1 · f′ wechselt von Plus zu Minus. Was liegt vor?
Lösung und Rechenweg ansehen
Bei einem stetigen Graphen und den passenden differenzierbaren Nachbarintervallen ein lokaler Hochpunkt.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Extrempunkte und Monotonie: verstehen und üben
Finde Hoch- und Tiefpunkte und untersuche, wo eine Funktion steigt oder fällt. Nutze das Vorzeichen der Ableitung, prüfe Kandidaten und unterscheide lokale von globalen Extrema.
Das Vorzeichen zeigt die Richtung
f′ positiv: steigend
f′ negativ: fallend
Ein Wechsel von Plus zu Minus zeigt einen Hochpunkt, von Minus zu Plus einen Tiefpunkt – unter den passenden Voraussetzungen.
Lernschritt 1
Was bedeutet monoton steigend oder fallend?
Eine Funktion ist auf einem Intervall monoton steigend, wenn größere x-Werte keine kleineren Funktionswerte liefern. Streng monoton steigend bedeutet: Für jedes x₁ < x₂ gilt wirklich f(x₁) < f(x₂). Analog wird monoton fallend definiert.
Für eine differenzierbare Funktion hilft die Ableitung: Ist f′ auf dem ganzen Intervall positiv, ist f dort streng monoton steigend. Ist f′ überall negativ, ist f dort streng monoton fallend. f′ ≥ 0 sichert nicht abnehmendes, f′ ≤ 0 nicht zunehmendes Verhalten.
Ein einzelner Ableitungswert 0 verhindert strenge Monotonie nicht. x³ steigt streng auf ganz ℝ, obwohl f′(0) = 0 gilt. Das Vorzeichen von f selbst sagt dagegen nichts darüber aus, ob die Funktion steigt oder fällt.
Lernschritt 2
Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt
Ein lokaler Hochpunkt liegt vor, wenn der Funktionswert in einer Umgebung nicht übertroffen wird. Bei einem lokalen Tiefpunkt wird er dort nicht unterschritten. „Lokal“ bedeutet: Wir vergleichen zunächst nur nahegelegene Stellen.
Für H(−1 | 2) ist −1 die Extremstelle, 2 der Extremwert und das gesamte Koordinatenpaar der Extrempunkt. Die x-Koordinate allein ist noch kein vollständiger Punkt.
Ist f an einer inneren Extremstelle differenzierbar, muss dort f′(x) = 0 gelten. Diese notwendige Bedingung liefert Kandidaten, aber noch keinen sicheren Nachweis.
Lernschritt 3
Ein vollständiges Beispiel untersuchen
Wir betrachten f(x) = x³ − 3x auf ganz ℝ. Leite ab und setze die erste Ableitung gleich null:
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)
f′(x) = 0 ⇔ x = −1 oder x = 1
Die beiden Stellen teilen die Zahlengerade in drei offene Intervalle. In jedem davon bleibt das Vorzeichen dieser Ableitung gleich. Bestimme es aus der faktorisierten Form oder mit je einem Testwert.
Lernschritt 4
Monotonie mit einer Vorzeichentabelle bestimmen
| Bereich | Testwert | Vorzeichen von f′ | Verhalten von f |
|---|---|---|---|
| x < −1 | −2 | 3 · 4 − 3 = 9 > 0 | Streng steigend |
| −1 < x < 1 | 0 | −3 < 0 | Streng fallend |
| x > 1 | 2 | 9 > 0 | Streng steigend |
Bei −1 wechselt f′ von positiv zu negativ: Der Graph steigt und fällt danach. Dort liegt ein Hochpunkt. Bei 1 wechselt f′ von negativ zu positiv: Dort liegt ein Tiefpunkt.
f(−1) = 2 → H(−1 | 2)
f(1) = −2 → T(1 | −2)
Die Monotonieintervalle können wegen der Stetigkeit hier einschließlich der angrenzenden Extremstellen angegeben werden: steigend auf (−∞; −1] und [1; ∞), fallend auf [−1; 1]. Die Vorzeichentabelle untersucht die offenen Teilintervalle dazwischen.
Lernschritt 5
Mit der zweiten Ableitung prüfen
Wenn f in einer Umgebung zweimal stetig differenzierbar ist und f′(a) = 0 gilt, reicht folgende Prüfung:
- f″(a) > 0: lokaler Tiefpunkt.
- f″(a) < 0: lokaler Hochpunkt.
- f″(a) = 0: Dieser Test entscheidet nicht.
Im Beispiel ist f″(x) = 6x. Daher f″(−1) = −6 < 0 und f″(1) = 6 > 0. Das bestätigt die beiden Punkte aus dem Vorzeichenwechsel.
Die zweite Ableitung ersetzt nicht das Einsetzen in f: Den y-Wert des Punktes berechnest du weiterhin mit der ursprünglichen Funktion.
Lernschritt 6
Warum f′ = 0 allein nicht genügt
Vergleiche zwei Funktionen an der Stelle 0:
f(x) = x³: f′(x) = 3x² ist links und rechts von 0 positiv. Es gibt keinen Vorzeichenwechsel und keinen Extrempunkt. Die Tangente ist trotzdem waagerecht.
g(x) = x⁴: g′(x) = 4x³ wechselt von negativ zu positiv. Daher liegt ein Tiefpunkt bei (0 | 0). g″(0) = 0 verhindert diesen Tiefpunkt nicht; der Test mit der zweiten Ableitung war nur nicht entscheidend.
Auch Stellen ohne Ableitung können Extremstellen sein. |x| hat bei 0 einen Tiefpunkt mit Knick. Prüfe deshalb neben Ableitungsnullstellen auch relevante nicht differenzierbare Stellen und Randpunkte.
Lernschritt 7
Lokale und globale Extrema unterscheiden
Ein globaler Extremwert ist der größte oder kleinste Wert im gesamten betrachteten Definitionsbereich. Die lokalen Punkte unserer Funktion x³ − 3x sind auf ganz ℝ nicht global: Die Funktion wächst nach rechts unbegrenzt und fällt nach links unbegrenzt.
Auf dem abgeschlossenen Intervall [−2; 3] ist die Funktion dagegen stetig und besitzt ein globales Maximum und Minimum. Vergleiche die inneren Kandidaten mit beiden Randwerten:
f(−2) = −2; f(−1) = 2; f(1) = −2; f(3) = 18
Das globale Maximum ist 18 bei x = 3. Das globale Minimum −2 wird an zwei Stellen angenommen: x = −2 und x = 1. Bei Randextrema muss die Ableitung nicht null sein.
Lernschritt 8
Ein einfaches Optimierungsbeispiel
Ein Rechteck hat Umfang 20 cm. Ist eine Seite x cm lang, ist die andere 10 − x cm lang. Für ein nicht entartetes Rechteck gilt 0 < x < 10. Der Flächeninhalt ist:
A(x) = x(10 − x) = 10x − x²
A′(x) = 10 − 2x = 0 ⇔ x = 5
Vor 5 ist A′ positiv, nach 5 negativ. Der Flächeninhalt steigt bis 5 und fällt danach, also ist das Maximum auf dem ganzen zulässigen Bereich erreicht. Beide Seiten sind 5 cm lang; die Fläche beträgt 25 cm².
Ein lokaler Rechenschritt allein genügt bei Sachaufgaben nicht: Begründe, dass das Ergebnis im zulässigen Bereich liegt, und interpretiere es mit Einheit.
Lernschritt 9
Dein Ablauf für Extrem- und Monotonieaufgaben
- Bestimme die Definitionsmenge und gegebenenfalls das vorgegebene Intervall.
- Berechne f′ und bei Bedarf f″.
- Finde die Nullstellen von f′ sowie weitere kritische Stellen.
- Untersuche die Vorzeichen in allen getrennten Intervallen.
- Klassifiziere die Kandidaten mit Vorzeichenwechsel oder zweiter Ableitung.
- Berechne die y-Koordinaten mit f.
- Vergleiche für globale Extrema auch Randwerte und das Verhalten am Rand des Definitionsbereichs.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · f(x) = x³ − 3x: Welche Extremstellen gibt es?
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f′(x) = 3x² − 3. Die Nullstellen sind −1 und 1; die Vorzeichenwechsel bestätigen beide Extremstellen.
Erklärung wiederholen →3 · Wie lauten die vollständigen Extrempunkte des Beispiels?
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H(−1 | 2) und T(1 | −2). Die y-Werte stammen aus f.
Erklärung wiederholen →4 · f′(a) = 0 und f″(a) = 0: kein Extrempunkt?
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Das folgt nicht. Der zweite Ableitungstest ist unentschieden. Prüfe zum Beispiel das Vorzeichen von f′ links und rechts.
Erklärung wiederholen →5 · Ist der Hochpunkt des Beispiels auf ganz ℝ ein globales Maximum?
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Nein. x³ − 3x wächst für x → ∞ unbegrenzt.
Erklärung wiederholen →6 · Welches Rechteck mit Umfang 20 cm hat die größte Fläche?
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Das Quadrat mit Seitenlängen 5 cm und Fläche 25 cm².
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Muss ein Extrempunkt auf der x-Achse liegen?
Nein. Die Bedingung f′(a) = 0 betrifft die Steigung. Der Funktionswert f(a) kann positiv, negativ oder null sein.
Was bedeutet ein negatives f′?
Die Funktion fällt lokal; ist f′ auf einem Intervall überall negativ, fällt sie dort streng. Der Funktionswert selbst muss nicht negativ sein.
Kann eine Funktion mehrere globale Tiefpunkte haben?
Ja. Verschiedene Stellen können denselben kleinsten Funktionswert annehmen, wie im Beispiel auf [−2; 3].