1 · Was bedeutet II ← II − 3I?
Lösung und Rechenweg ansehen
Zeile II wird durch ihre bisherigen Einträge minus das Dreifache der Einträge von Zeile I ersetzt, einschließlich der rechten Seite.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Gauß-Verfahren
Du formst vollständige Zeilen um, löst Systeme durch Rückwärtseinsetzen und erkennst Widersprüche und freie Variablen.
Voraussetzungen ansehen
Lineare Gleichungssysteme, Brüche und sicheres Rechnen mit Vorzeichen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit /. Mehrere Werte mit Semikolon trennen und die verlangte Reihenfolge beachten. Terme mit x oder t und Potenzen wie x^2. Entscheidungen: ja oder nein. Beachte die in der Frage genannten Antwortmöglichkeiten.
02 · Verstehen
Was macht das Gauß-Verfahren?
Unbekannte Schritt für Schritt eliminieren
Stufenform → rückwärts einsetzen → Probe
Jede Zeile steht für eine Gleichung. Eine Zeilenoperation betrifft deshalb immer auch die rechte Seite.
Das Gauß-Verfahren löst lineare Gleichungssysteme, indem es sie in eine einfachere, aber gleichwertige Form bringt. Du entfernst nacheinander Variablen aus den unteren Gleichungen.
Am Ende entsteht häufig eine Stufenform: Die letzte Gleichung enthält nur noch eine Unbekannte, die vorherige zwei und die erste drei. Dann kannst du von unten nach oben einsetzen.
Das Verfahren funktioniert auch bei mehr als drei Unbekannten. Hier beginnen wir mit einem übersichtlichen System aus drei Gleichungen.
Welche Zeilenumformungen sind erlaubt?
- Du darfst zwei Zeilen vertauschen.
- Du darfst eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren.
- Du darfst zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addieren.
Bei diesen Schritten bleibt die Lösungsmenge erhalten. Die rechte Seite gehört immer zur Zeile und wird genauso mitverändert.
Eine Zeile mit 0 zu multiplizieren ist nicht erlaubt: Dadurch würdest du eine Gleichung und damit eine Bedingung verlieren. Ebenso darfst du nicht ohne Prüfung durch einen Parameter teilen, der 0 sein könnte.
Notiere jede Operation, zum Beispiel II ← II − 2I. Das bedeutet: Ersetze Zeile II durch die bisherige Zeile II minus das Doppelte der bisherigen Zeile I.
Ein System in eine erweiterte Koeffizientenmatrix übertragen
Wir lösen folgendes System:
I: x + y + z = 6
II: 2x − y + z = 3
III: x + 2y − z = 2
Die Tabelle zeigt die erweiterte Koeffizientenmatrix. Jede Zeile enthält die Koeffizienten von x, y, z und danach die rechte Seite. Die Tabellenform hält die Einträge auch auf kleinen Bildschirmen zugeordnet.
| x | y | z | Rechte Seite |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 6 |
| 2 | −1 | 1 | 3 |
| 1 | 2 | −1 | 2 |
Fehlt eine Variable in einer Gleichung, steht in ihrer Spalte eine 0. Die Reihenfolge x, y, z bleibt in allen Zeilen gleich.
Die erste Spalte unterhalb der ersten Zeile zu 0 machen
Die erste Zeile besitzt vor x bereits den günstigen Koeffizienten 1. Verwende sie zum Eliminieren von x aus den beiden unteren Zeilen:
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Variable x aus der zweiten Zeile entfernen
I: x + y + z = 6
II: 2x − y + z = 3
RechnungErklärung zum Schritt
II ← II − 2I
2 − 2 · 1 = 0
−1 − 2 · 1 = −3
1 − 2 · 1 = −1
3 − 2 · 6 = −9
−1 − 2 · 1 = −3
1 − 2 · 1 = −1
3 − 2 · 6 = −9
2 Einträge einzeln berechnen
Die vier Rechnungen gehören in dieser Reihenfolge zu x, y, z und zur rechten Seite.
Neue II: −3y − z = −9
3 Neue Gleichung notieren
Der x-Term ist verschwunden.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Variable x aus der dritten Zeile entfernen
I: x + y + z = 6
III: x + 2y − z = 2
RechnungErklärung zum Schritt
III ← III − I
1 x aus Zeile III eliminieren
Verwende ebenfalls die unveränderte erste Zeile.
1 − 1 = 0
2 − 1 = 1
−1 − 1 = −2
2 − 6 = −4
2 − 1 = 1
−1 − 1 = −2
2 − 6 = −4
2 Einträge einzeln berechnen
Verändere auch hier die rechte Seite mit.
Neue III: y − 2z = −4
3 Neue Gleichung notieren
Beide unteren Zeilen enthalten nun keinen x-Term mehr.
| x | y | z | Rechte Seite |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 6 |
| 0 | −3 | −1 | −9 |
| 0 | 1 | −2 | −4 |
Die Tabelle hält die oben berechneten Einträge in der festen Reihenfolge x, y, z und rechte Seite fest.
Zeile III wurde ebenfalls mithilfe der unveränderten ersten Zeile berechnet. Damit sind beide angegebenen Operationen eindeutig.
Zeilen tauschen und die zweite Spalte bereinigen
Die dritte Zeile hat in der y-Spalte eine 1. Tausche II und III, um im nächsten Schritt möglichst ohne Brüche zu rechnen:
| x | y | z | Rechte Seite |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 6 |
| 0 | 1 | −2 | −4 |
| 0 | −3 | −1 | −9 |
Jetzt addierst du das Dreifache der neuen Zeile II zu Zeile III:
Beispiel · Schritt für Schritt
Mit der neuen Zeilenfolge die Stufenform erreichen
Nach dem Tausch:
II: y − 2z = −4
III: −3y − z = −9
RechnungErklärung zum Schritt
II: y − 2z = −4
III: −3y − z = −9
III: −3y − z = −9
1 Nach dem Zeilentausch starten
Verwende die jetzt gültige Reihenfolge. Die neue Zeile II hat den günstigen y-Koeffizienten 1.
III ← III + 3II
2 y aus Zeile III eliminieren
Addiere das Dreifache der neuen Zeile II zu Zeile III.
−3 + 3 · 1 = 0
−1 + 3 · (−2) = −7
−9 + 3 · (−4) = −21
−1 + 3 · (−2) = −7
−9 + 3 · (−4) = −21
3 y, z und rechte Seite berechnen
Der x-Koeffizient bleibt 0. Beachte die negativen Einträge in Zeile II.
Neue III: −7z = −21
4 Stufenform erreichen
Die letzte Zeile enthält nur noch z.
| x | y | z | Rechte Seite |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 6 |
| 0 | 1 | −2 | −4 |
| 0 | 0 | −7 | −21 |
Die letzte Tabellenzeile entspricht der berechneten Gleichung −7z = −21. Die Stufenform ist erreicht.
Ein führender Eintrag ungleich 0 wird oft Pivot genannt. Er muss nicht unbedingt 1 sein. Durch einen Zeilentausch kannst du häufig einen einfacheren Pivot wählen.
Von unten nach oben lösen und im Original prüfen
Beispiel · Schritt für Schritt
Das System von unten nach oben lösen
I: x + y + z = 6
II: y − 2z = −4
III: −7z = −21
RechnungErklärung zum Schritt
−7z = −21
z = 3
z = 3
1 Mit der letzten Zeile beginnen
Teile beide Seiten durch −7.
y − 2 · 3 = −4
y − 6 = −4
y = 2
y − 6 = −4
y = 2
2 In Zeile II einsetzen
Setze z = 3 in y − 2z = −4 ein und addiere 6.
x + 2 + 3 = 6
x = 1
x = 1
3 In Zeile I einsetzen
Setze y = 2 und z = 3 ein und subtrahiere 5.
(x | y | z) = (1 | 2 | 3)
4 Lösung geordnet angeben
Die Reihenfolge der Werte entspricht der Variablenreihenfolge x, y, z.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Lösung in allen Originalgleichungen prüfen
Zu prüfen: (x | y | z) = (1 | 2 | 3)
RechnungErklärung zum Schritt
I: 1 + 2 + 3 = 6
1 Erste Originalgleichung prüfen
Setze die Lösung in x + y + z = 6 ein.
II: 2 · 1 − 2 + 3 = 3
2 Zweite Originalgleichung prüfen
Setze in 2x − y + z = 3 ein.
III: 1 + 2 · 2 − 3 = 2
3 Dritte Originalgleichung prüfen
Auch x + 2y − z = 2 stimmt. Die Lösung erfüllt das gesamte ursprüngliche System.
Alle drei Bedingungen sind erfüllt. Eine Probe nur in der letzten umgeformten Zeile wäre weniger aussagekräftig, weil ein früherer Rechenfehler dabei unbemerkt bleiben könnte.
Probier es selbst: ein vollständiges Gauß-Verfahren. Löse das folgende System. Notiere deine Zeilenoperationen, setze rückwärts ein und prüfe die Lösung im ursprünglichen System.
I: x + y + z = 6
II: 2x + y − z = 2
III: x − y + 2z = 7
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Das zweite Gleichungssystem vollständig lösen
I: x + y + z = 6
II: 2x + y − z = 2
III: x − y + 2z = 7
RechnungErklärung zum Schritt
II ← II − 2I
Neue II: −y − 3z = −10
Neue II: −y − 3z = −10
1 x aus Zeile II eliminieren
Aus 2x + y − z = 2 minus zweimal x + y + z = 6 entsteht die neue Gleichung. Zeile I bleibt unverändert.
III ← III − I
Neue III: −2y + z = 1
Neue III: −2y + z = 1
2 x aus Zeile III eliminieren
Subtrahiere dieselbe unveränderte Zeile I von der bisherigen dritten Zeile.
III ← III − 2II
−2 − 2 · (−1) = 0
1 − 2 · (−3) = 7
1 − 2 · (−10) = 21
−2 − 2 · (−1) = 0
1 − 2 · (−3) = 7
1 − 2 · (−10) = 21
3 y mit den neuen Zeilen eliminieren
Verwende jetzt die zuvor berechneten Zeilen II und III. Das Ergebnis lautet 7z = 21.
7z = 21
z = 3
z = 3
4 Letzte Zeile lösen
Teile durch 7.
−y − 9 = −10
y = 1
y = 1
5 Rückwärts in Zeile II einsetzen
Setze z = 3 in −y − 3z = −10 ein.
x + 1 + 3 = 6
x = 2
x = 2
6 Rückwärts in Zeile I einsetzen
Setze y = 1 und z = 3 ein.
I: 2 + 1 + 3 = 6
II: 2 · 2 + 1 − 3 = 2
III: 2 − 1 + 2 · 3 = 7
II: 2 · 2 + 1 − 3 = 2
III: 2 − 1 + 2 · 3 = 7
7 Alle Originalgleichungen prüfen
Alle drei Gleichungen stimmen. Die Lösung ist (x | y | z) = (2 | 1 | 3). Andere erlaubte Zeilenoperationen können ebenfalls zu dieser Lösung führen.
Keine Lösung oder unendlich viele Lösungen erkennen
Entsteht eine Zeile 0x + 0y + 0z = 5, ist das ein Widerspruch. Keine Belegung der Variablen kann 0 = 5 erfüllen. Das gesamte System hat keine Lösung.
Eine Zeile 0x + 0y + 0z = 0 liefert dagegen keine zusätzliche Bedingung. Sie darf als Nullzeile stehen bleiben. Entscheidend ist dann, ob noch freie Variablen übrig sind.
Beispiel einer Stufenform:
x + 2y − z = 4
y + z = 3
0 = 0
Beispiel · Schritt für Schritt
Alle Lösungen mit einer freien Variablen angeben
x + 2y − z = 4
y + z = 3
0 = 0
RechnungErklärung zum Schritt
z = t, t ∈ ℝ
1 Freie Variable wählen
Die Stufenform besitzt keine dritte unabhängige Bedingung. z kann daher frei gewählt werden.
y + t = 3
y = 3 − t
y = 3 − t
2 Zweite Gleichung verwenden
Setze z = t in y + z = 3 ein.
x + 2(3 − t) − t = 4
x = 4 − 2(3 − t) + t
x = −2 + 3t
x = 4 − 2(3 − t) + t
x = −2 + 3t
3 Erste Gleichung verwenden
Setze y und z in x + 2y − z = 4 ein und löse nach x auf.
(x | y | z)
= (−2 + 3t | 3 − t | t)
t ∈ ℝ
= (−2 + 3t | 3 − t | t)
t ∈ ℝ
4 Alle Lösungen angeben
Jeder reelle Parameterwert liefert eine Lösung. Da kein Widerspruch vorliegt und t frei ist, gibt es unendlich viele Lösungen.
Bei einem widerspruchsfreien System führen freie Variablen zu unendlich vielen Lösungen. Ohne freie Variable ist die Lösung eindeutig. Eine Nullzeile allein bedeutet bei mehr Gleichungen als Unbekannten noch nicht automatisch Unendlichkeit.
Typische Fehler vermeiden
Vorzeichen: Beim Subtrahieren eines negativen Eintrags entsteht ein Plus. Schreibe unsichere Schritte mit Klammern aus.
Rechte Seite: Sie wird bei jeder Zeilenoperation mitverändert. Sie ist kein Zusatz, der unverändert stehen bleiben darf.
Null als Pivot: Wenn der gewünschte führende Eintrag 0 ist, suche darunter eine passende Zeile zum Tauschen. Gibt es in dieser Spalte keinen geeigneten Eintrag, gehe zur nächsten Spalte weiter.
Parameter: Vor dem Teilen durch einen Ausdruck wie a − 2 musst du den Fall a = 2 getrennt behandeln. Sonst können Lösungen oder Sonderfälle verloren gehen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Nutze die Abbildungen und gib anschließend die gefragte Antwort ein. Prüfe Reihenfolge, Vorzeichen und Sonderfälle.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Darfst du eine Zeile mit 0 multiplizieren?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Dadurch geht eine Gleichungsbedingung verloren.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Gleichung bedeutet die Zeile 0, 0, −7, −21?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die letzte Matrixzeile als Gleichung lesen
Matrixzeile: (0; 0; −7; −21)
Reihenfolge: x, y, z, rechte Seite
RechnungErklärung zum Schritt
0x + 0y − 7z = −21
−7z = −21
−7z = −21
1 Zeile als Gleichung lesen
Die ersten drei Einträge sind die Koeffizienten von x, y und z. Der letzte Eintrag ist die rechte Seite.
z = (−21) : (−7) = 3
2 Durch den z-Koeffizienten teilen
Der Koeffizient −7 ist ungleich null; die Division ist erlaubt.
4 · Was bedeutet eine Zeile 0, 0, 0, 4?
Lösung und Rechenweg ansehen
0 = 4 ist ein Widerspruch. Das System hat keine Lösung.
Erklärung wiederholen →5 · Was liefert y + z = 3, wenn z = t frei ist?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die abhängige Variable y bestimmen
y + z = 3
Freie Variable: z = t
RechnungErklärung zum Schritt
y + t = 3
1 Freie Variable einsetzen
Ersetze z durch den frei gewählten Parameter t.
y = 3 − t
2 Nach y auflösen
Subtrahiere t auf beiden Seiten. Zu jedem gewählten t gehört dieser y-Wert.
6 · Warum prüfst du die Lösung in allen ursprünglichen Gleichungen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Damit kontrollierst du, ob die Werte tatsächlich sämtliche Ausgangsbedingungen erfüllen und nicht nur eine umgeformte Teilgleichung.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Mit Vektoren weiterlernen →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Muss jeder Pivot 1 sein?
Nein. Ein Pivot muss ungleich 0 sein. Eine 1 kann die Rechnung erleichtern, ist aber nicht zwingend.
Ist eine Nullzeile ein Widerspruch?
Nein. Eine vollständig verschwindende Zeile bedeutet 0 = 0. Ein Widerspruch liegt vor, wenn links nur Nullen stehen, rechts aber eine Zahl ungleich 0.
Kann Gauß auch mehr als drei Unbekannte lösen?
Ja. Das Prinzip bleibt gleich: Spaltenweise eliminieren, die Lösbarkeit prüfen und anschließend rückwärts einsetzen.
Subtrahiere das Doppelte der unveränderten Zeile I von Zeile II, einschließlich der rechten Seite.