1 · Welche Bedingung müssen die zwei Spannvektoren erfüllen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Sie müssen linear unabhängig sein: keine Vielfachen voneinander und beide ungleich null.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Ebenengleichungen: verstehen und üben
Beschreibe Ebenen in Parameter-, Normalen- und Koordinatenform. Stelle eine Ebene aus drei Punkten auf, rechne zwischen den Formen um und prüfe, ob ein Punkt dazugehört.
Eine Ebene – drei Darstellungen
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
Diese Gleichung beschreibt alle Punkte, deren drei Koordinaten zusammen 1 ergeben. Dieselbe Ebene lässt sich auch mit einem Stützpunkt und zwei Spannvektoren beschreiben.
Lernschritt 1
Was eine Ebene im Raum beschreibt
Stell dir eine flache Fläche vor, die sich in zwei unabhängige Richtungen unbegrenzt ausdehnt. Ein gezeichnetes Parallelogramm zeigt nur einen Ausschnitt davon. Eine Ebene besitzt keine Dicke und keinen Rand.
Um sie in Parameterform festzulegen, brauchst du einen Punkt auf der Ebene und zwei voneinander unabhängige Spannvektoren. Unabhängig bedeutet hier: Die Vektoren sind keine Vielfachen voneinander. Keiner darf der Nullvektor sein.
Lernschritt 2
Die Parameterform verstehen
Mit dem Stützvektor a und den Spannvektoren u und v lautet die allgemeine Form:
E: x = a + r · u + s · v
Die reellen Parameter r und s sind unabhängig voneinander frei wählbar. Vom Stützpunkt aus gehst du r-mal in Richtung u und s-mal in Richtung v. So erreichst du jeden Punkt der Ebene.
E: x = + r · + s ·
Für r = 0 und s = 0 erhältst du A(1 | 0 | 0). Für r = 1, s = 0 entsteht B(0 | 1 | 0); für r = 0, s = 1 entsteht C(0 | 0 | 1). Die Spannvektoren sind keine Vielfachen und legen tatsächlich eine Ebene fest.
Lernschritt 3
Eine Ebene aus drei Punkten aufstellen
Gegeben seien A(1 | 0 | 0), B(0 | 1 | 0) und C(0 | 0 | 1). Wähle A als Stützpunkt. Berechne anschließend die Verbindungsvektoren von A nach B und von A nach C: jeweils Ziel minus Start.
u = =
v = =
Setze diese Vektoren in die Parameterform ein. Du erhältst genau die Ebene aus dem vorherigen Abschnitt.
Drei Punkte bestimmen nur dann genau eine Ebene, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. Sind die beiden Verbindungsvektoren abhängig, reicht die Angabe nicht für eine eindeutige Ebene.
Lernschritt 4
Einen Normalenvektor finden
Ein Normalenvektor n steht senkrecht auf beiden Spannvektoren. Er darf nicht der Nullvektor sein. Du kannst ihn mit zwei Skalarproduktgleichungen bestimmen:
n · u = 0 und n · v = 0
Im Beispiel ergeben sich −n₁ + n₂ = 0 und −n₁ + n₃ = 0. Also gilt n₂ = n₁ und n₃ = n₁. Mit n₁ = 1 erhältst du n = (1; 1; 1). Auch jedes von null verschiedene Vielfache ist ein geeigneter Normalenvektor.
Der Vektor x − a verbindet den Stützpunkt mit einem beliebigen Ebenenpunkt. Er liegt in der Ebene und ist deshalb orthogonal zu n. Daraus folgt die Normalenform:
E: n · (x − a) = 0
· (x − ) = 0
Du brauchst dafür keinen Vektor der Länge 1. Das Normieren ist für die gewöhnliche Normalenform nicht erforderlich.
Lernschritt 5
Von der Normalenform zur Koordinatenform
Multipliziere das Skalarprodukt aus. Für unser Beispiel bedeutet das:
(x₁ − 1) + x₂ + x₃ = 0
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
Allgemein hat die Koordinatenform die Gestalt:
E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d
Die Koeffizienten vor den Koordinaten bilden einen Normalenvektor. Die rechte Seite ist d = n · a. Mindestens einer der drei Koeffizienten muss ungleich 0 sein. Ist d = 0, liegt der Ursprung auf der Ebene.
Multiplizierst du die gesamte Gleichung mit einer Zahl ungleich 0, bleibt die Ebene gleich. Deshalb beschreibt 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 2 dieselbe Ebene wie unsere Ausgangsgleichung.
Lernschritt 6
Punkte auf Zugehörigkeit prüfen
In Koordinatenform geht die Punktprobe besonders schnell: Setze die drei Koordinaten ein und prüfe die Gleichung.
Für P(2 | −1 | 0) ergibt sich 2 − 1 + 0 = 1. P liegt auf E. Für Q(1 | 1 | 1) erhältst du dagegen 3 statt 1. Q liegt nicht auf E.
Auch die Parameterform eignet sich. Für P muss gelten:
2 = 1 − r − s, −1 = r, 0 = s
Aus den letzten beiden Gleichungen folgen r = −1 und s = 0. Die erste ist damit ebenfalls erfüllt. Alle drei Koordinaten müssen mit demselben Parameterpaar stimmen.
Lernschritt 7
Von der Koordinatenform zur Parameterform
Löse x₁ + x₂ + x₃ = 1 nach einer Koordinate auf, hier nach x₁. Wähle die anderen beiden frei: x₂ = r und x₃ = s.
x₁ = 1 − r − s
Trenne nun den konstanten Anteil und die beiden Parameteranteile:
x = = + r · + s ·
So erhältst du wieder unsere Parameterform. Bei einer anderen Ebene löst du nach einer Koordinate auf, deren Koeffizient ungleich 0 ist. Beispielsweise ergibt x₃ = 2 die Parameterform x = (0; 0; 2) + r(1; 0; 0) + s(0; 1; 0).
Formen sicher umwandeln
Koordinatenform → Normalenform: mit Stützpunktwahl
Gegeben ist E: 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 4. Die Koeffizienten liefern sofort einen Normalenvektor n = (2; −1; 3). Für die Normalenform brauchst du zusätzlich einen Punkt auf der Ebene.
Setze x₂ = 0 und x₃ = 0. Dann ist 2x₁ = 4, also x₁ = 2. Der Punkt A(2 | 0 | 0) liegt auf E. Damit lautet eine Normalenform:
· (x − ) = 0
Zur Kontrolle multiplizierst du aus: 2(x₁ − 2) − x₂ + 3x₃ = 0. Nach Addition von 4 erhältst du wieder 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 4.
Nicht jeder frei gewählte Stützpunkt passt. Beispielsweise liegt der Ursprung nicht auf dieser Ebene. Wähle beim Bestimmen eines Punkts eine Koordinate mit einem Koeffizienten ungleich 0 als zu berechnende Größe.
Übung: Normalenform für x₁ + 2x₂ − x₃ = 3?
Wähle n = (1; 2; −1) und A(3 | 0 | 0). Dann ist n · (x − a) = 0 eine passende Normalenform. Ausmultiplizieren ergibt wieder x₁ + 2x₂ − x₃ = 3.
Formen sicher umwandeln
Normalenform → Parameterform: ein vollständiger Rechenweg
Starte mit der Normalenform n · (x − a) = 0, wobei n = (2; −1; 3) und a = (2; 0; 0). Multipliziere zunächst aus: 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 4. Von dieser Koordinatenform gelangst du mit zwei freien Parametern zur Parameterform.
Hier lässt sich besonders einfach nach x₂ auflösen: x₂ = 2x₁ + 3x₃ − 4. Setze x₁ = r und x₃ = s. Daraus folgt:
x = = + r · + s ·
Der neue Stützpunkt B(0 | −4 | 0) ist erlaubt: 2·0 − (−4) + 3·0 = 4. Die Spannvektoren sind unabhängig und beide orthogonal zu n: 2·1 − 1·2 + 3·0 = 0 sowie 2·0 − 1·3 + 3·1 = 0.
Auch der ursprüngliche Punkt A ist enthalten: Mit r = 2 und s = 0 erhältst du A(2 | 0 | 0). Eine andere Parameterform kann also dieselbe Ebene beschreiben. Entscheidend sind die Punkte der Ebene, nicht ein identisches Aussehen der Formel.
Übung: Parameterform für n = (1; 2; −1), a = (3; 0; 0)?
Ausmultiplizieren: x₁ + 2x₂ − x₃ = 3. Mit x₂ = r und x₃ = s folgt x₁ = 3 − 2r + s.
x = + r · + s ·
Die Spannvektoren sind unabhängig und orthogonal zu n. Der Stützpunkt erfüllt die Koordinatengleichung.
Lernschritt 8
Welche Form ist wofür praktisch?
| Aufgabe | Praktischer Einstieg |
|---|---|
| Ebene aus drei Punkten | Parameterform mit zwei Verbindungsvektoren |
| Punkte erzeugen | Parameterform: r und s einsetzen |
| Punktprobe oder Schnitt mit Gerade | Koordinatenform |
| Senkrechte Richtung erkennen | Normalenform oder Koeffizienten der Koordinatenform |
Eine Ebene hat viele gültige Parameterformen. Andere Stützpunkte oder Spannvektoren bedeuten nicht automatisch eine andere Ebene. Entscheidend ist die Menge der beschriebenen Punkte.
Lernschritt 9
Diese Fehler vermeidest du
- Spannvektoren und Normalenvektor verwechseln: Die ersten liegen in der Ebene, der zweite steht senkrecht dazu.
- Den Nullvektor als Normalenvektor wählen: Dann würde die Normalenform jede Stelle im Raum zulassen.
- Nur die linke Seite einer Koordinatengleichung skalieren: Multipliziere immer auch die rechte Seite.
- Bei der Punktprobe nur zwei Koordinaten kontrollieren: Alle drei müssen passen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Berechne den Verbindungsvektor von A(1 | 0 | 0) nach B(0 | 1 | 0).
Lösung und Rechenweg ansehen
Ziel minus Start ergibt .
Erklärung wiederholen →3 · Nenne einen Normalenvektor zu x₁ + x₂ + x₃ = 1.
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Zum Beispiel . Die Koeffizienten bilden den Normalenvektor.
Erklärung wiederholen →4 · Liegt P(2 | −1 | 0) auf dieser Ebene?
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Ja: 2 − 1 + 0 = 1.
Erklärung wiederholen →5 · Liegt der Ursprung auf 2x₁ − x₂ + x₃ = 0?
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Ja. Einsetzen ergibt 0 = 0.
Erklärung wiederholen →6 · Welche Ebene beschreibt x = (0; 0; 2) + r(1; 0; 0) + s(0; 1; 0)?
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Die Ebene x₃ = 2. Die ersten beiden Koordinaten sind frei wählbar.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Normalen- und Koordinatenform üben
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Reichen zwei Punkte für eine eindeutige Ebene?
Nein. Durch zwei verschiedene Punkte verläuft eine Gerade, die in unendlich vielen Ebenen liegen kann.
Müssen Spannvektoren senkrecht aufeinander stehen?
Nein. Sie müssen nur unabhängig sein. Ein rechter Winkel zwischen ihnen ist nicht erforderlich.
Ist der Normalenvektor eindeutig?
Nein. Jedes von null verschiedene Vielfache eines Normalenvektors ist ebenfalls geeignet.