1 · Löse 2ˣ = 64.
Lösung und Rechenweg ansehen
64 = 2⁶, also x = 6.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Exponentialgleichungen: verstehen und üben
Löse Gleichungen mit der Unbekannten im Exponenten. Erkenne passende Basen, wende Logarithmen an und berechne Wachstumszeiten. Mit vollständigen Rechenwegen und kostenlosen Materialien.
Die Unbekannte steht oben
2ˣ = 32 → x = 5
2ˣ = 10 → x ≈ 3,322
Manchmal erkennst du die Lösung direkt. Für andere Werte hilft der Logarithmus.
Lernschritt 1
Was ist eine Exponentialgleichung?
Bei einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte in mindestens einem Exponenten, zum Beispiel 2ˣ = 32 oder 3 · 1,2ᵗ = 6. Du suchst also einen Exponenten und nicht die Basis.
| Gleichung | Art | Erster Gedanke |
|---|---|---|
| x² = 16 | Potenzgleichung | Wurzelziehen, beide Vorzeichen beachten |
| 2ˣ = 16 | Exponentialgleichung | 16 als 2⁴ schreiben |
| 2ˣ = 7 | Exponentialgleichung | Mit einem Logarithmus lösen |
Auf dieser Seite geht es um reelle Lösungen mit positiven Basen. Bei einer Basis b > 0 und b ≠ 1 ist bˣ streng monoton. Deshalb kann bˣ = c für c > 0 genau eine reelle Lösung haben.
Lernschritt 2
Gleiche Basen herstellen und Exponenten vergleichen
Wenn beide Seiten Potenzen derselben positiven Basis ungleich 1 sind, müssen die Exponenten gleich sein.
bu = bv ⇔ u = v
Beispiel 1: 2ˣ = 32. Weil 32 = 2⁵, folgt x = 5.
Beispiel 2: 32x − 1 = 27. Schreibe 27 = 3³. Dann:
2x − 1 = 3 → 2x = 4 → x = 2
Beispiel 3: 4ˣ = 8. Schreibe beide Seiten zur Basis 2: 22x = 2³. Daraus folgt 2x = 3 und x = .
Du darfst Exponenten nur direkt vergleichen, wenn die Basen übereinstimmen und die Basis positiv und ungleich 1 ist. Aus 2ˣ = 3⁴ folgt nicht x = 4.
Lernschritt 3
Zuerst den Exponentialterm freistellen
Stehen vor oder neben der Potenz weitere Zahlen, bringe die Potenz zuerst allein auf eine Seite.
Beispiel: 5 · 2ˣ + 3 = 43.
- Subtrahiere 3: 5 · 2ˣ = 40.
- Teile durch 5: 2ˣ = 8.
- Schreibe 8 als 2³: x = 3.
- Probe: 5 · 2³ + 3 = 40 + 3 = 43.
Die Reihenfolge spart Arbeit und verhindert, dass du Logarithmen falsch auf eine Summe verteilst.
Probier es selbst: Löse 3 · 5ˣ − 2 = 73.
Lösung ansehen
Addiere 2 und teile durch 3: 5ˣ = 25 = 5². Also x = 2.
Lernschritt 4
Mit Logarithmen lösen
Bei 2ˣ = 10 ist die Lösung keine ganze Zahl. Logarithmiere beide positiven Seiten. Mit der Potenzregel wird aus dem Exponenten ein Faktor:
ln(2ˣ) = ln(10) → x · ln(2) = ln(10)
x = ≈ 3,322
Die allgemeine Formel lautet für b > 0, b ≠ 1 und c > 0:
bˣ = c → x =
Du kannst auch den Zehnerlogarithmus verwenden, solange im Zähler und Nenner dieselbe Logarithmusart steht. Runde erst nach der Division. Die ungerundete Bruchdarstellung ist das exakte Ergebnis.
Mit einem längeren Exponenten: Aus 32x + 1 = 20 wird (2x + 1) · ln(3) = ln(20). Teile zunächst durch ln(3), subtrahiere 1 und teile anschließend durch 2.
2x + 1 = → x ≈ 0,8634
Beachte die Klammer um den ganzen Exponenten. In der Probe ergibt 32 · 0,8634 + 1 näherungsweise 20.
Lernschritt 5
Eine Wachstumszeit bestimmen
Eine Modellgröße startet bei 200 und wächst pro Jahr um 8 %. Nach welcher Zeit erreicht sie 300? Der jährliche Faktor ist 1,08.
200 · 1,08ᵗ = 300 → 1,08ᵗ = 1,5
t = ≈ 5,27
Im kontinuierlich betrachteten Modell sind es etwa 5,27 Jahre. Fragt die Aufgabe dagegen nach der ersten ganzen Jahreszahl, zu der mindestens 300 erreicht sind, musst du die benachbarten Jahre prüfen:
| Zeit | Modellwert |
|---|---|
| 5 Jahre | 200 · 1,08⁵ ≈ 293,87 |
| 6 Jahre | 200 · 1,08⁶ ≈ 317,37 |
Dann lautet die Antwort: erstmals nach 6 ganzen Jahren. Einfach auf 5 zu runden wäre für diese Frage falsch.
Lernschritt 6
Eine Halbwertszeit berechnen
Ein Bestand nimmt pro Stunde um 15 % ab. Wann ist nur noch die Hälfte vorhanden? Der Faktor ist q = 0,85. Der Anfangswert kürzt sich heraus:
N₀ · 0,85ᵗ = 0,5 · N₀ → 0,85ᵗ = 0,5
t = ≈ 4,27 Stunden
Beide Logarithmen sind negativ. Ihr Quotient ist positiv, wie es für eine vergangene Zeit passen muss. Die Halbwertszeit hängt bei diesem Modell vom Faktor ab und nicht von der Anfangsmenge.
Analog erhältst du bei Wachstum mit Faktor q > 1 die Verdopplungszeit T = . Die Zeiteinheit ist dieselbe, auf die sich q bezieht.
Lernschritt 7
Keine Lösung und weitere Verfahren erkennen
Eine Potenz bˣ mit b > 0 ist immer positiv. Deshalb haben 2ˣ = 0 und 2ˣ = −4 keine reelle Lösung. Prüfe die rechte Seite nach dem Freistellen, bevor du den Taschenrechner verwendest.
Nicht jede Exponentialgleichung besteht nach dem Umformen aus einer einzelnen Potenz. Für manche Aufgaben hilft eine Substitution.
Weiterführendes Beispiel: 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 = 0. Weil 4ˣ = (2ˣ)², setzen wir z = 2ˣ. Dabei gilt z > 0. Es entsteht:
z² − 5z + 4 = 0 → (z − 1)(z − 4) = 0
Also z = 1 oder z = 4. Rückwärts folgt 2ˣ = 1 oder 2ˣ = 4, somit x = 0 oder x = 2. Beide Werte lösen die ursprüngliche Gleichung.
Mehrere Exponentialterme können zu mehreren Lösungen führen. Die Aussage „genau eine Lösung“ gilt für die einfache Form bˣ = c mit zulässiger Basis und c > 0, nicht pauschal für jede Exponentialgleichung.
Lernschritt 8
Lösungen prüfen und häufige Fehler vermeiden
- Wurzel statt Logarithmus: Bei 2ˣ = 10 suchst du den Exponenten.
- Summe logarithmisch zerlegt: ln(u + v) ist im Allgemeinen nicht ln(u) + ln(v).
- Exponentenklammer vergessen: Bei 32x + 1 betrifft die Potenzregel den gesamten Ausdruck 2x + 1.
- Unpassende Zeiteinheit: Ein Monatsfaktor liefert eine Zeit in Monaten.
- Zu früh gerundet: Verwende für die Probe möglichst den ungerundeten Wert.
Setze jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Bei einer Sachaufgabe prüfst du zusätzlich, ob die Zeit oder Größe im erlaubten Bereich liegt und ob ganze Schritte verlangt sind.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Löse 5x − 1 = 25.
Lösung und Rechenweg ansehen
25 = 5², also x − 1 = 2 und x = 3.
Erklärung wiederholen →3 · Löse 4 · 3ˣ + 1 = 37.
Lösung und Rechenweg ansehen
4 · 3ˣ = 36 → 3ˣ = 9 = 3² → x = 2.
Erklärung wiederholen →4 · Gib die exakte Lösung von 3ˣ = 7 an.
Lösung und Rechenweg ansehen
x = ≈ 1,7712.
Erklärung wiederholen →5 · Hat 5ˣ = −2 eine reelle Lösung?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. 5ˣ ist für alle reellen x positiv.
Erklärung wiederholen →6 · Ein Bestand verdoppelt sich pro Jahr. Er startet bei 100. Nach wie vielen ganzen Jahren sind mindestens 700 erreicht?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nach 2 Jahren: 400. Nach 3 Jahren: 800. Deshalb erstmals nach 3 ganzen Jahren. Die kontinuierliche Gleichung 100 · 2ᵗ = 700 liefert t ≈ 2,81.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Kostenlos weiterlernen
Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Exponentialgleichungen üben
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Bestimmen unbekannter Exponenten.
Material ansehen →
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Vorwissen festigen: Logarithmen
Wiederhole die benötigten Grundlagen mit diesem kostenlosen Arbeitsblatt mit Lösungen.
Material ansehen →Häufige Fragen
Wann brauche ich einen Logarithmus?
Wenn du eine einzelne Exponentialpotenz freigestellt hast und die Lösung nicht durch gleiche Basen direkt erkennst, kannst du mit Logarithmen lösen.
Kann eine Lösung negativ sein?
Ja. Beispielsweise löst x = −1 die Gleichung 2ˣ = 0,5. In Zeitaufgaben musst du zusätzlich prüfen, ob negative Zeiten zum betrachteten Bereich gehören.
Darf ich eine berechnete Zeit normal runden?
Das hängt von der Frage ab. Bei der ersten ganzen Zeiteinheit, in der ein Ziel erreicht oder überschritten wird, musst du die benachbarten ganzen Schritte prüfen.