1 · Berechne log₂(32).
Lösung und Rechenweg ansehen
5, denn 2⁵ = 32.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · etwa 35–50 Minuten
Logarithmen
Du deutest Logarithmen als Exponenten, prüfst ihre Bedingungen und löst passende Rechenaufgaben und Gleichungen.
Voraussetzungen ansehen
Potenzgesetze und lineare Gleichungen; für die letzte Übungsaufgabe quadratische Gleichungen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Berechne einen Logarithmus, prüfe ein Argument und löse eine einfache Logarithmusgleichung.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit /. Exakte Ausdrücke sind möglich: ln(7)/ln(3). log(...) bedeutet Basis 10. Mehrere Lösungen mit Semikolon trennen; keine Lösung: keine. Definitionsbereiche etwa x > 3. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Der Logarithmus als Frage nach dem Exponenten
Gesucht ist der Exponent
2³ = 8
log2(8) = 3
„Mit welchem Exponenten muss ich 2 potenzieren, damit 8 herauskommt?“ Die Antwort lautet 3.
Beim Potenzieren kennst du Basis und Exponent und berechnest den Wert. Beim Logarithmieren kennst du Basis und Wert und suchst den Exponenten.
Die Regel
bx = a ⇔ logb(a) = x
Die kleine Zahl b am Logarithmus ist die Basis. a heißt Argument: die Zahl, von der du den Logarithmus bildest. Das Ergebnis x ist ein Exponent.
| Potenzschreibweise | Logarithmusschreibweise | Bedeutung |
|---|---|---|
| 2³ = 8 | log2(8) = 3 | 2 hoch 3 ergibt 8 |
| 10² = 100 | log10(100) = 2 | 10 hoch 2 ergibt 100 |
| 3⁴ = 81 | log3(81) = 4 | 3 hoch 4 ergibt 81 |
Sprich zum Beispiel „Logarithmus von 8 zur Basis 2“. Der Logarithmus ist keine Division durch die Basis.
Wann ist ein Logarithmus definiert?
Für reelle Logarithmen gelten drei Bedingungen:
- Die Basis ist positiv: b > 0.
- Die Basis ist nicht 1: b ≠ 1.
- Das Argument ist positiv: a > 0.
Warum? Für eine positive Basis ist bˣ immer positiv. Deshalb kannst du durch Potenzieren dieser Basis weder 0 noch eine negative Zahl erreichen. Bei der Basis 1 wäre das Ergebnis immer 1; ein eindeutiger gesuchter Exponent wäre nicht bestimmbar.
Ein Logarithmus darf ein negatives Ergebnis haben. Nur sein Argument muss positiv sein. Beispiel: log2(0,5) = −1, denn 2⁻¹ = 0,5.
Einfache Logarithmen ohne Taschenrechner bestimmen
Übersetze den Ausdruck zuerst in eine Potenzfrage. Für log5(25) fragst du: 5 hoch welche Zahl ergibt 25? Weil 5² = 25, ist das Ergebnis 2.
| Ausdruck | Ergebnis | Probe |
|---|---|---|
| logb(1) | 0 | b⁰ = 1 |
| logb(b) | 1 | b¹ = b |
| log10(0,01) | −2 | 10⁻² = 0,01 |
| log4(2) | 4 hoch ist √4 = 2 |
Auch eine Basis zwischen 0 und 1 ist erlaubt. Zum Beispiel ist log0,5(0,25) = 2, weil 0,5² = 0,25. Die Basis darf also klein sein, solange sie positiv und nicht 1 ist.
Probier es selbst: Bestimme log3(1) und log3(27).
Lösung ansehen
Die Ergebnisse sind 0 und 3, denn 3⁰ = 1 und 3³ = 27.
Den Graphen einer Logarithmusfunktion verstehen
Für y = log₂(x) gilt: Verdoppelst du x, steigt y um 1. Die Funktion wächst, aber ihr Graph wird dabei zunehmend flacher. Er verläuft durch (1 | 0).
Alle Logarithmusfunktionen y = logb(x) haben den Definitionsbereich x > 0 und den Punkt (1 | 0). Für b > 1 sind sie streng steigend. Für 0 < b < 1 sind sie streng fallend. Die senkrechte Achse x = 0 ist eine Asymptote: Der Graph nähert sich ihr an, ohne sie zu schneiden.
Die drei wichtigsten Logarithmengesetze
Die folgenden Regeln gelten für dieselbe zulässige Basis b. Dabei müssen u und v positiv sein; r darf eine reelle Zahl sein.
| Regel | Formel |
|---|---|
| Produkt wird Summe | logb(u · v) = logb(u) + logb(v) |
| Quotient wird Differenz | logb() = logb(u) − logb(v) |
| Exponent wird Faktor | logb(ur) = r · logb(u) |
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne mit der Produktregel
log₂(8 · 4)
Produktbeispiel: log₂(8 · 4).
RechnungErklärung zum Schritt
log₂(8 · 4)
= log₂(8) + log₂(4)
= log₂(8) + log₂(4)
log₂(8 · 4) = 3 + 2
2 Einzelne Werte bestimmen
2³ = 8 und 2² = 4. Die Logarithmen sind also 3 und 2.
log₂(8 · 4) = 5
3 Addieren
Addiere die beiden Exponenten.
Probe: 8 · 4 = 32 = 2⁵.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne mit der Quotientenregel
log₁₀(1000 : 10)
Quotientenbeispiel: log₁₀().
RechnungErklärung zum Schritt
log₁₀()
= log₁₀(1000) − log₁₀(10)
= log₁₀(1000) − log₁₀(10)
1 Quotientenregel anwenden
Zähler und Nenner sind positiv; die Basis 10 ist zulässig.
log₁₀() = 3 − 1
2 Werte bestimmen
10³ = 1000 und 10¹ = 10.
log₁₀() = 2
3 Subtrahieren
Der Quotient ist 100, und 10² = 100.
Potenzbeispiel: ln(x³) = 3 · ln(x) für x > 0. Diese Regel hilft später, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu holen.
Für Summen gibt es keine entsprechende Zerlegung: log₂(8 + 8) = log₂(16) = 4. Dagegen wäre log₂(8) + log₂(8) = 6. Die beiden Ausdrücke sind nicht gleich.
Mit log, ln und dem Basiswechsel rechnen
Auf vielen Taschenrechnern steht log für den Zehnerlogarithmus, also die Basis 10. ln steht für den natürlichen Logarithmus zur Basis e. Die Zahl e ist ungefähr 2,71828. Prüfe bei einer unklaren Beschriftung, welche Basis dein Rechner verwendet.
Eine andere Basis kannst du mit dem Basiswechsel berechnen:
Die Regel
logb(a) =
Alternativ kannst du im Zähler und Nenner jeweils den Zehnerlogarithmus verwenden. Wichtig ist, auf beiden Seiten des Bruchs dieselbe Logarithmusart zu benutzen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne mithilfe des Basiswechsels
log₂(10)
RechnungErklärung zum Schritt
log₂(10) =
1 Basis wechseln
Argument 10 und Basis 2 sind positiv; 2 ist ungleich 1. Nutze im Zähler und Nenner denselben Logarithmus.
log₂(10) ≈ 3,322
2 Berechnen
Der Bruch ist exakt. Runde erst nach der Division.
2³ = 8 < 10 < 16 = 2⁴
3 Größenordnung prüfen
Weil die Basis 2 größer als 1 ist, muss das Ergebnis zwischen 3 und 4 liegen. Die Abschätzung hilft, Eingabefehler zu erkennen.
Eine einfache Logarithmusgleichung lösen
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse die Logarithmusgleichung
log₂(x − 1) = 3
Beispiel: log₂(x − 1) = 3.
RechnungErklärung zum Schritt
x − 1 > 0 ⇔ x > 1
1 Definitionsbedingung
Das ursprüngliche Argument muss positiv sein. Die Basis 2 ist zulässig.
x − 1 = 2³
2 In Potenzschreibweise übersetzen
log₂(x − 1) = 3 bedeutet: 2 hoch 3 ergibt x − 1.
x − 1 = 8
3 Potenz berechnen
2³ = 8.
x = 9
4 1 addieren
Addiere auf beiden Seiten 1.
9 > 1
5 Bedingung prüfen
9 liegt im erlaubten Bereich. Die Lösung ist x = 9.
Probe: log₂(9 − 1) = log₂(8) = 3.
Behalte solche Bedingungen auch bei längeren Rechnungen im Blick. Ein rechnerisch gefundener Wert kann ausscheiden, wenn ein ursprüngliches Logarithmusargument nicht positiv ist.
Typische Fehler vermeiden
- Basis und Ergebnis verwechselt: Der Logarithmus liefert einen Exponenten.
- log(0) eingegeben: 0 ist kein erlaubtes Argument.
- Negatives Ergebnis für unmöglich gehalten: Bei positiven Argumenten unter 1 und einer Basis über 1 ist es ganz normal.
- Summe zerlegt: Die Produktregel gilt für ein Produkt, nicht für eine Summe.
- Beim Basiswechsel log und ln gemischt: Nutze im Zähler und Nenner dieselbe Art.
Eine schnelle Probe ist immer möglich: Potenziere die Basis mit deinem Ergebnis. Dann solltest du das ursprüngliche Argument erhalten, bei gerundeten Ergebnissen näherungsweise.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. log_b(a) bezeichnet den Logarithmus von a zur Basis b. Bei jeder Gleichung bleiben die Bedingungen der ursprünglichen Argumente verbindlich.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Berechne log₁₀(0,001).
Lösung und Rechenweg ansehen
−3, denn 10⁻³ = 0,001.
Erklärung wiederholen →3 · Ist log₃(−9) als reelle Zahl definiert?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Das Argument −9 ist negativ.
Erklärung wiederholen →4 · Vereinfache log₂(4) + log₂(8).
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Fasse zusammen und berechne
log₂(4) + log₂(8)
Ausgangsterm
Beide Argumente sind positiv; beide Logarithmen haben dieselbe zulässige Basis.
RechnungErklärung zum Schritt
log₂(4) + log₂(8)
= log₂(4 · 8)
= log₂(4 · 8)
1 Produktregel rückwärts
Eine Summe von Logarithmen wird zum Logarithmus des Produkts.
log₂(4 · 8) = log₂(32)
2 Multiplizieren
4 · 8 = 32.
log₂(32) = 5
3 Ergebnis
2⁵ = 32. Direkt geht es ebenfalls: log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.
5 · Berechne log₂(8 + 8).
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne zuerst die Summe im Argument
log₂(8 + 8)
Ausgangsterm
Das Argument ist eine Summe. Dafür darfst du die Produktregel nicht anwenden.
RechnungErklärung zum Schritt
log₂(8 + 8) = log₂(16)
1 Zuerst addieren
Berechne die Summe innerhalb der Klammer.
log₂(16) = 4
2 Logarithmus bestimmen
2⁴ = 16. Die Summe im Argument darf nicht in zwei Logarithmen zerlegt werden.
6 · Löse log₃(x − 2) = 2.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse und prüfe die Definitionsbedingung
log₃(x − 2) = 2
RechnungErklärung zum Schritt
x − 2 > 0 ⇔ x > 2
1 Definitionsbedingung
Das ursprüngliche Argument muss positiv sein.
x − 2 = 3²
2 Potenzschreibweise
log₃(x − 2) = 2 bedeutet: 3² ist gleich x − 2.
x − 2 = 9
3 Potenz berechnen
3² = 9.
x = 11
4 2 addieren
Addiere auf beiden Seiten 2.
11 > 2
5 Bedingung prüfen
Die Bedingung ist erfüllt. Die Lösung ist x = 11.
Probe: log₃(11 − 2) = log₃(9) = 2.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
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Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Exponentialgleichungen →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen log und ln?
ln ist der Logarithmus zur Basis e. log bezeichnet auf vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 10; bei anderer Verwendung muss die Basis aus dem Kontext klar sein.
Kann ein Logarithmus negativ sein?
Ja. Beispielsweise ist log₂(0,5) = −1. Das Argument 0,5 bleibt dabei positiv.
Warum darf die Basis nicht 1 sein?
Weil 1 hoch jeden Exponenten wieder 1 ergibt. Daraus lässt sich kein eindeutiger Exponent bestimmen.
Beide Faktoren sind positiv und die Basis 2 ist zulässig.