Vergleiche die Änderung zwischen zwei Stellen mit der Steigung an einem Punkt. Rechenbeispiele, Graphen und kurze Aufgaben helfen dir, Funktionswert und Änderungsrate sicher zu unterscheiden.
Hilfreiches Vorwissen: Funktionswerte, Geradensteigung und die Grundidee eines Grenzwerts.
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Zahlen mit Komma oder Punkt und Brüche mit / eingeben. Tangententerme mit x und Klammern. Falls die Ableitung nicht existiert: existiert nicht. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Wie schnell ändert sich etwas?
f(x) = x² → f′(1) = 2
An der Stelle x = 1 hat die Parabel die Tangentensteigung 2. Die Ableitung beschreibt die momentane Änderung, nicht die Höhe des Graphen.
Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie stark sich der Funktionswert im Durchschnitt pro x-Einheit verändert. Zwischen zwei verschiedenen Stellen a und b berechnest du:
Die Regel
m =
Das ist der Differenzenquotient. Im Zähler steht die Änderung der Funktionswerte, im Nenner die Änderung der x-Werte. Geometrisch ist m die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte des Graphen.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x²
Intervalle: [1; 2] und [1; 3]
Zähler und Nenner verwenden dieselbe Reihenfolge der Stellen.
Die Funktionswerte steigen im Durchschnitt um 3 pro x-Einheit. Das ist die Sekantensteigung.
Auf [1; 3] beträgt die mittlere Änderungsrate 4. Deshalb gehört das betrachtete Intervall immer zur Angabe.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Berechne zuerst die beiden Höhen.
Die Höhenänderung 8 wird durch die Änderung der Stellen 2 geteilt.
Halte zunächst a = 1 fest und bewege h von 1 in Richtung 0. Probiere auch negative Werte von h: Dann liegt Q links von P.
P(1 | 1); Q(2 | 4). Tangentensteigung f′(a) = 2. Sekantensteigung = 3. Unterschied zur Tangentensteigung: 1.
Erst vermuten, dann ausprobieren: Stelle a = 1 ein. Vergleiche h = 0,5, h = 0,1 und h = −0,1. Welcher Steigung nähern sich die Sekanten von beiden Seiten? Was passiert bei a = −1?
Bei a = 1 lauten die Sekantensteigungen 2,5; 2,1 und 1,9. Von beiden Seiten nähern sie sich 2. Bei a = −1 ist der Grenzwert −2. Allgemein gilt für x²: Sekantensteigung = 2a + h und Tangentensteigung = 2a.
Halte P an der Stelle x = 1 fest und bewege Q auf dem Graphen näher an P. Für f(x) = x² nähert sich die Sekantensteigung dabei der 2. Die Grenzlage der Sekanten ist die Tangente in P.
| Zweite Stelle b | 1,5 | 1,1 | 1,01 |
|---|---|---|---|
| Sekantensteigung zwischen 1 und b | 2,5 | 2,1 | 2,01 |
Die Tangente ist also nicht einfach eine beliebige Gerade, die den Graphen berührt. Sie beschreibt seine lokale Richtung. Eine Tangente kann den Graphen an anderen Stellen schneiden oder sogar am Berührpunkt durch ihn hindurchlaufen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der zweite Punkt liegt rechts beziehungsweise links vom ersten.
h wird im Differenzenquotienten nicht einfach gleich 0 gesetzt.
Schreibe die zweite Stelle als a + h. h ist der Abstand zur festen Stelle a. Solange h ≠ 0 ist, erhältst du eine mittlere Änderungsrate. Lässt du h gegen 0 gehen, ergibt sich – falls der endliche Grenzwert existiert – die Ableitung:
Die Regel
f′(a) = limh → 0
Das heißt Differentialquotient. f′(a), gelesen „f Strich von a“, ist eine Zahl: die momentane Änderungsrate an a. f′(x) bezeichnet dagegen die Ableitungsfunktion, die jeder geeigneten Stelle ihre Steigung zuordnet.
Du darfst h im ursprünglichen Bruch nicht einfach gleich 0 setzen. Der Grenzwert betrachtet h ≠ 0 und untersucht die Annäherung.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x²
Stelle a; h ≠ 0
Setze f(a + h) und f(a) ein. q(h) ist zunächst eine Sekantensteigung.
Der mittlere Term 2ah darf beim Quadrieren nicht fehlen.
Im Zähler fallen +a² und −a² weg.
Klammere h aus. Weil h ≠ 0 gilt, ist das Kürzen erlaubt.
Erst am vereinfachten Ausdruck untersuchst du die Annäherung an h = 0. Die Ableitungsfunktion lautet f′(x) = 2x.
Insbesondere ist f′(1) = 2 und f′(−1) = −2. Dieselbe Parabel steigt rechts vom Scheitel und fällt links davon. Am Scheitel gilt f′(0) = 0.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die binomische Formel vollständig ausmultiplizieren.
Erst für h ≠ 0 kürzen, danach den Grenzwert betrachten.
Wenn du f(a) und die Steigung f′(a) kennst, bekommst du die Tangente an der Stelle a mit:
Die Regel
t(x) = f(a) + f′(a) · (x − a)
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x²; a = 1
Der Berührpunkt ist (1 | 1), die Tangentensteigung beträgt 2.
Verwende t(x) = f(a) + f′(a)(x − a) mit a = 1.
Fasse die konstanten Terme zusammen.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x²; t(x) = 2x − 1
x = 1,01
Nahe der Berührstelle 1 lässt sich der Funktionswert durch den Tangentenwert schätzen.
Die Parabel und die Tangente haben an der benachbarten Stelle nicht genau denselben Wert.
Hier ist die Näherung sehr nah am tatsächlichen Wert. Weiter von der Berührstelle entfernt kann die Abweichung groß werden.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Höhe und Steigung stammen aus unterschiedlichen Funktionen.
Die Punktprobe t(2) = 4 stimmt.
Beispiel – Schritt für Schritt
s(t) = t²
Zeit: 1 s bis 3 s
Ein Bewegungsmodell beschreibt die zurückgelegte Strecke mit s(t) = t², wobei t in Sekunden und s in Metern angegeben wird. Zwischen t = 1 und t = 3 beträgt die mittlere Geschwindigkeit:
Im Modell s(t) = t² ist t der Zahlenwert in Sekunden und s der Zahlenwert in Metern.
Die mittlere Geschwindigkeit bezieht sich auf das gesamte Intervall von 1 bis 3 Sekunden.
Die Einheit lautet Meter pro Sekunde.
Die Ableitung am Zeitpunkt 1 s liefert 2 m/s. Sie beschreibt eine einzelne Stelle. Allgemein ist die Einheit einer Ableitung die Einheit der abhängigen Größe geteilt durch die Einheit der unabhängigen Größe.
Wenn V(t) einen Wasserinhalt in Litern beschreibt, bedeutet V′(t) = −3 Liter pro Minute: Der Inhalt nimmt in diesem Moment mit 3 Litern pro Minute ab. Ein negativer Ableitungswert bedeutet nicht, dass der Wasserinhalt negativ ist.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Einheit der Rate ist L/min.
Das Minus beschreibt die Änderung, nicht die vorhandene Wassermenge.
Das Vorzeichen der Ableitung beschreibt die lokale Änderungsrichtung. Ist f′ auf einem ganzen Intervall positiv, steigt f dort streng; ist f′ dort negativ, fällt f dort streng.
f′(a) = 0 bedeutet zunächst nur eine waagerechte Tangente. Es folgt nicht automatisch ein Hoch- oder Tiefpunkt. f(x) = x³ hat beispielsweise f′(0) = 0 und steigt trotzdem durch die Stelle 0 hindurch.
Unterscheide also immer: f(a) beschreibt den Funktionswert, f′(a) die Änderung. Ein Graph kann oberhalb der x-Achse liegen und gleichzeitig fallen.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = |x|; a = 0
Betrachte die Sekantensteigung zwischen 0 und h.
Für negative h ist der Differenzenquotient stets −1. Der linksseitige Grenzwert ist −1.
Für positive h ist der Quotient stets 1. Der rechtsseitige Grenzwert ist 1.
Es gibt keine gemeinsame endliche Tangentensteigung. Der Graph hat bei 0 einen Knick.
Die Betragsfunktion ist bei 0 trotzdem stetig. Differenzierbarkeit an einer inneren Stelle bedeutet immer auch Stetigkeit dort; umgekehrt reicht Stetigkeit nicht aus. Knicke, Sprünge oder unbeschränkte Steigungen können eine endliche Ableitung verhindern.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Eine zweiseitige Ableitung braucht denselben endlichen Grenzwert.
Ein zusammenhängender Graph allein garantiert keine Ableitung.
Die Herleitung mit dem Grenzwert erklärt die Bedeutung der Ableitung. Später ermöglichen Ableitungsregeln dieselbe Rechnung schneller.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Wähle eine Funktionsform und zwei Stellen oder einen Punkt. Der Helfer zeigt Funktionswerte, Differenzenquotient oder Ableitung sowie den passenden Graphen. Eine Wertetabelle macht die Annäherung von der Sekante zur Tangente sichtbar.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = x²
Intervall: [2; 4]
Quadriere die beiden Intervallgrenzen.
Verwende im Zähler und Nenner dieselbe Reihenfolge.
Auf [2; 4] beträgt die mittlere Änderungsrate 6.
Die Sekante verbindet zwei verschiedene Graphenpunkte. Die Tangente beschreibt die lokale Richtung an einer Stelle und entsteht bei Differenzierbarkeit als Grenzlage der Sekanten.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = x²; a = 3
Für die momentane Änderungsrate wird zuerst abgeleitet.
Der Ableitungswert ist 6. Der Funktionswert f(3) wäre dagegen 9.
Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = x²; a = 2
Beide Werte sind in diesem Beispiel zufällig gleich.
Die Tangente geht durch (2 | 4) und hat die Steigung 4.
4 + 4x − 8 ergibt 4x − 4. Zur Probe ist t(2) = 4.
Der Inhalt nimmt in diesem Moment mit 3 Litern pro Minute ab. Der Wert beschreibt die Änderung, nicht die vorhandene Wassermenge.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = |x|; a = 0
Der Quotient bleibt bei Annäherung von links gleich −1.
Von rechts erhältst du den anderen Wert 1.
Die Grenzwerte stimmen nicht überein. Die Betragsfunktion ist bei 0 trotzdem stetig.
Dein nächster Schritt
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Material ansehen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
An einer differenzierbaren Stelle ist sie die Tangentensteigung. Der Differenzenquotient beschreibt dagegen die Sekantensteigung über ein Intervall.
Nein. Es bedeutet eine waagerechte Tangente. Ob ein Extrempunkt vorliegt, muss zusätzlich untersucht werden.
Ja. |x| ist bei 0 stetig, aber wegen der unterschiedlichen einseitigen Steigungen dort nicht differenzierbar.
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Für f(x) = x² betrachten wir zunächst das Intervall [1; 2].