Unterscheide Punkte und Verschiebungen und rechne sicher mit ihren Koordinaten. Kurze Zwischenübungen helfen dir, Verbindungsvektoren, Längen, Mittelpunkte und parallele Richtungen zu verstehen.
Hilfreiches Vorwissen: Koordinaten, Vorzeichen, Brüche und Satz des Pythagoras.
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Drei Komponenten mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Punkte sind auch als (2 | −1 | 3) möglich. Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(…). Geradenterme mit t, z. B. 2-t; 3+2t; -1. Winkel in Grad wie verlangt runden. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Richtung und Länge
Zwei Einheiten in x₁-Richtung, eine Einheit entgegen x₂ und zwei Einheiten in x₃-Richtung. Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung, nicht automatisch einen festen Punkt.
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung mit Richtung und Länge. Du kannst ihn als Pfeil darstellen. Verschiebst du den ganzen Pfeil parallel, ohne Richtung oder Länge zu ändern, bleibt es derselbe Vektor.
Im Raum besitzt ein Vektor drei Komponenten. Auf dieser Seite verwenden wir Spaltenvektoren; symbolische Vektornamen wie a werden fett geschrieben. Die Koordinatenachsen heißen x₁, x₂ und x₃.
a =
Die Reihenfolge der Komponenten ist fest. Die mittlere Komponente −1 bedeutet eine Bewegung entgegen der positiven x₂-Richtung. In der Ebene genügen zwei Komponenten.
Ein Punkt A(1 | 2 | 1) bezeichnet einen festen Ort. Sein Ortsvektor geht vom Ursprung O zu A und hat dieselben drei Zahlen als Komponenten:
OA =
Der Ortsvektor ist ein besonderer Repräsentant eines Vektors mit festgelegtem Anfangspunkt O. Ein freier Verschiebungsvektor muss dagegen nicht am Ursprung beginnen.
Wenn du einen Ortsvektor und einen Verschiebungsvektor addierst, erhältst du den Ortsvektor des neuen Punktes. Das ist später die Grundidee der Geradengleichung.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Erst mit einem Startpunkt weißt du, wo der Pfeil liegt.
Bei ihm ist der Startpunkt ausdrücklich der Ursprung.
Beispiel – Schritt für Schritt
A(1 | 2 | 1)
B(3 | 1 | 3)
Gegeben sind A(1 | 2 | 1) und B(3 | 1 | 3). Um von A nach B zu gelangen, rechnest du für jede Komponente: Ziel minus Start.
Subtrahiere jeweils Komponenten an derselben Position.
Zwei Einheiten in x₁-Richtung, eine entgegen x₂ und zwei in x₃-Richtung.
In Gegenrichtung wechseln alle Vorzeichen:
BA = = −AB
Die Reihenfolge der Buchstaben ist entscheidend: AB bedeutet von A nach B. Ein vertauschtes Minus liefert den Gegenvektor.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Rechne Ziel minus Start in jeder Koordinate.
In Gegenrichtung wechseln alle Vorzeichen.
Addiere jeweils die Komponenten an derselben Position. Geometrisch kannst du den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten setzen; der Gesamtpfeil verbindet Anfang und Ende.
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
b = (−1; 3; 0)
Beide Vektoren haben drei Komponenten.
Erste mit erster, zweite mit zweiter, dritte mit dritter Komponente.
Die Reihenfolge der Komponenten bleibt erhalten.
Subtraktion bedeutet, den Gegenvektor zu addieren:
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
b = (−1; 3; 0)
Subtrahiere komponentenweise oder addiere den Gegenvektor.
In der ersten Zeile bedeutet minus minus eins plus eins.
Berechne jede Zeile getrennt.
Du darfst die Komponenten nicht beliebig umsortieren. Die x₁-Komponente bleibt immer in der ersten Zeile. Vektoren müssen für diese Rechnungen dieselbe Dimension haben.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Addiere passende Komponenten.
In der ersten Komponente wird aus 2 − (−3) die Zahl 5.
Ein Skalar ist hier eine gewöhnliche reelle Zahl. Multipliziere jede Komponente mit diesem Faktor:
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
Faktor: 3
Der Faktor ist die reelle Zahl 3.
Der Faktor betrifft alle drei Komponenten.
Der Vektor ist dreimal so lang und zeigt in dieselbe Richtung.
Ein positiver Faktor behält die Richtung bei; ein negativer kehrt sie um. Die Länge wird mit dem Betrag des Faktors multipliziert.
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
Faktor: −2
Der Faktor −2 kehrt die Richtung um.
Die zweite Komponente wird positiv.
Die Länge wird mit dem Betrag 2 multipliziert.
Bei Faktor 0 entsteht der Nullvektor. Er hat die Länge 0 und keine festgelegte Richtung. Eine Division durch einen von null verschiedenen Skalar bedeutet Multiplikation mit dessen Kehrwert.
Die Länge, auch Betrag genannt, folgt im üblichen orthonormalen Koordinatensystem aus dem Satz des Pythagoras:
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Für unseren Verbindungsvektor ergibt sich:
Beispiel – Schritt für Schritt
AB = (2; −1; 2)
Nutze die Wurzel aus der Summe der Komponentenquadrate.
Auch das Quadrat der negativen Komponente ist positiv.
Der Betrag und damit der Abstand von A zu B ist 3 Längeneinheiten.
Damit beträgt auch der Abstand zwischen A und B drei Längeneinheiten. Der Vektorbetrag ist eine nichtnegative Zahl, kein weiterer Vektor. Die Komponenten werden quadriert; ein negatives Vorzeichen macht den Betrag nicht negativ.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Beim Quadrieren verschwinden die negativen Vorzeichen.
Die Komponenten können trotzdem negativ sein.
Ein Einheitsvektor hat die Länge 1. Für einen Vektor ungleich null teilst du jede Komponente durch seinen Betrag:
e =
Für a mit den Komponenten (2; −1; 2) und Länge 3 ist das:
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
Nur einen Vektor ungleich null kannst du auf Länge 1 bringen.
Multipliziere jede Komponente mit dem Kehrwert des positiven Betrags.
Die Richtung bleibt erhalten.
Die Quadratsumme beträgt 1. Der neue Vektor hat tatsächlich Länge 1.
Die Richtung bleibt erhalten. Beim Nullvektor funktioniert das nicht, weil du durch 0 teilen müsstest.
Der Mittelpunkt liegt von A aus auf halbem Weg nach B. Du kannst daher den halben Verbindungsvektor zu A addieren oder die jeweiligen Punktkoordinaten mitteln:
OM =
Beispiel – Schritt für Schritt
A(1 | 2 | 1)
B(3 | 1 | 3)
Addiere jeweils die zugehörigen Koordinaten von A und B und teile durch 2.
Der Ortsvektor liefert die Koordinaten des Mittelpunkts.
Von A zu M und von M zu B sind es jeweils 1,5 Längeneinheiten.
Die Formel funktioniert komponentenweise. Addiere nicht erst alle Koordinaten eines Punktes miteinander.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Mittle jede Koordinate einzeln.
Die beiden halben Strecken passen zusammen.
Zwei von null verschiedene Vektoren sind parallel, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist.
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
b = (4; −2; 4)
Bestimme den möglichen gemeinsamen Faktor aus der ersten Komponente.
Derselbe Faktor passt auch in der zweiten und dritten Zeile.
Der zweite Vektor ist das Doppelte des ersten. Die Richtungen sind gleich.
Prüfe einen gemeinsamen Faktor für alle Komponenten.
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
c = (4; −2; 5)
Vergleiche (4; −2; 5) mit (2; −1; 2). Die ersten beiden Zeilen legen den Faktor 2 nahe.
Der gemeinsame Faktor passt hier nicht. Die Vektoren sind nicht parallel.
Aus parallelen Richtungsvektoren allein folgt noch nicht, dass zwei Geraden dieselbe Gerade sind. Dazu musst du auch ihre Lage vergleichen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Den Faktor erhältst du aus einer Komponente ungleich 0.
Durch 0 teilen darfst du dagegen nicht.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
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Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Trage zwei oder drei Koordinaten pro Punkt oder Vektor ein. Der Helfer zeigt die Rechnung komponentenweise und veranschaulicht sie in wählbaren Koordinatenansichten.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
A(1 | 2 | 1)
B(3 | 1 | 3)
Die Reihenfolge A nach B legt die Subtraktion fest.
Subtrahiere die zugehörigen Koordinaten.
Der Vektor zeigt von A nach B.
Lösung – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
Alle Komponenten wechseln das Vorzeichen.
Die Länge bleibt gleich, die Richtung wird umgekehrt.
Lösung – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
b = (−1; 3; 0)
Addiere nur Komponenten derselben Position.
Die Dimension und Reihenfolge bleiben erhalten.
Lösung – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
Quadriere jede Komponente.
Das Quadrat von −1 ist 1.
Die Länge ist eine nichtnegative Zahl.
Lösung – Schritt für Schritt
A(1 | 2 | 1)
B(3 | 1 | 3)
Bilde den Durchschnitt jeder Koordinate.
Schreibe die berechneten Koordinaten als Punkt.
Lösung – Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
b = (−6; 3; −6)
Nutze die erste Komponente.
Der Faktor −3 passt zu allen Komponenten.
Ja, die Vektoren sind parallel. Wegen des negativen Faktors sind ihre Richtungen entgegengesetzt.
Dein nächster Schritt
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Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Ein Punkt beschreibt einen Ort, ein Vektor eine Verschiebung. Der Ortsvektor eines Punktes verbindet den Ursprung mit diesem Punkt.
Nein. Die Komponenten können negativ sein, der Betrag ist immer nichtnegativ.
Es gibt verschiedene Produkte mit unterschiedlichen Bedeutungen, etwa Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Auf dieser Seite behandeln wir die Multiplikation mit einer reellen Zahl.
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Der Pfeil soll von A(1 | 2 | 1) nach B(3 | 1 | 3) zeigen.