1 · Wofür steht die zweite Spalte von M?
Lösung und Rechenweg ansehen
Für die Anteile der Personen, die im Ausgangszustand B sind und nach A beziehungsweise B gehen.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · je nach Lehrplan
Übergangsmatrizen und Zustandsmodelle: verstehen und üben
Beschreibe Wechsel zwischen zwei Zuständen mit einer Übergangsmatrix. Berechne mehrere Schritte, prüfe die Gesamtmenge und finde einen stationären Zustandsvektor.
Von heute zu morgen
vₙ₊₁ = Mvₙ
Die Spalten geben hier den Ausgangszustand an, die Zeilen den Zielzustand.
Lernschritt 1
Ein verständliches Zwei-Zustands-Modell
100 Personen verwenden entweder Angebot A oder Angebot B. In jedem Zeitschritt bleiben 80 % der A-Gruppe bei A; 20 % wechseln zu B. Von der B-Gruppe wechseln 10 % zu A, 90 % bleiben bei B.
Das Modell nimmt konstante Übergangsanteile und eine geschlossene Gruppe an. Niemand kommt hinzu oder scheidet aus. Bei einer probabilistischen Deutung liefern die Rechnungen erwartete Anzahlen, keine Garantie für das Verhalten einzelner Personen.
Schreibe den Zustand als Spaltenvektor v mit den Komponenten A und B. Die Reihenfolge darfst du während der Rechnung nicht wechseln.
Lernschritt 2
Die Übergangsmatrix richtig aufstellen
M = 0,80,10,20,9
In der ersten Spalte stehen die Wege aus A: 0,8 nach A und 0,2 nach B. In der zweiten Spalte stehen die Wege aus B: 0,1 nach A und 0,9 nach B.
Jede Spalte ergibt 1, weil alle Personen eines Ausgangszustands auf die Zielzustände verteilt werden. Alle Einträge sind nichtnegativ. Bei einer Konvention mit Zeilenvektoren wären die Rollen vertauscht; entscheidend ist eine durchgehend einheitliche Schreibweise.
Lernschritt 3
Einen Übergang berechnen
Zu Beginn sind 60 Personen in A und 40 in B. Berechne Mv₀:
0,80,10,20,96040 = 5248
Für A: 0,8·60 + 0,1·40 = 48 + 4 = 52. Für B: 0,2·60 + 0,9·40 = 12 + 36 = 48. Die Summe bleibt 100.
Zeichne bei Unsicherheit vier Pfeile zwischen den Zuständen und ordne jedem Pfeil seinen Anteil zu. Die beiden Beiträge zu einem Ziel werden addiert.
Lernschritt 4
Mehrere Schritte mit Matrixpotenzen
v₂ = Mv₁ = M²v₀
Aus (52; 48) wird im zweiten Schritt (46,4; 53,6). Dass Bruchteile auftreten, ist bei erwarteten Anzahlen im Modell möglich. Tatsächlich beobachtete Personenzahlen sind natürlich ganzzahlig.
Die Matrix für zwei Schritte ist:
M² = 0,660,170,340,83
Der Eintrag 0,66 setzt sich aus zwei Wegen zusammen: A → A → A mit 0,8·0,8 sowie A → B → A mit 0,2·0,1. Zusammen 0,64 + 0,02 = 0,66. Für n Schritte gilt vₙ = Mⁿv₀.
Lernschritt 5
Einen stationären Zustand finden
Ein stationärer Zustandsvektor v erfüllt Mv = v. Nach einem weiteren Schritt ändert sich die Verteilung nicht. Für unser Modell ergibt die A-Gleichung 0,8A + 0,1B = A, also 0,1B = 0,2A und damit B = 2A.
Zusammen mit A + B = 100 folgt A = und B = . Als Anteile sind das ein Drittel und zwei Drittel.
Die Gesamtmenge oder eine andere Normierung gehört dazu. Ohne sie beschreibt die Gleichung Mv = v auch alle Vielfachen eines stationären Vektors, einschließlich des Nullvektors.
Lernschritt 6
Stationär bedeutet nicht automatisch Grenzwert
Für unser konkretes Modell gilt Aₙ₊₁ = 0,8Aₙ + 0,1(100 − Aₙ) = 0,7Aₙ + 10. Der Abstand vom stationären Wert wird in jedem Schritt mit 0,7 multipliziert.
Deshalb gilt Aₙ = + (A₀ − ) · 0,7ⁿ. Weil 0,7ⁿ gegen 0 geht, nähert sich der Zustand tatsächlich dem stationären Vektor. Die Grenzmatrix hat in beiden Spalten die Anteile (⅓; ⅔).
Das ist nicht bei jeder Übergangsmatrix so. Eine Matrix mit Zeilen (0, 1) und (1, 0) vertauscht die Zustände in jedem Schritt. Vom Start (100; 0) pendelt sie zwischen (100; 0) und (0; 100), obwohl (50; 50) stationär wäre.
Lernschritt 7
Rückwärtsrechnen und Modellgrenzen
Ist M invertierbar, kannst du formal v₀ = M⁻¹v₁ berechnen. Ein rückwärts berechneter Vektor muss trotzdem nichtnegative Komponenten und die passende Gesamtmenge haben. Sonst passt die Beobachtung nicht zu diesem Modell.
Für v₁ = (52; 48) ergibt sich wieder v₀ = (60; 40). Aus v₁ = (100; 0) ergäbe die Rückrechnung hier dagegen einen negativen B-Anteil. Dieser Zielzustand ist von keinem zulässigen nichtnegativen Startvektor mit Summe 100 in einem Schritt erreichbar.
Ändern sich die Übergangsanteile, brauchst du zeitabhängige Matrizen. Bei Zu- und Abgängen muss das Modell erweitert werden. Ein rechnerisch konsistentes Ergebnis belegt nicht automatisch realistische Annahmen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Warum ergeben die Spalten jeweils 1?
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Die gesamte jeweilige Ausgangsgruppe wird auf die beiden Zielzustände verteilt; im Modell geht niemand verloren.
Erklärung wiederholen →3 · Berechne v₁ aus v₀ = (60; 40).
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A = 0,8·60 + 0,1·40 = 52; B = 0,2·60 + 0,9·40 = 48.
Erklärung wiederholen →4 · Wie viele Personen sind im zweiten Schritt im Modell in A?
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0,8·52 + 0,1·48 = 46,4 als Modellwert beziehungsweise erwartete Anzahl.
Erklärung wiederholen →5 · Welche Beziehung gilt stationär zwischen A und B?
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0,8A + 0,1B = A ergibt B = 2A. Zusammen mit Gesamtmenge 100 folgen A = ein Drittel von 100 und B = zwei Drittel von 100.
Erklärung wiederholen →6 · Garantiert ein stationärer Vektor die Konvergenz jedes Starts?
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Nein. Ein Modell, das zwei Zustände in jedem Schritt vertauscht, kann dauerhaft pendeln.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Gleichungssysteme für stationäre Zustände
Übe Zeilenumformungen als Voraussetzung zum Lösen von Mv = v mit einer zusätzlichen Summenbedingung.
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Warum sind die Zeilensummen hier nicht 1?
Wir verwenden Spaltenvektoren und ordnen die Ausgangszustände den Spalten zu. Deshalb müssen die Spaltensummen 1 sein.
Dürfen erwartete Personenzahlen Dezimalzahlen sein?
Ja. Sie beschreiben Modellwerte beziehungsweise Erwartungswerte; eine einzelne reale Beobachtung bleibt ganzzahlig.
Was ist ein Fixvektor?
Ein Vektor, der durch Multiplikation mit der Matrix unverändert bleibt. Im Zustandsmodell wird er zusätzlich auf eine sinnvolle Gesamtmenge normiert.