Tangenten und Normalen

02 · Verstehen

Tangente und Normale unterscheiden

Eine Tangente beschreibt die Richtung eines Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle. Ist f bei x₀ differenzierbar, ist ihre Steigung f′(x₀). Die Normale ist die Gerade durch denselben Punkt, die senkrecht auf der Tangente steht.

Eine Tangente an einen allgemeinen Funktionsgraphen kann den Graphen an anderer Stelle erneut schneiden. Sogar am betrachteten Punkt kann der Graph die Tangente kreuzen, etwa bei f(x) = x³ im Ursprung. Die Aussage „genau ein gemeinsamer Punkt“ ist daher keine allgemeine Tangentendefinition.

Bei Kreistangenten ist die Situation spezieller. Hier geht es um Tangenten an Graphen von Funktionen.

Die Tangentengleichung aufstellen

Eine Gerade durch P(x₀ | y₀) mit Steigung m hat die Punkt-Steigungs-Form y = m(x − x₀) + y₀. Für die Tangente setzt du y₀ = f(x₀) und m = f′(x₀) ein:

t(x) = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀)

Berechne zunächst den Funktionswert und danach die Ableitung an derselben Stelle. Der Funktionswert ist eine Höhe im Koordinatensystem; die Ableitung ist eine Steigung. Das sind verschiedene Informationen.

Wenn du die Form y = mx + b möchtest, kannst du anschließend ausmultiplizieren. Der Achsenabschnitt b ist nicht automatisch f(x₀).

Tangente an f(x) = x² bei x₀ = 1

Probe: t(1) = 1 stimmt mit f(1) überein. Die Tangente hat die Steigung 2 und schneidet die y-Achse bei −1.

Die Normale durch denselben Punkt berechnen

Für zwei Geraden mit endlichen Steigungen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist das Produkt ihrer Steigungen −1, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Bei Tangentensteigung m ≠ 0 ist deshalb die Normalensteigung:

mₙ = −1m

Im Beispiel gilt m = 2. Die Normale geht ebenfalls durch P(1 | 1):

Kontrolle: 2 · (−0,5) = −1 und n(1) = 1. Nur das negative Vorzeichen zu wechseln wäre nicht genug: Aus 2 wird −0,5, nicht −2.

Sonderfall: waagerechte Tangente

Wenn f′(x₀) = 0, ist die Tangente waagerecht. Die Normale steht dann senkrecht und hat die Gleichung:

x = x₀

Eine solche Gerade lässt sich nicht als y = mx + b darstellen. Du darfst die Formel −1 geteilt durch m für m = 0 nicht anwenden.

Beispiel: f(x) = x² bei x₀ = 0.

Tangenten mit einer vorgegebenen Steigung finden

Gesucht ist die Tangente an f(x) = x² mit Steigung 6. Die Berührstelle ist noch unbekannt. Setze die Ableitung gleich der gewünschten Steigung:

Bei anderen Funktionen kann die Gleichung f′(x₀) = m mehrere oder keine Lösungen besitzen. Jede erlaubte Stelle liefert einen eigenen Berührpunkt; die Tangentengeraden können in Sonderfällen auch zusammenfallen.

Die Tangente für eine lokale Näherung nutzen

In der Nähe von x₀ kann die Tangente den Funktionswert näherungsweise beschreiben:

f(x₀ + h) ≈ f(x₀) + f′(x₀)h

Beispiel: f(x) = x² bei x₀ = 1 und h = 0,1.

Das ist eine Näherung, keine allgemeine Gleichheit. Wie gut sie ist, hängt von der Funktion und dem Abstand zur Berührstelle ab. Weit vom Berührpunkt kann die Tangente stark vom Graphen abweichen.

Dein Rechenplan

1. Bestimme die Berührstelle x₀ oder löse eine gegebene Steigungsbedingung.
2. Berechne f(x₀) und f′(x₀).
3. Setze Punkt und Steigung in die Tangentenformel ein.
4. Für die Normale: Nutze den negativen Kehrwert oder behandle m = 0 separat.
5. Prüfe, ob beide Geraden durch den richtigen Punkt gehen.
6. Kontrolliere die Steigungen und beachte den Definitionsbereich.

Die Formeln setzen eine endliche Ableitung an der betrachteten Stelle voraus. Bei einer Ecke wie bei |x| im Ursprung gibt es keine eindeutige Tangente dieser Art.