1 · Was bedeutet II ← II − 3I?
Lösung und Rechenweg ansehen
Zeile II wird durch ihre bisherigen Einträge minus das Dreifache der Einträge von Zeile I ersetzt, einschließlich der rechten Seite.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Gauß-Verfahren: verstehen und üben
Löse lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren. Forme Zeilen systematisch um, erzeuge eine Stufenform und erkenne eindeutige Lösungen, freie Variablen und Widersprüche.
Unbekannte Schritt für Schritt eliminieren
Stufenform → rückwärts einsetzen → Probe
Jede Zeile steht für eine Gleichung. Eine Zeilenoperation betrifft deshalb immer auch die rechte Seite.
Lernschritt 1
Was macht das Gauß-Verfahren?
Das Gauß-Verfahren löst lineare Gleichungssysteme, indem es sie in eine einfachere, aber gleichwertige Form bringt. Du entfernst nacheinander Variablen aus den unteren Gleichungen.
Am Ende entsteht häufig eine Stufenform: Die letzte Gleichung enthält nur noch eine Unbekannte, die vorherige zwei und die erste drei. Dann kannst du von unten nach oben einsetzen.
Das Verfahren funktioniert auch bei mehr als drei Unbekannten. Hier beginnen wir mit einem übersichtlichen System aus drei Gleichungen.
Lernschritt 2
Welche Zeilenumformungen sind erlaubt?
- Du darfst zwei Zeilen vertauschen.
- Du darfst eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren.
- Du darfst zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addieren.
Bei diesen Schritten bleibt die Lösungsmenge erhalten. Die rechte Seite gehört immer zur Zeile und wird genauso mitverändert.
Eine Zeile mit 0 zu multiplizieren ist nicht erlaubt: Dadurch würdest du eine Gleichung und damit eine Bedingung verlieren. Ebenso darfst du nicht ohne Prüfung durch einen Parameter teilen, der 0 sein könnte.
Notiere jede Operation, zum Beispiel II ← II − 2I. Das bedeutet: Ersetze Zeile II durch die bisherige Zeile II minus das Doppelte der bisherigen Zeile I.
Lernschritt 3
Ein System in eine erweiterte Koeffizientenmatrix übertragen
Wir lösen folgendes System:
I: x + y + z = 6
II: 2x − y + z = 3
III: x + 2y − z = 2
Die Tabelle zeigt die erweiterte Koeffizientenmatrix. Jede Zeile enthält die Koeffizienten von x, y, z und danach die rechte Seite. Die Tabellenform hält die Einträge auch auf kleinen Bildschirmen zugeordnet.
| x | y | z | Rechte Seite |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 6 |
| 2 | −1 | 1 | 3 |
| 1 | 2 | −1 | 2 |
Fehlt eine Variable in einer Gleichung, steht in ihrer Spalte eine 0. Die Reihenfolge x, y, z bleibt in allen Zeilen gleich.
Lernschritt 4
Die erste Spalte unterhalb der ersten Zeile zu 0 machen
Die erste Zeile besitzt vor x bereits den günstigen Koeffizienten 1. Verwende sie zum Eliminieren von x aus den beiden unteren Zeilen:
II ← II − 2I
III ← III − I
| x | y | z | Rechte Seite |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 6 |
| 0 | −3 | −1 | −9 |
| 0 | 1 | −2 | −4 |
Kontrolliere beispielsweise die neue Zeile II: 2 − 2 · 1 = 0, −1 − 2 · 1 = −3, 1 − 2 · 1 = −1 und 3 − 2 · 6 = −9.
Zeile III wurde ebenfalls mithilfe der unveränderten ersten Zeile berechnet. Damit sind beide angegebenen Operationen eindeutig.
Lernschritt 5
Zeilen tauschen und die zweite Spalte bereinigen
Die dritte Zeile hat in der y-Spalte eine 1. Tausche II und III, um im nächsten Schritt möglichst ohne Brüche zu rechnen:
| x | y | z | Rechte Seite |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 6 |
| 0 | 1 | −2 | −4 |
| 0 | −3 | −1 | −9 |
Jetzt addierst du das Dreifache der neuen Zeile II zu Zeile III:
III ← III + 3II
| x | y | z | Rechte Seite |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 6 |
| 0 | 1 | −2 | −4 |
| 0 | 0 | −7 | −21 |
Die letzte Zeile entsteht aus −3 + 3 · 1 = 0, −1 + 3 · (−2) = −7 und −9 + 3 · (−4) = −21. Die Stufenform ist erreicht.
Ein führender Eintrag ungleich 0 wird oft Pivot genannt. Er muss nicht unbedingt 1 sein. Durch einen Zeilentausch kannst du häufig einen einfacheren Pivot wählen.
Lernschritt 6
Von unten nach oben lösen und im Original prüfen
Die letzte Zeile liefert:
−7z = −21 → z = 3
Die zweite Zeile lautet y − 2z = −4. Setze z = 3 ein:
y − 6 = −4 → y = 2
Die erste Zeile liefert schließlich:
x + 2 + 3 = 6 → x = 1
Die Lösung ist (x | y | z) = (1 | 2 | 3). Kontrolliere alle ursprünglichen Gleichungen:
I: 1 + 2 + 3 = 6
II: 2 · 1 − 2 + 3 = 3
III: 1 + 2 · 2 − 3 = 2
Alle drei Bedingungen sind erfüllt. Eine Probe nur in der letzten umgeformten Zeile wäre weniger aussagekräftig, weil ein früherer Rechenfehler dabei unbemerkt bleiben könnte.
Lernschritt 7
Keine Lösung oder unendlich viele Lösungen erkennen
Entsteht eine Zeile 0x + 0y + 0z = 5, ist das ein Widerspruch. Keine Belegung der Variablen kann 0 = 5 erfüllen. Das gesamte System hat keine Lösung.
Eine Zeile 0x + 0y + 0z = 0 liefert dagegen keine zusätzliche Bedingung. Sie darf als Nullzeile stehen bleiben. Entscheidend ist dann, ob noch freie Variablen übrig sind.
Beispiel einer Stufenform:
x + 2y − z = 4
y + z = 3
0 = 0
Hier kannst du z = t frei wählen. Dann ist y = 3 − t und x = 4 − 2(3 − t) + t = −2 + 3t. Die Lösungsmenge wird beschrieben durch:
(x | y | z) = (−2 + 3t | 3 − t | t), t ∈ ℝ
Bei einem widerspruchsfreien System führen freie Variablen zu unendlich vielen Lösungen. Ohne freie Variable ist die Lösung eindeutig. Eine Nullzeile allein bedeutet bei mehr Gleichungen als Unbekannten noch nicht automatisch Unendlichkeit.
Lernschritt 8
Typische Fehler vermeiden
Vorzeichen: Beim Subtrahieren eines negativen Eintrags entsteht ein Plus. Schreibe unsichere Schritte mit Klammern aus.
Rechte Seite: Sie wird bei jeder Zeilenoperation mitverändert. Sie ist kein Zusatz, der unverändert stehen bleiben darf.
Null als Pivot: Wenn der gewünschte führende Eintrag 0 ist, suche darunter eine passende Zeile zum Tauschen. Gibt es in dieser Spalte keinen geeigneten Eintrag, gehe zur nächsten Spalte weiter.
Parameter: Vor dem Teilen durch einen Ausdruck wie a − 2 musst du den Fall a = 2 getrennt behandeln. Sonst können Lösungen oder Sonderfälle verloren gehen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Darfst du eine Zeile mit 0 multiplizieren?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Dadurch geht eine Gleichungsbedingung verloren.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Gleichung bedeutet die Zeile 0, 0, −7, −21?
Lösung und Rechenweg ansehen
−7z = −21, also z = 3.
Erklärung wiederholen →4 · Was bedeutet eine Zeile 0, 0, 0, 4?
Lösung und Rechenweg ansehen
0 = 4 ist ein Widerspruch. Das System hat keine Lösung.
Erklärung wiederholen →5 · Was liefert y + z = 3, wenn z = t frei ist?
Lösung und Rechenweg ansehen
y = 3 − t.
Erklärung wiederholen →6 · Warum prüfst du die Lösung in allen ursprünglichen Gleichungen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Damit kontrollierst du, ob die Werte tatsächlich sämtliche Ausgangsbedingungen erfüllen und nicht nur eine umgeformte Teilgleichung.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Muss jeder Pivot 1 sein?
Nein. Ein Pivot muss ungleich 0 sein. Eine 1 kann die Rechnung erleichtern, ist aber nicht zwingend.
Ist eine Nullzeile ein Widerspruch?
Nein. Eine vollständig verschwindende Zeile bedeutet 0 = 0. Ein Widerspruch liegt vor, wenn links nur Nullen stehen, rechts aber eine Zahl ungleich 0.
Kann Gauß auch mehr als drei Unbekannte lösen?
Ja. Das Prinzip bleibt gleich: Spaltenweise eliminieren, die Lösbarkeit prüfen und anschließend rückwärts einsetzen.