche von f′.
- Schätze einige Tangentensteigungen mit Steigungsdreiecken.
- Beobachte, wo die Steigungen zu- oder abnehmen.
- Zeichne einen dazu passenden Verlauf von f′ und kontrolliere jeden Abschnitt am Ausgangsgraphen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · f fällt an einer Stelle mit negativer Tangentensteigung. Wo liegt f′ dort?
Lösung und Rechenweg ansehen
Unterhalb der x-Achse.
Erklärung wiederholen →3 · Eine Tangente steigt um 6 bei 3 Einheiten nach rechts. Welche Steigung hat sie?
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6 geteilt durch 3 = 2.
Erklärung wiederholen →4 · f′ wechselt von + nach −. Was bedeutet das für f?
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An dieser inneren Stelle liegt unter den üblichen Voraussetzungen ein Hochpunkt von f.
Erklärung wiederholen →5 · Hat x³ bei x = 0 einen Tiefpunkt?
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Nein. f′ = 3x² wechselt dort nicht das Vorzeichen; der Graph steigt weiter.
Erklärung wiederholen →6 · Ändert die Verschiebung von f um 7 nach oben den Ableitungsgraphen?
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Nein. Die Tangentensteigungen bleiben unverändert.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Sind die Nullstellen von f auch Nullstellen von f′?
Nicht automatisch. Nullstellen von f sagen etwas über die Höhe aus; Nullstellen von f′ über waagerechte Tangenten.
Kann ich aus f′ die genaue Höhenlage von f bestimmen?
Nein. Vertikal verschobene Funktionen haben dieselbe Ableitung. Ein zusätzlicher Punkt legt die Höhenlage fest.
Warum ist die Ableitung an einem Knick nicht definiert?
Weil die Steigungen von links und rechts nicht zu einer eindeutigen gemeinsamen Tangentensteigung führen.