Von Steigung und Achsenabschnitt zur eigenen Geraden. Übe mit zwei Punkten, Nullstellen und Schnittpunkten – Schritt für Schritt.
Hilfreiches Vorwissen: Lineare Gleichungen lösen, negative Zahlen und Koordinaten im Koordinatensystem.
Lies zuerst die Steigung ab, bestimme dann die Gerade durch zwei Punkte und berechne zum Schluss eine Nullstelle.
Zahlen: zum Beispiel −2 oder 0,5. Funktionsterme: zum Beispiel 2x + 1 oder f(x) = 2x + 1. Punkte: x; y oder (x | y), zum Beispiel 2; 5. Bei Lagefragen: „parallel“, „identisch“ oder „schneidend“.
Verstehen
Steigung und Startwert erkennen
f(x) = mx + b
m beschreibt die Änderung von y pro x-Schritt. b ist der Funktionswert bei x = 0.
f(x) = 0,5x + 1 → m = 0,5; b = 1
Der Graph einer linearen Funktion f(x) = mx + b ist eine Gerade. In Schulbüchern wird diese Form häufig „linear“ genannt; für b ≠ 0 ist mathematisch auch die Bezeichnung „affin-linear“ üblich.
m ist die Steigung: Erhöhst du x um 1, verändert sich y um m. Bei m > 0 steigt die Gerade, bei m < 0 fällt sie. Bei m = 0 ist sie waagerecht.
b ist der y-Achsenabschnitt: Setze x = 0 ein. Dann ist f(0) = b, also liegt B(0 | b) auf dem Graphen. Nur bei b = 0 verläuft die Gerade durch den Ursprung; dann ist die Zuordnung proportional.
Beispiel f(x) = −2x + 5: Die Gerade startet an der y-Achse bei 5. Pro Schritt nach rechts fällt sie um 2. Verwechsle eine negative Steigung nicht mit einem negativen Achsenabschnitt.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Steigung steht vor x. Der Achsenabschnitt ist die Zahl ohne x.
Setze 2 für x ein. Zuerst multiplizieren, dann addieren.
Zeichnen – Schritt für Schritt
f(x) = 0,5x + 1
Markiere zuerst B(0 | 1). Die Steigung 0,5 lässt sich als ein Halb schreiben: Ein Schritt nach oben gehört zu zwei Schritten nach rechts. Alternativ gehst du vier nach rechts und zwei nach oben.
Markiere einen zweiten Punkt und zeichne die Gerade durch beide Punkte. Kontrolliere einen weiteren Funktionswert, etwa f(2) = 2. Auch (2 | 2) muss auf der Geraden liegen.
Lies die Achsenskalierung ab. Ein Kästchen muss nicht einer Einheit entsprechen. Die Steigung berechnest du aus den Zahlenwerten der Änderungen, nicht allein aus dem optischen Winkel.
Beispiel – Schritt für Schritt
P(1 | 3) und Q(5 | 11)
Gegeben sind P(1 | 3) und Q(5 | 11). Berechne zuerst die Änderung der y-Werte und teile durch die Änderung der x-Werte:
Nutze bei beiden Differenzen dieselbe Punktreihenfolge: Q minus P.
Setze m = 2 und P(1 | 3) in y = mx + b ein.
3 − 2 = 1. Damit ist der y-Achsenabschnitt bekannt.
Setze m = 2 und b = 1 in f(x) = mx + b ein.
Auch der zweite Punkt Q(5 | 11) liegt auf der Geraden.
Haben zwei verschiedene Punkte denselben x-Wert, ergibt sich eine senkrechte Gerade. Sie lässt sich nicht als Funktion y = mx + b schreiben, weil zu diesem x mehrere y-Werte gehören.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Bilde beide Differenzen in derselben Reihenfolge.
Setze A und die Steigung in y = mx + b ein.
Probe mit B: 2 · 3 − 1 = 5.
An einer Nullstelle ist der Funktionswert 0. Setze daher mx + b = 0 und löse nach x auf. Für m ≠ 0 gilt:
Die Regel
x₀ =
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = −2x + 6
Beispiel f(x) = −2x + 6:
An der Nullstelle liegt der Graph auf der x-Achse.
Ziehe auf beiden Seiten 6 ab.
Negativ geteilt durch negativ ergibt positiv.
Die Nullstelle ist x₀ = 3. Probe: −2 · 3 + 6 = 0.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist N(3 | 0), nicht (0 | 3). Für eine Punktprobe setzt du die x-Koordinate in die Funktion ein und vergleichst das Ergebnis mit der y-Koordinate. P(2 | 2) liegt hier auf dem Graphen, denn −2 · 2 + 6 = 2.
Sonderfall m = 0: Bei b ≠ 0 gibt es keine Nullstelle. Bei f(x) = 0 ist jedes erlaubte x eine Nullstelle.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
An der Nullstelle gilt f(x) = 0. Ziehe 9 auf beiden Seiten ab.
Teile durch −3. Probe: −3 · 3 + 9 = 0.
Am Schnittpunkt haben beide Funktionen für denselben x-Wert denselben y-Wert. Setze ihre Terme gleich.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = 2x + 1;
g(x) = −x + 7
Am Schnittpunkt sind die Funktionswerte gleich.
Sammle die x-Terme auf einer Seite.
Ziehe 1 ab.
Das ist die x-Koordinate des Schnittpunkts.
Setze x = 2 in eine der Funktionen ein.
Beide Funktionen liefern y = 5. Gib beide Koordinaten an.
Nur x = 2 anzugeben wäre unvollständig, wenn der Schnittpunkt gefragt ist. Zu einem Punkt gehören beide Koordinaten.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Setze die Funktionsterme gleich und löse nach x auf.
Setze x in eine Funktion ein. Auch g(2) = −4 + 7 = 3.
Zwei Geraden mit gleicher Steigung und verschiedenen Achsenabschnitten sind parallel und schneiden sich nicht. Stimmen Steigung und Achsenabschnitt überein, sind es dieselben Geraden mit unendlich vielen gemeinsamen Punkten.
Für zwei Geraden, die sich jeweils in der Form y = mx + b darstellen lassen, gilt im üblichen rechtwinkligen Koordinatensystem: Sie stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ist.
Die Regel
m₁ · m₂ = −1
Beispiel: Die Steigungen 2 und −0,5 gehören zu senkrechten Geraden. Eine waagerechte Gerade hat dagegen eine senkrechte Gerade x = c als Lot; diese lässt sich nicht in der Form y = mx + b darstellen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Steigungen sind gleich, die Achsenabschnitte unterschiedlich.
Der Widerspruch zeigt rechnerisch, dass es keinen gemeinsamen Punkt gibt.
Beispiel – Schritt für Schritt
A(x) = 2x + 6;
B(x) = 3x
Ein Fahrradverleih bietet Tarif A mit 6 € Grundgebühr und 2 € je Stunde an. Tarif B kostet 3 € je Stunde ohne Grundgebühr. Für x Stunden modellieren wir die Kosten in Euro:
Wann sind beide gleich teuer?
Gesucht ist die Nutzungsdauer, bei der A und B gleich viel kosten.
Die Tarife sind bei x = 6 Stunden gleich teuer.
Beide Tarife kosten dann 18 €.
Nach 6 Stunden kosten beide 18 €. Bei weniger als 6 Stunden ist B günstiger, bei mehr als 6 Stunden A. Prüfe etwa x = 2: A kostet 10 €, B nur 6 €.
Das Modell gilt hier für x ≥ 0 und eine zeitanteilige Abrechnung. Wenn jede angefangene Stunde voll bezahlt werden muss, entstehen Stufen statt einer durchgehenden Geraden. Die Bedingungen des Sachtexts entscheiden, ob das lineare Modell passt.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Berechne Funktionswerte, die Gerade durch zwei Punkte, eine Nullstelle oder den Schnittpunkt zweier Geraden.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
m = −3 und b = 4. Die Gerade fällt pro x-Schritt um 3 und schneidet die y-Achse bei (0 | 4).
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
P(0 | −1) und Q(3 | 5)
Verwende dieselbe Punktreihenfolge im Zähler und Nenner.
Eine negative Zahl abzuziehen ergibt hier 5 + 1.
Der erste Punkt hat x = 0 und liegt damit auf der y-Achse.
Probe: f(0) = −1 und f(3) = 6 − 1 = 5.
Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = 0,5x − 3
So bestimmst du die Nullstelle.
Addiere 3.
3 : 0,5 = 6.
0,5 · 6 − 3 = 0.
Nein. Gleiche Steigung und verschiedene Achsenabschnitte bedeuten parallele Geraden.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = x + 2
g(x) = −2x + 8
Am Schnittpunkt stimmen die Funktionswerte überein.
Sammle die x-Terme.
Subtrahiere 2, teile danach durch 3.
Setze x = 2 in f ein.
Auch g liefert denselben y-Wert.
Lösung – Schritt für Schritt
A(x) = 2x + 6
B(x) = 3x; x = 8
Setze 8 Stunden ein. Die Kosten betragen 22 €.
Ohne Grundgebühr ergeben sich 24 €.
Tarif A ist nach 8 Stunden um 2 € günstiger.
Dein nächster Schritt
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Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Proportional ist sie nur für b = 0, wenn ihr Graph durch den Ursprung geht.
Sind die Punkte verschieden, liegt eine senkrechte Gerade vor. Eine Funktion y = mx + b kann sie nicht beschreiben.
Ja: Eine konstante Funktion f(x) = b mit b ≠ 0 hat keine Nullstelle. Für m ≠ 0 gibt es über ℝ genau eine.
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Berechne die Änderung der y-Werte geteilt durch die Änderung der x-Werte.