1 · Wofür steht die zweite Spalte von M?
Lösung und Rechenweg ansehen
Für die Anteile der Personen, die im Ausgangszustand B sind und nach A beziehungsweise B gehen.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Übergangsmatrizen und Zustandsmodelle
Du stellst Übergangsmatrizen auf, berechnest Zustände und stationäre Verteilungen und prüfst Rücklösungen sowie Modellgrenzen.
Voraussetzungen ansehen
Matrizenmultiplikation, Prozentrechnung, Gleichungssysteme und Grenzwerte.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Mehrere Komponenten mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Brüche mit / und Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt eingeben. Matrizen zeilenweise eingeben: 1; 2 | 3; 4 bedeutet erste Zeile 1; 2 und zweite Zeile 3; 4. Prozentanteile als Dezimalzahl oder Bruch schreiben, sofern kein Prozentwert gefragt ist.
02 · Verstehen
Ein verständliches Zwei-Zustands-Modell
Von heute zu morgen
vₙ₊₁ = Mvₙ
Die Spalten geben hier den Ausgangszustand an, die Zeilen den Zielzustand.
100 Personen verwenden entweder Angebot A oder Angebot B. In jedem Zeitschritt bleiben 80 % der A-Gruppe bei A; 20 % wechseln zu B. Von der B-Gruppe wechseln 10 % zu A, 90 % bleiben bei B.
Das Modell nimmt konstante Übergangsanteile und eine geschlossene Gruppe an. Niemand kommt hinzu oder scheidet aus. Bei einer probabilistischen Deutung liefern die Rechnungen erwartete Anzahlen, keine Garantie für das Verhalten einzelner Personen.
Schreibe den Zustand als Spaltenvektor v mit den Komponenten A und B. Die Reihenfolge darfst du während der Rechnung nicht wechseln.
Die Übergangsmatrix richtig aufstellen
M = 0,80,10,20,9
In der ersten Spalte stehen die Wege aus A: 0,8 nach A und 0,2 nach B. In der zweiten Spalte stehen die Wege aus B: 0,1 nach A und 0,9 nach B.
Jede Spalte ergibt 1, weil alle Personen eines Ausgangszustands auf die Zielzustände verteilt werden. Alle Einträge sind nichtnegativ. Bei einer Konvention mit Zeilenvektoren wären die Rollen vertauscht; entscheidend ist eine durchgehend einheitliche Schreibweise.
Einen Übergang berechnen
Zu Beginn sind 60 Personen in A und 40 in B. Berechne Mv₀:
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Zustand nach einem Übergang berechnen
M = v₀ =
RechnungErklärung zum Schritt
v₀ = 6040
A₁ = 0,8 · 60 + 0,1 · 40
2 Die Beiträge zu A aufstellen
Multipliziere die erste Matrixzeile mit dem Zustandsvektor.
A₁ = 48 + 4 = 52
3 Den neuen A-Anteil berechnen
48 bleiben bei A, 4 wechseln aus B zu A.
B₁ = 0,2 · 60 + 0,9 · 40
4 Die Beiträge zu B aufstellen
Multipliziere die zweite Matrixzeile mit dem Zustandsvektor.
B₁ = 12 + 36 = 48
5 Den neuen B-Anteil berechnen
12 wechseln aus A zu B, 36 bleiben bei B.
v₁ = 5248
6 Den Zustandsvektor zusammensetzen
Der neue Zustand ist Mv₀. Kontrolle: 52 + 48 = 100; die Gesamtmenge bleibt erhalten.
Verfolge in der Grafik die beiden Pfeile, die zu A führen: 48 Personen bleiben bei A, 4 kommen aus B hinzu. Zu B führen die anderen beiden Pfeile: 12 wechseln aus A, 36 bleiben bei B. Addiere immer die Beiträge zum gleichen Ziel.
Mehrere Schritte mit Matrixpotenzen
v₂ = Mv₁ = M²v₀
Beispiel · Schritt für Schritt
Den zweiten Übergang mit dem neuen Zustand berechnen
M = v₁ =
RechnungErklärung zum Schritt
A₂ = 0,8 · 52 + 0,1 · 48
1 Den neuen Start für A verwenden
Verwende den Zustand nach dem ersten Schritt als neuen Start.
A₂ = 41,6 + 4,8 = 46,4
2 Die A-Komponente berechnen
Berechne die erste Komponente.
B₂ = 0,2 · 52 + 0,9 · 48
3 Die B-Komponente aufstellen
Berechne die zweite Komponente.
B₂ = 10,4 + 43,2 = 53,6
4 Die B-Komponente berechnen
Auch hier bleibt die Gesamtmenge 100.
v₂ = 46,453,6
5 Den zweiten Zustand angeben
Bruchteile sind bei erwarteten Anzahlen im Modell möglich. Beobachtete Personenzahlen sind dagegen ganzzahlig.
Die Matrix für zwei Schritte ist:
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Übergangsmatrix für zwei Schritte bestimmen
M =
Gesucht: M²
RechnungErklärung zum Schritt
(M²)₁₁ = 0,8² + 0,1 · 0,2
1 Die Wege von A nach A berechnen
Erste Zeile mal erste Spalte. Dies sind die Wege A → A → A und A → B → A.
(M²)₁₁ = 0,64 + 0,02 = 0,66
2 Die beiden Weganteile addieren
Addiere beide Weganteile.
(M²)₁₂ = 0,8 · 0,1 + 0,1 · 0,9
3 Die Wege von B nach A berechnen
Erste Zeile mal zweite Spalte ergibt den Anteil 0,17.
(M²)₂₁ = 0,2 · 0,8 + 0,9 · 0,2
4 Die Wege von A nach B berechnen
Zweite Zeile mal erste Spalte ergibt den Anteil 0,34.
(M²)₂₂ = 0,2 · 0,1 + 0,9²
5 Die Wege von B nach B berechnen
Zweite Zeile mal zweite Spalte ergibt den Anteil 0,83.
M² = 0,660,170,340,83
6 Die Zweischrittmatrix zusammensetzen
Jede Spalte summiert sich wieder zu 1. Für n Schritte gilt vₙ = Mⁿv₀.
Einen stationären Zustand finden
Beispiel · Schritt für Schritt
Den stationären Zustand mit Normierung bestimmen
M =
Gesamtmenge: A + B = 100
RechnungErklärung zum Schritt
Mv = v
1 Die Stationarität aufschreiben
Ein stationärer Zustand bleibt nach einem Schritt unverändert.
0,8A + 0,1B = A
2 Die A-Komponente betrachten
Verwende die Gleichung für die A-Komponente.
0,1B = 0,2A
3 Die Gleichung umformen
Subtrahiere 0,8A auf beiden Seiten.
B = 2A
4 Das Verhältnis bestimmen
Teile durch 0,1.
A + 2A = 100
5 Die Gesamtmenge verwenden
Setze B = 2A in die Normierung A + B = 100 ein.
A = , B =
6 Beide Komponenten berechnen
Löse nach A und anschließend B auf. Die stationären Anteile sind 1/3 und 2/3.
Stationär heißt nicht, dass niemand mehr wechselt. Bei A = und B = wechseln pro Schritt in beide Richtungen gleich viele Personen: 20 % von und 10 % von ergeben jeweils , also rund 6,67 als erwartete Anzahl. Zu- und Abfluss gleichen sich aus. Dadurch bleiben die Gruppengrößen unverändert.
Die Gesamtmenge oder eine andere Normierung gehört dazu. Ohne sie beschreibt die Gleichung Mv = v auch alle Vielfachen eines stationären Vektors, einschließlich des Nullvektors.
Stationär bedeutet nicht automatisch Grenzwert
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Annäherung an den stationären Zustand begründen
M =
Aₙ + Bₙ = 100
RechnungErklärung zum Schritt
Bₙ = 100 − Aₙ
1 Die B-Komponente ersetzen
Nutze die konstante Gesamtmenge 100.
Aₙ₊₁ = 0,8Aₙ + 0,1(100 − Aₙ)
2 Die Übergangsregel umschreiben
Setze die B-Komponente in die Übergangsregel für A ein.
Aₙ₊₁ = 0,7Aₙ + 10
3 Gleichartige Terme zusammenfassen
Fasse zusammen.
Dₙ = Aₙ −
4 Die Abweichung vom Fixwert definieren
Bezeichne die vorzeichenbehaftete Abweichung vom stationären Wert mit Dₙ.
Dₙ₊₁ = 0,7Dₙ
5 Die Abweichung fortschreiben
Nach Subtraktion des Fixwerts wird die Abweichung in jedem Schritt mit 0,7 multipliziert.
Dₙ = D₀ · 0,7ⁿ
6 Die geometrische Folge nutzen
Wende die Formel einer geometrischen Folge mit Startindex 0 an.
Aₙ = + (A₀ − ) · 0,7ⁿ
7 Zum Zustand zurückkehren
Setze die Abweichung zurück. Weil 0,7ⁿ gegen 0 geht, konvergiert dieser Zustand zum stationären Vektor. Die Grenzmatrix enthält in beiden Spalten (1/3; 2/3).
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Modell mit dauerhaft wechselnden Zuständen betrachten
T = v₀ =
RechnungErklärung zum Schritt
T = 0110
1 Die Vertauschungsmatrix lesen
Gegenbeispiel: Diese Matrix vertauscht beide Zustände.
v₀ = 1000
2 Den Anfangszustand festlegen
Beginne mit allen 100 Personen in A.
Tv₀ = 0100
3 Den ersten Übergang berechnen
Nach einem Schritt sind alle in B.
T²v₀ = 1000
4 Die Rückkehr zum Anfang erkennen
Nach zwei Schritten ist der Ausgangszustand wieder erreicht. Die Zustände pendeln dauerhaft.
T5050 = 5050
5 Stationarität und Konvergenz unterscheiden
Obwohl (50; 50) stationär ist, konvergiert der betrachtete Start nicht dorthin.
Rückwärtsrechnen und Modellgrenzen
Ist M invertierbar, kannst du formal v₀ = M⁻¹v₁ berechnen. Ein rückwärts berechneter Vektor muss trotzdem nichtnegative Komponenten und die passende Gesamtmenge haben. Sonst passt die Beobachtung nicht zu diesem Modell.
Beispiel · Schritt für Schritt
Einen Startzustand zurückrechnen und seine Zulässigkeit prüfen
M =
Gesamtmenge: 100
Ziele: (52; 48) und (100; 0)
RechnungErklärung zum Schritt
B₀ = 100 − A₀
1 Die Gesamtmenge für das erste Ziel nutzen
Rückrechnung zum Ziel v₁ = (52; 48): Verwende zunächst die Gesamtmenge.
0,7A₀ + 10 = 52
2 Die Rückrechnung aufstellen
Setze die Nebenbedingung in 0,8A₀ + 0,1B₀ = 52 ein.
A₀ = 60, B₀ = 40
3 Den zulässigen Start bestimmen
Subtrahiere 10 und teile durch 0,7. Die Rückrechnung liefert den zulässigen Start (60; 40).
0,7A₀ + 10 = 100
4 Das zweite Ziel untersuchen
Anderes Ziel: v₁ = (100; 0). Stelle dieselbe Gleichung mit Zielwert 100 auf.
A₀ = , B₀ = −
5 Den negativen Anteil beurteilen
Der notwendige B-Anteil wäre negativ. Dieses Ziel ist von keinem nichtnegativen Startvektor mit Summe 100 in einem Schritt erreichbar.
Ändern sich die Übergangsanteile, brauchst du zeitabhängige Matrizen. Bei Zu- und Abgängen muss das Modell erweitert werden. Ein rechnerisch konsistentes Ergebnis belegt nicht automatisch realistische Annahmen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib die vollständige gefragte Antwort ein und prüfe sie in den Ausgangsbedingungen. Alle Zustandsmodelle verwenden Spaltenvektoren: Spalte = Ausgang, Zeile = Ziel. Die Gruppe ist geschlossen; innerhalb eines wiederholten Schritts bleiben die Übergangsanteile konstant. Bei probabilistischer Deutung sind Bestände erwartete Anzahlen.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Warum ergeben die Spalten jeweils 1?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die gesamte jeweilige Ausgangsgruppe wird auf die beiden Zielzustände verteilt; im Modell geht niemand verloren.
Erklärung wiederholen →3 · Berechne v₁ aus v₀ = (60; 40).
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den ersten Zustandsvektor berechnen
M = v₀ =
RechnungErklärung zum Schritt
A₁ = 0,8 · 60 + 0,1 · 40 = 52
1 Die Beiträge zum Ziel A addieren
Berechne alle Beiträge zum Ziel A.
B₁ = 0,2 · 60 + 0,9 · 40 = 48
2 Die Beiträge zum Ziel B addieren
Berechne alle Beiträge zum Ziel B.
v₁ = 5248
3 Den Vektor angeben und prüfen
Kontrolle: Beide Komponenten sind nichtnegativ und summieren sich zu 100.
4 · Wie viele Personen sind im zweiten Schritt im Modell in A?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die A-Komponente nach dem zweiten Schritt bestimmen
M = v₁ =
RechnungErklärung zum Schritt
A₂ = 0,8 · 52 + 0,1 · 48
1 Den Zustand nach dem ersten Schritt einsetzen
Verwende den Zustand nach dem ersten Schritt.
A₂ = 41,6 + 4,8 = 46,4
2 Den Modellwert ausrechnen
Das ist ein Modellwert beziehungsweise eine erwartete Anzahl, keine wörtliche Anzahl einzelner Personen.
5 · Welche Beziehung gilt stationär zwischen A und B?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die stationäre Verteilung bestimmen
M =
Gesamtmenge: A + B = 100
RechnungErklärung zum Schritt
0,8A + 0,1B = A
1 Die Stationaritätsbedingung aufstellen
Im stationären Zustand bleibt die A-Komponente unverändert.
0,1B = 0,2A ⇒ B = 2A
2 Das Verhältnis von A und B finden
Stelle die Gleichung um.
3A = 100
3 Die Gesamtmenge berücksichtigen
Verwende zusätzlich die Gesamtmenge A + B = 100.
A = , B =
4 Die stationären Anteile angeben
Die Anteile betragen 1/3 und 2/3 der Gesamtmenge.
6 · Garantiert ein stationärer Vektor die Konvergenz jedes Starts?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Ein Modell, das zwei Zustände in jedem Schritt vertauscht, kann dauerhaft pendeln.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Wie möchtest du weiterlernen?
Passende Materialien zum Thema „Übergangsmatrizen und Zustandsmodelle“. Wähle aus, was dir beim Üben und Wiederholen hilft.
Kostenlos · Materialien & Erklärung
Kostenlos weiterüben
Diese Materialien ergänzen die Erklärung und unterstützen dich beim Üben und Nachschlagen.
Gauß-Verfahren und lineare Systeme – kostenloses Mathe-Arbeitsblatt mit Lösungen (PDF)
11. Klasse · 12. Klasse · 13. Klasse
Produkt genauer ansehen →
Optional ergänzen
Bei Bedarf vertiefen
Optionale Ergänzungen zum Üben und Nachschlagen. Klassenstufe und Umfang findest du beim jeweiligen Produkt.
Wähle aus, was dir hilft0,00 € EUR
Preise inkl. MwSt. Downloads erhältst du per E-Mail, gedruckte Materialien per Post. Ggf. zzgl. Versandkosten.
Dranbleiben
Dein nächster Lernschritt
Noch unsicher?
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Schon sicher?
Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Langfristiges Verhalten mit Grenzwerten vertiefen →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Warum sind die Zeilensummen hier nicht 1?
Wir verwenden Spaltenvektoren und ordnen die Ausgangszustände den Spalten zu. Deshalb müssen die Spaltensummen 1 sein.
Dürfen erwartete Personenzahlen Dezimalzahlen sein?
Ja. Sie beschreiben Modellwerte beziehungsweise Erwartungswerte; eine einzelne reale Beobachtung bleibt ganzzahlig.
Was ist ein Fixvektor?
Ein Vektor, der durch Multiplikation mit der Matrix unverändert bleibt. Im Zustandsmodell wird er zusätzlich auf eine sinnvolle Gesamtmenge normiert.
Die erste Komponente gehört zu A, die zweite zu B.