1 · Welche Bedingung müssen die zwei Spannvektoren erfüllen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Sie müssen linear unabhängig sein: keine Vielfachen voneinander und beide ungleich null.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Ebenengleichungen
Du prüfst Spannvektoren, stellst vollständige Ebenengleichungen auf und wechselst zwischen Koordinaten- und Parameterform.
Voraussetzungen ansehen
Vektoren, Verbindungsvektoren, Skalarprodukt und lineare Gleichungssysteme.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Komponenten mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(…). Ebenengleichungen z. B. 3x+y-z=7; x1, x2, x3 sind ebenfalls möglich. Bei Parameterformen alle drei Terme in r und s angeben.
02 · Verstehen
Was eine Ebene im Raum beschreibt
Eine Ebene – drei Darstellungen
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
Diese Gleichung beschreibt alle Punkte, deren drei Koordinaten zusammen 1 ergeben. Dieselbe Ebene lässt sich auch mit einem Stützpunkt und zwei Spannvektoren beschreiben.
Stell dir eine flache Fläche vor, die sich in zwei unabhängige Richtungen unbegrenzt ausdehnt. Ein gezeichnetes Parallelogramm zeigt nur einen Ausschnitt davon. Eine Ebene besitzt keine Dicke und keinen Rand.
Um sie in Parameterform festzulegen, brauchst du einen Punkt auf der Ebene und zwei voneinander unabhängige Spannvektoren. Unabhängig bedeutet hier: Die Vektoren sind keine Vielfachen voneinander. Keiner darf der Nullvektor sein.
Die Parameterform verstehen
Mit dem Stützvektor a und den Spannvektoren u und v lautet die allgemeine Form:
E: x = a + r · u + s · v
Die reellen Parameter r und s sind unabhängig voneinander frei wählbar. Vom Stützpunkt aus gehst du r-mal in Richtung u und s-mal in Richtung v. So erreichst du jeden Punkt der Ebene.
E: x = + r · + s ·
Für r = 0 und s = 0 erhältst du A(1 | 0 | 0). Für r = 1, s = 0 entsteht B(0 | 1 | 0); für r = 0, s = 1 entsteht C(0 | 0 | 1). Die Spannvektoren sind keine Vielfachen und legen tatsächlich eine Ebene fest.
Eine Ebene aus drei Punkten aufstellen
Beispiel · Schritt für Schritt
Stelle die Ebene durch die drei Punkte auf
A(1 | 0 | 0)
B(0 | 1 | 0); C(0 | 0 | 1)
Gegeben seien A(1 | 0 | 0), B(0 | 1 | 0) und C(0 | 0 | 1). Wähle A als Stützpunkt. Berechne anschließend die Verbindungsvektoren von A nach B und von A nach C: jeweils Ziel minus Start.
RechnungErklärung zum Schritt
u = =
v = =
2 Von A nach C
Berechne ebenso den zweiten Spannvektor.
1 ≠ λ · 0
3 Unabhängigkeit prüfen
u kann kein Vielfaches von v sein: Bereits die zweite Komponente widerspricht dem. Beide Vektoren sind ungleich null.
x =
+ r · + s ·
+ r · + s ·
4 Parameterform angeben
A liefert den Stützvektor. r und s durchlaufen unabhängig alle reellen Zahlen. Das ist die Ebene aus dem vorherigen Abschnitt.
Drei Punkte bestimmen nur dann genau eine Ebene, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. Sind die beiden Verbindungsvektoren abhängig, reicht die Angabe nicht für eine eindeutige Ebene.
Einen Normalenvektor finden
Ein Normalenvektor n steht senkrecht auf beiden Spannvektoren. Er darf nicht der Nullvektor sein. Du kannst ihn mit zwei Skalarproduktgleichungen bestimmen:
n · u = 0 und n · v = 0
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme einen Normalenvektor
u = (−1; 1; 0)
v = (−1; 0; 1)
RechnungErklärung zum Schritt
−n₁ + n₂ = 0
−n₁ + n₃ = 0
−n₁ + n₃ = 0
1 Skalarprodukte auswerten
Setze u = (−1; 1; 0) und v = (−1; 0; 1) ein.
n₂ = n₁, n₃ = n₁
2 Gleichungen lösen
Beide Gleichungen bestimmen die Komponenten relativ zu n₁.
n =
3 Nichtnullvektor wählen
Wähle n₁ = 1. Jedes von null verschiedene Vielfache ist ebenfalls geeignet.
Der Vektor x − a verbindet den Stützpunkt mit einem beliebigen Ebenenpunkt. Er liegt in der Ebene und ist deshalb orthogonal zu n. Daraus folgt die Normalenform:
E: n · (x − a) = 0
· (x − ) = 0
Du brauchst dafür keinen Vektor der Länge 1. Das Normieren ist für die gewöhnliche Normalenform nicht erforderlich.
Von der Normalenform zur Koordinatenform
Multipliziere das Skalarprodukt aus. Für unser Beispiel bedeutet das:
Beispiel · Schritt für Schritt
Wandle die Normalenform in Koordinatenform um
n = (1; 1; 1)
A(1 | 0 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
1 · (x₁ − 1) + 1 · x₂
+ 1 · x₃ = 0
+ 1 · x₃ = 0
1 Skalarprodukt ausmultiplizieren
Multipliziere zugehörige Komponenten und addiere die Produkte.
x₁ − 1 + x₂ + x₃ = 0
2 Vereinfachen
Die Faktoren 1 ändern die Terme nicht.
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
3 Konstante umstellen
Addiere auf beiden Seiten 1.
Allgemein hat die Koordinatenform die Gestalt:
E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d
Die Koeffizienten vor den Koordinaten bilden einen Normalenvektor. Die rechte Seite ist d = n · a. Mindestens einer der drei Koeffizienten muss ungleich 0 sein. Ist d = 0, liegt der Ursprung auf der Ebene.
Multiplizierst du die gesamte Gleichung mit einer Zahl ungleich 0, bleibt die Ebene gleich. Deshalb beschreibt 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 2 dieselbe Ebene wie unsere Ausgangsgleichung.
Punkte auf Zugehörigkeit prüfen
In Koordinatenform geht die Punktprobe besonders schnell: Setze die drei Koordinaten ein und prüfe die Gleichung.
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe beide Punkte in Koordinatenform
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
P(2 | −1 | 0); Q(1 | 1 | 1)
RechnungErklärung zum Schritt
P: 2 + (−1) + 0 = 1
1 P einsetzen
Die linke Seite ist gleich der rechten Seite 1. P liegt auf E.
Q: 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 1
2 Q einsetzen
Die Ebenengleichung ist nicht erfüllt. Q liegt nicht auf E.
Auch die Parameterform eignet sich. Für P muss gelten:
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe P mithilfe der Parameterform
P(2 | −1 | 0)
E: x = (1; 0; 0)
+ r · (−1; 1; 0) + s · (−1; 0; 1)
RechnungErklärung zum Schritt
2 = 1 − r − s
−1 = r
0 = s
−1 = r
0 = s
1 Komponenten vergleichen
Setze P(2 | −1 | 0) in die Parameterform ein.
r = −1, s = 0
2 Parameter bestimmen
Die zweite und dritte Gleichung liefern das einzige mögliche Parameterpaar.
1 − (−1) − 0 = 2
3 Erste Koordinate prüfen
Auch die erste Gleichung ist erfüllt. Alle drei Koordinaten stimmen mit demselben Parameterpaar: P liegt auf E.
Von der Koordinatenform zur Parameterform
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme eine Parameterform der Ebene
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
RechnungErklärung zum Schritt
x₁ = 1 − x₂ − x₃
1 Eine Koordinate freistellen
Der Koeffizient von x₁ ist 1 und ungleich 0.
x₂ = r, x₃ = s
x₁ = 1 − r − s
x₁ = 1 − r − s
2 Freie Parameter wählen
r und s sind unabhängig frei wählbare reelle Zahlen.
x =
3 Komponenten zusammenstellen
Achte auf die Reihenfolge x₁, x₂, x₃.
x =
+ r · + s ·
+ r · + s ·
4 Anteile trennen
Trenne konstanten Anteil, r-Anteil und s-Anteil. Die beiden Spannvektoren sind unabhängig.
So erhältst du wieder unsere Parameterform. Bei einer anderen Ebene löst du nach einer Koordinate auf, deren Koeffizient ungleich 0 ist. Beispielsweise ergibt x₃ = 2 die Parameterform x = (0; 0; 2) + r(1; 0; 0) + s(0; 1; 0).
Formen sicher umwandeln
Koordinatenform → Normalenform: mit Stützpunktwahl
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme Stützpunkt und Normalenform
E: 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 4
Gegeben ist E: 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 4. Die Koeffizienten liefern sofort einen Normalenvektor n = (2; −1; 3). Für die Normalenform brauchst du zusätzlich einen Punkt auf der Ebene.
RechnungErklärung zum Schritt
x₂ = 0, x₃ = 0
2x₁ = 4 ⇒ x₁ = 2
2x₁ = 4 ⇒ x₁ = 2
1 Stützpunkt finden
Setze zwei Koordinaten auf 0 und berechne die dritte. A(2 | 0 | 0) liegt auf E.
· (x − ) = 0
2 Normalenform bilden
Nutze den aus den Koeffizienten abgelesenen Normalenvektor und den gefundenen Stützpunkt.
2(x₁ − 2) − x₂ + 3x₃ = 0
3 Kontrolle durch Ausmultiplizieren
Berechne das Skalarprodukt.
2x₁ − x₂ + 3x₃ = 4
4 Ausgangsgleichung erhalten
Addiere 4 auf beiden Seiten. Die Normalenform beschreibt dieselbe Ebene.
Nicht jeder frei gewählte Stützpunkt passt. Beispielsweise liegt der Ursprung nicht auf dieser Ebene. Wähle beim Bestimmen eines Punkts eine Koordinate mit einem Koeffizienten ungleich 0 als zu berechnende Größe.
Übung: Normalenform für x₁ + 2x₂ − x₃ = 3?
Lösung · Schritt für Schritt
Stelle eine passende Normalenform auf
E: x₁ + 2x₂ − x₃ = 3
RechnungErklärung zum Schritt
n =
1 Koeffizienten ablesen
Der Normalenvektor ist ungleich null.
3 + 2 · 0 − 0 = 3
2 Stützpunkt prüfen
A(3 | 0 | 0) erfüllt die Koordinatengleichung.
· (x − ) = 0
3 Normalenform
Ausmultipliziert: x₁ − 3 + 2x₂ − x₃ = 0. Daraus entsteht wieder die Ausgangsgleichung.
Formen sicher umwandeln
Normalenform → Parameterform: ein vollständiger Rechenweg
Beispiel · Schritt für Schritt
Wandle die Normalenform in Parameterform um
n = (2; −1; 3)
a = (2; 0; 0)
Starte mit n · (x − a) = 0 für n = (2; −1; 3) und a = (2; 0; 0).
RechnungErklärung zum Schritt
2(x₁ − 2) − x₂ + 3x₃ = 0
1 Skalarprodukt auswerten
Multipliziere die Normalenform aus.
2x₁ − x₂ + 3x₃ = 4
2 Koordinatenform bilden
Fasse zusammen und addiere 4.
x₂ = 2x₁ + 3x₃ − 4
3 Nach x₂ auflösen
Der Koeffizient −1 ist ungleich 0.
x₁ = r, x₃ = s
x₂ = 2r + 3s − 4
x₂ = 2r + 3s − 4
4 Parameter einsetzen
r und s durchlaufen unabhängig die reellen Zahlen.
x =
5 Komponenten aufschreiben
Die Reihenfolge bleibt x₁, x₂, x₃.
x =
+ r · + s ·
+ r · + s ·
6 Parameterform zerlegen
Trenne konstanten Anteil und beide Parameteranteile.
Der neue Stützpunkt B(0 | −4 | 0) ist erlaubt: 2·0 − (−4) + 3·0 = 4. Die Spannvektoren sind unabhängig und beide orthogonal zu n: 2·1 − 1·2 + 3·0 = 0 sowie 2·0 − 1·3 + 3·1 = 0.
Auch der ursprüngliche Punkt A ist enthalten: Mit r = 2 und s = 0 erhältst du A(2 | 0 | 0). Eine andere Parameterform kann also dieselbe Ebene beschreiben. Entscheidend sind die Punkte der Ebene, nicht ein identisches Aussehen der Formel.
Übung: Parameterform für n = (1; 2; −1), a = (3; 0; 0)?
Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme eine passende Parameterform
n = (1; 2; −1)
a = (3; 0; 0)
RechnungErklärung zum Schritt
x₁ + 2x₂ − x₃ = 3
1 Normalenform ausmultiplizieren
Verwende n = (1; 2; −1) und a = (3; 0; 0).
x₂ = r, x₃ = s
x₁ = 3 − 2r + s
x₁ = 3 − 2r + s
2 Parameter wählen
Löse nach x₁ auf und wähle die anderen Koordinaten frei.
x =
+ r · + s ·
+ r · + s ·
3 Parameterform bilden
Die Koeffizienten von r und s werden zu Spannvektoren.
Die Spannvektoren sind unabhängig und orthogonal zu n. Der Stützpunkt erfüllt die Koordinatengleichung.
Welche Form ist wofür praktisch?
| Aufgabe | Praktischer Einstieg |
|---|---|
| Ebene aus drei Punkten | Parameterform mit zwei Verbindungsvektoren |
| Punkte erzeugen | Parameterform: r und s einsetzen |
| Punktprobe oder Schnitt mit Gerade | Koordinatenform |
| Senkrechte Richtung erkennen | Normalenform oder Koeffizienten der Koordinatenform |
Eine Ebene hat viele gültige Parameterformen. Andere Stützpunkte oder Spannvektoren bedeuten nicht automatisch eine andere Ebene. Entscheidend ist die Menge der beschriebenen Punkte.
Diese Fehler vermeidest du
- Spannvektoren und Normalenvektor verwechseln: Die ersten liegen in der Ebene, der zweite steht senkrecht dazu.
- Den Nullvektor als Normalenvektor wählen: Dann würde die Normalenform jede Stelle im Raum zulassen.
- Nur die linke Seite einer Koordinatengleichung skalieren: Multipliziere immer auch die rechte Seite.
- Bei der Punktprobe nur zwei Koordinaten kontrollieren: Alle drei müssen passen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Prüfe anschließend die vollständige Lage, die Koordinaten oder die gefragte Gleichung. Tipps und Rechenwege helfen dir bei Bedarf weiter.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Berechne den Verbindungsvektor von A(1 | 0 | 0) nach B(0 | 1 | 0).
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne den Verbindungsvektor AB
A(1 | 0 | 0)
B(0 | 1 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
AB =
1 Ziel minus Start
Subtrahiere die Koordinaten von A von denen von B.
AB =
2 Ergebnis
Der Pfeil zeigt von A nach B.
3 · Nenne einen Normalenvektor zu x₁ + x₂ + x₃ = 1.
Lösung und Rechenweg ansehen
Zum Beispiel . Die Koeffizienten bilden den Normalenvektor.
Erklärung wiederholen →4 · Liegt P(2 | −1 | 0) auf dieser Ebene?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Prüfe, ob P auf der Ebene liegt
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
P(2 | −1 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
2 + (−1) + 0 = 1
1 P einsetzen
Setze alle drei Koordinaten in x₁ + x₂ + x₃ = 1 ein.
P ∈ E
2 Entscheidung
Ja, die linke Seite stimmt mit der rechten Seite überein.
5 · Liegt der Ursprung auf 2x₁ − x₂ + x₃ = 0?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Prüfe den Ursprung
E: 2x₁ − x₂ + x₃ = 0
O(0 | 0 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
2 · 0 − 0 + 0 = 0
1 Ursprung einsetzen
Für O(0 | 0 | 0) sind alle Koordinaten 0.
O ∈ E
2 Entscheidung
Ja: Die Gleichung 0 = 0 ist erfüllt.
6 · Welche Ebene beschreibt x = (0; 0; 2) + r(1; 0; 0) + s(0; 1; 0)?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Lies die Koordinatenform ab
E: x = (0; 0; 2)
+ r · (1; 0; 0) + s · (0; 1; 0)
RechnungErklärung zum Schritt
x₁ = r, x₂ = s, x₃ = 2
1 Komponenten ablesen
Die ersten beiden Koordinaten sind frei, die dritte ist fest.
E: x₃ = 2
2 Koordinatenform
Alle Punkte in der Höhe x₃ = 2 gehören dazu. Die beiden Spannvektoren sind unabhängig.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Geraden und Ebenen gemeinsam untersuchen →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Reichen zwei Punkte für eine eindeutige Ebene?
Nein. Durch zwei verschiedene Punkte verläuft eine Gerade, die in unendlich vielen Ebenen liegen kann.
Müssen Spannvektoren senkrecht aufeinander stehen?
Nein. Sie müssen nur unabhängig sein. Ein rechter Winkel zwischen ihnen ist nicht erforderlich.
Ist der Normalenvektor eindeutig?
Nein. Jedes von null verschiedene Vielfache eines Normalenvektors ist ebenfalls geeignet.
Berechne Ziel minus Start für den ersten Spannvektor.