1 · A(1 | 2 | 1), B(3 | 1 | 3): Bestimme AB.
Lösung und Rechenweg ansehen
Ziel minus Start ergibt .
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Vektoren und Vektorrechnung: verstehen und üben
Beschreibe Verschiebungen mit Vektoren und rechne mit ihren Komponenten. Bestimme Verbindungsvektoren, Längen und Mittelpunkte – als Grundlage für die analytische Geometrie im Raum.
Richtung und Länge
Zwei Einheiten in x₁-Richtung, eine Einheit entgegen x₂ und zwei Einheiten in x₃-Richtung. Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung, nicht automatisch einen festen Punkt.
Lernschritt 1
Was ist ein Vektor?
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung mit Richtung und Länge. Du kannst ihn als Pfeil darstellen. Verschiebst du den ganzen Pfeil parallel, ohne Richtung oder Länge zu ändern, bleibt es derselbe Vektor.
Im Raum besitzt ein Vektor drei Komponenten. Auf dieser Seite verwenden wir Spaltenvektoren; symbolische Vektornamen wie a werden fett geschrieben. Die Koordinatenachsen heißen x₁, x₂ und x₃.
a =
Die Reihenfolge der Komponenten ist fest. Die mittlere Komponente −1 bedeutet eine Bewegung entgegen der positiven x₂-Richtung. In der Ebene genügen zwei Komponenten.
Lernschritt 2
Punkt und Ortsvektor unterscheiden
Ein Punkt A(1 | 2 | 1) bezeichnet einen festen Ort. Sein Ortsvektor geht vom Ursprung O zu A und hat dieselben drei Zahlen als Komponenten:
OA =
Der Ortsvektor ist ein besonderer Repräsentant eines Vektors mit festgelegtem Anfangspunkt O. Ein freier Verschiebungsvektor muss dagegen nicht am Ursprung beginnen.
Wenn du einen Ortsvektor und einen Verschiebungsvektor addierst, erhältst du den Ortsvektor des neuen Punktes. Das ist später die Grundidee der Geradengleichung.
Lernschritt 3
Den Verbindungsvektor berechnen
Gegeben sind A(1 | 2 | 1) und B(3 | 1 | 3). Um von A nach B zu gelangen, rechnest du für jede Komponente: Ziel minus Start.
AB = =
In Gegenrichtung wechseln alle Vorzeichen:
BA = = −AB
Die Reihenfolge der Buchstaben ist entscheidend: AB bedeutet von A nach B. Ein vertauschtes Minus liefert den Gegenvektor.
Lernschritt 4
Vektoren addieren und subtrahieren
Addiere jeweils die Komponenten an derselben Position. Geometrisch kannst du den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten setzen; der Gesamtpfeil verbindet Anfang und Ende.
+ =
Subtraktion bedeutet, den Gegenvektor zu addieren:
− =
Du darfst die Komponenten nicht beliebig umsortieren. Die x₁-Komponente bleibt immer in der ersten Zeile. Vektoren müssen für diese Rechnungen dieselbe Dimension haben.
Lernschritt 5
Mit einer Zahl multiplizieren
Ein Skalar ist hier eine gewöhnliche reelle Zahl. Multipliziere jede Komponente mit diesem Faktor:
3 · =
Ein positiver Faktor behält die Richtung bei; ein negativer kehrt sie um. Die Länge wird mit dem Betrag des Faktors multipliziert.
−2 · =
Bei Faktor 0 entsteht der Nullvektor. Er hat die Länge 0 und keine festgelegte Richtung. Eine Division durch einen von null verschiedenen Skalar bedeutet Multiplikation mit dessen Kehrwert.
Lernschritt 6
Die Länge eines Vektors bestimmen
Die Länge, auch Betrag genannt, folgt im üblichen orthonormalen Koordinatensystem aus dem Satz des Pythagoras:
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Für unseren Verbindungsvektor ergibt sich:
|AB| = √(2² + (−1)² + 2²) = √9 = 3
Damit beträgt auch der Abstand zwischen A und B drei Längeneinheiten. Der Vektorbetrag ist eine nichtnegative Zahl, kein weiterer Vektor. Die Komponenten werden quadriert; ein negatives Vorzeichen macht den Betrag nicht negativ.
Lernschritt 7
Einen Einheitsvektor bilden
Ein Einheitsvektor hat die Länge 1. Für einen Vektor ungleich null teilst du jede Komponente durch seinen Betrag:
e =
Für a mit den Komponenten (2; −1; 2) und Länge 3 ist das:
e =
Die Richtung bleibt erhalten. Beim Nullvektor funktioniert das nicht, weil du durch 0 teilen müsstest.
Lernschritt 8
Den Mittelpunkt einer Strecke finden
Der Mittelpunkt liegt von A aus auf halbem Weg nach B. Du kannst daher den halben Verbindungsvektor zu A addieren oder die jeweiligen Punktkoordinaten mitteln:
OM =
Für A(1 | 2 | 1) und B(3 | 1 | 3) folgt M(2 | 1,5 | 2). Von A zu M und von M zu B sind es jeweils 1,5 Längeneinheiten.
Die Formel funktioniert komponentenweise. Addiere nicht erst alle Koordinaten eines Punktes miteinander.
Lernschritt 9
Parallele Richtungen erkennen
Zwei von null verschiedene Vektoren sind parallel, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist. Beispielsweise ist (4; −2; 4) das Doppelte von (2; −1; 2).
Prüfe einen gemeinsamen Faktor für alle Komponenten. Bei (4; −2; 5) würden die ersten beiden Zeilen den Faktor 2 nahelegen; die dritte passt aber nicht. Diese Vektoren sind nicht parallel.
Aus parallelen Richtungsvektoren allein folgt noch nicht, dass zwei Geraden dieselbe Gerade sind. Dazu musst du auch ihre Lage vergleichen.
Lernschritt 10
Dein Ablauf bei Vektoraufgaben
- Unterscheide Punkte, Ortsvektoren und Verschiebungsvektoren.
- Schreibe Komponenten immer in derselben Reihenfolge auf.
- Für Verbindungsvektoren: Ziel minus Start.
- Rechne Summen und skalare Vielfache komponentenweise.
- Berechne Längen mit der Wurzel aus der Quadratsumme.
- Prüfe das Ergebnis geometrisch: Richtung, Vorzeichen und Größenordnung.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Wie lautet der Gegenvektor zu (2; −1; 2)?
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. Alle Komponenten wechseln das Vorzeichen.
Erklärung wiederholen →3 · Addiere (2; −1; 2) und (−1; 3; 0).
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. Addiere komponentenweise.
Erklärung wiederholen →4 · Welche Länge hat (2; −1; 2)?
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√(4 + 1 + 4) = 3.
Erklärung wiederholen →5 · Mittelpunkt von A(1 | 2 | 1) und B(3 | 1 | 3)?
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M(2 | 1,5 | 2). Bilde den Durchschnitt jeder Koordinate.
Erklärung wiederholen →6 · Sind (2; −1; 2) und (−6; 3; −6) parallel?
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Ja. Der zweite Vektor ist das −3-Fache des ersten. Die Richtungen sind entgegengesetzt.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist ein Vektor ein Punkt?
Nein. Ein Punkt beschreibt einen Ort, ein Vektor eine Verschiebung. Der Ortsvektor eines Punktes verbindet den Ursprung mit diesem Punkt.
Kann ein Vektor eine negative Länge haben?
Nein. Die Komponenten können negativ sein, der Betrag ist immer nichtnegativ.
Kann ich Vektoren beliebig miteinander multiplizieren?
Es gibt verschiedene Produkte mit unterschiedlichen Bedeutungen, etwa Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Auf dieser Seite behandeln wir die Multiplikation mit einer reellen Zahl.