Kurvendiskussion: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was gehört zu einer Kurvendiskussion?

Eine Kurvendiskussion untersucht die Eigenschaften einer Funktion. Ziel ist, ihren Verlauf begründet zu beschreiben und zu skizzieren. Welche Schritte du brauchst, hängt von der Funktion und der Aufgabenstellung ab.

1. Definitionsmenge und mögliche Symmetrie bestimmen.
2. Achsenschnittpunkte berechnen.
3. Verhalten im Unendlichen und gegebenenfalls an Definitionslücken prüfen.
4. Ableitungen bilden.
5. Monotonie und Extrempunkte untersuchen.
6. Krümmung und Wendepunkte untersuchen.
7. Die Ergebnisse in einer Skizze zusammenführen.

Wir rechnen alle Schritte für f(x) = x³ − 3x durch. Das ist eine Polynomfunktion; besondere Lücken oder Polstellen gibt es hier nicht.

Lernschritt 2

Definitionsmenge und Symmetrie

Ein Polynom darf für jede reelle Zahl ausgewertet werden. Deshalb ist D = ℝ.

Zur Symmetrie setzt du −x ein:

f(−x) = (−x)³ − 3(−x) = −x³ + 3x = −f(x)

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Zum Punkt (a | b) gehört der Punkt (−a | −b). Das hilft später bei der Kontrolle der Extrempunkte.

Allgemein bedeutet f(−x) = f(x) Achsensymmetrie zur y-Achse, f(−x) = −f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung, sofern die Definitionsmenge entsprechend symmetrisch ist. Wenn beide Tests scheitern, sind damit nicht automatisch alle denkbaren verschobenen Symmetrien ausgeschlossen.

Lernschritt 3

Achsenschnittpunkte berechnen

Für den Schnitt mit der y-Achse setzt du x = 0 ein. Es folgt f(0) = 0, also liegt der Punkt (0 | 0) auf dem Graphen.

Für Nullstellen setzt du f(x) = 0 und klammerst x aus:

x³ − 3x = x(x² − 3) = 0

Nach der Nullproduktregel ist x = 0 oder x² − 3 = 0. Damit erhältst du:

x₁ = −√3; x₂ = 0; x₃ = √3

Die drei Schnittpunkte mit der x-Achse sind (−√3 | 0), (0 | 0) und (√3 | 0). Für die Skizze kannst du √3 ≈ 1,732 verwenden; in der Rechnung bleiben die exakten Werte übersichtlicher.

Lernschritt 4

Das Verhalten im Unendlichen beschreiben

Für sehr große Beträge von x bestimmt der höchste Potenzterm x³ das Verhalten. Deshalb gilt:

x → ∞: f(x) → ∞

x → −∞: f(x) → −∞

Der Graph verläuft insgesamt von links unten nach rechts oben. Das bedeutet nicht, dass er dazwischen überall steigt. Für den genauen Verlauf benötigen wir die Ableitung.

Bei dieser Polynomfunktion dritten Grades gibt es keine senkrechten, waagerechten oder schiefen geraden Asymptoten. Bei gebrochen-rationalen Funktionen müsstest du zusätzlich Nennernullstellen und entsprechende Grenzwerte untersuchen.

Lernschritt 5

Die benötigten Ableitungen bilden

f′(x) = 3x² − 3

f″(x) = 6x

f‴(x) = 6

Die erste Ableitung verwenden wir für Steigungen, die zweite für die Veränderung der Steigung. Die dritte kann einen Wendepunktkandidaten bestätigen. Kontrolliere Ableitungen früh: Ein Fehler an dieser Stelle wirkt sich auf mehrere folgende Ergebnisse aus.

Lernschritt 6

Extrempunkte und Monotonie bestimmen

Setze die erste Ableitung gleich null:

3x² − 3 = 0 ⇔ x = −1 oder x = 1

Bei x = −1 ist f″(−1) = −6 < 0: Hochpunkt. Bei x = 1 ist f″(1) = 6 > 0: Tiefpunkt. Die y-Koordinaten berechnen wir mit f:

H(−1 | 2), T(1 | −2)

Aus f′(x) = 3(x − 1)(x + 1) liest du ab: positiv für x < −1, negativ für −1 < x < 1 und positiv für x > 1. Der Graph steigt, fällt und steigt wieder. Die Extrempunkte passen zur Punktsymmetrie.

Lernschritt 7

Wendepunkt und Krümmung prüfen

Aus f″(x) = 6x = 0 folgt der Kandidat x = 0. Links davon ist f″ negativ, rechts positiv. Der Krümmungswechsel bestätigt die Wendestelle. Alternativ gilt f‴(0) = 6 ≠ 0.

W(0 | 0)

Für x < 0 ist der Graph konkav beziehungsweise rechtsgekrümmt; für x > 0 konvex beziehungsweise linksgekrümmt. Weil f′(0) = −3 gilt, ist W kein Sattelpunkt. Die Wendetangente lautet t(x) = −3x.

Lernschritt 8

Die Ergebnisse zu einer Skizze verbinden

Zeichne zuerst die Achsen mit gleichmäßiger Skalierung. Markiere die drei Nullstellen, H, T und W. Verbinde die Punkte dann so, dass Steigen und Fallen, die waagerechten Tangenten in H und T sowie der Krümmungswechsel in W zusammenpassen.

Die Funktionswerte reichen nach links und rechts über den gezeichneten Ausschnitt hinaus. Eine Bildschirm- oder Papierskizze zeigt immer nur einen begrenzten Bereich. Behaupte deshalb nicht allein aus dem Bild, dass keine weiteren Eigenschaften außerhalb sichtbar wären.

Lernschritt 9

Den Ablauf an andere Funktionstypen anpassen

Bei einem Bruch dürfen Nenner nicht null werden. Nach dem Kürzen können ursprüngliche Definitionslücken bestehen bleiben. Bei ln(g(x)) muss g(x) positiv sein; bei einer reellen Quadratwurzel darf der Radikand nicht negativ sein.

Bei einem vorgegebenen abgeschlossenen Intervall gehören Randpunkte zur Suche nach globalen Extrema. Bei Knicken kann ein Extrempunkt vorliegen, obwohl dort keine Ableitung existiert. Und bei trigonometrischen Funktionen hilft die Periodizität dabei, einen sinnvollen Untersuchungsbereich festzulegen.

Der Ablauf ist also ein Werkzeug, keine starre Liste, die unabhängig von der Aufgabe immer gleich abgearbeitet werden muss.

Lernschritt 10

So kontrollierst du deine Ergebnisse

• Liegen alle berechneten Stellen in der Definitionsmenge?
• Sind Kandidaten durch geeignete Bedingungen bestätigt?
• Stammen die y-Koordinaten aus f und nicht aus einer Ableitung?
• Passen Symmetrie, Vorzeichen und Randverhalten zur Skizze?
• Hast du lokale und globale Extremwerte unterschieden?

Im Beispiel sind H und T nur lokale Extrempunkte. Auf ganz ℝ gibt es wegen des unbeschränkten Verhaltens weder ein globales Maximum noch ein globales Minimum. Eine Zeichnung kann deine Rechnung plausibel machen; sie ersetzt nicht die rechnerischen Nachweise.

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Häufige Fragen