Wendepunkte und Krümmung

02 · Verstehen

Was bedeutet Krümmung?

Ein Graph kann steigen und dabei immer steiler werden – oder steigen und dabei flacher werden. Beide Male ist die Steigung positiv, ihre Entwicklung ist aber verschieden. Genau diesen Unterschied beschreibt die zweite Ableitung.

Für eine zweimal differenzierbare Funktion gilt auf einem Intervall:

• f″ > 0: Die Steigung f′ nimmt zu. Der Graph ist konvex, auch linksgekrümmt genannt.
• f″ < 0: Die Steigung f′ nimmt ab. Der Graph ist konkav, auch rechtsgekrümmt genannt.

„Links“ und „rechts“ beziehen sich auf das Durchlaufen des Graphen in Richtung zunehmender x-Werte. Am zuverlässigsten ist die Beschreibung über die zunehmende oder abnehmende Steigung.

Wann liegt ein Wendepunkt vor?

An einem Wendepunkt wechselt der Graph von konkav zu konvex oder umgekehrt. In den hier betrachteten glatten Funktionen erkennst du das am Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

Ist die zweite Ableitung in einer Umgebung stetig, muss an einer Wendestelle a gelten:

Diese Gleichung liefert zunächst nur Kandidaten. Zur Bestätigung brauchst du einen Krümmungswechsel. Der vollständige Punkt lautet W(a | f(a)); die y-Koordinate kommt aus der ursprünglichen Funktion.

Ein Wendepunkt Schritt für Schritt

Der Graph fällt in der Nähe dieses Wendepunkts. Das widerspricht dem Krümmungswechsel nicht: Seine Steigung wird zunächst negativer und danach wieder weniger negativ.

Wann hilft die dritte Ableitung?

Für dreimal stetig differenzierbare Funktionen ist folgende Kombination ein hinreichender Nachweis:

Im Beispiel gilt f″(0) = 0 und f‴(0) = 6 ≠ 0. Der Wendepunkt ist damit auch ohne separate Vorzeichentabelle bestätigt.

Falls f‴(a) = 0 ist, ist der Test unentschieden. Daraus folgt nicht, dass kein Wendepunkt existiert. Dann prüfst du den Vorzeichenwechsel von f″ direkt.

Zwei Beispiele gegen voreilige Schlüsse

Wendepunkt und Sattelpunkt unterscheiden

Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt in diesem Schulkontext Sattelpunkt oder Terrassenpunkt. Dafür muss zusätzlich f′(a) = 0 gelten.

Dagegen ist W(0 | 0) bei x³ − 3x kein Sattelpunkt, denn f′(0) = −3.

Ein Sattelpunkt ist kein Hoch- oder Tiefpunkt. Der Graph kann mit einer waagerechten Tangente durch die Stelle hindurch weitersteigen, wie bei x³.

Die Wendetangente berechnen

Die Tangente im Wendepunkt wird genauso berechnet wie jede andere Tangente. Nutze Wendestelle a, Funktionswert f(a) und Steigung f′(a):

Die Tangente in der Grafik ist deshalb fallend. Ihre Steigung ist −3 und nicht 0. Der Wert f″(0) = 0 beschreibt die Änderung der Steigung, nicht die Steigung selbst.

Wendepunkte im Sachzusammenhang deuten

Angenommen, f(t) beschreibt eine Wassermenge. Dann beschreibt f′(t) die momentane Änderung der Menge und f″(t), wie sich diese Änderungsrate entwickelt.

Wechselt f″ von positiv zu negativ, hat die Änderungsrate f′ unter den betrachteten glatten Bedingungen ein lokales Maximum. Wechselt f″ von negativ zu positiv, hat f′ ein lokales Minimum. Ob die Menge selbst dabei zu- oder abnimmt, hängt weiterhin vom Vorzeichen von f′ ab.

„Am Wendepunkt wächst die Menge am schnellsten“ passt deshalb nur dann, wenn die Änderungsrate dort tatsächlich ein Maximum ist und als Wachstum gedeutet werden kann. Formuliere die Bedeutung passend zum Modell.

Dein Ablauf für Wendepunktaufgaben

1. Prüfe die Definitionsmenge und die Differenzierbarkeit.
2. Berechne die erste und zweite Ableitung.
3. Löse f″(x) = 0 als Kandidatensuche bei den hier betrachteten glatten Funktionen.
4. Bestätige den Vorzeichenwechsel von f″ oder nutze den geeigneten Test mit f‴.
5. Berechne die y-Koordinate mit f.
6. Prüfe für einen Sattelpunkt zusätzlich f′(a) = 0.
7. Berechne bei Bedarf die Wendetangente und deute das Ergebnis.

Bei weniger glatten Funktionen reicht dieser Standardablauf nicht immer aus. Die Aufgaben auf dieser Seite behandeln Polynome, bei denen alle benötigten Ableitungen existieren.