1 · Berechne f(−2) für f(x) = 3x⁴.
Lösung und Rechenweg ansehen
3 · (−2)⁴ = 3 · 16 = 48.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Potenzfunktionen: verstehen und üben
Erkenne Potenzfunktionen an ihrem Exponenten. Vergleiche Graphen, Symmetrie und Definitionsbereiche und verstehe die Wirkung des Vorfaktors. Mit Beispielen und sechs Aufgaben mit Lösungen.
Die Variable ist die Basis
f(x) = a · xn
x², x³ und gehören zu derselben großen Familie. Der Exponent entscheidet über wichtige Eigenschaften.
Lernschritt 1
Was ist eine Potenzfunktion?
Eine Potenzfunktion hat die Form f(x) = a · xn. Der Vorfaktor a und der Exponent n sind fest; die Variable x steht in der Basis. Hier betrachten wir a ≠ 0 und zunächst positive oder negative ganze Exponenten.
Beispiele sind f(x) = x², g(x) = 3x³ und h(x) = x⁻¹. Ein Ausdruck wie x² + 3x ist eine Summe von Potenztermen, aber keine einzelne Potenzfunktion dieser Form.
| Funktion | Was bleibt fest? | Was verändert sich? |
|---|---|---|
| f(x) = x³ | Exponent 3 | Basis x |
| g(x) = 3ˣ | Basis 3 | Exponent x |
Die zweite Funktion ist eine Exponentialfunktion. Verwechsle deshalb x³ und 3ˣ nicht: Bei x = 2 erhältst du 8 beziehungsweise 9.
Lernschritt 2
Positive gerade und ungerade Exponenten
Bei einem positiven geraden Exponenten, etwa 2 oder 4, gilt (−x)ⁿ = xⁿ. Für a > 0 liegen alle Funktionswerte auf oder über der x-Achse. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Bei einem positiven ungeraden Exponenten, etwa 1 oder 3, gilt (−x)ⁿ = −xⁿ. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Für a > 0 steigt er über den gesamten Definitionsbereich streng an.
| Eigenschaft für a = 1 | n positiv und gerade | n positiv und ungerade |
|---|---|---|
| Definitionsbereich | alle reellen Zahlen | alle reellen Zahlen |
| Wertemenge | alle Werte ab 0 | alle reellen Zahlen |
| Nullstelle | x = 0 | x = 0 |
| Symmetrie | zur y-Achse | zum Ursprung |
Für beide Gruppen gilt f(1) = 1. Bei x = −1 erhältst du im geraden Fall 1 und im ungeraden Fall −1.
Lernschritt 3
Wertetabellen erstellen und Größen vergleichen
| x | −2 | −1 | 0 | 0,5 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x² | 4 | 1 | 0 | 0,25 | 1 | 4 |
| x³ | −8 | −1 | 0 | 0,125 | 1 | 8 |
| x⁴ | 16 | 1 | 0 | 0,0625 | 1 | 16 |
Setze negative Zahlen immer mit Klammern ein: (−2)⁴ = 16. Ohne Klammer bedeutet −2⁴ dagegen −16.
Für x > 1 werden x², x³ und x⁴ mit höherem Exponenten größer. Zwischen 0 und 1 ist es umgekehrt: 0,5⁴ ist kleiner als 0,5². „Höherer Exponent bedeutet immer größerer Wert“ stimmt also nicht.
Probier es selbst: Vergleiche 2³ und 2⁴ sowie 0,5³ und 0,5⁴.
Lösung ansehen
2³ = 8 < 16 = 2⁴. Dagegen ist 0,5³ = 0,125 > 0,0625 = 0,5⁴.
Lernschritt 4
Was bewirkt der Vorfaktor a?
Der Vorfaktor multipliziert jeden Funktionswert. Aus f(x) = x³ wird bei a = 2 die Funktion g(x) = 2x³. Für x = 2 steigt der Wert von 8 auf 16.
| Vorfaktor | Wirkung gegenüber xⁿ |
|---|---|
| a < 0 | Spiegelung an der x-Achse, zusätzlich Skalierung mit |a| |
| |a| > 1 | Streckung in y-Richtung |
| 0 < |a| < 1 | Stauchung in y-Richtung |
Die Symmetrieart bleibt erhalten. f(x) = −2x² ist weiterhin achsensymmetrisch zur y-Achse; die Werte sind nun höchstens 0. f(x) = −x³ ist weiterhin punktsymmetrisch zum Ursprung, aber streng fallend.
Der Faktor steht außerhalb der Potenz: 2x³ bedeutet 2 · x³. Das ist nicht dasselbe wie (2x)³ = 8x³.
Lernschritt 5
Negative Exponenten als Kehrwerte verstehen
x⁻¹ = und x⁻² =
Allgemein gilt x⁻ᵐ = für positive ganze m und x ≠ 0. Die 0 ist ausgeschlossen, weil du sonst durch 0 teilen würdest.
Auch bei negativen ganzen Exponenten entscheidet gerade oder ungerade über die Symmetrie. x⁻² ist achsensymmetrisch zur y-Achse; x⁻¹ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für a = 1 sind bei geradem negativem Exponenten alle Werte positiv. Bei ungeradem negativem Exponenten kommen positive und negative Werte vor, aber niemals 0. Für große Beträge von x nähern sich die Werte der 0. Nahe x = 0 wachsen die Beträge der Funktionswerte unbegrenzt.
Lernschritt 6
Exponent 0 und Wurzelfunktionen einordnen
Bei n = 0 gilt x⁰ = 1 für x ≠ 0. Den Ausdruck 0⁰ verwenden wir hier nicht. Die konstante Funktion f(x) = a kann unabhängig davon auf ganz ℝ definiert werden.
Auch gebrochene Exponenten führen zu wichtigen Funktionen. Für x ≥ 0 gilt x hoch = √x. Diese Wurzelfunktion hat im Reellen den Definitionsbereich x ≥ 0 und den Wertebereich y ≥ 0.
Die Regeln „gerade oder ungerade“ beziehen sich auf ganze Exponenten. Übertrage sie nicht auf beliebige gebrochene Exponenten. Dort musst du den Definitionsbereich gesondert prüfen.
Lernschritt 7
Ein Modell aufstellen und einen Punkt prüfen
Die Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge x ist A(x) = x². Für die geometrische Aufgabe gilt x > 0, auch wenn die mathematische Funktion x² für negative x definiert ist.
Das Volumen eines Würfels ist V(x) = x³. Verdoppelst du die Kantenlänge, wird das Volumen achtmal so groß, denn (2x)³ = 8x³. Die Quadratfläche wird beim Verdoppeln der Seitenlänge viermal so groß.
Punktprobe: Liegt P(−2 | −24) auf f(x) = 3x³? Einsetzen ergibt 3 · (−2)³ = −24. Der Punkt gehört zum Graphen.
Prüfe am Ende jeder Aufgabe: Ist x erlaubt? Wurde der ganze negative Wert potenziert? Passt das Vorzeichen? In einer Sachaufgabe kommen die Einheit und der sinnvolle Wertebereich dazu.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Symmetrie hat f(x) = −2x³?
Lösung und Rechenweg ansehen
Punktsymmetrie zum Ursprung. Der Exponent ist ungerade; der Vorfaktor ändert diese Symmetrie nicht.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Zahl ist bei f(x) = x⁻² ausgeschlossen?
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x = 0, denn x⁻² = und der Nenner darf nicht 0 sein.
Erklärung wiederholen →4 · Berechne 2⁻³.
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2⁻³ = = .
Erklärung wiederholen →5 · Was ist größer: 0,5² oder 0,5⁴?
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0,5² = 0,25 ist größer als 0,5⁴ = 0,0625.
Erklärung wiederholen →6 · Eine Würfelkante wird verdreifacht. Wie ändert sich das Volumen?
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Es wird 3³ = 27-mal so groß.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
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Definitions- und Wertemengen vertiefen
Ergänzendes kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Definitions- und Wertemengen verschiedener Funktionen. Es ist kein reines Potenzfunktionen-Arbeitsblatt.
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Definitionsbereich nachschlagen
Kostenlose Lernkarte zum Unterschied zwischen erlaubten Eingaben und möglichen Funktionswerten.
Material ansehen →Häufige Fragen
Sind Potenzfunktion und Exponentialfunktion dasselbe?
Nein. Bei x³ ist die Variable die Basis, bei 3ˣ steht sie im Exponenten.
Ist ein negativer Exponent ein negatives Ergebnis?
Nein. Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert. Zum Beispiel ist 2⁻² = 0,25 positiv.
Hat jede Potenzfunktion die Nullstelle 0?
Nein. Bei positiven ganzen Exponenten ja, wenn a ≠ 0. Bei negativen ganzen Exponenten ist x = 0 ausgeschlossen und es gibt keine Nullstelle.