1 · Berechne log₂(32).
Lösung und Rechenweg ansehen
5, denn 2⁵ = 32.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Logarithmen: verstehen und üben
Was bedeutet ein Logarithmus? Finde den gesuchten Exponenten, wende Logarithmengesetze an und rechne sicher mit log und ln. Mit Beispielen, Graph, Selbstcheck und kostenlosen Materialien.
Gesucht ist der Exponent
2³ = 8
log2(8) = 3
„Mit welchem Exponenten muss ich 2 potenzieren, damit 8 herauskommt?“ Die Antwort lautet 3.
Lernschritt 1
Der Logarithmus als Frage nach dem Exponenten
Beim Potenzieren kennst du Basis und Exponent und berechnest den Wert. Beim Logarithmieren kennst du Basis und Wert und suchst den Exponenten.
bx = a ⇔ logb(a) = x
Die kleine Zahl b am Logarithmus ist die Basis. a heißt Argument: die Zahl, von der du den Logarithmus bildest. Das Ergebnis x ist ein Exponent.
| Potenzschreibweise | Logarithmusschreibweise | Bedeutung |
|---|---|---|
| 2³ = 8 | log2(8) = 3 | 2 hoch 3 ergibt 8 |
| 10² = 100 | log10(100) = 2 | 10 hoch 2 ergibt 100 |
| 3⁴ = 81 | log3(81) = 4 | 3 hoch 4 ergibt 81 |
Sprich zum Beispiel „Logarithmus von 8 zur Basis 2“. Der Logarithmus ist keine Division durch die Basis.
Lernschritt 2
Wann ist ein Logarithmus definiert?
Für reelle Logarithmen gelten drei Bedingungen:
- Die Basis ist positiv: b > 0.
- Die Basis ist nicht 1: b ≠ 1.
- Das Argument ist positiv: a > 0.
Warum? Für eine positive Basis ist bˣ immer positiv. Deshalb kannst du durch Potenzieren dieser Basis weder 0 noch eine negative Zahl erreichen. Bei der Basis 1 wäre das Ergebnis immer 1; ein eindeutiger gesuchter Exponent wäre nicht bestimmbar.
Ein Logarithmus darf ein negatives Ergebnis haben. Nur sein Argument muss positiv sein. Beispiel: log2(0,5) = −1, denn 2⁻¹ = 0,5.
Lernschritt 3
Einfache Logarithmen ohne Taschenrechner bestimmen
Übersetze den Ausdruck zuerst in eine Potenzfrage. Für log5(25) fragst du: 5 hoch welche Zahl ergibt 25? Weil 5² = 25, ist das Ergebnis 2.
| Ausdruck | Ergebnis | Probe |
|---|---|---|
| logb(1) | 0 | b⁰ = 1 |
| logb(b) | 1 | b¹ = b |
| log10(0,01) | −2 | 10⁻² = 0,01 |
| log4(2) | 4 hoch ist √4 = 2 |
Auch eine Basis zwischen 0 und 1 ist erlaubt. Zum Beispiel ist log0,5(0,25) = 2, weil 0,5² = 0,25. Die Basis darf also klein sein, solange sie positiv und nicht 1 ist.
Probier es selbst: Bestimme log3(1) und log3(27).
Lösung ansehen
Die Ergebnisse sind 0 und 3, denn 3⁰ = 1 und 3³ = 27.
Lernschritt 4
Den Graphen einer Logarithmusfunktion verstehen
Für y = log₂(x) gilt: Verdoppelst du x, steigt y um 1. Die Funktion wächst, aber ihr Graph wird dabei zunehmend flacher. Er verläuft durch (1 | 0).
Alle Logarithmusfunktionen y = logb(x) haben den Definitionsbereich x > 0 und den Punkt (1 | 0). Für b > 1 sind sie streng steigend. Für 0 < b < 1 sind sie streng fallend. Die senkrechte Achse x = 0 ist eine Asymptote: Der Graph nähert sich ihr an, ohne sie zu schneiden.
Lernschritt 5
Die drei wichtigsten Logarithmengesetze
Die folgenden Regeln gelten für dieselbe zulässige Basis b. Dabei müssen u und v positiv sein; r darf eine reelle Zahl sein.
| Regel | Formel |
|---|---|
| Produkt wird Summe | logb(u · v) = logb(u) + logb(v) |
| Quotient wird Differenz | logb() = logb(u) − logb(v) |
| Exponent wird Faktor | logb(ur) = r · logb(u) |
Produktbeispiel: log₂(8 · 4) = log₂(8) + log₂(4) = 3 + 2 = 5. Zur Probe: 8 · 4 = 32 = 2⁵.
Quotientenbeispiel: log₁₀() = 3 − 1 = 2.
Potenzbeispiel: ln(x³) = 3 · ln(x) für x > 0. Diese Regel hilft später, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu holen.
Für Summen gibt es keine entsprechende Zerlegung: log₂(8 + 8) = log₂(16) = 4. Dagegen wäre log₂(8) + log₂(8) = 6. Die beiden Ausdrücke sind nicht gleich.
Lernschritt 6
Mit log, ln und dem Basiswechsel rechnen
Auf vielen Taschenrechnern steht log für den Zehnerlogarithmus, also die Basis 10. ln steht für den natürlichen Logarithmus zur Basis e. Die Zahl e ist ungefähr 2,71828. Prüfe bei einer unklaren Beschriftung, welche Basis dein Rechner verwendet.
Eine andere Basis kannst du mit dem Basiswechsel berechnen:
logb(a) =
Alternativ kannst du im Zähler und Nenner jeweils den Zehnerlogarithmus verwenden. Wichtig ist, auf beiden Seiten des Bruchs dieselbe Logarithmusart zu benutzen.
log2(10) = ≈ 3,322
Das Ergebnis muss zwischen 3 und 4 liegen, weil 2³ = 8 und 2⁴ = 16. Diese Abschätzung hilft, Eingabefehler zu erkennen.
Lernschritt 7
Eine einfache Logarithmusgleichung lösen
Beispiel: log₂(x − 1) = 3. Bevor du umformst, prüfst du das Argument: x − 1 > 0, also x > 1.
- Übersetze in die Potenzschreibweise: x − 1 = 2³.
- Berechne die Potenz: x − 1 = 8.
- Löse nach x auf: x = 9.
- Prüfe die Bedingung: 9 > 1 stimmt.
- Probe: log₂(9 − 1) = log₂(8) = 3.
Behalte solche Bedingungen auch bei längeren Rechnungen im Blick. Ein rechnerisch gefundener Wert kann ausscheiden, wenn ein ursprüngliches Logarithmusargument nicht positiv ist.
Lernschritt 8
Typische Fehler vermeiden
- Basis und Ergebnis verwechselt: Der Logarithmus liefert einen Exponenten.
- log(0) eingegeben: 0 ist kein erlaubtes Argument.
- Negatives Ergebnis für unmöglich gehalten: Bei positiven Argumenten unter 1 und einer Basis über 1 ist es ganz normal.
- Summe zerlegt: Die Produktregel gilt für ein Produkt, nicht für eine Summe.
- Beim Basiswechsel log und ln gemischt: Nutze im Zähler und Nenner dieselbe Art.
Eine schnelle Probe ist immer möglich: Potenziere die Basis mit deinem Ergebnis. Dann solltest du das ursprüngliche Argument erhalten, bei gerundeten Ergebnissen näherungsweise.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Berechne log₁₀(0,001).
Lösung und Rechenweg ansehen
−3, denn 10⁻³ = 0,001.
Erklärung wiederholen →3 · Ist log₃(−9) als reelle Zahl definiert?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Das Argument −9 ist negativ.
Erklärung wiederholen →4 · Vereinfache log₂(4) + log₂(8).
Lösung und Rechenweg ansehen
2 + 3 = 5. Mit der Produktregel ist das log₂(32).
Erklärung wiederholen →5 · Berechne log₂(8 + 8).
Lösung und Rechenweg ansehen
log₂(16) = 4. Die Summe darf nicht in zwei Logarithmen zerlegt werden.
Erklärung wiederholen →6 · Löse log₃(x − 2) = 2.
Lösung und Rechenweg ansehen
Bedingung: x > 2. Dann x − 2 = 3² = 9, also x = 11. Die Bedingung ist erfüllt.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Kostenlos weiterlernen
Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Logarithmen üben
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zur Grundidee und zum Rechnen mit Logarithmen.
Material ansehen →
Kostenlos · Lernkarte · PDF
Die Grundidee nachschlagen
Kostenlose Lernkarte zum Zusammenhang zwischen Potenz und Logarithmus.
Material ansehen →Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen log und ln?
ln ist der Logarithmus zur Basis e. log bezeichnet auf vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 10; bei anderer Verwendung muss die Basis aus dem Kontext klar sein.
Kann ein Logarithmus negativ sein?
Ja. Beispielsweise ist log₂(0,5) = −1. Das Argument 0,5 bleibt dabei positiv.
Warum darf die Basis nicht 1 sein?
Weil 1 hoch jeden Exponenten wieder 1 ergibt. Daraus lässt sich kein eindeutiger Exponent bestimmen.