Zwei Gleichungen, ein gemeinsames Zahlenpaar. Lerne Einsetzen, Gleichsetzen und Addieren kennen und übe nach jedem Verfahren selbst.
Hilfreiches Vorwissen: Lineare Gleichungen, negative Zahlen und Klammerregeln.
Löse die drei Systeme. Wähle jeweils ein passendes Verfahren und gib das Zahlenpaar in der Reihenfolge x; y an.
Zahlenpaare: x; y, etwa 3; 5 oder (3 | 5). Auch x = 3; y = 5 funktioniert. Bei Sonderfällen: „keine“ oder „unendlich viele“. Bei Prüfungsfragen: ja oder nein. „Unendlich viele“ bedeutet nicht, dass jedes Zahlenpaar passt.
Verstehen
Zwei Bedingungen müssen gleichzeitig passen
x + y = 7
x − y = 1
x = 4 und y = 3 erfüllen beide Gleichungen.
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein sollen. Hier betrachten wir zwei Gleichungen mit den Unbekannten x und y. Gesucht sind passende Zahlenpaare (x | y).
Eine einzelne Gleichung x + y = 7 hat viele Lösungen, zum Beispiel (1 | 6), (4 | 3) und (7 | 0). Die zweite Bedingung x − y = 1 schränkt die Auswahl ein. Zusammen ergibt sich hier genau (4 | 3).
Ein Zahlenpaar ist nur dann eine Lösung des Systems, wenn es jede ursprüngliche Gleichung erfüllt. Eine richtige Probe in nur einer Gleichung reicht nicht.
| Verfahren | Besonders praktisch, wenn … |
|---|---|
| Einsetzungsverfahren | eine Gleichung schon nach x oder y aufgelöst ist |
| Gleichsetzungsverfahren | beide Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgelöst sind |
| Additionsverfahren | sich eine Unbekannte durch Addieren beseitigen lässt, gegebenenfalls nach Multiplikation |
Die Verfahren führen bei korrekter Anwendung zur gleichen Lösungsmenge. Du darfst das wählen, das die Rechnung am einfachsten macht.
Beispiel – Schritt für Schritt
I: y = 2x + 1
II: x + y = 10
Gegeben sind I: y = 2x + 1 und II: x + y = 10.
x + 2x = 3x.
Ziehe auf beiden Seiten 1 ab.
Teile beide Seiten durch 3.
Mit x = 3 bestimmst du den zugehörigen y-Wert.
Beide Aussagen stimmen. Das Zahlenpaar (3 | 7) ist die Lösung.
L = {(3 | 7)}
Steht vor der ersetzten Unbekannten ein Faktor oder ein Minus, setze den ganzen eingesetzten Term in Klammern. Aus 3y wird beispielsweise 3(2x + 1).
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Ersetze y in II durch den ganzen Term aus I.
Probe: 6 = 3 + 3 und 2 · 3 + 6 = 12.
Beispiel – Schritt für Schritt
I: y = 2x + 1
II: y = −x + 7
Gegeben sind I: y = 2x + 1 und II: y = −x + 7. Beide rechten Seiten beschreiben denselben Wert y.
Beide Ausdrücke sind gleich y und daher gleich groß.
So steht x nur noch auf der linken Seite.
Ziehe auf beiden Seiten 1 ab.
Teile beide Seiten durch 3.
Berechne den zweiten Wert.
Das Paar (2 | 5) erfüllt beide ursprünglichen Gleichungen.
L = {(2 | 5)}
Gleichsetzen funktioniert auch, wenn beide Gleichungen nach x aufgelöst sind. Die entscheidende Voraussetzung ist, dass beide Ausdrücke dieselbe Unbekannte beschreiben.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Beide Terme sind gleich y, also kannst du sie gleichsetzen.
Probe in I: 3 · 3 − 1 = 8. Beide Gleichungen stimmen.
Beispiel – Schritt für Schritt
I: x + y = 7
II: x − y = 1
Gegeben sind I: x + y = 7 und II: x − y = 1.
Addiere linke Seite zu linker Seite und rechte zu rechter.
y und −y heben sich auf.
Teile beide Seiten durch 2.
Ersetze x durch 4.
Ziehe 4 ab.
Das Paar (4 | 3) erfüllt beide Gleichungen.
L = {(4 | 3)}
Beispiel – Schritt für Schritt
I: 2x + 3y = 12
II: 3x − 2y = 5
Bei I: 2x + 3y = 12 und II: 3x − 2y = 5 multiplizierst du I vollständig mit 2 und II vollständig mit 3:
Multipliziere jeden Summanden und die rechte Seite von I mit 2, von II mit 3.
+6y und −6y fallen weg.
39 : 13 = 3.
Setze x = 3 in 2x + 3y = 12 ein.
Subtrahiere erst 6 auf beiden Seiten und teile dann durch 3.
Damit ist L = {(3 | 2)}.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die y-Terme heben sich beim Addieren auf.
Probe: 6 + 3 = 9 und 6 − 3 = 3.
Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten beschreibt eine Gerade, sofern ihre Koeffizienten von x und y nicht beide 0 sind. Die Lösungen eines Systems entsprechen den gemeinsamen Punkten der beiden Geraden.
| Lage der Geraden | Lösungen | Beispiel |
|---|---|---|
| Sie schneiden sich | genau ein Zahlenpaar | y = x und y = −x + 2 → (1 | 1) |
| Sie sind verschieden und parallel | keine Lösung | y = x + 1 und y = x + 3 |
| Sie liegen aufeinander | unendlich viele Lösungen | y = 2x + 1 und 2y = 4x + 2 |
Zum Zeichnen kannst du für jede Gerade zwei Punkte bestimmen und verbinden. Lies anschließend den Schnittpunkt ab. Zeichnungen liefern je nach Genauigkeit nur Näherungen; die rechnerische Probe kontrolliert das Ergebnis.
Fallen beim Umformen alle Unbekannten weg, prüfe die verbleibende Aussage. An zwei ähnlichen Systemen erkennst du den Unterschied:
I: x + y = 3
II: 2x + 2y = 8
Multipliziere I mit 2. Das ergibt 2x + 2y = 6. Ziehe diese Gleichung von II ab:
0 = 8 − 6 ⇒ 0 = 2
Diese Aussage ist falsch. Dieselbe linke Seite kann nicht gleichzeitig 6 und 8 sein. Deshalb ist L = ∅. Die Geraden y = −x + 3 und y = −x + 4 sind parallel und verschieden.
I: x + y = 3
II: 2x + 2y = 6
Hier ist II genau das Doppelte von I. Beim Subtrahieren von 2 · I entsteht 0 = 0. Die zweite Gleichung bringt also keine neue Bedingung.
Es bleibt x + y = 3, also y = 3 − x. Jede Wahl von x liefert genau den dazu passenden y-Wert, zum Beispiel (0 | 3), (1 | 2) und (4 | −1). Alle diese Paare erfüllen beide Gleichungen.
0 = 0 bedeutet nicht, dass jedes Zahlenpaar passt. In diesem Beispiel gibt es unendlich viele Lösungen auf derselben Geraden. Das Paar (0 | 0) gehört nicht dazu, denn 0 + 0 ≠ 3.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die zweite Gleichung liefert keine neue Bedingung.
Es gibt unendlich viele Lösungen, zum Beispiel (0 | 5) oder (2 | 3). Nicht jedes Paar passt: (0 | 0) erfüllt x + y = 5 nicht.
Beispiel – Schritt für Schritt
I: 2x + y = 23
II: x + 2y = 19
Zwei Eintrittskarten für Erwachsene und eine Kinderkarte kosten 23 €. Eine Erwachsenenkarte und zwei Kinderkarten kosten 19 €. Was kostet jede Kartenart?
Setze x = Preis einer Erwachsenenkarte und y = Preis einer Kinderkarte, jeweils in Euro. Dann gilt I: 2x + y = 23 und II: x + 2y = 19.
Beide Seiten und alle Summanden werden mit −2 multipliziert.
2x und −2x heben sich auf; y − 4y = −3y.
Der Preis einer Kinderkarte ist 5 €.
Setze y = 5 in x + 2y = 19 ein.
Der Preis einer Erwachsenenkarte ist 9 €.
Antwort: Erwachsene zahlen 9 €, Kinder 5 €. Probe: 2 · 9 + 5 = 23 und 9 + 2 · 5 = 19.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Bringe beide Zeilen in die Form a · x + b · y = Zahl. Der Mathehelfer zeigt das Additionsverfahren, die Probe und mögliche Sonderfälle.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
I: y = x + 2
II: x + y = 8
Ersetze y durch x + 2.
x + x = 2x.
Subtrahiere 2 und teile anschließend durch 2.
Setze x = 3 in die erste Gleichung ein.
Beide Bedingungen stimmen: L = {(3 | 5)}.
Lösung – Schritt für Schritt
I: y = 3x
II: y = x + 4
Beide rechten Seiten beschreiben y.
Subtrahiere x auf beiden Seiten und teile durch 2.
Berechne y mit der ersten Gleichung.
Beide Gleichungen stimmen. L = {(2 | 6)}.
Lösung – Schritt für Schritt
I: x + y = 9
II: x − y = 3
Die y-Terme heben sich auf.
Fasse zusammen und teile durch 2.
Subtrahiere anschließend 6.
L = {(6 | 3)} erfüllt beide Gleichungen.
Lösung – Schritt für Schritt
I: 2x + 3y = 13
II: 3x − 2y = 0
Multipliziere I vollständig mit 2 und II vollständig mit 3.
Die y-Terme fallen weg. Teile dann durch 13.
Setze x = 2 ein, subtrahiere 4 und teile durch 3.
L = {(2 | 3)}.
System A: Gleichsetzen ergibt 2x + 1 = 2x − 3, also 1 = −3. Das ist ein Widerspruch. Es gibt keine Lösung; die Geraden sind parallel und verschieden.
System B: Teile die zweite Gleichung durch 2. Es entsteht ebenfalls y = 2x + 1. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade, also gibt es unendlich viele Lösungen.
Zum Beispiel passen (0 | 1) und (1 | 3) zu B. Es passen nur Paare mit y = 2x + 1.
Erklärung wiederholen →Nein. Die erste Gleichung stimmt, aber 2 · 2 − 3 = 1 und nicht 0.
Erklärung wiederholen →Dein nächster Schritt
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Material ansehen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Die Aufgabenstellung kann ein bestimmtes Verfahren verlangen. Ansonsten hilft es, die Verfahren zu kennen und das günstigste auszuwählen.
Nein. Multipliziere beide Seiten und jeden Summanden mit demselben Faktor.
Nur so stellst du sicher, dass dein Zahlenpaar das gesamte System erfüllt und nicht nur eine Bedingung.
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Setze den Ausdruck 2x + 1 aus I für y in II ein.