1 · Löse y = x + 2 und x + y = 8.
Lösung und Rechenweg ansehen
Einsetzen: x + x + 2 = 8 → x = 3. Dann y = 5. Probe: 5 = 3 + 2 und 3 + 5 = 8.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Lineare Gleichungssysteme: verstehen und üben
Löse zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten. Lerne Einsetzen, Gleichsetzen und Addieren an nachvollziehbaren Beispielen – mit Probe und kostenlosen Arbeitsblättern.
Zwei Bedingungen müssen gleichzeitig passen
x + y = 7
x − y = 1
x = 4 und y = 3 erfüllen beide Gleichungen.
Lernschritt 1
Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein sollen. Hier betrachten wir zwei Gleichungen mit den Unbekannten x und y. Gesucht sind passende Zahlenpaare (x | y).
Eine einzelne Gleichung x + y = 7 hat viele Lösungen, zum Beispiel (1 | 6), (4 | 3) und (7 | 0). Die zweite Bedingung x − y = 1 schränkt die Auswahl ein. Zusammen ergibt sich hier genau (4 | 3).
Ein Zahlenpaar ist nur dann eine Lösung des Systems, wenn es jede ursprüngliche Gleichung erfüllt. Eine richtige Probe in nur einer Gleichung reicht nicht.
Lernschritt 2
Welches Verfahren passt?
| Verfahren | Besonders praktisch, wenn … |
|---|---|
| Einsetzungsverfahren | eine Gleichung schon nach x oder y aufgelöst ist |
| Gleichsetzungsverfahren | beide Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgelöst sind |
| Additionsverfahren | sich eine Unbekannte durch Addieren beseitigen lässt, gegebenenfalls nach Multiplikation |
Die Verfahren führen bei korrekter Anwendung zur gleichen Lösungsmenge. Du darfst das wählen, das die Rechnung am einfachsten macht.
Lernschritt 3
Einsetzungsverfahren: einen Term ersetzen
Gegeben sind I: y = 2x + 1 und II: x + y = 10.
- Ersetze y in II durch den gleichwertigen Term aus I: x + (2x + 1) = 10.
- Fasse zusammen: 3x + 1 = 10.
- Subtrahiere 1 und teile durch 3: x = 3.
- Setze x in I ein: y = 2 · 3 + 1 = 7.
- Prüfe beide Gleichungen: 7 = 2 · 3 + 1 und 3 + 7 = 10.
L = {(3 | 7)}
Steht vor der ersetzten Unbekannten ein Faktor oder ein Minus, setze den ganzen eingesetzten Term in Klammern. Aus 3y wird beispielsweise 3(2x + 1).
Lernschritt 4
Gleichsetzungsverfahren: zwei Ausdrücke vergleichen
Gegeben sind I: y = 2x + 1 und II: y = −x + 7. Beide rechten Seiten beschreiben denselben Wert y.
- Setze die Ausdrücke gleich: 2x + 1 = −x + 7.
- Addiere x und subtrahiere 1: 3x = 6.
- Teile durch 3: x = 2.
- Setze ein: y = 2 · 2 + 1 = 5.
- Prüfe auch II: 5 = −2 + 7.
L = {(2 | 5)}
Gleichsetzen funktioniert auch, wenn beide Gleichungen nach x aufgelöst sind. Die entscheidende Voraussetzung ist, dass beide Ausdrücke dieselbe Unbekannte beschreiben.
Lernschritt 5
Additionsverfahren: eine Unbekannte fällt weg
Gegeben sind I: x + y = 7 und II: x − y = 1.
- Addiere jeweils die linken und die rechten Seiten: (x + y) + (x − y) = 7 + 1.
- y und −y heben sich auf: 2x = 8.
- Teile durch 2: x = 4.
- Setze in I ein: 4 + y = 7, also y = 3.
- Prüfe II: 4 − 3 = 1.
L = {(4 | 3)}
Falls die Faktoren noch nicht passen
Bei I: 2x + 3y = 12 und II: 3x − 2y = 5 multiplizierst du I vollständig mit 2 und II vollständig mit 3:
I′: 4x + 6y = 24
II′: 9x − 6y = 15
Addieren ergibt 13x = 39, also x = 3. Einsetzen in I ergibt 6 + 3y = 12, also y = 2. Die Probe in II lautet 9 − 4 = 5.
Lernschritt 6
Grafisch lösen: gemeinsame Punkte von Geraden
Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten beschreibt eine Gerade, sofern ihre Koeffizienten von x und y nicht beide 0 sind. Die Lösungen eines Systems entsprechen den gemeinsamen Punkten der beiden Geraden.
| Lage der Geraden | Lösungen | Beispiel |
|---|---|---|
| Sie schneiden sich | genau ein Zahlenpaar | y = x und y = −x + 2 → (1 | 1) |
| Sie sind verschieden und parallel | keine Lösung | y = x + 1 und y = x + 3 |
| Sie liegen aufeinander | unendlich viele Lösungen | y = 2x + 1 und 2y = 4x + 2 |
Zum Zeichnen kannst du für jede Gerade zwei Punkte bestimmen und verbinden. Lies anschließend den Schnittpunkt ab. Zeichnungen liefern je nach Genauigkeit nur Näherungen; die rechnerische Probe kontrolliert das Ergebnis.
Lernschritt 7
Was bedeuten 0 = 0 und 0 = 2?
Fallen beim Umformen alle Unbekannten weg, prüfe die verbleibende Aussage. Ein Widerspruch wie 0 = 2 bedeutet: keine Lösung.
Eine wahre Aussage wie 0 = 0 fügt keine weitere Bedingung hinzu. Prüfe dann die übrige Gleichung: Bei zwei identischen Geraden bleiben unendlich viele Zahlenpaare auf dieser Geraden. Es sind nicht beliebige Zahlenpaare aus der ganzen Ebene.
Lernschritt 8
Eine Sachaufgabe in zwei Gleichungen übersetzen
Zwei Eintrittskarten für Erwachsene und eine Kinderkarte kosten 23 €. Eine Erwachsenenkarte und zwei Kinderkarten kosten 19 €. Was kostet jede Kartenart?
Setze x = Preis einer Erwachsenenkarte und y = Preis einer Kinderkarte, jeweils in Euro. Dann gilt I: 2x + y = 23 und II: x + 2y = 19.
Multipliziere II mit −2: −2x − 4y = −38. Addiere I: −3y = −15, also y = 5. In II folgt x + 10 = 19, also x = 9.
Antwort: Erwachsene zahlen 9 €, Kinder 5 €. Probe: 2 · 9 + 5 = 23 und 9 + 2 · 5 = 19.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Löse y = 3x und y = x + 4.
Lösung und Rechenweg ansehen
Gleichsetzen: 3x = x + 4 → x = 2 und y = 6.
Erklärung wiederholen →3 · Löse x + y = 9 und x − y = 3.
Lösung und Rechenweg ansehen
Addieren: 2x = 12 → x = 6. Dann y = 3.
Erklärung wiederholen →4 · Löse 2x + 3y = 12 und 3x − 2y = 5.
Lösung und Rechenweg ansehen
I mit 2, II mit 3 multiplizieren. Addieren ergibt 13x = 39 → x = 3, y = 2.
Erklärung wiederholen →5 · Wie viele Lösungen haben y = 2x + 1 und y = 2x − 3?
Lösung und Rechenweg ansehen
Keine. Die Geraden haben dieselbe Steigung und verschiedene Achsenabschnitte.
Erklärung wiederholen →6 · Ist (2 | 3) eine Lösung von x + y = 5 und 2x − y = 0?
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Nein. Die erste Gleichung stimmt, aber 2 · 2 − 3 = 1 und nicht 0.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Material ansehen →Häufige Fragen
Muss ich alle drei Verfahren können?
Die Aufgabenstellung kann ein bestimmtes Verfahren verlangen. Ansonsten hilft es, die Verfahren zu kennen und das günstigste auszuwählen.
Darf ich nur eine Seite einer Gleichung multiplizieren?
Nein. Multipliziere beide Seiten und jeden Summanden mit demselben Faktor.
Warum brauche ich die Probe in beiden Gleichungen?
Nur so stellst du sicher, dass dein Zahlenpaar das gesamte System erfüllt und nicht nur eine Bedingung.