1 · Welche Werte sind bei ausgeschlossen?
Lösung und Rechenweg ansehen
x = −3 und x = 3, denn x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 9–13 · Grundlagen und Vertiefung
Gebrochen-rationale Funktionen und Asymptoten: verstehen und üben
Untersuche Funktionen mit x im Nenner: Definitionsbereich, Nullstellen, Polstellen, hebbare Lücken und Asymptoten. Mit beschriftetem Graphen, Beispielen und Aufgaben mit Lösungen.
Zuerst den Nenner prüfen
f(x) = + 1
x = 1 ist ausgeschlossen. Die zugehörigen Asymptoten sind x = 1 und y = 1.
Lernschritt 1
Was ist eine gebrochen-rationale Funktion?
Eine rationale Funktion ist ein Quotient aus zwei Polynomen:
f(x) =
Polynome sind Summen von Termen wie 3x², −2x und 5 mit nichtnegativen ganzen Exponenten. Der Nenner Q(x) darf nicht das Nullpolynom sein. Bei gebrochen-rationalen Funktionen ist der Nenner von x abhängig; die erlaubten x-Werte ergeben sich aus Q(x) ≠ 0.
Ein einfaches Beispiel ist f(x) = . Der Graph heißt Hyperbel. Diese Funktion kennst du auch als Potenzfunktion x⁻¹.
Lernschritt 2
Den Definitionsbereich bestimmen
Setze den ursprünglichen Nenner gleich 0 und schließe alle gefundenen reellen Werte aus. Das machst du vor dem Kürzen.
| Funktion | Nenner gleich 0 | Ausgeschlossene Werte |
|---|---|---|
| x − 3 = 0 | 3 | |
| (x − 2)(x + 2) = 0 | −2 und 2 | |
| keine reelle Lösung | keine |
Für die zweite Funktion lautet der Definitionsbereich: alle reellen Zahlen außer −2 und 2. Ein Nenner mit x bedeutet also nicht automatisch, dass 0 ausgeschlossen ist: Entscheidend sind seine tatsächlichen Nullstellen.
Lernschritt 3
Nullstellen und y-Achsenabschnitt finden
Ein Bruch ist genau dann 0, wenn sein Zähler 0 und sein Nenner nicht 0 ist. Bestimme daher zuerst die Zählernullstellen und prüfe anschließend, ob sie im Definitionsbereich liegen.
Beispiel: f(x) = . Der Wert x = −1 ist ausgeschlossen. Der Zähler wird bei x = 2 null; dort ist der Nenner 3. Somit ist (2 | 0) der Schnittpunkt mit der x-Achse.
Für den y-Achsenabschnitt setzt du x = 0 ein, sofern 0 erlaubt ist. Hier ist f(0) = −2. Der Graph schneidet die y-Achse bei (0 | −2).
Wenn Zähler und Nenner zugleich 0 werden, ist die Stelle zunächst nicht definiert. Sie ist keine Nullstelle der ursprünglichen Funktion. Prüfe dann durch Faktorisieren und Kürzen, welcher Lückentyp vorliegt.
Lernschritt 4
Senkrechte Asymptoten und Polstellen erkennen
An einer Polstelle werden die Beträge der Funktionswerte beim Annähern unbegrenzt groß. Die Gerade x = d ist dann eine senkrechte Asymptote.
Bei f(x) = + 1 liegt die Polstelle bei x = 1. Näherst du dich von rechts, wachsen die Werte gegen +∞. Von links fallen sie gegen −∞.
Eine Polstelle muss nicht auf beiden Seiten verschiedene Vorzeichen haben. Bei wachsen die Werte von beiden Seiten gegen +∞.
Für gebrochen-rationale Funktionen hilft diese Regel: Faktorisiere und kürze zuerst gemeinsame Faktoren. Bleibt eine Nennernullstelle im vollständig gekürzten Bruch bestehen, liegt dort eine Polstelle vor.
Lernschritt 5
Ein Loch im Graphen von einer Polstelle unterscheiden
Betrachte f(x) = . Der ursprüngliche Nenner schließt x = 1 aus. Mit der dritten binomischen Formel erhältst du:
= x + 1 für x ≠ 1
Der Graph stimmt mit der Geraden y = x + 1 überein, hat aber ein Loch bei (1 | 2). Die Werte nähern sich dort 2 statt unbegrenzt groß zu werden. Das ist eine hebbare Definitionslücke.
Kürzen stellt den ausgeschlossenen Wert nicht wieder her. Erst wenn du die Funktion ausdrücklich durch f(1) = 2 ergänzt, ist das Loch geschlossen.
Ein gemeinsamer Faktor allein reicht für eine hebbare Lücke noch nicht: Bei bleibt nach dem Kürzen übrig. Hier bleibt x = 1 eine Polstelle.
Lernschritt 6
Waagerechte Asymptoten bestimmen
Eine waagerechte Asymptote y = L beschreibt, welchem Wert sich f(x) für x → +∞ oder x → −∞ nähert. Bei + 1 wird der Bruch für große Beträge von x immer kleiner. Deshalb lautet die waagerechte Asymptote y = 1.
Bei Quotienten aus Polynomen helfen die höchsten Potenzen. Der Grad ist jeweils der größte vorkommende Exponent mit einem von 0 verschiedenen Koeffizienten.
| Vergleich der Grade | Waagerechte Asymptote |
|---|---|
| Zählergrad kleiner als Nennergrad | y = 0 |
| Zählergrad gleich Nennergrad | Quotient der führenden Koeffizienten |
| Zählergrad größer als Nennergrad | keine waagerechte Asymptote |
Beispiel: Bei sind die Grade gleich. Die waagerechte Asymptote ist y = . Bei ist der Zählergrad kleiner, also y = 0.
Lernschritt 7
Schiefe Asymptoten als nächster Schritt
Ist der Zählergrad genau um 1 größer als der Nennergrad, liefert die Polynomdivision eine lineare Funktion plus einen Restbruch, der für große Beträge von x gegen 0 geht.
Beispiel:
= x +
Weil der zweite Term gegen 0 geht, ist y = x die schiefe Asymptote. Bei einem noch größeren Gradunterschied kann eine polynomiale Annäherungsfunktion höheren Grades entstehen; eine Gerade genügt dann nicht.
Ein Graph darf eine waagerechte oder schiefe Asymptote schneiden. Eine Asymptote beschreibt das Annäherungsverhalten und ist keine allgemeine „verbotene Linie“. An einer senkrechten Asymptote liegt hier dagegen eine ausgeschlossene x-Stelle.
Lernschritt 8
Eine Funktion systematisch untersuchen
- Notiere den ursprünglichen Definitionsbereich.
- Faktorisiere Zähler und Nenner und kürze gemeinsame Faktoren.
- Unterscheide Polstellen und hebbare Lücken.
- Bestimme Nullstellen und gegebenenfalls den y-Achsenabschnitt.
- Untersuche das Verhalten für große positive und negative x.
- Zeichne Asymptoten gestrichelt und ergänze einige Funktionswerte.
- Zeichne getrennte Äste an Polstellen und markiere hebbare Lücken als offene Punkte.
Prüfe die Seiten einer Polstelle einzeln. Verbinde niemals zwei Punkte durch eine ausgeschlossene Stelle hindurch, nur weil sie in der Wertetabelle nebeneinander stehen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Bestimme die Nullstelle von .
Lösung und Rechenweg ansehen
x = 4. Der Nenner ist dort 6 und damit nicht 0.
Erklärung wiederholen →3 · Welche senkrechte Asymptote hat ?
Lösung und Rechenweg ansehen
x = −3. Dort bleibt eine Nennernullstelle ohne Kürzungsmöglichkeit.
Erklärung wiederholen →4 · Welche waagerechte Asymptote hat ?
Lösung und Rechenweg ansehen
y = . Zähler und Nenner haben denselben Grad.
Erklärung wiederholen →5 · Was passiert bei x = 2 für ?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nach Kürzen entsteht x + 2 für x ≠ 2. Es bleibt eine hebbare Lücke bei (2 | 4), keine Polstelle.
Erklärung wiederholen →6 · Welche schiefe Asymptote hat ?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Funktion ist x + . Der Restbruch geht für große Beträge von x gegen 0. Daher y = x.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Kostenlos weiterlernen
Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Vertiefung für die Oberstufe
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zu gebrochenrationalen Funktionen für Klasse 11–13. Nutze es nach den Grundlagen dieser Seite.
Material ansehen →
Kostenlos · Lernkarte · PDF
Asymptoten nachschlagen
Kostenlose Lernkarte zum Verhalten von Funktionen und den Arten von Asymptoten.
Material ansehen →Häufige Fragen
Ist jede Nennernullstelle eine Polstelle?
Nein. Wenn sich der betreffende Nennerfaktor vollständig wegkürzt, kann eine hebbare Lücke bleiben. Prüfe den vollständig gekürzten Bruch.
Kann ich ausgeschlossene Stellen nach dem Kürzen einsetzen?
Nicht in die ursprüngliche Funktion. Deren Definitionsbereich bleibt bestehen. Eine Ergänzung an einer hebbaren Lücke wäre eine ausdrücklich neu definierte Funktion.
Kann ein Graph seine Asymptote schneiden?
Eine waagerechte oder schiefe Asymptote darf er schneiden. Eine senkrechte Asymptote an einer Polstelle liegt hier außerhalb des Definitionsbereichs.