Mathe · Klasse 11–13 · etwa 35–50 Minuten
Du erkennst die Struktur einer Funktion und wendest Ableitungsregeln mit passenden Definitionsbedingungen an.
Bedeutung der Ableitung, Terme und Potenzgesetze; für Stufe 2 auch e-Funktion, Logarithmus und Trigonometrie im Bogenmaß.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Gib bei Termaufgaben nur die Ableitung rechts vom Gleichheitszeichen ein. Nutze x, Klammern, * für mal, / für Brüche und ^ für Potenzen. Gleichwertige Termformen werden akzeptiert. Zahlen mit Komma oder Punkt; exakte Werte zum Beispiel 1/6 oder 3*e. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Eine Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate. Rechenregeln ersparen dir, jede Funktion neu über den Grenzwert herzuleiten. Beginne mit den drei einfachen Regeln:
Eine konstante Funktion verändert sich nicht.
f(x) = 7 → f′(x) = 0
Ein konstanter Faktor bleibt erhalten.
f(x) = 4 · g(x)
f′(x) = 4 · g′(x)
Addiere oder subtrahiere die Ableitungen der einzelnen Summanden. Das funktioniert bei Summen, aber nicht einfach genauso bei Produkten oder Quotienten.
(u + v)′ = u′ + v′
Die Regeln gelten an Stellen, an denen die beteiligten Funktionen differenzierbar sind. Eine Definitionslücke wird durch Ableiten nicht automatisch beseitigt.
Ausblick · Erst erkennen, dann ableiten
f(x) = (3x + 1)²
f′(x) = 2 · (3x + 1) · 3
Außen steht eine quadratische Funktion, innen 3x + 1. Die Kettenregel berücksichtigt beide Ebenen.
Dieses Beispiel mit der Kettenregel Schritt für Schritt ansehen →(xn)′ = n · xn − 1
Für positive ganze Exponenten: Ziehe den Exponenten als Faktor nach vorn und verringere ihn um 1. Beispiele sind (x⁴)′ = 4x³ und (x)′ = 1.
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x − 7
Leite jeden Summanden einzeln ab.
Multipliziere die Zahlenfaktoren.
Für allgemeine reelle Potenzen gilt die Regel auf x > 0; bei ganzzahligen Exponenten gelten entsprechend größere Definitionsbereiche. Für negative Exponenten musst du x = 0 ausschließen.
Weiteres Beispiel · Negative Potenz
f(x) =
Schreibe den Bruch als x⁻¹ und nutze die Potenzregel. Es gilt x ≠ 0.
()′ = (x⁻¹)′ = −x⁻² = −
Weiteres Beispiel · Wurzel
g(x) = √x → g′(x) =
Bei √x ergibt sich für x > 0 die Ableitung . An x = 0 liefert diese Formel keine endliche Ableitung.
Bei einem Produkt u(x) · v(x) ändern sich beide Faktoren. Deshalb brauchst du zwei Summanden:
(u · v)′ = u′ · v + u · v′
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = x² · eˣ
Erster Faktor: u = x²Zweiter Faktor: v = eˣ
Die Ableitung von eˣ ist wieder eˣ.
Erster Summand: u′ · v. Zweiter Summand: u · v′.
Beide Summanden enthalten eˣ.
Nicht beide Faktoren gleichzeitig ableiten und die Ergebnisse nur multiplizieren. u′ · v′ ist im Allgemeinen nicht die Ableitung von u · v.
Eine Verkettung hat eine innere Funktion v(x) und eine äußere Funktion u. Für f(x) = u(v(x)) lautet die Regel:
f′(x) = u′(v(x)) · v′(x)
Leite außen ab, lasse die innere Funktion zunächst stehen und multipliziere danach mit ihrer Ableitung.
Beispiel 1 · Schritt für Schritt
f(x) = (3x + 1)²
Innen: 3x + 1Außen: Quadrieren
Leite den Ausdruck innerhalb des Quadrats ab: Aus 3x + 1 wird 3.
Der Hilfsbuchstabe z steht für den ganzen inneren Ausdruck. Die äußere Funktion quadriert ihn: Aus z² wird 2z.
Setze innen wieder ein und multipliziere mit der inneren Ableitung 3.
Fasse 2 · 3 zu 6 zusammen. Beide Darstellungen beschreiben dieselbe Ableitung.
Du kannst das Ergebnis auch ohne Kettenregel prüfen:
f(x) = (3x + 1)² = 9x² + 6x + 1
f′(x) = 18x + 6
Du erhältst dieselbe Ableitung wie in Schritt 4.
Beispiel 2 · e-Funktion
g(x) = e2x
Innen steht 2x, außen die e-Funktion. Die innere Ableitung ist 2.
g′(x) = e2x · 2
Merke: Die innere Ableitung darf nicht verloren gehen. Hier musst du mit 2 multiplizieren.
Wenn f(x) = u(x) geteilt durch v(x) ist und v(x) ≠ 0 gilt, verwendest du:
f′(x) =
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) =
Definitionsbedingung: x ≠ 1
Zähler: u = x² + 1Nenner: v = x − 1
Der ursprüngliche Nenner verlangt x ≠ 1.
Im Zähler steht u′v − uv′. Der Nenner wird quadriert.
Löse die Minusklammer vollständig auf.
Die Definitionsbedingung x ≠ 1 bleibt bestehen.
Achte auf die Klammer nach dem Minuszeichen. Das Minus betrifft den gesamten zweiten Term im Zähler. Der Nenner wird quadriert, nicht abgeleitet.
Zum Nachschlagen · Funktion, Ableitung und Bedingung
| Funktion | Ableitung | Bedingung |
|---|---|---|
| eˣ | eˣ | Alle reellen x |
| ln(x) | x > 0 | |
| sin(x) | cos(x) | x im Bogenmaß |
| cos(x) | −sin(x) | x im Bogenmaß |
Beispiel 1 · Sinus mit innerer Funktion
f(x) = sin(3x)
Außen wird Sinus zu Kosinus. Innen wird 3x zu 3. Multipliziere beide Ableitungen:
f′(x) = cos(3x) · 3
= 3cos(3x)
Beispiel 2 · Logarithmus mit innerer Funktion
g(x) = ln(2x + 1)
Der ursprüngliche Logarithmus verlangt 2x + 1 > 0, also x > −0,5. Die innere Ableitung ist 2.
g′(x) = · 2 =
Bei den trigonometrischen Standardformeln muss x im Bogenmaß angegeben sein. Für Winkel in Grad kommt bei der Ableitung nach der Gradzahl ein Umrechnungsfaktor hinzu.
Die äußerste Verknüpfung entscheidet, mit welcher Regel du beginnst. Für einen einzelnen Faktor kann anschließend eine weitere Regel nötig sein.
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = x² · (3x + 1)⁴
Außen steht ein Produkt: Beginne mit der Produktregel. Für den zweiten Faktor brauchst du zusätzlich die Kettenregel.
Die äußerste Verknüpfung ist eine Multiplikation.
Der Exponent 4 wird zum Faktor; die innere Ableitung ist 3.
Beide Summanden müssen stehen bleiben.
Klammere 2x(3x + 1)³ aus beiden Summanden aus.
In der letzten Klammer gilt 3x + 1 + 6x = 9x + 1.
Beide Darstellungen sind richtig. Ausklammern macht spätere Nullstellenrechnungen oft leichter, ist aber für das reine Ableiten nicht immer nötig.
Manchmal ist Umformen schneller: x · x² kannst du zunächst zu x³ zusammenfassen. Ebenso ist als x⁻¹ direkt mit der Potenzregel ableitbar. Eine kompliziertere Regel ist nicht automatisch die bessere Wahl.
Produkt zuerst zusammenfassen
x · x² = x³
(x³)′ = 3x²
Bruch als Potenz schreiben
= x⁻¹
(x⁻¹)′ = −x⁻²
Hier gilt x ≠ 0.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe auf Papier. Achte darauf, ob ein Grenzwert, ein Ableitungswert oder ein vollständiger Term gefragt ist.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Aufgabe 1 · Auf Papier lösen
f(x) = 5x³ − 4x + 8
Leite die Summe gliedweise ab.
Nutze Potenz- und Faktorregel. Die Konstante 8 fällt weg.
Fasse die Zahlenfaktoren zusammen.
Aufgabe 2 · Auf Papier lösen
f(x) = (2x − 1)³
Die Ableitung des inneren Ausdrucks ist 2.
Leite die dritte Potenz außen ab und multipliziere mit v′.
3 · 2 = 6.
Aufgabe 3 · Auf Papier lösen
f(x) = x · eˣ
Beide Faktoren hängen von x ab.
Setze in u′v + uv′ ein.
Der Faktor 1 kann weggelassen werden.
Aufgabe 4 · Auf Papier lösen
f(x) =
1/x ist die negative erste Potenz von x.
Ziehe −1 nach vorn und verringere den Exponenten um 1.
Die Bedingung x ≠ 0 bleibt erhalten.
Aufgabe 5 · Auf Papier lösen
f(x) = sin(4x)
Die Winkelargumente müssen im Bogenmaß stehen.
Außen wird Sinus zu Kosinus. Multipliziere mit der inneren Ableitung 4.
Schreibe den konstanten Faktor nach vorn.
Aufgabe 6 · Auf Papier lösen
f(x) =
Beachte den Definitionsbereich.
Der Nenner darf nicht 0 werden.
Beide linearen Terme haben Ableitung 1.
Setze in (u′v − uv′)/v² ein.
Das Minus vor (x + 1) verändert beide Vorzeichen.
Die Einschränkung x ≠ 1 bleibt bestehen.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Ableitungen für Monotonie und Extrempunkte nutzen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Wenn zwei von x abhängige Funktionen miteinander multipliziert werden. Bei einem konstanten Faktor genügt die Faktorregel.
Ja, wenn die Umformung auf der ursprünglichen Definitionsmenge gilt. Bei kleinen Polynomen vereinfacht das die Rechnung oft.
Nein. Ausgeklammerte und ausmultiplizierte Ausdrücke können dieselbe Funktion beschreiben. Vergleiche sie durch zulässige Umformungen.
Konstante Faktoren bleiben stehen. Die Konstante −7 hat die Ableitung 0.