1 · Leite 5x³ − 4x + 8 ab.
Lösung und Rechenweg ansehen
15x² − 4. Die Konstante 8 fällt weg.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Ableitungsregeln: verstehen und üben
Leite Funktionen sicher ab: mit Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Lerne zuerst die Struktur zu erkennen und rechne die Regeln an vollständigen Beispielen nach.
Erst erkennen, dann ableiten
f(x) = (3x + 1)²
f′(x) = 2 · (3x + 1) · 3
Außen steht eine quadratische Funktion, innen 3x + 1. Die Kettenregel berücksichtigt beide Ebenen.
Lernschritt 1
Konstanten, Faktoren und Summen
Eine Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate. Rechenregeln ersparen dir, jede Funktion neu über den Grenzwert herzuleiten. Beginne mit den drei einfachen Regeln:
Konstantenregel: Eine konstante Funktion verändert sich nicht. Aus f(x) = 7 wird f′(x) = 0.
Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt erhalten. Aus f(x) = 4 · g(x) wird f′(x) = 4 · g′(x).
Summenregel: Addiere oder subtrahiere die Ableitungen der einzelnen Summanden. Das funktioniert bei Summen, aber nicht einfach genauso bei Produkten oder Quotienten.
(u + v)′ = u′ + v′
Die Regeln gelten an Stellen, an denen die beteiligten Funktionen differenzierbar sind. Eine Definitionslücke wird durch Ableiten nicht automatisch beseitigt.
Lernschritt 2
Die Potenzregel anwenden
(xn)′ = n · xn − 1
Für positive ganze Exponenten: Ziehe den Exponenten als Faktor nach vorn und verringere ihn um 1. Beispiele sind (x⁴)′ = 4x³ und (x)′ = 1.
f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x − 7
f′(x) = 12x³ − 4x + 5
Für allgemeine reelle Potenzen gilt die Regel auf x > 0; bei ganzzahligen Exponenten gelten entsprechend größere Definitionsbereiche. Für negative Exponenten musst du x = 0 ausschließen.
()′ = (x⁻¹)′ = −x⁻² = −
Bei √x ergibt sich für x > 0 die Ableitung . An x = 0 liefert diese Formel keine endliche Ableitung.
Lernschritt 3
Ein Produkt aus zwei Funktionen ableiten
Bei einem Produkt u(x) · v(x) ändern sich beide Faktoren. Deshalb brauchst du zwei Summanden:
(u · v)′ = u′ · v + u · v′
Beispiel: f(x) = x² · eˣ. Setze u = x² und v = eˣ. Dann sind u′ = 2x und v′ = eˣ.
f′(x) = 2x · eˣ + x² · eˣ
= eˣ · (2x + x²)
Nicht beide Faktoren gleichzeitig ableiten und die Ergebnisse nur multiplizieren. u′ · v′ ist im Allgemeinen nicht die Ableitung von u · v.
Lernschritt 4
Verschachtelte Funktionen mit der Kettenregel
Eine Verkettung hat eine innere Funktion v(x) und eine äußere Funktion u. Für f(x) = u(v(x)) lautet die Regel:
f′(x) = u′(v(x)) · v′(x)
Leite außen ab, lasse die innere Funktion zunächst stehen und multipliziere danach mit ihrer Ableitung. Für f(x) = (3x + 1)² ist außen das Quadrieren und innen 3x + 1:
f′(x) = 2 · (3x + 1) · 3 = 18x + 6
Die Probe durch Ausmultiplizieren liefert dasselbe: f(x) = 9x² + 6x + 1. Ein weiteres Beispiel:
(e2x)′ = e2x · 2
Die innere Ableitung ist hier 2. Sie darf nicht verloren gehen.
Lernschritt 5
Einen Quotienten ableiten
Wenn f(x) = u(x) geteilt durch v(x) ist und v(x) ≠ 0 gilt, verwendest du:
f′(x) =
Beispiel: f(x) = , x ≠ 1. Es gilt u′ = 2x und v′ = 1:
f′(x) =
=
Achte auf die Klammer nach dem Minuszeichen. Das Minus betrifft den gesamten zweiten Term im Zähler. Der Nenner wird quadriert, nicht abgeleitet.
Lernschritt 6
Wichtige Grundableitungen nachschlagen
| Funktion | Ableitung | Bedingung |
|---|---|---|
| eˣ | eˣ | Alle reellen x |
| ln(x) | x > 0 | |
| sin(x) | cos(x) | x im Bogenmaß |
| cos(x) | −sin(x) | x im Bogenmaß |
Zusammen mit der Kettenregel erhältst du beispielsweise (sin(3x))′ = 3cos(3x). Für ln(2x + 1) lautet die Ableitung ; der ursprüngliche Logarithmus verlangt x > −0,5.
Bei den trigonometrischen Standardformeln muss x im Bogenmaß angegeben sein. Für Winkel in Grad kommt bei der Ableitung nach der Gradzahl ein Umrechnungsfaktor hinzu.
Lernschritt 7
Mehrere Regeln sinnvoll kombinieren
Bei f(x) = x² · (3x + 1)⁴ ist die äußerste Verknüpfung ein Produkt. Beginne deshalb mit der Produktregel. Für den zweiten Faktor brauchst du zusätzlich die Kettenregel:
f′(x) = 2x · (3x + 1)⁴ + x² · 4(3x + 1)³ · 3
Beide Summanden müssen stehen bleiben. Danach kannst du gemeinsame Faktoren ausklammern:
f′(x) = 2x(3x + 1)³ · (9x + 1)
Beide Darstellungen sind richtig. Ausklammern macht spätere Nullstellenrechnungen oft leichter, ist aber für das reine Ableiten nicht immer nötig.
Lernschritt 8
Fehler erkennen und die Regel auswählen
- Prüfe zuerst die Definitionsmenge.
- Erkenne die äußerste Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
- Schreibe bei komplizierten Ausdrücken u, v und ihre Ableitungen getrennt auf.
- Setze die Teile mit Klammern in die Regel ein.
- Vereinfache erst danach.
- Kontrolliere innere Faktoren, Minuszeichen und konstante Summanden.
Manchmal ist Umformen schneller: x · x² kannst du zunächst zu x³ zusammenfassen. Ebenso ist als x⁻¹ direkt mit der Potenzregel ableitbar. Eine kompliziertere Regel ist nicht automatisch die bessere Wahl.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Leite (2x − 1)³ ab.
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3(2x − 1)² · 2 = 6(2x − 1)². Die innere Ableitung ist 2.
Erklärung wiederholen →3 · Leite x · eˣ ab.
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eˣ + x · eˣ. Das folgt aus der Produktregel mit u′ = 1 und v′ = eˣ.
Erklärung wiederholen →4 · Leite ab.
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− für x ≠ 0. Nutze x⁻¹ und die Potenzregel.
Erklärung wiederholen →5 · Leite sin(4x) ab.
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4cos(4x), wenn die Winkelargumente im Bogenmaß stehen.
Erklärung wiederholen →6 · Welches Vorzeichen steht zwischen den beiden Termen im Zähler der Quotientenregel?
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Ein Minus: u′ · v − u · v′. Die Reihenfolge und Klammern sind wichtig.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ableitungsregeln gemischt üben
Beginne mit dem passenden Arbeitsblatt mit Lösungen und erkenne die jeweils benötigte Regel.
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Kettenregel gezielt festigen
Zusätzliche Aufgaben von Studimup mit Lösungen, wenn verschachtelte Funktionen noch Schwierigkeiten machen.
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Wann brauche ich die Produktregel?
Wenn zwei von x abhängige Funktionen miteinander multipliziert werden. Bei einem konstanten Faktor genügt die Faktorregel.
Kann ich vor dem Ableiten ausmultiplizieren?
Ja, wenn die Umformung auf der ursprünglichen Definitionsmenge gilt. Bei kleinen Polynomen vereinfacht das die Rechnung oft.
Ist eine andere Form meiner Ableitung automatisch falsch?
Nein. Ausgeklammerte und ausmultiplizierte Ausdrücke können dieselbe Funktion beschreiben. Vergleiche sie durch zulässige Umformungen.