1 · Welcher Faktor gehört zu 12 % Wachstum pro Jahr?
Lösung und Rechenweg ansehen
q = 1,12. Die bisherigen 100 % und 12 % Zuwachs ergeben zusammen 112 %.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Exponentialfunktionen und Wachstum: verstehen und üben
Erkenne exponentielles Wachstum und Zerfall, bestimme den Wachstumsfaktor und stelle ein passendes Modell auf. Mit Wertetabellen, Graphen, Rechenbeispielen und kostenlosen Arbeitsblättern.
Immer derselbe Faktor
100 → 120 → 144 → 172,8
Jeder Schritt bedeutet mal 1,2, also 20 % mehr als im vorherigen Schritt. Der Zuwachs in Zahlen wird dabei größer.
Lernschritt 1
Was bedeutet exponentielles Wachstum?
Bei exponentiellem Wachstum wird eine Größe in gleich langen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor multipliziert. Der prozentuale Zuwachs bleibt gleich, der absolute Zuwachs verändert sich.
Beispiel: Eine Modellpopulation wächst pro Tag um 20 %. Aus 100 werden 120, danach 144 und danach 172,8. Die Zuwächse sind 20, 24 und 28,8. Dezimalwerte können in einem Modell auftreten, auch wenn man einzelne Lebewesen nur ganzzahlig zählen kann.
Ein exponentielles Modell beschreibt eine angenommene Entwicklung. In der Realität können begrenzte Ressourcen oder veränderte Bedingungen dazu führen, dass ein konstanter Wachstumsfaktor nur zeitweise passt.
Lernschritt 2
Die Funktionsgleichung verstehen
N(t) = N₀ · qt
N₀ ist der Anfangswert bei t = 0. q ist der Faktor pro Zeiteinheit. t zählt die verstrichenen Zeiteinheiten. Für Bestandsmodelle verwenden wir N₀ > 0 und q > 0.
| Faktor | Entwicklung | Beispiel |
|---|---|---|
| q > 1 | Wachstum | q = 1,2: 20 % Zunahme pro Schritt |
| 0 < q < 1 | Abnahme oder Zerfall | q = 0,8: 20 % Abnahme pro Schritt |
| q = 1 | Konstanter Bestand | Der Anfangswert bleibt erhalten |
Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten, etwa f(x) = 2ˣ. Das unterscheidet sie von der Potenzfunktion f(x) = x². Im mathematischen Grundmodell N₀ · qᵗ ist der Definitionsbereich für q > 0 ganz ℝ; bei einer Zeitaufgabe betrachten wir meist t ≥ 0 oder nur ganze Zeitschritte.
Eine Exponentialfunktion mit q ≠ 1 und positivem Anfangswert bleibt positiv. Sie schneidet die waagerechte Achse nicht. Ihr Schnittpunkt mit der senkrechten Achse liegt bei (0 | N₀).
Lernschritt 3
Prozentsatz in Wachstumsfaktor umrechnen
Bei einer Zunahme um p % bleiben die bisherigen 100 % erhalten und p % kommen hinzu. Bei einer Abnahme um p % bleiben 100 % − p % übrig.
Zunahme: q = 1 +
Abnahme: q = 1 −
| Änderung pro Zeiteinheit | Faktor |
|---|---|
| +5 % | 1,05 |
| +30 % | 1,30 |
| −5 % | 0,95 |
| −30 % | 0,70 |
Umgekehrt bedeutet q = 1,08 eine Zunahme um 8 %. q = 0,92 bedeutet eine Abnahme um 8 %. Für das positive Zerfallsmodell liegt die prozentuale Abnahme zwischen 0 % und 100 %.
20 % Zunahme bedeutet mal 1,2, nicht mal 0,2. Der Faktor 0,2 würde nur 20 % des vorherigen Bestands übrig lassen.
Lernschritt 4
Einen Bestand nach mehreren Schritten berechnen
Wachstum: Eine Größe startet bei 250 und nimmt pro Woche um 8 % zu. Gesucht ist der Wert nach drei Wochen.
- Anfangswert: N₀ = 250.
- Faktor: q = 1,08.
- Zeit: t = 3, passend zur Einheit Wochen.
- Einsetzen: N(3) = 250 · 1,08³ = 314,928.
Der Wert beträgt nach drei Wochen ungefähr 314,93. Runde passend zur Aufgabenstellung erst am Ende.
Abnahme: Eine Modellmenge von 500 g nimmt pro Stunde um 10 % ab. Nach vier Stunden bleibt:
N(4) = 500 · 0,9⁴ = 328,05 g
Es werden in jeder Stunde 10 % der jeweils noch vorhandenen Menge abgezogen. Deshalb darfst du nicht viermal 50 g vom Anfangswert abziehen.
Lernschritt 5
Lineares und exponentielles Wachstum vergleichen
| Zeit t | Linear: jeweils +50 | Exponentiell: jeweils ·1,5 |
|---|---|---|
| 0 | 100 | 100 |
| 1 | 150 | 150 |
| 2 | 200 | 225 |
| 3 | 250 | 337,5 |
| 4 | 300 | 506,25 |
| 5 | 350 | 759,375 |
Beim linearen Modell ist die Differenz aufeinanderfolgender Werte gleich. Beim exponentiellen Modell ist ihr Quotient gleich. Die Zeitabstände müssen für diesen Vergleich jeweils gleich groß sein.
Zwei Messwerte allein reichen nicht aus, um sicher zwischen beiden Modellen zu entscheiden. Im Beispiel stimmen sogar die ersten beiden Werte überein. Weitere Werte und Wissen über den Vorgang helfen bei der Modellwahl.
Lernschritt 6
Ein Modell aus gegebenen Werten bestimmen
Sind Anfangswert und Wert nach einem Schritt bekannt, erhältst du den Faktor durch Division:
q =
Beispiel: Aus 80 werden nach einem Tag 100. Dann ist q = = 1,25. Das Modell lautet N(t) = 80 · 1,25ᵗ, wenn derselbe Faktor täglich gilt.
Liegen mehrere Schritte dazwischen, ist der Quotient zunächst der Gesamtfaktor. Beispiel: Aus 200 werden in zwei Jahren 242.
q² = = 1,21 → q = √1,21 = 1,1
Bei konstantem jährlichem Faktor bedeutet das 10 % Zunahme pro Jahr. Ein Gesamtzuwachs von 21 % über zwei Jahre entspricht hier also nicht 10,5 % pro Jahr.
Lernschritt 7
Verdopplungszeit und Halbwertszeit
Die Verdopplungszeit ist die Zeit, in der sich ein exponentiell wachsender Bestand verdoppelt. Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der ein exponentiell abnehmender Bestand auf die Hälfte sinkt.
Bei einer Verdopplung alle drei Stunden kannst du das Modell direkt schreiben als:
N(t) = N₀ · 2
Dabei wird t in Stunden eingesetzt. Nach 3 Stunden gilt N = 2N₀, nach 6 Stunden N = 4N₀.
Bei einer Halbierung alle vier Tage lautet das Modell:
N(t) = N₀ · 0,5
Hier wird t in Tagen eingesetzt. Nach 4 Tagen bleibt die Hälfte, nach 8 Tagen ein Viertel. Bei einem beliebigen Faktor lässt sich die gesuchte Zeit später mithilfe von Logarithmen bestimmen.
Lernschritt 8
Ein Modell prüfen und typische Fehler vermeiden
- Zeit und Faktor passen nicht zusammen: Bei einem Monatsfaktor musst du t in Monaten einsetzen.
- Prozentzahl statt Faktor verwendet: 5 % Wachstum wird zu q = 1,05.
- Immer denselben Betrag addiert: Das wäre ein lineares Modell.
- Zu früh gerundet: Besonders bei vielen Schritten kann sich der Fehler verstärken.
- Modell grenzenlos fortgeschrieben: Prüfe, über welchen Zeitraum die Annahmen sinnvoll sind.
Setze t = 0 ein: Du musst den Anfangswert erhalten. Prüfe zusätzlich den Wert nach einem Schritt. Beim Zerfall bleibt der Bestand im Modell positiv und nähert sich mit zunehmender Zeit der 0 an.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welcher Faktor gehört zu 7 % Abnahme pro Tag?
Lösung und Rechenweg ansehen
q = 0,93, denn 100 % − 7 % = 93 %.
Erklärung wiederholen →3 · Berechne N(2) für N(t) = 100 · 1,2ᵗ.
Lösung und Rechenweg ansehen
N(2) = 100 · 1,2² = 144.
Erklärung wiederholen →4 · 50, 60, 72: Welches Modell passt bei gleichen Zeitabständen?
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Exponentiell mit q = 1,2, denn = = 1,2. Die Differenzen 10 und 12 sind verschieden.
Erklärung wiederholen →5 · Aus 300 werden nach einem Schritt 270. Bestimme q.
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q = = 0,9. Das sind 10 % Abnahme pro Schritt.
Erklärung wiederholen →6 · Ein Bestand von 640 halbiert sich alle zwei Stunden. Was bleibt nach sechs Stunden?
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Drei Halbierungen: 640 · 0,5³ = 80.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
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Wachstum und Zerfall üben
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Kostenlos · Lernkarte · PDF
Exponentielles Wachstum nachschlagen
Kostenlose Lernkarte zur Bedeutung und Darstellung exponentiellen Wachstums.
Material ansehen →Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Faktor und Prozentsatz?
Der Faktor gibt an, womit du den bisherigen Wert multiplizierst. Ein Zuwachs um 20 % gehört zum Faktor 1,2.
Wird ein exponentiell abnehmender Bestand irgendwann genau 0?
Im Modell mit positivem Anfangswert und 0 < q < 1 wird er zu keinem endlichen Zeitpunkt genau 0. Er nähert sich der 0 an.
Kann ich aus zwei Werten exponentielles Wachstum beweisen?
Nein. Du kannst unter der Annahme eines exponentiellen Verlaufs ein Modell bestimmen. Ob es den Vorgang beschreibt, musst du mit weiteren Daten oder Sachwissen prüfen.