Untersuche die Annäherung von links und rechts und vergleiche sie mit dem Funktionswert. Beispiele und kurze Aufgaben zeigen, wie du endliche Grenzwerte, Lücken, Sprünge und Polstellen unterscheidest.
Hilfreiches Vorwissen: Funktionswerte, Bruchterme und Potenzgesetze.
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit / eingeben. Für unbeschränkte Grenzwerte +∞ oder −∞; falls der Grenzwert nicht existiert: existiert nicht. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Annähern statt nur einsetzen
limx → 1(x + 1) = 2
Wenn x immer näher an 1 rückt, nähert sich x + 1 der Zahl 2. Ein Grenzwert beschreibt dieses Verhalten in der Umgebung einer Stelle.
Ein Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich die Funktionswerte beliebig nahe annähern, wenn x gegen eine bestimmte Stelle läuft. Die Schreibweise lim kommt vom lateinischen Wort „limes“ für Grenze.
limx → af(x) = L
Wir lesen: „Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist L.“ Dabei betrachten wir x-Werte nahe a, aber zunächst nicht x = a selbst. Die Funktion muss an der Stelle a nicht einmal definiert sein, um dort einen Grenzwert zu besitzen.
Für f(x) = x + 1 sieht man die Annäherung an a = 1 in einer Wertetabelle:
| x | 0,9 | 0,99 | 1,01 | 1,1 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | 1,9 | 1,99 | 2,01 | 2,1 |
Von links und von rechts nähern sich die Werte der 2. Eine endliche Tabelle kann das Verhalten veranschaulichen, ersetzt aber keinen allgemeinen rechnerischen Nachweis.
Bei Polynomen kannst du einen endlichen Grenzwert an einer Stelle durch Einsetzen berechnen. Zum Beispiel:
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x² + 3x
Grenzübergang: x → 2
Berechne Potenz und Produkt zuerst.
Von beiden Seiten ergibt sich derselbe Grenzwert.
Auch bei einem Quotienten stetiger Funktionen funktioniert das, solange der Nenner an der betrachteten Stelle nicht null ist:
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) =
Grenzübergang: x → 1
Der Nenner ist an der betrachteten Stelle nicht 0. Der Quotient ist dort stetig.
Zähler und Nenner dürfen getrennt ausgewertet werden.
Der Grenzwert ist 3/4.
Für endliche Grenzwerte darfst du Summen, Differenzen und Produkte gliedweise berechnen. Bei Quotienten muss der Grenzwert des Nenners von null verschieden sein. Prüfe diese Bedingung, bevor du eine Quotientenregel verwendest.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Hier verursacht das Einsetzen keine Definitionslücke.
Links- und rechtsseitige Annäherung führen zum selben Wert.
Betrachte die Funktion
f(x) = , x ≠ 1
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) =
Grenzübergang: x → 1
Bei 1 ist der Nenner null. Der ursprüngliche Funktionswert f(1) existiert nicht.
Nutze die dritte binomische Formel.
Der Faktor x − 1 darf nur für x ≠ 1 gekürzt werden. Die ursprüngliche Einschränkung bleibt bestehen.
In der Umgebung von 1 stimmen die Terme überein. Daher darfst du den stetigen vereinfachten Term für den Grenzwert verwenden.
Deshalb ist der Grenzwert für x → 1 gleich 2. Der ursprüngliche Funktionswert f(1) existiert trotzdem nicht. Erst wenn du eine erweiterte Funktion mit dem zusätzlichen Wert f(1) = 2 definierst, ist die Lücke geschlossen.
Der Ausdruck „0 geteilt durch 0“ ist kein Ergebnis und insbesondere nicht 0 oder 1. Er zeigt hier, dass direktes Einsetzen nicht reicht. Erst die Umformung klärt den Grenzwert.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
In der Umgebung darf der gemeinsame Faktor gekürzt werden.
Kürzen ergänzt keinen fehlenden Punkt.
x → a⁻ bedeutet Annäherung von links, x → a⁺ Annäherung von rechts. Ein zweiseitiger endlicher Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind.
Eine Sprungfunktion sei für x < 0 gleich 0 und für x ≥ 0 gleich 1. Von links nähern sich die Funktionswerte der 0, von rechts der 1:
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = 0 für x < 0
f(x) = 1 für x ≥ 0
Betrachtet: x → 0
Für alle x < 0 ist die Sprungfunktion gleich 0.
Für alle x > 0 ist sie gleich 1.
Ein gemeinsamer zweiseitiger Grenzwert existiert nicht. Der definierte Wert f(0) = 1 ändert daran nichts.
Die beiden Ergebnisse stimmen nicht überein. Daher existiert an 0 kein zweiseitiger Grenzwert, obwohl f(0) = 1 definiert ist. Ein vorhandener Funktionswert garantiert also keinen Grenzwert.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die beiden Werte stimmen nicht überein.
Es gibt keinen gemeinsamen zweiseitigen Grenzwert.
Bei x → ∞ werden die x-Werte beliebig groß, bei x → −∞ beliebig weit negativ. Für f(x) = gilt in beiden Richtungen:
limx → ∞ = 0
Der Bruch nähert sich 0, ohne jemals 0 zu werden. Ein Grenzwert muss also nicht von der Funktion angenommen werden. Die Gerade y = 0 ist eine waagerechte Asymptote.
Bei gebrochen-rationalen Funktionen hilft es, Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz zu teilen:
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) =
Grenzübergang: x → ∞
Teile Zähler und Nenner für x ≠ 0 durch x². Bei x → ∞ ist das zulässig.
Die Bruchterme gehen gegen 0, wenn x beliebig groß wird.
Der Nennergrenzwert ist 1 und damit ungleich 0. Die Quotientenregel ist anwendbar.
Dagegen wächst x² für x → ∞ unbegrenzt. Die Schreibweise „Grenzwert +∞“ beschreibt unbeschränktes Wachstum und keinen endlichen reellen Grenzwert.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die höchsten Potenzen bestimmen das Verhalten.
Auch in negativer Richtung ist bei gleichen Graden der Quotient der führenden Koeffizienten entscheidend.
Für in der Nähe von 0 gilt: Von rechts werden die Werte beliebig groß positiv, von links beliebig groß negativ.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) =
Annäherung an x = 0
Der Nenner ist positiv und wird beliebig klein. Die positiven Funktionswerte wachsen ohne obere Grenze.
Der Nenner ist negativ und sein Betrag wird beliebig klein. Die Funktionswerte werden unbegrenzt negativ.
Die einseitigen unbeschränkten Verhaltensweisen stimmen nicht überein. Es gibt keinen gemeinsamen zweiseitigen Grenzwert.
Es gibt keinen endlichen Grenzwert und wegen der unterschiedlichen Richtungen auch keinen gemeinsamen uneigentlichen Grenzwert. Die Gerade x = 0 ist eine senkrechte Asymptote. Anders als bei der hebbaren Lücke lässt sich das Problem nicht durch einen einzelnen ergänzten Funktionswert beseitigen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Daher gibt es dafür keinen gemeinsamen zweiseitigen Grenzwert.
Das ist ein gemeinsamer uneigentlicher Grenzwert; ein endlicher Grenzwert existiert auch hier nicht.
Eine Funktion ist an einer inneren Stelle a ihres Definitionsbereichs stetig, wenn drei Bedingungen erfüllt sind:
limx → af(x) = f(a)
Anschaulich gibt es dort weder Sprung noch fehlenden oder versetzten Punkt. An einem Randpunkt prüfst du die Annäherung innerhalb des Definitionsbereichs.
Die Funktion x² ist überall stetig. Der gekürzte Ausdruck x + 1 ist ebenfalls stetig, aber der ursprüngliche Bruch mit der ausgeschlossenen Stelle 1 hat dort eine Definitionslücke. Definiert man an dieser Stelle den Wert 7 statt 2, bleibt der Grenzwert 2 – die erweiterte Funktion ist dann bei 1 nicht stetig.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Dafür darf der in der Umgebung gleiche Term x + 1 verwendet werden.
Jeder andere vorgegebene Wert, etwa 7, wäre zwar definiert, würde aber nicht zum Grenzwert passen.
Merke: Grenzwert, Funktionswert und Definitionsmenge sind drei verschiedene Informationen. Gerade bei gekürzten Brüchen müssen alle drei im Blick bleiben.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Für Polynome, Bruchfunktionen und an einer Stelle zwei Polynomabschnitte. Vergleiche beide Seiten, untersuche ±∞ oder lege f(a) gesondert fest. Der Helfer zeigt, ob ein Grenzwert existiert und ob die Funktion dort stetig ist.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = x² + 1
Grenzübergang: x → 3
Das Polynom ist bei 3 stetig.
Der gesuchte Grenzwert ist 10.
Lösung – Schritt für Schritt
f(x) =
Grenzübergang: x → 1
Die ursprüngliche Funktion ist bei x = 1 nicht definiert.
Kürze den gemeinsamen Faktor nur dort, wo er nicht 0 ist.
Der ursprüngliche Bruch hat denselben Grenzwert 2. Ein Funktionswert bei 1 wird dadurch nicht festgelegt.
Nein. Der Nenner ist dort null. Der Grenzwert ersetzt keinen fehlenden Funktionswert.
Erklärung wiederholen →Er existiert nicht, weil die beiden einseitigen Grenzwerte verschieden sind.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
f(x) =
Grenzübergang: x → ∞
Für die Annäherung an ∞ darfst du x ≠ 0 voraussetzen.
Beide Terme verschwinden im Grenzübergang.
Der Nennergrenzwert 1 ist ungleich 0.
Nein. Für Stetigkeit müssen Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen.
Erklärung wiederholen →Dein nächster Schritt
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Material ansehen →
Kostenlose Lernkarte als kompakte Ergänzung zu den Beispielen. Die Übungsaufgaben findest du im Selbstcheck dieser Seite.
Material ansehen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Beispielsweise nähert sich für x → ∞ der 0, nimmt diesen Wert aber nie an.
Nur gemeinsame Faktoren dürfen gekürzt werden, und nur dort, wo sie nicht null sind. Die ursprüngliche Definitionslücke bleibt bestehen.
Nein. x → ∞ beschreibt beliebig großes x. Rechenregeln für gewöhnliche reelle Zahlen dürfen nicht unkritisch auf ∞ übertragen werden.
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Polynome sind an jeder reellen Stelle stetig. Du darfst x = 2 einsetzen.