Mathe · Klasse 8–10 · etwa 35–50 Minuten
Du rechnest mit Wachstums- und Zerfallsfaktoren, bestimmst Bestände und Modelle und prüfst Zeiteinheiten sowie Modellgrenzen.
Prozentrechnung, Potenzen und Wurzeln.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Bestimme einen Wachstumsfaktor, einen Modellwert und einen Faktor über mehrere Zeitschritte.
Gib den Wert als Zahl mit Komma oder Punkt ein, ohne Einheit bzw. Prozentzeichen. Brüche wie 1/2 sind möglich. Beachte eine verlangte Rundung. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Immer derselbe Faktor
100 → 120 → 144 → 172,8
Jeder Schritt bedeutet mal 1,2, also 20 % mehr als im vorherigen Schritt. Der Zuwachs in Zahlen wird dabei größer.
Bei exponentiellem Wachstum wird eine Größe in gleich langen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor multipliziert. Der prozentuale Zuwachs bleibt gleich, der absolute Zuwachs verändert sich.
Beispiel: Eine Modellpopulation wächst pro Tag um 20 %. Aus 100 werden 120, danach 144 und danach 172,8. Die Zuwächse sind 20, 24 und 28,8. Dezimalwerte können in einem Modell auftreten, auch wenn man einzelne Lebewesen nur ganzzahlig zählen kann.
Ein exponentielles Modell beschreibt eine angenommene Entwicklung. In der Realität können begrenzte Ressourcen oder veränderte Bedingungen dazu führen, dass ein konstanter Wachstumsfaktor nur zeitweise passt.
Die Regel
N(t) = N₀ · qt
N₀ ist der Anfangswert bei t = 0. q ist der Faktor pro Zeiteinheit. t zählt die verstrichenen Zeiteinheiten. Für Bestandsmodelle verwenden wir N₀ > 0 und q > 0.
| Faktor | Entwicklung | Beispiel |
|---|---|---|
| q > 1 | Wachstum | q = 1,2: 20 % Zunahme pro Schritt |
| 0 < q < 1 | Abnahme oder Zerfall | q = 0,8: 20 % Abnahme pro Schritt |
| q = 1 | Konstanter Bestand | Der Anfangswert bleibt erhalten |
Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten, etwa f(x) = 2ˣ. Das unterscheidet sie von der Potenzfunktion f(x) = x². Im mathematischen Grundmodell N₀ · qᵗ ist der Definitionsbereich für q > 0 ganz ℝ; bei einer Zeitaufgabe betrachten wir meist t ≥ 0 oder nur ganze Zeitschritte.
Eine Exponentialfunktion mit q ≠ 1 und positivem Anfangswert bleibt positiv. Sie schneidet die waagerechte Achse nicht. Ihr Schnittpunkt mit der senkrechten Achse liegt bei (0 | N₀).
Bei einer Zunahme um p % bleiben die bisherigen 100 % erhalten und p % kommen hinzu. Bei einer Abnahme um p % bleiben 100 % − p % übrig.
Die Regel
Zunahme: q = 1 +
Die Regel
Abnahme: q = 1 −
| Änderung pro Zeiteinheit | Faktor |
|---|---|
| +5 % | 1,05 |
| +30 % | 1,30 |
| −5 % | 0,95 |
| −30 % | 0,70 |
Umgekehrt bedeutet q = 1,08 eine Zunahme um 8 %. q = 0,92 bedeutet eine Abnahme um 8 %. Für das positive Zerfallsmodell liegt die prozentuale Abnahme zwischen 0 % und 100 %.
20 % Zunahme bedeutet mal 1,2, nicht mal 0,2. Der Faktor 0,2 würde nur 20 % des vorherigen Bestands übrig lassen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Anfangswert: 250
+8 % pro Woche; 3 Wochen
Wachstum: Eine Größe startet bei 250 und nimmt pro Woche um 8 % zu. Gesucht ist der Wert nach drei Wochen.
8 % Zunahme pro Woche bedeutet den Wochenfaktor 1,08.
Die Zeit wird in Wochen eingesetzt, passend zum Faktor.
Setze Anfangswert, Faktor und Zeit in das Modell ein.
Berechne zuerst die Potenz, dann das Produkt.
Der Wert beträgt nach drei Wochen ungefähr 314,93. Runde passend zur Aufgabenstellung erst am Ende.
Beispiel · Schritt für Schritt
Anfangsmenge: 500 g
−10 % pro Stunde; 4 Stunden
Abnahme: Eine Modellmenge von 500 g nimmt pro Stunde um 10 % ab. Nach vier Stunden bleibt:
Bei 10 % Abnahme bleiben in jeder Stunde 90 % der vorherigen Menge.
Setze den Anfangswert 500 g und vier Stunden ein. Der Faktor gilt pro Stunde.
Nach vier Stunden bleibt diese Modellmenge. Rechne bis zum Ergebnis ohne Zwischenrundung.
Es werden in jeder Stunde 10 % der jeweils noch vorhandenen Menge abgezogen. Deshalb darfst du nicht viermal 50 g vom Anfangswert abziehen.
| Zeit t | Linear: jeweils +50 | Exponentiell: jeweils ·1,5 |
|---|---|---|
| 0 | 100 | 100 |
| 1 | 150 | 150 |
| 2 | 200 | 225 |
| 3 | 250 | 337,5 |
| 4 | 300 | 506,25 |
| 5 | 350 | 759,375 |
Beim linearen Modell ist die Differenz aufeinanderfolgender Werte gleich. Beim exponentiellen Modell ist ihr Quotient gleich. Die Zeitabstände müssen für diesen Vergleich jeweils gleich groß sein.
Zwei Messwerte allein reichen nicht aus, um sicher zwischen beiden Modellen zu entscheiden. Im Beispiel stimmen sogar die ersten beiden Werte überein. Weitere Werte und Wissen über den Vorgang helfen bei der Modellwahl.
Sind Anfangswert und Wert nach einem Schritt bekannt, erhältst du den Faktor durch Division:
Die Regel
q =
Beispiel · Schritt für Schritt
Zu Beginn: 80
Nach 1 Tag: 100
Beispiel: Aus 80 werden nach einem Tag 100.
Teile den Wert nach einem Tag durch den Anfangswert.
Dieses Modell gilt unter der Annahme, dass derselbe Faktor täglich gilt. Setze t in Tagen ein.
Beispiel · Schritt für Schritt
Zu Beginn: 200
Nach 2 Jahren: 242
Liegen mehrere Schritte dazwischen, ist der Quotient zunächst der Gesamtfaktor. Beispiel: Aus 200 werden in zwei Jahren 242.
Der Quotient ist der Gesamtfaktor über zwei Jahre. Bei konstantem Jahresfaktor entspricht er q².
Berechne den Gesamtfaktor.
Ziehe die positive Quadratwurzel, denn im Bestandsmodell gilt q > 0. Pro Jahr wird mit 1,1 multipliziert.
Bei konstantem jährlichem Faktor bedeutet das 10 % Zunahme pro Jahr. Ein Gesamtzuwachs von 21 % über zwei Jahre entspricht hier also nicht 10,5 % pro Jahr.
Die Verdopplungszeit ist die Zeit, in der sich ein exponentiell wachsender Bestand verdoppelt. Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der ein exponentiell abnehmender Bestand auf die Hälfte sinkt.
Bei einer Verdopplung alle drei Stunden kannst du das Modell direkt schreiben als:
Beispiel · Schritt für Schritt
Verdopplung alle 3 Stunden
N(t) = N₀ · 2
Dabei wird t in Stunden eingesetzt. Nach drei Stunden ist eine Verdopplungszeit vergangen.
Nach drei Stunden hat sich der Anfangswert verdoppelt.
Nach sechs Stunden sind zwei Verdopplungszeiten vergangen.
Zwei Verdopplungen ergeben den vierfachen Anfangswert.
Bei einer Halbierung alle vier Tage lautet das Modell:
Beispiel · Schritt für Schritt
Halbierung alle 4 Tage
N(t) = N₀ · 0,5
Hier wird t in Tagen eingesetzt. Nach vier Tagen ist eine Halbwertszeit vergangen.
Nach vier Tagen bleibt die Hälfte.
Nach acht Tagen sind zwei Halbwertszeiten vergangen.
Zweimal halbieren bedeutet mit 0,5² = 0,25 zu multiplizieren. Nach acht Tagen bleibt ein Viertel.
Bei einem beliebigen Faktor lässt sich die gesuchte Zeit später mithilfe von Logarithmen bestimmen.
Setze t = 0 ein: Du musst den Anfangswert erhalten. Prüfe zusätzlich den Wert nach einem Schritt. Beim Zerfall bleibt der Bestand im Modell positiv und nähert sich mit zunehmender Zeit der 0 an.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Ein exponentielles Modell setzt einen konstanten Faktor pro gleich langem Zeitschritt voraus. Dezimale Bestände sind Modellwerte. Runde erst am Ende und beachte die Zeiteinheit.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
+12 % pro Jahr
Die bisherigen 100 % bleiben erhalten, 12 % Zuwachs kommen hinzu.
Wandle die Prozentzahl in den Faktor um. Der Faktor 1,12 gilt pro Jahr.
Lösung · Schritt für Schritt
−7 % pro Tag
Nach der Abnahme bleiben 93 % des vorherigen Bestands.
Wandle die Prozentzahl in den Faktor um. Der Faktor 0,93 gilt pro Tag.
Lösung · Schritt für Schritt
N(t) = 100 · 1,2t
t = 2
Setze t = 2 in das Modell ein.
Berechne zuerst die Potenz: 1,2² = 1,44.
Multipliziere mit dem Anfangswert 100.
Lösung · Schritt für Schritt
50 → 60 → 72
Gleiche Zeitabstände
Berechne den Faktor vom ersten zum zweiten Wert.
Auch der nächste Schritt hat den Faktor 1,2. Bei gleichen Zeitabständen passt ein exponentielles Modell.
Prüfe zum Vergleich die erste Differenz.
Die Differenzen 10 und 12 sind verschieden. Ein lineares Modell passt zu diesen drei Werten nicht.
Lösung · Schritt für Schritt
300 → 270
Teile den neuen Wert durch den bisherigen Wert.
Es bleibt 90 % des bisherigen Bestands; der verlorene Anteil ist 0,1.
Das sind 10 % Abnahme pro Schritt.
Lösung · Schritt für Schritt
Anfangswert: 640
Halbwertszeit: 2 Stunden
In sechs Stunden vergehen drei Halbwertszeiten von jeweils zwei Stunden.
Multipliziere den Anfangswert für jede Halbierung einmal mit 0,5.
Nach drei Halbierungen bleiben 80.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Zeitfragen mit Exponentialgleichungen lösen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Der Faktor gibt an, womit du den bisherigen Wert multiplizierst. Ein Zuwachs um 20 % gehört zum Faktor 1,2.
Im Modell mit positivem Anfangswert und 0 < q < 1 wird er zu keinem endlichen Zeitpunkt genau 0. Er nähert sich der 0 an.
Nein. Du kannst unter der Annahme eines exponentiellen Verlaufs ein Modell bestimmen. Ob es den Vorgang beschreibt, musst du mit weiteren Daten oder Sachwissen prüfen.
Notiere den Anfangswert.