1 · Mittlere Änderungsrate von x² zwischen 2 und 4?
Lösung und Rechenweg ansehen
(16 − 4) geteilt durch (4 − 2) ergibt 6.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Ableitung und Änderungsrate: verstehen und üben
Verstehe, was eine Ableitung misst. Berechne mittlere und momentane Änderungsraten und erkenne den Unterschied zwischen Sekante und Tangente – mit Funktionsgrafik und Beispielen.
Wie schnell ändert sich etwas?
f(x) = x² → f′(1) = 2
An der Stelle x = 1 hat die Parabel die Tangentensteigung 2. Die Ableitung beschreibt die momentane Änderung, nicht die Höhe des Graphen.
Lernschritt 1
Mittlere Änderungsrate: zwei Stellen vergleichen
Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie stark sich der Funktionswert im Durchschnitt pro x-Einheit verändert. Zwischen zwei verschiedenen Stellen a und b berechnest du:
m =
Das ist der Differenzenquotient. Im Zähler steht die Änderung der Funktionswerte, im Nenner die Änderung der x-Werte. Geometrisch ist m die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte des Graphen.
Für f(x) = x² zwischen a = 1 und b = 2 erhältst du:
m = = 3
Die Funktionswerte steigen um 3, während x um 1 steigt. Zwischen 1 und 3 wäre die mittlere Änderungsrate dagegen = 4. Das betrachtete Intervall gehört deshalb immer zur Angabe.
Lernschritt 2
Von der Sekante zur Tangente
Halte P an der Stelle x = 1 fest und bewege Q auf dem Graphen näher an P. Für f(x) = x² nähert sich die Sekantensteigung dabei der 2. Die Grenzlage der Sekanten ist die Tangente in P.
| Zweite Stelle b | 1,5 | 1,1 | 1,01 |
|---|---|---|---|
| Sekantensteigung zwischen 1 und b | 2,5 | 2,1 | 2,01 |
Die Tangente ist also nicht einfach eine beliebige Gerade, die den Graphen berührt. Sie beschreibt seine lokale Richtung. Eine Tangente kann den Graphen an anderen Stellen schneiden oder sogar am Berührpunkt durch ihn hindurchlaufen.
Lernschritt 3
Die Ableitung als Grenzwert definieren
Schreibe die zweite Stelle als a + h. h ist der Abstand zur festen Stelle a. Solange h ≠ 0 ist, erhältst du eine mittlere Änderungsrate. Lässt du h gegen 0 gehen, ergibt sich – falls der endliche Grenzwert existiert – die Ableitung:
f′(a) = limh → 0
Das heißt Differentialquotient. f′(a), gelesen „f Strich von a“, ist eine Zahl: die momentane Änderungsrate an a. f′(x) bezeichnet dagegen die Ableitungsfunktion, die jeder geeigneten Stelle ihre Steigung zuordnet.
Du darfst h im ursprünglichen Bruch nicht einfach gleich 0 setzen. Der Grenzwert betrachtet h ≠ 0 und untersucht die Annäherung.
Lernschritt 4
Beispiel: x² aus der Definition ableiten
Für f(x) = x² entwickeln wir zuerst die Klammer. An einer beliebigen Stelle a gilt:
=
Für h ≠ 0 kannst du h ausklammern und kürzen:
= 2a + h
Wenn h gegen 0 geht, nähert sich dieser Ausdruck 2a. Deshalb:
f′(a) = 2a, also f′(x) = 2x
Insbesondere ist f′(1) = 2 und f′(−1) = −2. Dieselbe Parabel steigt rechts vom Scheitel und fällt links davon. Am Scheitel gilt f′(0) = 0.
Lernschritt 5
Die Tangentengleichung bestimmen
Wenn du f(a) und die Steigung f′(a) kennst, bekommst du die Tangente an der Stelle a mit:
t(x) = f(a) + f′(a) · (x − a)
Für die Parabel x² an a = 1 ist f(1) = 1 und f′(1) = 2. Damit:
t(x) = 1 + 2 · (x − 1) = 2x − 1
Die Gerade geht durch (1 | 1) und hat die Steigung 2. In der Nähe von 1 kann sie Funktionswerte näherungsweise beschreiben: t(1,01) = 1,02, während f(1,01) = 1,0201. Diese lineare Näherung ist lokal; weiter entfernt kann der Unterschied groß werden.
Lernschritt 6
Änderungsraten im Sachzusammenhang deuten
Ein Bewegungsmodell beschreibt die zurückgelegte Strecke mit s(t) = t², wobei t in Sekunden und s in Metern angegeben wird. Zwischen t = 1 und t = 3 beträgt die mittlere Geschwindigkeit:
= 4 m · s⁻¹
Die momentane Geschwindigkeit bei t = 1 ist dagegen s′(1) = 2 m · s⁻¹. Die Einheit einer Ableitung ist immer die Einheit der abhängigen Größe geteilt durch die Einheit der unabhängigen Größe.
Wenn V(t) einen Wasserinhalt in Litern beschreibt, bedeutet V′(t) = −3 Liter pro Minute: Der Inhalt nimmt in diesem Moment mit 3 Litern pro Minute ab. Ein negativer Ableitungswert bedeutet nicht, dass der Wasserinhalt negativ ist.
Lernschritt 7
Vorzeichen und waagerechte Tangenten verstehen
Das Vorzeichen der Ableitung beschreibt die lokale Änderungsrichtung. Ist f′ auf einem ganzen Intervall positiv, steigt f dort streng; ist f′ dort negativ, fällt f dort streng.
f′(a) = 0 bedeutet zunächst nur eine waagerechte Tangente. Es folgt nicht automatisch ein Hoch- oder Tiefpunkt. f(x) = x³ hat beispielsweise f′(0) = 0 und steigt trotzdem durch die Stelle 0 hindurch.
Unterscheide also immer: f(a) beschreibt den Funktionswert, f′(a) die Änderung. Ein Graph kann oberhalb der x-Achse liegen und gleichzeitig fallen.
Lernschritt 8
Wann gibt es keine Ableitung?
Bei f(x) = |x| hat der Graph an 0 einen Knick. Die Steigung von links ist −1, von rechts +1. Weil die beiden Grenzwerte nicht übereinstimmen, existiert f′(0) nicht.
Links: = −1 für h < 0
Rechts: = 1 für h > 0
Die Betragsfunktion ist bei 0 trotzdem stetig. Differenzierbarkeit an einer inneren Stelle bedeutet immer auch Stetigkeit dort; umgekehrt reicht Stetigkeit nicht aus. Knicke, Sprünge oder unbeschränkte Steigungen können eine endliche Ableitung verhindern.
Lernschritt 9
Dein Rechenplan für Änderungsraten
- Prüfe, ob ein Intervall oder eine einzelne Stelle gefragt ist.
- Für ein Intervall: Differenzenquotient mit zwei Stellen berechnen.
- Für eine Stelle: Ableitung bestimmen und die Stelle einsetzen.
- Falls verlangt: Tangente mit Punkt und Steigung aufstellen.
- Einheit und Vorzeichen im Sachzusammenhang erklären.
- Funktionswert und Änderungsrate sprachlich auseinanderhalten.
Die Herleitung mit dem Grenzwert erklärt die Bedeutung der Ableitung. Später ermöglichen Ableitungsregeln dieselbe Rechnung schneller.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Was ist der Unterschied zwischen Sekante und Tangente?
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Die Sekante verbindet zwei verschiedene Graphenpunkte. Die Tangente beschreibt die lokale Richtung an einer Stelle und entsteht bei Differenzierbarkeit als Grenzlage der Sekanten.
Erklärung wiederholen →3 · f(x) = x²: Wie groß ist f′(3)?
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f′(x) = 2x, also f′(3) = 6.
Erklärung wiederholen →4 · Welche Tangente hat x² bei a = 2?
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f(2) = 4 und f′(2) = 4. Daher t(x) = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
Erklärung wiederholen →5 · V′(t) = −3 Liter pro Minute: Was bedeutet das?
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Der Inhalt nimmt in diesem Moment mit 3 Litern pro Minute ab. Der Wert beschreibt die Änderung, nicht die vorhandene Wassermenge.
Erklärung wiederholen →6 · Ist |x| bei 0 differenzierbar?
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Nein. Die linksseitige Steigung −1 und die rechtsseitige Steigung +1 stimmen nicht überein. Die Funktion ist dort aber stetig.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Material ansehen →Häufige Fragen
Ist die Ableitung dasselbe wie die Steigung?
An einer differenzierbaren Stelle ist sie die Tangentensteigung. Der Differenzenquotient beschreibt dagegen die Sekantensteigung über ein Intervall.
Bedeutet f′(a) = 0 immer einen Extrempunkt?
Nein. Es bedeutet eine waagerechte Tangente. Ob ein Extrempunkt vorliegt, muss zusätzlich untersucht werden.
Kann eine stetige Funktion einen Knick haben?
Ja. |x| ist bei 0 stetig, aber wegen der unterschiedlichen einseitigen Steigungen dort nicht differenzierbar.