Lineare Funktionen: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was bedeuten m und b?

Der Graph einer linearen Funktion f(x) = mx + b ist eine Gerade. In Schulbüchern wird diese Form häufig „linear“ genannt; für b ≠ 0 ist mathematisch auch die Bezeichnung „affin-linear“ üblich.

m ist die Steigung: Erhöhst du x um 1, verändert sich y um m. Bei m > 0 steigt die Gerade, bei m < 0 fällt sie. Bei m = 0 ist sie waagerecht.

b ist der y-Achsenabschnitt: Setze x = 0 ein. Dann ist f(0) = b, also liegt B(0 | b) auf dem Graphen. Nur bei b = 0 verläuft die Gerade durch den Ursprung; dann ist die Zuordnung proportional.

Beispiel f(x) = −2x + 5: Die Gerade startet an der y-Achse bei 5. Pro Schritt nach rechts fällt sie um 2. Verwechsle eine negative Steigung nicht mit einem negativen Achsenabschnitt.

Lernschritt 2

Mit einem Steigungsdreieck zeichnen

Markiere zuerst B(0 | 1). Die Steigung 0,5 lässt sich als ein Halb schreiben: Ein Schritt nach oben gehört zu zwei Schritten nach rechts. Alternativ gehst du vier nach rechts und zwei nach oben.

Markiere einen zweiten Punkt und zeichne die Gerade durch beide Punkte. Kontrolliere einen weiteren Funktionswert, etwa f(2) = 2. Auch (2 | 2) muss auf der Geraden liegen.

Lernschritt 3

Eine Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

Gegeben sind P(1 | 3) und Q(5 | 11). Berechne zuerst die Änderung der y-Werte und teile durch die Änderung der x-Werte:

m = y₂ − y₁x₂ − x₁ = 11 − 35 − 1 = 2

Verwende bei beiden Differenzen dieselbe Punktreihenfolge. Setze anschließend einen Punkt in y = mx + b ein:

3 = 2 · 1 + b → b = 1

f(x) = 2x + 1

Kontrolle mit dem zweiten Punkt: f(5) = 10 + 1 = 11. Beide Punkte passen.

Haben zwei verschiedene Punkte denselben x-Wert, ergibt sich eine senkrechte Gerade. Sie lässt sich nicht als Funktion y = mx + b schreiben, weil zu diesem x mehrere y-Werte gehören.

Lernschritt 4

Nullstellen und Punktproben berechnen

An einer Nullstelle ist der Funktionswert 0. Setze daher mx + b = 0 und löse nach x auf. Für m ≠ 0 gilt:

x₀ = −bm

Beispiel f(x) = −2x + 6:

0 = −2x + 6 → x = 3

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist N(3 | 0), nicht (0 | 3). Für eine Punktprobe setzt du die x-Koordinate in die Funktion ein und vergleichst das Ergebnis mit der y-Koordinate. P(2 | 2) liegt hier auf dem Graphen, denn −2 · 2 + 6 = 2.

Sonderfall m = 0: Bei b ≠ 0 gibt es keine Nullstelle. Bei f(x) = 0 ist jedes erlaubte x eine Nullstelle.

Lernschritt 5

Den Schnittpunkt zweier Geraden finden

Am Schnittpunkt haben beide Funktionen für denselben x-Wert denselben y-Wert. Setze ihre Terme gleich.

f(x) = 2x + 1; g(x) = −x + 7

2x + 1 = −x + 7 → 3x = 6 → x = 2

Setze x = 2 in eine Funktion ein: f(2) = 5. Die zweite Funktion liefert ebenfalls g(2) = 5. Der Schnittpunkt ist S(2 | 5).

Nur x = 2 anzugeben wäre unvollständig, wenn der Schnittpunkt gefragt ist. Zu einem Punkt gehören beide Koordinaten.

Lernschritt 6

Parallele und senkrechte Geraden unterscheiden

Zwei Geraden mit gleicher Steigung und verschiedenen Achsenabschnitten sind parallel und schneiden sich nicht. Stimmen Steigung und Achsenabschnitt überein, sind es dieselben Geraden mit unendlich vielen gemeinsamen Punkten.

Für zwei Geraden, die sich jeweils in der Form y = mx + b darstellen lassen, gilt im üblichen rechtwinkligen Koordinatensystem: Sie stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ist.

m₁ · m₂ = −1

Beispiel: Die Steigungen 2 und −0,5 gehören zu senkrechten Geraden. Eine waagerechte Gerade hat dagegen eine senkrechte Gerade x = c als Lot; diese lässt sich nicht in der Form y = mx + b darstellen.

Lernschritt 7

Zwei Tarife mit einem linearen Modell vergleichen

Ein Fahrradverleih bietet Tarif A mit 6 € Grundgebühr und 2 € je Stunde an. Tarif B kostet 3 € je Stunde ohne Grundgebühr. Für x Stunden modellieren wir die Kosten in Euro:

A(x) = 2x + 6; B(x) = 3x

Wann sind beide gleich teuer?

2x + 6 = 3x → x = 6

Nach 6 Stunden kosten beide 18 €. Bei weniger als 6 Stunden ist B günstiger, bei mehr als 6 Stunden A. Prüfe etwa x = 2: A kostet 10 €, B nur 6 €.

Das Modell gilt hier für x ≥ 0 und eine zeitanteilige Abrechnung. Wenn jede angefangene Stunde voll bezahlt werden muss, entstehen Stufen statt einer durchgehenden Geraden. Die Bedingungen des Sachtexts entscheiden, ob das lineare Modell passt.

Lernschritt 8

So gehst du bei Aufgaben vor

1. Kläre, was x und y bedeuten und welche Werte erlaubt sind.
2. Lies m und b ab oder bestimme sie aus zwei Punkten.
3. Zeichne mit Achsenabschnitt und Steigungsdreieck.
4. Für Nullstellen: Setze f(x) = 0.
5. Für Schnittpunkte: Setze f(x) = g(x) und bestimme danach y.
6. Prüfe das Ergebnis durch Einsetzen und im Sachzusammenhang.

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Häufige Fragen