Mathe · Klasse 8–10 · etwa 35–50 Minuten
Du berechnest Potenzfunktionswerte und erkennst Symmetrie, Definitions- und Wertemenge sowie die Wirkung des Vorfaktors.
Potenzen, negative Exponenten und Grundlagen zu Funktionen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Prüfe einen Funktionswert, eine Symmetrie und die erlaubten Eingaben.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit /. Symmetrie: y-Achse, Ursprung oder keine. Bedingungen etwa x != 0 oder y <= 0; alle für alle reellen Zahlen. Vergleiche: <, > oder =. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Die Variable ist die Basis
f(x) = a · xn
x², x³ und gehören zu derselben großen Familie. Der Exponent entscheidet über wichtige Eigenschaften.
Eine Potenzfunktion hat die Form f(x) = a · xn. Der Vorfaktor a und der Exponent n sind fest; die Variable x steht in der Basis. Hier betrachten wir a ≠ 0 und zunächst positive oder negative ganze Exponenten.
Beispiele sind f(x) = x², g(x) = 3x³ und h(x) = x⁻¹. Ein Ausdruck wie x² + 3x ist eine Summe von Potenztermen, aber keine einzelne Potenzfunktion dieser Form.
| Funktion | Was bleibt fest? | Was verändert sich? |
|---|---|---|
| f(x) = x³ | Exponent 3 | Basis x |
| g(x) = 3ˣ | Basis 3 | Exponent x |
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = x³; g(x) = 3ˣ
x = 2
Bei der Exponentialfunktion 3ˣ bleibt die Basis 3 fest.
Die Position der Variablen verändert den Rechenweg und den Funktionswert.
Bei einem positiven geraden Exponenten, etwa 2 oder 4, gilt (−x)ⁿ = xⁿ. Für a > 0 liegen alle Funktionswerte auf oder über der x-Achse. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Bei einem positiven ungeraden Exponenten, etwa 1 oder 3, gilt (−x)ⁿ = −xⁿ. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Für a > 0 steigt er über den gesamten Definitionsbereich streng an.
| Eigenschaft für a = 1 | n positiv und gerade | n positiv und ungerade |
|---|---|---|
| Definitionsbereich | alle reellen Zahlen | alle reellen Zahlen |
| Wertemenge | alle Werte ab 0 | alle reellen Zahlen |
| Nullstelle | x = 0 | x = 0 |
| Symmetrie | zur y-Achse | zum Ursprung |
Für beide Gruppen gilt f(1) = 1. Bei x = −1 erhältst du im geraden Fall 1 und im ungeraden Fall −1.
| x | −2 | −1 | 0 | 0,5 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x² | 4 | 1 | 0 | 0,25 | 1 | 4 |
| x³ | −8 | −1 | 0 | 0,125 | 1 | 8 |
| x⁴ | 16 | 1 | 0 | 0,0625 | 1 | 16 |
| x | x² | x³ | x⁴ |
|---|---|---|---|
| −2 | 4 | −8 | 16 |
| −1 | 1 | −1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 | 16 |
Beispiel · Schritt für Schritt
(−2)⁴ und −2⁴
Vier negative Faktoren ergeben ein positives Produkt. So setzt du x = −2 in x⁴ ein.
Ohne Klammer wird zuerst 2⁴ berechnet und erst danach das Minus angewendet.
Für x > 1 werden x², x³ und x⁴ mit höherem Exponenten größer. Zwischen 0 und 1 ist es umgekehrt: 0,5⁴ ist kleiner als 0,5². „Höherer Exponent bedeutet immer größerer Wert“ stimmt also nicht.
Lösung · Schritt für Schritt
2³ und 2⁴
0,5³ und 0,5⁴
Ein weiterer Faktor 2 vergrößert den Wert.
Ein weiterer Faktor 0,5 halbiert den bisherigen Wert.
Bei dieser Basis macht der höhere Exponent den Wert kleiner. Die Basis muss beim Vergleich berücksichtigt werden.
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = x³; g(x) = 2x³
x = 2
Für f(x) = x³ wird zuerst die dritte Potenz berechnet.
Bei g(x) = 2x³ wird das Ergebnis anschließend verdoppelt.
Jeder y-Wert wird mit 2 multipliziert. Das ist eine Streckung in y-Richtung.
| Vorfaktor | Wirkung gegenüber xⁿ |
|---|---|
| a < 0 | Spiegelung an der x-Achse, zusätzlich Skalierung mit |a| |
| |a| > 1 | Streckung in y-Richtung |
| 0 < |a| < 1 | Stauchung in y-Richtung |
Die Symmetrieart bleibt erhalten. f(x) = −2x² ist weiterhin achsensymmetrisch zur y-Achse; die Werte sind nun höchstens 0. f(x) = −x³ ist weiterhin punktsymmetrisch zum Ursprung, aber streng fallend.
Der Faktor steht außerhalb der Potenz: 2x³ bedeutet 2 · x³. Das ist nicht dasselbe wie (2x)³ = 8x³.
Die Regel
x⁻¹ = und x⁻² =
Allgemein gilt x⁻ᵐ = für positive ganze m und x ≠ 0. Die 0 ist ausgeschlossen, weil du sonst durch 0 teilen würdest.
Auch bei negativen ganzen Exponenten entscheidet gerade oder ungerade über die Symmetrie. x⁻² ist achsensymmetrisch zur y-Achse; x⁻¹ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für a = 1 sind bei geradem negativem Exponenten alle Werte positiv. Bei ungeradem negativem Exponenten kommen positive und negative Werte vor, aber niemals 0. Für große Beträge von x nähern sich die Werte der 0. Nahe x = 0 wachsen die Beträge der Funktionswerte unbegrenzt.
Bei n = 0 gilt x⁰ = 1 für x ≠ 0. Den Ausdruck 0⁰ verwenden wir hier nicht. Die konstante Funktion f(x) = a kann unabhängig davon auf ganz ℝ definiert werden.
Auch gebrochene Exponenten führen zu wichtigen Funktionen. Für x ≥ 0 gilt x hoch = √x. Diese Wurzelfunktion hat im Reellen den Definitionsbereich x ≥ 0 und den Wertebereich y ≥ 0.
Die Regeln „gerade oder ungerade“ beziehen sich auf ganze Exponenten. Übertrage sie nicht auf beliebige gebrochene Exponenten. Dort musst du den Definitionsbereich gesondert prüfen.
Die Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge x ist A(x) = x². Für die geometrische Aufgabe gilt x > 0, auch wenn die mathematische Funktion x² für negative x definiert ist.
Beispiel · Schritt für Schritt
Kantenlänge x → 2x
Die Kantenlänge muss positiv sein. Bei x in Zentimetern wird das Volumen in Kubikzentimetern angegeben.
Der Faktor 2 wirkt in allen drei Raumrichtungen und wird mit potenziert.
Der Würfel hat das achtfache Volumen.
Bei einer Fläche wird der Faktor nur quadriert: Die Fläche vervierfacht sich.
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = 3x³
P(−2 | −24)
Prüfe P(−2 | −24) an f(x) = 3x³. Die negative Eingabe steht in Klammern und ist erlaubt.
Ein ungerader Exponent erhält hier das negative Vorzeichen.
Der berechnete Funktionswert stimmt mit dem Punkt überein. P liegt auf dem Graphen.
Prüfe am Ende jeder Aufgabe: Ist x erlaubt? Wurde der ganze negative Wert potenziert? Passt das Vorzeichen? In einer Sachaufgabe kommen die Einheit und der sinnvolle Wertebereich dazu.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Bei f(x) = a · x^n steht x in der Basis. Negative Exponenten bedeuten Kehrwerte. Die Aufgaben fragen ausdrücklich nach Eingaben x oder Funktionswerten y.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = 3x⁴; x = −2
Die ganze negative Zahl wird potenziert.
Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt einen positiven Wert.
Multipliziere erst nach dem Potenzieren mit 3.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = −2x³
Prüfe die Symmetrie von f(x) = −2x³.
Beim Potenzieren mit 3 bleibt das Minus der Basis erhalten.
Damit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Vorfaktor −2 ändert diese Symmetrieart nicht.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = x⁻²
Der negative Exponent bedeutet, dass x² im Nenner steht.
Durch null darf nicht geteilt werden.
Nur x = 0 ist ausgeschlossen; negative Eingaben sind erlaubt.
Lösung · Schritt für Schritt
2⁻³
Der negative Exponent bedeutet nicht, dass das Ergebnis negativ ist.
Multipliziere drei Faktoren 2.
Der Wert ist positiv.
Lösung · Schritt für Schritt
0,5² und 0,5⁴
Multipliziere 0,5 mit sich selbst.
Quadriere den ersten Wert noch einmal.
Bei einer Basis zwischen 0 und 1 wird die Potenz mit wachsendem Exponenten kleiner.
Lösung · Schritt für Schritt
Kantenlänge x → 3x
Die Kantenlänge des Würfels ist x.
Der Faktor 3 wird ebenfalls hoch 3 genommen.
Das neue Volumen ist 27-mal so groß wie das ursprüngliche.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Ganzrationale Funktionen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Bei x³ ist die Variable die Basis, bei 3ˣ steht sie im Exponenten.
Nein. Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert. Zum Beispiel ist 2⁻² = 0,25 positiv.
Nein. Bei positiven ganzen Exponenten ja, wenn a ≠ 0. Bei negativen ganzen Exponenten ist x = 0 ausgeschlossen und es gibt keine Nullstelle.
Bei der Potenzfunktion x³ bleibt der Exponent 3 fest.