1 · Was liefert f′(x₀) für die Tangente?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ihre Steigung an der Stelle x₀, nicht die y-Koordinate des Berührpunkts.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Tangenten und Normalen: verstehen und üben
Bestimme Tangenten- und Normalengleichungen an Funktionsgraphen. Berechne Punkt und Steigung getrennt, erkenne Sonderfälle und finde Berührstellen bei vorgegebener Steigung.
Punkt und Steigung reichen aus
t(x) = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀)
Die Tangente verläuft durch P(x₀ | f(x₀)) und hat dort dieselbe Steigung wie der Graph.
Lernschritt 1
Tangente und Normale unterscheiden
Eine Tangente beschreibt die Richtung eines Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle. Ist f bei x₀ differenzierbar, ist ihre Steigung f′(x₀). Die Normale ist die Gerade durch denselben Punkt, die senkrecht auf der Tangente steht.
Eine Tangente an einen allgemeinen Funktionsgraphen kann den Graphen an anderer Stelle erneut schneiden. Sogar am betrachteten Punkt kann der Graph die Tangente kreuzen, etwa bei f(x) = x³ im Ursprung. Die Aussage „genau ein gemeinsamer Punkt“ ist daher keine allgemeine Tangentendefinition.
Bei Kreistangenten ist die Situation spezieller. Hier geht es um Tangenten an Graphen von Funktionen.
Lernschritt 2
Die Tangentengleichung aufstellen
Eine Gerade durch P(x₀ | y₀) mit Steigung m hat die Punkt-Steigungs-Form y = m(x − x₀) + y₀. Für die Tangente setzt du y₀ = f(x₀) und m = f′(x₀) ein:
t(x) = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀)
Berechne zunächst den Funktionswert und danach die Ableitung an derselben Stelle. Der Funktionswert ist eine Höhe im Koordinatensystem; die Ableitung ist eine Steigung. Das sind verschiedene Informationen.
Wenn du die Form y = mx + b möchtest, kannst du anschließend ausmultiplizieren. Der Achsenabschnitt b ist nicht automatisch f(x₀).
Lernschritt 3
Tangente an f(x) = x² bei x₀ = 1
Der Punkt auf dem Graphen ist P(1 | 1), denn f(1) = 1. Die Ableitung lautet f′(x) = 2x. Damit ist die Tangentensteigung f′(1) = 2.
t(x) = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1
Probe: t(1) = 1 stimmt mit f(1) überein. Die Tangente hat die Steigung 2 und schneidet die y-Achse bei −1.
Lernschritt 4
Die Normale durch denselben Punkt berechnen
Für zwei Geraden mit endlichen Steigungen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist das Produkt ihrer Steigungen −1, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Bei Tangentensteigung m ≠ 0 ist deshalb die Normalensteigung:
mₙ =
Im Beispiel m = 2 erhältst du mₙ = −0,5. Setze wieder den Punkt P(1 | 1) ein:
n(x) = −0,5(x − 1) + 1 = −0,5x + 1,5
Kontrolle: 2 · (−0,5) = −1 und n(1) = 1. Nur das negative Vorzeichen zu wechseln wäre nicht genug: Aus 2 wird −0,5, nicht −2.
Lernschritt 5
Sonderfall: waagerechte Tangente
Wenn f′(x₀) = 0, ist die Tangente waagerecht. Die Normale steht dann senkrecht und hat die Gleichung:
x = x₀
Eine solche Gerade lässt sich nicht als y = mx + b darstellen. Du darfst die Formel −1 geteilt durch m für m = 0 nicht anwenden.
Beispiel f(x) = x² bei x₀ = 0: Die Tangente lautet y = 0, die Normale x = 0. Die y-Achse ist hier also die Normale.
Lernschritt 6
Tangenten mit einer vorgegebenen Steigung finden
Gesucht ist die Tangente an f(x) = x² mit Steigung 6. Die Berührstelle ist noch unbekannt. Setze die Ableitung gleich der gewünschten Steigung:
f′(x₀) = 6 → 2x₀ = 6 → x₀ = 3
Der zugehörige Punkt ist P(3 | 9). Damit:
t(x) = 6(x − 3) + 9 = 6x − 9
Bei anderen Funktionen kann die Gleichung f′(x₀) = m mehrere oder keine Lösungen besitzen. Jede erlaubte Stelle liefert einen eigenen Berührpunkt; die Tangentengeraden können in Sonderfällen auch zusammenfallen.
Lernschritt 7
Die Tangente für eine lokale Näherung nutzen
In der Nähe von x₀ kann die Tangente den Funktionswert näherungsweise beschreiben:
f(x₀ + h) ≈ f(x₀) + f′(x₀)h
Für f(x) = x² bei x₀ = 1 und h = 0,1 ergibt die Tangente t(1,1) = 1,2. Der genaue Funktionswert ist 1,21.
Das ist eine Näherung, keine allgemeine Gleichheit. Wie gut sie ist, hängt von der Funktion und dem Abstand zur Berührstelle ab. Weit vom Berührpunkt kann die Tangente stark vom Graphen abweichen.
Lernschritt 8
Dein Rechenplan
- Bestimme die Berührstelle x₀ oder löse eine gegebene Steigungsbedingung.
- Berechne f(x₀) und f′(x₀).
- Setze Punkt und Steigung in die Tangentenformel ein.
- Für die Normale: Nutze den negativen Kehrwert oder behandle m = 0 separat.
- Prüfe, ob beide Geraden durch den richtigen Punkt gehen.
- Kontrolliere die Steigungen und beachte den Definitionsbereich.
Die Formeln setzen eine endliche Ableitung an der betrachteten Stelle voraus. Bei einer Ecke wie bei |x| im Ursprung gibt es keine eindeutige Tangente dieser Art.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Bestimme die Tangente an x² bei x₀ = 2.
Lösung und Rechenweg ansehen
P(2 | 4), m = 4. t(x) = 4(x − 2) + 4 = 4x − 4.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Normalensteigung gehört zu m = −2?
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Der negative Kehrwert ist 0,5. Das Produkt −2 · 0,5 ist −1.
Erklärung wiederholen →4 · Wie lautet die Normale an x² im Ursprung?
Lösung und Rechenweg ansehen
x = 0. Die Tangente ist waagerecht.
Erklärung wiederholen →5 · Wo hat x² die Tangentensteigung −4?
Lösung und Rechenweg ansehen
2x₀ = −4 ergibt x₀ = −2. Der Punkt ist (−2 | 4).
Erklärung wiederholen →6 · Darf eine Tangente den Graphen kreuzen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ja. Bei x³ ist die x-Achse die Tangente im Ursprung, und der Graph kreuzt sie dort.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist die Normale immer eine Funktion von x?
Nein. Bei waagerechter Tangente ist sie die senkrechte Gerade x = x₀.
Ist die Tangente immer nur an einem Punkt mit dem Graphen verbunden?
Nein. Eine Tangente an einen Funktionsgraphen kann weitere Schnittpunkte haben und den Graphen sogar am Berührpunkt kreuzen.
Warum ist die Normalensteigung nicht einfach −m?
Für senkrechte Geraden muss das Produkt der endlichen Steigungen −1 sein. Deshalb brauchst du für m ≠ 0 den negativen Kehrwert.