1 · f″ ist auf einem Intervall positiv. Was bedeutet das?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Steigung f′ nimmt zu. Der Graph ist dort konvex beziehungsweise linksgekrümmt.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Wendepunkte und Krümmung: verstehen und üben
Erkenne, wie sich die Steigung eines Graphen verändert. Bestimme Wendepunkte, prüfe den Krümmungswechsel und berechne die Wendetangente – mit einem vollständigen Beispiel.
Änderung der Steigung
f′ beschreibt die Steigung.
f″ beschreibt, wie sich die Steigung verändert.
Ein Wendepunkt liegt dort, wo der Graph sein Krümmungsverhalten wechselt. Eine waagerechte Tangente ist dafür nicht erforderlich.
Lernschritt 1
Was bedeutet Krümmung?
Ein Graph kann steigen und dabei immer steiler werden – oder steigen und dabei flacher werden. Beide Male ist die Steigung positiv, ihre Entwicklung ist aber verschieden. Genau diesen Unterschied beschreibt die zweite Ableitung.
Für eine zweimal differenzierbare Funktion gilt auf einem Intervall:
- f″ > 0: Die Steigung f′ nimmt zu. Der Graph ist konvex, auch linksgekrümmt genannt.
- f″ < 0: Die Steigung f′ nimmt ab. Der Graph ist konkav, auch rechtsgekrümmt genannt.
„Links“ und „rechts“ beziehen sich auf das Durchlaufen des Graphen in Richtung zunehmender x-Werte. Am zuverlässigsten ist die Beschreibung über die zunehmende oder abnehmende Steigung.
Eine zunehmende Steigung muss nicht positiv sein: Wenn f′ von −5 auf −2 steigt, fällt der Graph weiterhin, aber immer weniger steil. Monotonie und Krümmung sind verschiedene Eigenschaften.
Lernschritt 2
Wann liegt ein Wendepunkt vor?
An einem Wendepunkt wechselt der Graph von konkav zu konvex oder umgekehrt. In den hier betrachteten glatten Funktionen erkennst du das am Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.
Ist die zweite Ableitung in einer Umgebung stetig, muss an einer Wendestelle a gelten:
f″(a) = 0
Diese Gleichung liefert zunächst nur Kandidaten. Zur Bestätigung brauchst du einen Krümmungswechsel. Der vollständige Punkt lautet W(a | f(a)); die y-Koordinate kommt aus der ursprünglichen Funktion.
Lernschritt 3
Ein Wendepunkt Schritt für Schritt
Untersuche f(x) = x³ − 3x. Die Ableitungen lauten:
f′(x) = 3x² − 3
f″(x) = 6x
f‴(x) = 6
Kandidat: 6x = 0 ergibt x = 0. Prüfung: Links von 0 ist 6x negativ, rechts positiv. Damit wechselt die Krümmung von konkav zu konvex.
f(0) = 0 → W(0 | 0)
Der Graph fällt in der Nähe dieses Wendepunkts. Das widerspricht dem Krümmungswechsel nicht: Seine Steigung wird zunächst negativer und danach wieder weniger negativ.
Lernschritt 4
Wann hilft die dritte Ableitung?
Für dreimal stetig differenzierbare Funktionen ist folgende Kombination ein hinreichender Nachweis:
f″(a) = 0 und f‴(a) ≠ 0
Im Beispiel gilt f″(0) = 0 und f‴(0) = 6 ≠ 0. Der Wendepunkt ist damit auch ohne separate Vorzeichentabelle bestätigt.
Falls f‴(a) = 0 ist, ist der Test unentschieden. Daraus folgt nicht, dass kein Wendepunkt existiert. Dann prüfst du den Vorzeichenwechsel von f″ direkt.
Lernschritt 5
Zwei Beispiele gegen voreilige Schlüsse
f(x) = x⁴: f″(x) = 12x² ist bei 0 gleich null, aber links und rechts positiv. Es gibt keinen Krümmungswechsel und keinen Wendepunkt bei 0.
g(x) = x⁵: g″(x) = 20x³ ist links von 0 negativ und rechts positiv. Daher liegt ein Wendepunkt bei (0 | 0), obwohl g‴(0) = 0 gilt.
f″ = 0 ist keine fertige Wendepunktlösung. Und f‴ = 0 ist kein Gegenbeweis. Entscheidend bleibt der Krümmungswechsel.
Lernschritt 6
Wendepunkt und Sattelpunkt unterscheiden
Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt in diesem Schulkontext Sattelpunkt oder Terrassenpunkt. Dafür muss zusätzlich f′(a) = 0 gelten.
f(x) = x³ hat bei (0 | 0) einen Sattelpunkt: f″ wechselt das Vorzeichen und f′(0) = 0. Dagegen ist W(0 | 0) bei x³ − 3x kein Sattelpunkt, denn f′(0) = −3.
Ein Sattelpunkt ist kein Hoch- oder Tiefpunkt. Der Graph kann mit einer waagerechten Tangente durch die Stelle hindurch weitersteigen, wie bei x³.
Lernschritt 7
Die Wendetangente berechnen
Die Tangente im Wendepunkt wird genauso berechnet wie jede andere Tangente. Nutze Wendestelle a, Funktionswert f(a) und Steigung f′(a):
t(x) = f(a) + f′(a) · (x − a)
Für unser Beispiel ist a = 0, f(0) = 0 und f′(0) = −3. Damit:
t(x) = −3x
Die Tangente in der Grafik ist deshalb fallend. Ihre Steigung ist −3 und nicht 0. Der Wert f″(0) = 0 beschreibt die Änderung der Steigung, nicht die Steigung selbst.
Lernschritt 8
Wendepunkte im Sachzusammenhang deuten
Angenommen, f(t) beschreibt eine Wassermenge. Dann beschreibt f′(t) die momentane Änderung der Menge und f″(t), wie sich diese Änderungsrate entwickelt.
Wechselt f″ von positiv zu negativ, hat die Änderungsrate f′ unter den betrachteten glatten Bedingungen ein lokales Maximum. Wechselt f″ von negativ zu positiv, hat f′ ein lokales Minimum. Ob die Menge selbst dabei zu- oder abnimmt, hängt weiterhin vom Vorzeichen von f′ ab.
„Am Wendepunkt wächst die Menge am schnellsten“ passt deshalb nur dann, wenn die Änderungsrate dort tatsächlich ein Maximum ist und als Wachstum gedeutet werden kann. Formuliere die Bedeutung passend zum Modell.
Lernschritt 9
Dein Ablauf für Wendepunktaufgaben
- Prüfe die Definitionsmenge und die Differenzierbarkeit.
- Berechne die erste und zweite Ableitung.
- Löse f″(x) = 0 als Kandidatensuche bei den hier betrachteten glatten Funktionen.
- Bestätige den Vorzeichenwechsel von f″ oder nutze den geeigneten Test mit f‴.
- Berechne die y-Koordinate mit f.
- Prüfe für einen Sattelpunkt zusätzlich f′(a) = 0.
- Berechne bei Bedarf die Wendetangente und deute das Ergebnis.
Bei weniger glatten Funktionen reicht dieser Standardablauf nicht immer aus. Die Aufgaben auf dieser Seite behandeln Polynome, bei denen alle benötigten Ableitungen existieren.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Wendepunkt von f(x) = x³ − 3x?
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f″(x) = 6x wechselt bei 0 von negativ zu positiv. Mit f(0) = 0 folgt W(0 | 0).
Erklärung wiederholen →3 · Ist x = 0 bei f(x) = x⁴ eine Wendestelle?
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Nein. f″(x) = 12x² ist links und rechts positiv; es fehlt der Vorzeichenwechsel.
Erklärung wiederholen →4 · Beweist f‴(a) = 0, dass kein Wendepunkt vorliegt?
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Nein. Der Test ist unentschieden. Prüfe den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.
Erklärung wiederholen →5 · Welche zusätzliche Bedingung hat ein Sattelpunkt?
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Neben dem Krümmungswechsel gilt f′(a) = 0: Die Tangente ist waagerecht.
Erklärung wiederholen →6 · Wendetangente von x³ − 3x im Ursprung?
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t(x) = −3x, denn f(0) = 0 und f′(0) = −3.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Muss ein Wendepunkt auf der x-Achse liegen?
Nein. Seine Höhe ist f(a) und kann jeden passenden Wert haben. Die Nullstelle von f″ ist nur die x-Koordinate des Kandidaten.
Ist jeder Wendepunkt ein Sattelpunkt?
Nein. Nur Wendepunkte mit waagerechter Tangente heißen hier Sattelpunkte.
Kann ein Graph fallen und trotzdem konvex sein?
Ja. Seine negative Steigung kann zunehmen, also weniger negativ werden. Dann fällt der Graph, wird dabei aber flacher.