1 · Welche Definitionsmenge hat x³ − 3x?
Lösung und Rechenweg ansehen
ℝ, weil es ein Polynom ohne Einschränkungen ist.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 40–55 Minuten
Kurvendiskussion
Du verbindest Definitionsmenge, Nullstellen, Ableitungen und besondere Punkte zu einem begründeten Funktionsverlauf.
Voraussetzungen ansehen
Ableitungsregeln, Extrem- und Wendepunkte sowie Grenzwerte.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Punkte als x | y, mehrere Stellen mit Semikolon eingeben. Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit /. Bei Begriffen zum Beispiel Hochpunkt, Tiefpunkt, steigend, fallend, konvex oder konkav. Entscheidungen: ja oder nein. Wurzeln exakt mit sqrt(3) oder 2*sqrt(3), Bedingungen etwa x > 1 oder x != 2. Bei Termen nur die rechte Seite, mit Potenzen wie x^3.
02 · Verstehen
Was gehört zu einer Kurvendiskussion?
Ein Graph, viele zusammenhängende Aussagen
f(x) = x³ − 3x
Nullstellen zeigen die Achsenschnittpunkte. Die erste Ableitung zeigt Monotonie und Extrempunkte, die zweite Ableitung Krümmung und Wendepunkte.
Eine Kurvendiskussion untersucht die Eigenschaften einer Funktion. Ziel ist, ihren Verlauf begründet zu beschreiben und zu skizzieren. Welche Schritte du brauchst, hängt von der Funktion und der Aufgabenstellung ab.
- Definitionsmenge und mögliche Symmetrie bestimmen.
- Achsenschnittpunkte berechnen.
- Verhalten im Unendlichen und gegebenenfalls an Definitionslücken prüfen.
- Ableitungen bilden.
- Monotonie und Extrempunkte untersuchen.
- Krümmung und Wendepunkte untersuchen.
- Die Ergebnisse in einer Skizze zusammenführen.
Wir rechnen alle Schritte für f(x) = x³ − 3x durch. Das ist eine Polynomfunktion; besondere Lücken oder Polstellen gibt es hier nicht.
Definitionsmenge und Symmetrie
Ein Polynom darf für jede reelle Zahl ausgewertet werden. Deshalb ist D = ℝ.
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe die Symmetrie der Funktion
f(x) = x³ − 3x; D = ℝ
Zur Symmetrie setzt du −x ein:
RechnungErklärung zum Schritt
f(−x) = (−x)³ − 3(−x)
f(−x) = −x³ + 3x
2 Vorzeichen vereinfachen
Eine ungerade Potenz erhält das Minus. Bei −3 · (−x) entsteht dagegen +3x.
f(−x) = −(x³ − 3x)
f(−x) = −f(x)
f(−x) = −f(x)
3 Mit der Ausgangsfunktion vergleichen
Die Definitionsmenge ℝ ist symmetrisch zum Ursprung. Die Gleichung bestätigt Punktsymmetrie zum Ursprung.
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Zum Punkt (a | b) gehört der Punkt (−a | −b). Das hilft später bei der Kontrolle der Extrempunkte.
Allgemein bedeutet f(−x) = f(x) Achsensymmetrie zur y-Achse, f(−x) = −f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung, sofern die Definitionsmenge entsprechend symmetrisch ist. Wenn beide Tests scheitern, sind damit nicht automatisch alle denkbaren verschobenen Symmetrien ausgeschlossen.
Achsenschnittpunkte berechnen
Für den Schnitt mit der y-Achse setzt du x = 0 ein. Es folgt f(0) = 0, also liegt der Punkt (0 | 0) auf dem Graphen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne alle Nullstellen
f(x) = x³ − 3x
Für Nullstellen setzt du f(x) = 0 und klammerst x aus:
RechnungErklärung zum Schritt
x³ − 3x = 0
1 Funktionswert gleich null setzen
Gesucht sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet.
x(x² − 3) = 0
2 x ausklammern
Beide Summanden enthalten den Faktor x. Teile nicht durch x, sonst verlierst du die Lösung x = 0.
x = 0 oder x² − 3 = 0
3 Nullproduktregel anwenden
Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist.
x² = 3
x = −√3 oder x = √3
x = −√3 oder x = √3
4 Zweiten Fall lösen
Addiere 3 und berücksichtige beim Wurzelziehen beide Vorzeichen.
x₁ = −√3
x₂ = 0
x₃ = √3
x₂ = 0
x₃ = √3
5 Alle Nullstellen sammeln
Zusammen mit x = 0 erhältst du drei Nullstellen.
Die drei Schnittpunkte mit der x-Achse sind (−√3 | 0), (0 | 0) und (√3 | 0). Für die Skizze kannst du √3 ≈ 1,732 verwenden; in der Rechnung bleiben die exakten Werte übersichtlicher.
Das Verhalten im Unendlichen beschreiben
Für sehr große Beträge von x bestimmt der höchste Potenzterm x³ das Verhalten. Deshalb gilt:
x → ∞: f(x) → ∞
x → −∞: f(x) → −∞
Der Graph verläuft insgesamt von links unten nach rechts oben. Das bedeutet nicht, dass er dazwischen überall steigt. Für den genauen Verlauf benötigen wir die Ableitung.
Bei dieser Polynomfunktion dritten Grades gibt es keine senkrechten, waagerechten oder schiefen geraden Asymptoten. Bei gebrochen-rationalen Funktionen müsstest du zusätzlich Nennernullstellen und entsprechende Grenzwerte untersuchen.
Die benötigten Ableitungen bilden
Beispiel · Schritt für Schritt
Bilde die ersten drei Ableitungen
f(x) = x³ − 3x
RechnungErklärung zum Schritt
f(x) = x³ − 3x
1 Ausgangsfunktion
Leite die beiden Summanden einzeln ab.
f′(x) = 3x² − 3
2 Erste Ableitung bilden
Nach der Potenzregel wird aus x³ der Term 3x². Die Ableitung von −3x ist −3.
f″(x) = 6x
3 Zweite Ableitung bilden
Leite f′ ab: Aus 3x² wird 6x; die Konstante −3 entfällt.
f‴(x) = 6
4 Dritte Ableitung bilden
Leite 6x noch einmal ab. Diese Ableitung kann den Wendepunktkandidaten bestätigen.
Die erste Ableitung verwenden wir für Steigungen, die zweite für die Veränderung der Steigung. Die dritte kann einen Wendepunktkandidaten bestätigen. Kontrolliere Ableitungen früh: Ein Fehler an dieser Stelle wirkt sich auf mehrere folgende Ergebnisse aus.
Extrempunkte und Monotonie bestimmen
Beispiel · Schritt für Schritt
Finde die Kandidaten für Extremstellen
f′(x) = 3x² − 3
Setze die erste Ableitung gleich null. Die gefundenen Stellen müssen anschließend als Extremstellen bestätigt werden:
RechnungErklärung zum Schritt
3x² − 3 = 0
1 Kandidaten suchen
An einer inneren Extremstelle dieser differenzierbaren Funktion ist die erste Ableitung null.
3x² = 3
x² = 1
x² = 1
2 Gleichung umformen
Addiere 3 und teile anschließend durch 3.
x = −1 oder x = 1
3 Beide Lösungen bestimmen
Beide Zahlen ergeben beim Quadrieren 1.
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestätige und berechne die Extrempunkte
f(x) = x³ − 3x
Kandidaten: x = −1 und x = 1
RechnungErklärung zum Schritt
f″(−1) = 6 · (−1)
f″(−1) = −6 < 0
f″(−1) = −6 < 0
1 Hochpunkt nachweisen
An der stationären Stelle x = −1 ist die zweite Ableitung negativ. Damit liegt ein lokaler Hochpunkt vor.
f(−1) = (−1)³ − 3 · (−1)
f(−1) = 2
f(−1) = 2
2 Höhe des Hochpunkts berechnen
Setze die Stelle in f ein, nicht in eine Ableitung. Der Hochpunkt ist H(−1 | 2).
f″(1) = 6 > 0
3 Tiefpunkt nachweisen
An der stationären Stelle x = 1 ist die zweite Ableitung positiv. Damit liegt ein lokaler Tiefpunkt vor.
f(1) = 1³ − 3 · 1 = −2
T(1 | −2)
T(1 | −2)
4 Höhe des Tiefpunkts berechnen
Die y-Koordinate stammt wieder aus der Ausgangsfunktion. Zusammen mit H(−1 | 2) passt der Punkt zur Punktsymmetrie.
Aus f′(x) = 3(x − 1)(x + 1) liest du ab: positiv für x < −1, negativ für −1 < x < 1 und positiv für x > 1. Der Graph steigt, fällt und steigt wieder. Die Extrempunkte passen zur Punktsymmetrie.
Wendepunkt und Krümmung prüfen
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme und bestätige den Wendepunkt
f(x) = x³ − 3x
f″(x) = 6x
RechnungErklärung zum Schritt
f″(x) = 6x = 0
x = 0
x = 0
1 Wendestellenkandidaten suchen
Setze die zweite Ableitung gleich null und teile durch 6.
x < 0: f″(x) < 0
x > 0: f″(x) > 0
x > 0: f″(x) > 0
2 Krümmungswechsel nachweisen
Links von 0 ist f″ negativ, rechts positiv. Der Vorzeichenwechsel bestätigt die Wendestelle. Alternativ gilt f‴(0) = 6 ≠ 0.
f(0) = 0³ − 3 · 0 = 0
W(0 | 0)
W(0 | 0)
3 Wendepunkt berechnen
Setze die bestätigte Stelle in die Ausgangsfunktion ein.
Für x < 0 ist der Graph konkav beziehungsweise rechtsgekrümmt; für x > 0 konvex beziehungsweise linksgekrümmt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Wendetangente
f(x) = x³ − 3x
W(0 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
m = f′(0) = 3 · 0² − 3
m = −3
m = −3
1 Steigung im Wendepunkt bestimmen
Die Tangente ist nicht waagerecht. Deshalb ist W kein Sattelpunkt.
t(x) = f′(0) · (x − 0) + f(0)
2 Punkt-Steigungs-Form nutzen
Die Wendetangente geht durch W(0 | 0) und hat die Steigung −3.
t(x) = −3x
3 Vereinfachen
Der konstante Anteil ist null. Das ist die Gleichung der Wendetangente.
Die Ergebnisse zu einer Skizze verbinden
Zeichne zuerst die Achsen mit gleichmäßiger Skalierung. Markiere die drei Nullstellen, H, T und W. Verbinde die Punkte dann so, dass Steigen und Fallen, die waagerechten Tangenten in H und T sowie der Krümmungswechsel in W zusammenpassen.
Die Funktionswerte reichen nach links und rechts über den gezeichneten Ausschnitt hinaus. Eine Bildschirm- oder Papierskizze zeigt immer nur einen begrenzten Bereich. Behaupte deshalb nicht allein aus dem Bild, dass keine weiteren Eigenschaften außerhalb sichtbar wären.
| Eigenschaft | Ergebnis für x³ − 3x |
|---|---|
| Definitionsmenge | ℝ |
| Symmetrie | Punktsymmetrisch zum Ursprung |
| Nullstellen | −√3, 0, √3 |
| Lokale Extrempunkte | H(−1 | 2), T(1 | −2) |
| Wendepunkt | W(0 | 0), kein Sattelpunkt |
Den Ablauf an andere Funktionstypen anpassen
Bei einem Bruch dürfen Nenner nicht null werden. Nach dem Kürzen können ursprüngliche Definitionslücken bestehen bleiben. Bei ln(g(x)) muss g(x) positiv sein; bei einer reellen Quadratwurzel darf der Radikand nicht negativ sein.
Bei einem vorgegebenen abgeschlossenen Intervall gehören Randpunkte zur Suche nach globalen Extrema. Bei Knicken kann ein Extrempunkt vorliegen, obwohl dort keine Ableitung existiert. Und bei trigonometrischen Funktionen hilft die Periodizität dabei, einen sinnvollen Untersuchungsbereich festzulegen.
Der Ablauf ist also ein Werkzeug, keine starre Liste, die unabhängig von der Aufgabe immer gleich abgearbeitet werden muss.
So kontrollierst du deine Ergebnisse
- Liegen alle berechneten Stellen in der Definitionsmenge?
- Sind Kandidaten durch geeignete Bedingungen bestätigt?
- Stammen die y-Koordinaten aus f und nicht aus einer Ableitung?
- Passen Symmetrie, Vorzeichen und Randverhalten zur Skizze?
- Hast du lokale und globale Extremwerte unterschieden?
Im Beispiel sind H und T nur lokale Extrempunkte. Auf ganz ℝ gibt es wegen des unbeschränkten Verhaltens weder ein globales Maximum noch ein globales Minimum. Eine Zeichnung kann deine Rechnung plausibel machen; sie ersetzt nicht die rechnerischen Nachweise.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Die drei Übungsstufen untersuchen überwiegend f(x) = x³ − 12x. Sammle die Ergebnisse auf Papier und zeichne daraus eine eigene Skizze. Übertragungsaufgaben nennen ausdrücklich eine andere Funktion.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Symmetrie folgt aus f(−x) = −f(x)?
Lösung und Rechenweg ansehen
Punktsymmetrie zum Ursprung, bei entsprechend symmetrischer Definitionsmenge.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Nullstellen hat x³ − 3x?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme alle Nullstellen
f(x) = x³ − 3x
RechnungErklärung zum Schritt
x³ − 3x = 0
x(x² − 3) = 0
x(x² − 3) = 0
1 Ausklammern
Setze die Funktion gleich null und klammere x aus.
x = 0 oder x² = 3
2 Nullproduktregel anwenden
Entweder ist x null oder der zweite Faktor x² − 3 ist null.
x = −√3, 0 oder √3
3 Alle Lösungen angeben
Beim Lösen von x² = 3 brauchst du beide Vorzeichen.
4 · Wo ist die Beispielfunktion streng fallend?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme das Intervall, in dem f streng fällt
f(x) = x³ − 3x
RechnungErklärung zum Schritt
f′(x) = 3x² − 3
1 Ableitung untersuchen
Die Funktion fällt dort streng, wo die erste Ableitung durchgehend negativ ist.
3x² − 3 < 0
x² < 1
x² < 1
2 Ungleichung umformen
Addiere 3 und teile durch die positive Zahl 3.
−1 < x < 1
3 Intervall bestimmen
Hier ist f′ negativ. Die Funktion ist zwischen −1 und 1 streng fallend; die Randstellen dürfen beim Monotonieintervall eingeschlossen werden, also auf [−1; 1].
5 · Warum ist der Wendepunkt im Ursprung kein Sattelpunkt?
Lösung und Rechenweg ansehen
f′(0) = −3, also ist die Tangente nicht waagerecht.
Erklärung wiederholen →6 · Gibt es ein globales Maximum auf ganz ℝ?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. f(x) wächst für x → ∞ unbegrenzt. Der Hochpunkt ist nur lokal.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Mit Tangenten und Normalen weiterlernen →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Muss ich bei jeder Kurvendiskussion alle drei Ableitungen bilden?
Nicht zwingend. Die benötigten Ableitungen hängen von den gefragten Eigenschaften und dem gewählten Nachweis ab.
Ist eine Nullstelle der Ableitung eine Nullstelle der Funktion?
Nein. f′(a) = 0 betrifft die Steigung. Eine Nullstelle von f erfüllt f(a) = 0.
Reicht ein Taschenrechnergraph als Begründung?
Für eine rechnerische Kurvendiskussion in der Regel nicht. Nutze die Grafik zur Kontrolle und begründe die Eigenschaften mit den verlangten Rechnungen.
Ersetze jedes x durch −x und setze den eingesetzten Term in Klammern.