Extrempunkte und Monotonie

02 · Verstehen

Was bedeutet monoton steigend oder fallend?

Eine Funktion ist auf einem Intervall monoton steigend, wenn größere x-Werte keine kleineren Funktionswerte liefern. Streng monoton steigend bedeutet: Für jedes x₁ < x₂ gilt wirklich f(x₁) < f(x₂). Analog wird monoton fallend definiert.

Für eine differenzierbare Funktion hilft die Ableitung: Ist f′ auf dem ganzen Intervall positiv, ist f dort streng monoton steigend. Ist f′ überall negativ, ist f dort streng monoton fallend. f′ ≥ 0 sichert nicht abnehmendes, f′ ≤ 0 nicht zunehmendes Verhalten.

Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt

Ein lokaler Hochpunkt liegt vor, wenn der Funktionswert in einer Umgebung nicht übertroffen wird. Bei einem lokalen Tiefpunkt wird er dort nicht unterschritten. „Lokal“ bedeutet: Wir vergleichen zunächst nur nahegelegene Stellen.

Für H(−1 | 2) ist −1 die Extremstelle, 2 der Extremwert und das gesamte Koordinatenpaar der Extrempunkt. Die x-Koordinate allein ist noch kein vollständiger Punkt.

Ist f an einer inneren Extremstelle differenzierbar, muss dort f′(x) = 0 gelten. Diese notwendige Bedingung liefert Kandidaten, aber noch keinen sicheren Nachweis.

Ein vollständiges Beispiel untersuchen

Die beiden Stellen teilen die Zahlengerade in drei offene Intervalle. In jedem davon bleibt das Vorzeichen dieser Ableitung gleich. Bestimme es aus der faktorisierten Form oder mit je einem Testwert.

Monotonie mit einer Vorzeichentabelle bestimmen

Bei −1 wechselt f′ von positiv zu negativ: Der Graph steigt und fällt danach. Dort liegt ein Hochpunkt. Bei 1 wechselt f′ von negativ zu positiv: Dort liegt ein Tiefpunkt.

Die Monotonieintervalle können wegen der Stetigkeit hier einschließlich der angrenzenden Extremstellen angegeben werden: steigend auf (−∞; −1] und [1; ∞), fallend auf [−1; 1]. Die Vorzeichentabelle untersucht die offenen Teilintervalle dazwischen.

Mit der zweiten Ableitung prüfen

Wenn f in einer Umgebung zweimal stetig differenzierbar ist und f′(a) = 0 gilt, reicht folgende Prüfung:

• f″(a) > 0: lokaler Tiefpunkt.
• f″(a) < 0: lokaler Hochpunkt.
• f″(a) = 0: Dieser Test entscheidet nicht.

Die zweite Ableitung ersetzt nicht das Einsetzen in f: Den y-Wert des Punktes berechnest du weiterhin mit der ursprünglichen Funktion.

Warum f′ = 0 allein nicht genügt

Vergleiche zwei Funktionen an der Stelle 0:

f(x) = x³: f′(x) = 3x² ist links und rechts von 0 positiv. Es gibt keinen Vorzeichenwechsel und keinen Extrempunkt. Die Tangente ist trotzdem waagerecht.

g(x) = x⁴: g′(x) = 4x³ wechselt von negativ zu positiv. Daher liegt ein Tiefpunkt bei (0 | 0). g″(0) = 0 verhindert diesen Tiefpunkt nicht; der Test mit der zweiten Ableitung war nur nicht entscheidend.

Lokale und globale Extrema unterscheiden

Ein globaler Extremwert ist der größte oder kleinste Wert im gesamten betrachteten Definitionsbereich. Die lokalen Punkte unserer Funktion x³ − 3x sind auf ganz ℝ nicht global: Die Funktion wächst nach rechts unbegrenzt und fällt nach links unbegrenzt.

Das globale Maximum ist 18 bei x = 3. Das globale Minimum −2 wird an zwei Stellen angenommen: x = −2 und x = 1. Bei Randextrema muss die Ableitung nicht null sein.

Ein einfaches Optimierungsbeispiel

Ein lokaler Rechenschritt allein genügt bei Sachaufgaben nicht: Begründe, dass das Ergebnis im zulässigen Bereich liegt, und interpretiere es mit Einheit.

Dein Ablauf für Extrem- und Monotonieaufgaben

1. Bestimme die Definitionsmenge und gegebenenfalls das vorgegebene Intervall.
2. Berechne f′ und bei Bedarf f″.
3. Finde die Nullstellen von f′ sowie weitere kritische Stellen.
4. Untersuche die Vorzeichen in allen getrennten Intervallen.
5. Klassifiziere die Kandidaten mit Vorzeichenwechsel oder zweiter Ableitung.
6. Berechne die y-Koordinaten mit f.
7. Vergleiche für globale Extrema auch Randwerte und das Verhalten am Rand des Definitionsbereichs.