1 · Berechne (1; 2; 3) · (4; −1; 2).
Lösung und Rechenweg ansehen
4 − 2 + 6 = 8.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Skalarprodukt und Winkel: verstehen und üben
Berechne das Skalarprodukt, prüfe Orthogonalität und bestimme Winkel zwischen Vektoren. Lerne außerdem, warum beim kleineren Winkel zwischen Geraden ein Betrag in die Formel gehört.
Aus zwei Vektoren wird eine Zahl
· = 0
Die beiden Vektoren sind ungleich null und stehen senkrecht aufeinander. Das erkennst du daran, dass ihr Skalarprodukt 0 ist.
Lernschritt 1
Das Skalarprodukt komponentenweise berechnen
Beim Skalarprodukt multiplizierst du jeweils die Komponenten an derselben Position und addierst die Produkte. Für zwei dreidimensionale Vektoren gilt:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Das Ergebnis ist eine reelle Zahl, also ein Skalar. Es ist kein Vektor. Beispiel:
· = 1 · 4 + 2 · (−1) + 3 · 2 = 8
In der Ebene entfällt der dritte Summand. Negative Komponenten gehören mit ihrem Vorzeichen in die Rechnung. Setze sie am besten in Klammern.
Lernschritt 2
Die geometrische Bedeutung verstehen
Für zwei Vektoren ungleich null verbindet das Skalarprodukt ihre Längen mit dem eingeschlossenen Winkel α:
a · b = |a| · |b| · cos(α)
Lege beide Pfeile gedanklich an denselben Anfangspunkt. Der Vektorwinkel liegt zwischen 0° und 180°. Das Skalarprodukt ist positiv bei einem Winkel unter 90°, null bei 90° und negativ bei einem Winkel über 90°.
Zeigen die Vektoren in dieselbe Richtung, ist der Winkel 0°. Zeigen sie genau entgegengesetzt, beträgt er 180°. Länge und Richtung spielen also beide eine Rolle.
Lernschritt 3
Senkrechte Vektoren erkennen
Zwei Vektoren ungleich null sind genau dann orthogonal, also senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist:
a · b = 0
Für a = (1; 2; 0) und b = (2; −1; 3) erhältst du 2 − 2 + 0 = 0. Die Vektoren sind orthogonal, obwohl ihre Komponenten nicht einfach wie zwei Koordinatenachsen aussehen.
Das Skalarprodukt mit dem Nullvektor ist ebenfalls 0. Der Nullvektor hat aber keine Richtung; ein geometrischer Winkel mit ihm ist nicht definiert. Die Winkelformel darfst du dann nicht verwenden.
Lernschritt 4
Den Winkel Schritt für Schritt bestimmen
Stelle die geometrische Formel nach cos(α) um und wende anschließend die Umkehrfunktion arccos an:
cos(α) =
Beispiel mit a = (1; 0; 0) und b = (1; 1; 0): Das Skalarprodukt ist 1, die Längen sind 1 und √2. Somit:
cos(α) = → α = 45°
Am Rechner brauchst du arccos, häufig als cos⁻¹ beschriftet. Das bedeutet hier die Umkehrfunktion, nicht den Kehrwert des Kosinus. Stelle für ein Ergebnis in Grad den Gradmodus ein.
Lernschritt 5
Ein negativer Wert liefert einen stumpfen Vektorwinkel
Wähle a = (1; 0; 0) und c = (−1; 1; 0). Ihr Skalarprodukt ist −1, die Längen sind 1 und √2.
cos(α) = − → α = 135°
Das negative Vorzeichen darf beim Winkel zwischen gerichteten Vektoren nicht einfach entfernt werden. Es unterscheidet in diesem Beispiel 135° von 45°.
Lernschritt 6
Der kleinere Winkel zwischen Geraden
Eine Gerade hat keine bevorzugte Laufrichtung. Du kannst ihren Richtungsvektor durch den Gegenvektor ersetzen, ohne die Gerade zu ändern. Deshalb wird als Winkel zwischen Geraden üblicherweise der kleinere Winkel φ zwischen 0° und 90° angegeben:
cos(φ) =
Die Betragsstriche im Zähler entfernen die Abhängigkeit von der gewählten Pfeilrichtung. Für die Richtungen (1; 0; 0) und (−1; 1; 0) ist der kleinere Geradenwinkel daher 45°, obwohl der Vektorwinkel 135° beträgt.
Bei sich schneidenden Geraden ist das ihr kleinerer Schnittwinkel. Bei windschiefen Geraden kann derselbe Ausdruck den Winkel ihrer Richtungen beschreiben; es gibt dort aber keinen Schnittpunkt. Ein Skalarprodukt der Richtungen von 0 beweist daher allein noch keinen rechtwinkligen Schnitt.
Lernschritt 7
Einen Parameter für Orthogonalität bestimmen
Für a = (1; 2; −1) und b = (k; 1; 3) soll gelten a · b = 0. Setze die Komponenten ein:
k + 2 − 3 = 0 → k = 1
Für k = 1 ist b = (1; 1; 3). Beide Vektoren sind ungleich null und ihr Skalarprodukt beträgt 0. Damit ist die Orthogonalität bestätigt.
Kontrolliere bei Parameteraufgaben am Ende die ursprüngliche Bedingung und prüfe, ob eventuell ein Nullvektor entsteht. Eine reine Winkelaufgabe benötigt zwei von null verschiedene Vektoren.
Lernschritt 8
Nützliche Rechenregeln und Kontrollen
Du darfst die Reihenfolge der Faktoren vertauschen: a · b = b · a. Über einer Summe lässt sich ausmultiplizieren: a · (b + c) = a · b + a · c. Konstante Faktoren kannst du herausziehen.
a · a = |a|²
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist also nie negativ. Für a = (2; −1; 2) ergibt es 4 + 1 + 4 = 9; die Länge ist folglich 3.
Der Quotient in der Kosinusformel muss zwischen −1 und 1 liegen. Größere Abweichungen deuten auf einen Rechenfehler hin. Runde deshalb Skalarprodukt und Längen möglichst erst am Ende.
Lernschritt 9
Dein Ablauf bei Skalarprodukt-Aufgaben
- Schreibe beide Vektoren in derselben Komponentenreihenfolge auf.
- Multipliziere passende Komponenten und addiere.
- Für Orthogonalität: Prüfe, ob die Summe 0 ist.
- Für Winkel: Prüfe zunächst, dass beide Vektoren ungleich null sind, und berechne ihre Längen.
- Entscheide zwischen Vektorwinkel und kleinerem Geradenwinkel.
- Setze in die passende Kosinusformel ein und berechne arccos.
- Kontrolliere Einheit, Vorzeichen und Größenordnung.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Sind (1; 2; 0) und (2; −1; 3) orthogonal?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ja. 2 − 2 + 0 = 0 und beide Vektoren sind ungleich null.
Erklärung wiederholen →3 · Welchen Winkel bilden (1; 0; 0) und (1; 1; 0)?
Lösung und Rechenweg ansehen
45°, denn cos(α) = .
Erklärung wiederholen →4 · Welchen Vektorwinkel bilden (1; 0; 0) und (−1; 1; 0)?
Lösung und Rechenweg ansehen
135°. Das Skalarprodukt ist negativ.
Erklärung wiederholen →5 · Warum steht beim kleineren Geradenwinkel ein Betrag im Zähler?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Wahl des Vorzeichens eines Richtungsvektors soll den Winkel der Geraden nicht verändern.
Erklärung wiederholen →6 · a = (1; 2; −1), b = (k; 1; 3): Für welches k sind sie orthogonal?
Lösung und Rechenweg ansehen
k + 2 − 3 = 0 ergibt k = 1.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Kostenlos weiterlernen
Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Skalarprodukt und Winkel üben
Passendes kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Orthogonalität und Winkelberechnung.
Material ansehen →
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Regeln und Bedeutung vertiefen
Ergänzendes kostenloses Arbeitsblatt von MB Nachhilfe mit Erklärungen und Aufgaben.
Material ansehen →Gedruckt weiterlernen
Die passenden Regeln auf Papier griffbereit
Du möchtest beim Üben schnell nachschlagen und wichtige Regeln regelmäßig wiederholen? Die Abitur-Spickzettel enthalten unter anderem Vektoren, Vektorrechnung und Trigonometrie und ergänzen die Aufgaben auf dieser Seite.
Kaufbares Material · Gedruckte Lernkarten
Mathe-Spickzettel fürs Abitur
66 Karten im A6-Format mit Formeln, Regeln und Beispielen aus Algebra, Analysis, Geometrie und Stochastik. Als kompakte Wiederholung neben deinen eigenen Rechnungen.
Spickzettel ansehen – Preis und Details →Häufige Fragen
Ist das Ergebnis des Skalarprodukts ein Vektor?
Nein. Es ist eine einzelne reelle Zahl.
Bedeutet Skalarprodukt 0 immer einen Winkel von 90°?
Geometrisch nur, wenn beide Vektoren ungleich null sind. Mit dem Nullvektor ist kein Winkel definiert.
Darf ich beim Vektorwinkel den Betrag des Zählers nehmen?
Nicht allgemein. Dadurch würde ein stumpfer Winkel in seinen spitzen Ergänzungswinkel übergehen. Der Betrag gehört zur Formel für den kleineren Geradenwinkel.