Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Du berechnest Skalarprodukte und Winkel und erkennst, wann Nullvektoren oder Raumlagen zusätzliche Prüfungen verlangen.
Vektorkomponenten, Vektorlängen, Kosinus und arccos.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Drei Komponenten mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Punkte sind auch als (2 | −1 | 3) möglich. Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(…). Geradenterme mit t, z. B. 2-t; 3+2t; -1. Winkel in Grad wie verlangt runden. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Aus zwei Vektoren wird eine Zahl
· = 0
Die beiden Vektoren sind ungleich null und stehen senkrecht aufeinander. Das erkennst du daran, dass ihr Skalarprodukt 0 ist.
Beim Skalarprodukt multiplizierst du jeweils die Komponenten an derselben Position und addierst die Produkte. Für zwei dreidimensionale Vektoren gilt:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Das Ergebnis ist eine reelle Zahl, also ein Skalar. Es ist kein Vektor. Beispiel:
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 2; 3)
b = (4; −1; 2)
Die negative Komponente wird mit ihrem Vorzeichen eingesetzt.
Das Ergebnis ist die Zahl 8, kein Vektor.
In der Ebene entfällt der dritte Summand. Negative Komponenten gehören mit ihrem Vorzeichen in die Rechnung. Setze sie am besten in Klammern.
Für zwei Vektoren ungleich null verbindet das Skalarprodukt ihre Längen mit dem eingeschlossenen Winkel α:
a · b = |a| · |b| · cos(α)
Lege beide Pfeile gedanklich an denselben Anfangspunkt. Der Vektorwinkel liegt zwischen 0° und 180°. Das Skalarprodukt ist positiv bei einem Winkel unter 90°, null bei 90° und negativ bei einem Winkel über 90°.
Zeigen die Vektoren in dieselbe Richtung, ist der Winkel 0°. Zeigen sie genau entgegengesetzt, beträgt er 180°. Länge und Richtung spielen also beide eine Rolle.
Zwei Vektoren ungleich null sind genau dann orthogonal, also senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist:
a · b = 0
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 2; 0)
b = (2; −1; 3)
Die Vektoren (1; 2; 0) und (2; −1; 3) sind beide ungleich null. Ein geometrischer Winkel ist deshalb definiert.
Addiere die drei Komponentenprodukte.
Da das Skalarprodukt null ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
Das Skalarprodukt mit dem Nullvektor ist ebenfalls 0. Der Nullvektor hat aber keine Richtung; ein geometrischer Winkel mit ihm ist nicht definiert. Die Winkelformel darfst du dann nicht verwenden.
Stelle die geometrische Formel nach cos(α) um und wende anschließend die Umkehrfunktion arccos an:
cos(α) =
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 0)
b = (1; 1; 0)
Beide Vektoren sind ungleich null.
Dies ist der Zähler der Winkelformel.
Quadriere die Komponenten, addiere und ziehe die Wurzel.
Der Nenner ist das Produkt der beiden Längen, nicht deren Summe.
Verwende arccos im Gradmodus. Runde Zwischenwerte möglichst nicht.
Am Rechner brauchst du arccos, häufig als cos⁻¹ beschriftet. Das bedeutet hier die Umkehrfunktion, nicht den Kehrwert des Kosinus. Stelle für ein Ergebnis in Grad den Gradmodus ein.
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 0)
c = (−1; 1; 0)
Für a = (1; 0; 0) und c = (−1; 1; 0) ist das Produkt negativ.
Die negative Komponente wird vor dem Quadrieren eingeklammert.
Beim Winkel zwischen gerichteten Vektoren wird kein Betrag im Zähler genommen.
Der negative Kosinuswert passt zu einem Winkel zwischen 90° und 180°.
Das negative Vorzeichen darf beim Winkel zwischen gerichteten Vektoren nicht einfach entfernt werden. Es unterscheidet in diesem Beispiel 135° von 45°.
Eine Gerade hat keine bevorzugte Laufrichtung. Du kannst ihren Richtungsvektor durch den Gegenvektor ersetzen, ohne die Gerade zu ändern. Deshalb wird als Winkel zwischen Geraden üblicherweise der kleinere Winkel φ zwischen 0° und 90° angegeben:
cos(φ) =
Beispiel · Schritt für Schritt
d = (1; 0; 0)
e = (−1; 1; 0)
Betrachte die Richtungsvektoren d = (1; 0; 0) und e = (−1; 1; 0).
Bei Geraden darf die Wahl der Pfeilrichtung den kleineren Winkel nicht verändern.
Der Vektorwinkel beträgt 135°, der kleinere Winkel der Geradenrichtungen dagegen 45°.
Bei sich schneidenden Geraden ist das ihr kleinerer Schnittwinkel. Bei windschiefen Geraden kann derselbe Ausdruck den Winkel ihrer Richtungen beschreiben; es gibt dort aber keinen Schnittpunkt. Ein Skalarprodukt der Richtungen von 0 beweist daher allein noch keinen rechtwinkligen Schnitt.
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 2; −1)
b = (k; 1; 3)
Für a = (1; 2; −1) und b = (k; 1; 3) soll gelten a · b = 0. Setze die Komponenten ein:
Multipliziere die passenden Komponenten von a = (1; 2; −1) und b = (k; 1; 3).
Berechne die konstanten Produkte und Summanden.
Addiere auf beiden Seiten 1.
Mit k = 1 sind beide Vektoren ungleich null und das Skalarprodukt ist null. Die Orthogonalität ist bestätigt.
Kontrolliere bei Parameteraufgaben am Ende die ursprüngliche Bedingung und prüfe, ob eventuell ein Nullvektor entsteht. Eine reine Winkelaufgabe benötigt zwei von null verschiedene Vektoren.
Du darfst die Reihenfolge der Faktoren vertauschen: a · b = b · a. Über einer Summe lässt sich ausmultiplizieren: a · (b + c) = a · b + a · c. Konstante Faktoren kannst du herausziehen.
a · a = |a|²
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (2; −1; 2)
Dabei entstehen Quadrate, die niemals negativ sind.
Das Ergebnis ist die quadrierte Vektorlänge.
Ziehe die nichtnegative Quadratwurzel.
Der Quotient in der Kosinusformel muss zwischen −1 und 1 liegen. Größere Abweichungen deuten auf einen Rechenfehler hin. Runde deshalb Skalarprodukt und Längen möglichst erst am Ende.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib anschließend alle gefragten Komponenten oder den Zahlenwert ein. Achte auf die Reihenfolge und prüfe Sonderfälle.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
a = (1; 2; 3)
b = (4; −1; 2)
Die Faktoren gehören jeweils zur gleichen Position in den beiden Vektoren.
Das Skalarprodukt ist die reelle Zahl 8.
Lösung · Schritt für Schritt
a = (1; 2; 0)
b = (2; −1; 3)
Alle drei Komponenten werden berücksichtigt.
Ja, die beiden von null verschiedenen Vektoren stehen senkrecht aufeinander.
Lösung · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 0)
b = (1; 1; 0)
Beide Längen sind positiv, daher ist die Winkelformel anwendbar.
Teile das Skalarprodukt durch 1 · √2.
Die Umkehrfunktion im Gradmodus liefert 45°.
Lösung · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 0)
b = (−1; 1; 0)
Das negative Skalarprodukt muss beim Vektorwinkel erhalten bleiben.
Nimm hier keinen Betrag im Zähler.
Das Ergebnis ist ein stumpfer Vektorwinkel.
Die Wahl des Vorzeichens eines Richtungsvektors soll den Winkel der Geraden nicht verändern.
Erklärung wiederholen →Lösung · Schritt für Schritt
a = (1; 2; −1)
b = (k; 1; 3)
Die Vektoren sind für jedes k ungleich null.
Fasse zusammen und addiere 1.
Der gefundene Parameter erfüllt die Orthogonalitätsbedingung.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Lagebeziehungen von Geraden untersuchen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Es ist eine einzelne reelle Zahl.
Geometrisch nur, wenn beide Vektoren ungleich null sind. Mit dem Nullvektor ist kein Winkel definiert.
Nicht allgemein. Dadurch würde ein stumpfer Winkel in seinen spitzen Ergänzungswinkel übergehen. Der Betrag gehört zur Formel für den kleineren Geradenwinkel.
Multipliziere jeweils erste mit erster, zweite mit zweiter und dritte mit dritter Komponente.