Funktionsscharen: verstehen und üben

Lernschritt 1

Variable und Parameter auseinanderhalten

Bei einer Funktionsschar enthält der Funktionsterm neben x einen Parameter, häufig a, k oder t. Wählst du einen Parameterwert, ist damit ein einzelnes Mitglied der Schar festgelegt.

Für fₐ(x) = x² − a ergibt a = 2 die Funktion f₂(x) = x² − 2. Für a = −1 entsteht f₋₁(x) = x² + 1. Während du eine dieser Funktionen nach x ableitest, bleibt a konstant.

Der zulässige Parameterbereich gehört zur Aufgabe. Es kann beispielsweise a > 0 verlangt sein. Lösungen außerhalb dieses Bereichs musst du ausschließen.

Lernschritt 2

Nach x ableiten: den Parameter festhalten

Betrachte fₐ(x) = x³ − 3ax. Die Ableitungen nach x lauten:

fₐ′(x) = 3x² − 3a

fₐ″(x) = 6x, fₐ‴(x) = 6

Der Ausdruck −3a ist beim Ableiten von −3ax ein konstanter Faktor. Du leitest a nicht nach x ab. Umgekehrt verschwindet ein Term, der nur a enthält, bei der Ableitung nach x.

Die Frage „Wie verändert sich der Graph mit a?“ ist etwas anderes als die Ableitung nach x. Kläre vor der Rechnung, welche Größe veränderlich ist.

Lernschritt 3

Nullstellen mit Fallunterscheidung

Für fₐ(x) = x² − a folgt aus fₐ(x) = 0 die Gleichung x² = a.

• a > 0: zwei reelle Nullstellen x = −√a und x = √a.
• a = 0: eine doppelte Nullstelle x = 0.
• a < 0: keine reelle Nullstelle.

Eine einzige Formel x = ±√a ohne Einschränkung wäre unvollständig. Sie würde den negativen Parameterbereich nicht korrekt beschreiben.

Lernschritt 4

Extrempunkte einer kubischen Schar berechnen

Für fₐ(x) = x³ − 3ax setzt du die erste Ableitung gleich 0:

3x² − 3a = 0 → x² = a

Für a > 0 erhältst du x = −√a und x = √a. Mit fₐ″(x) = 6x ist die linke Stelle ein Hochpunkt und die rechte ein Tiefpunkt.

Hₐ(−√a | 2a√a)

Tₐ(√a | −2a√a)

Die y-Koordinaten entstehen durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion. Beispiel a = 1: H(−1 | 2) und T(1 | −2). Für a = 4: H(−2 | 16) und T(2 | −16).

Lernschritt 5

Die Fälle a = 0 und a < 0 nicht übersehen

Bei a = 0 lautet die Funktion x³. Die Ableitung ist an x = 0 zwar 0, wechselt dort aber nicht das Vorzeichen. Es gibt keinen Extrempunkt, sondern einen stationären Wendepunkt bei (0 | 0).

Für a < 0 gilt 3x² − 3a > 0 für jedes reelle x. Die Funktion ist streng monoton steigend und hat ebenfalls keine Extrempunkte.

Lernschritt 6

Wendepunkte und gemeinsame Punkte

Bei der kubischen Schar ist fₐ″(x) = 6x. Daraus folgt x = 0 als Kandidat. Weil fₐ‴(0) = 6 ungleich 0 ist, ist (0 | 0) für jeden Parameterwert ein Wendepunkt.

Seine Tangentensteigung ist fₐ′(0) = −3a. Nur bei a = 0 ist die Wendetangente waagerecht.

Alle Graphen dieser Schar gehen durch den Ursprung, denn fₐ(0) = 0 unabhängig von a. Gemeinsame Punkte findest du, indem du nach Stellen suchst, an denen der Parameter keinen Einfluss auf den Funktionswert hat.

Lernschritt 7

Eine Ortskurve der Extrempunkte bestimmen

Eine Ortskurve beschreibt, wo bestimmte Punkte der Schar liegen, wenn der Parameter variiert. Für die Extrempunkte unserer kubischen Schar gilt x² = a mit a > 0.

Setze a = x² in y = x³ − 3ax ein:

y = x³ − 3x² · x = −2x³

Die Hochpunkte liegen auf dem Teil mit x < 0, die Tiefpunkte auf dem Teil mit x > 0. Der Ursprung gehört nicht zur Extrempunkt-Ortskurve, denn bei a = 0 gibt es keinen Extrempunkt.

Notiere deshalb neben der Kurvengleichung auch den zulässigen Bereich. Durch das Eliminieren des Parameters können sonst unzulässige Punkte hinzukommen.

Lernschritt 8

Einen Parameter aus einer Bedingung finden

Ein Graph von fₐ(x) = x³ − 3ax soll durch P(2 | 2) gehen. Übersetze das in fₐ(2) = 2:

8 − 6a = 2 → a = 1

Kontrolle: f₁(2) = 8 − 6 = 2. Soll stattdessen die Tangente im Ursprung die Steigung 6 haben, gilt −3a = 6, also a = −2.

Unterscheide Bedingungen an Funktionswerte und an Ableitungen. „Geht durch P“ liefert eine Gleichung mit f, „Steigung m“ eine mit f′.

Lernschritt 9

Dein Rechenplan

1. Notiere Definitionsbereich und Parameterbereich.
2. Leite nach x ab und behandle den Parameter als Konstante.
3. Untersuche Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen wie gefordert.
4. Trenne Fälle, bevor du durch einen möglicherweise verschwindenden Ausdruck teilst oder eine Wurzel ziehst.
5. Berechne Punktkoordinaten durch Einsetzen.
6. Kontrolliere Sonderwerte mit konkreten Funktionen.
7. Bei Ortskurven: Eliminiere den Parameter und übernimm die Einschränkungen.

Dein Wissen anwenden

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.

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Häufige Fragen