Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Du stellst vollständige Geradengleichungen auf, prüfst alle drei Koordinaten und unterscheidest Parameter und Entfernung.
Vektorrechnung, Verbindungsvektoren und lineare Gleichungen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Drei Komponenten mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Punkte sind auch als (2 | −1 | 3) möglich. Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(…). Geradenterme mit t, z. B. 2-t; 3+2t; -1. Winkel in Grad wie verlangt runden. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Startpunkt plus Bewegungsrichtung
g: x = + t ·
Mit t = 0 erhältst du den Stützpunkt A. Mit t = 1 den nächsten Beispielpunkt B. Alle reellen Werte von t zusammen beschreiben die ganze Gerade.
Eine Gerade im Raum besteht aus allen Punkten, die du von einem festen Punkt entlang einer festen Richtung erreichst. Ihre Parameterform lautet:
g: x = a + t · d, t ∈ ℝ
a ist der Stützvektor: Er führt vom Ursprung zu einem Punkt A auf der Geraden. d ist ein Richtungsvektor und muss ungleich dem Nullvektor sein. t ist der Parameter. x steht für den Ortsvektor eines beliebigen Geradenpunktes.
Ein Parameterwert liefert einen Punkt. Alle reellen Parameterwerte zusammen liefern die unendlich lange Gerade. Ein negativer Wert bewegt dich entgegen der gewählten Richtung.
Beispiel · Schritt für Schritt
A(1 | 2 | 1)
B(3 | 1 | 3)
Gegeben sind die verschiedenen Punkte A(1 | 2 | 1) und B(3 | 1 | 3). Wähle A als Stützpunkt. Als Richtung verwendest du den Verbindungsvektor AB:
Berechne den Verbindungsvektor von A nach B: Ziel minus Start.
Subtrahiere komponentenweise. Der Richtungsvektor ist nicht der Nullvektor.
Setze Stütz- und Richtungsvektor in die Parameterform ein. Mit t ∈ ℝ erhältst du die vollständige Gerade.
Zwei verschiedene Punkte bestimmen genau eine Gerade. Sind beide gegebenen Punkte gleich, ergibt die Differenz den Nullvektor und es fehlt eine eindeutige Richtung.
Setze einen Wert für t ein und rechne komponentenweise. Für t = 2 erhältst du:
Beispiel · Schritt für Schritt
Stützpunkt: A(1 | 2 | 1)
d = (2; −1; 2); t = 2
Setze t = 2 in die Geradengleichung ein.
Multipliziere jede Komponente des Richtungsvektors mit 2.
Addiere die Komponenten des Stützvektors.
Der zugehörige Punkt ist C(5 | 0 | 5).
Der Punkt C(5 | 0 | 5) liegt also auf g. Die Koordinatenform macht den Zusammenhang besonders deutlich:
x₁ = 1 + 2t; x₂ = 2 − t; x₃ = 1 + 2t
Alle drei Koordinaten werden mit demselben t berechnet. t ist keine vierte Raumkoordinate, sondern eine Rechenvariable zur Beschreibung der Geraden.
Beispiel · Schritt für Schritt
P(5 | 0 | 5)
g: x₁ = 1 + 2t; x₂ = 2 − t;
x₃ = 1 + 2t
Liegt P(5 | 0 | 5) auf g? Setze die Koordinaten in alle drei Gleichungen ein:
Bestimme aus der ersten Koordinate einen Parameterkandidaten.
Prüfe die zweite Koordinate mit demselben t = 2. Sie ist erfüllt.
Prüfe die dritte Koordinate ebenfalls mit t = 2. Auch sie stimmt.
Ein gemeinsamer Parameter erfüllt alle Gleichungen. Deshalb liegt P auf g.
Beispiel · Schritt für Schritt
Q(3 | 1 | 4)
g: x₁ = 1 + 2t; x₂ = 2 − t;
x₃ = 1 + 2t
Setze die erste Koordinate von Q(3 | 1 | 4) ein und löse nach t auf.
Die zweite Koordinate passt ebenfalls zu t = 1.
Die dritte Koordinate wäre 3 statt 4. Deshalb liegt Q nicht auf g.
Eine passende Koordinate reicht nicht. Bestimme einen Kandidaten für t und prüfe damit jede der drei Koordinaten. Unterschiedliche Parameter pro Zeile sind nicht erlaubt.
Betrachte h: x = + s · . Die erste Koordinate bleibt für jeden Parameterwert gleich 1. Sie bestimmt deshalb keinen Wert von s.
Beispiel · Schritt für Schritt
h: x₁ = 1; x₂ = 2 + s;
x₃ = 3 − 2s
P(1 | 4 | −1)
Prüfe P(1 | 4 | −1): Die erste Koordinate stimmt für jedes s und legt keinen Parameter fest.
Nutze die zweite Koordinate zur Bestimmung des Parameters.
Mit s = 2 stimmt auch die dritte Koordinate. P liegt auf h.
Ein Punkt mit erster Koordinate 2 kann unabhängig von den übrigen Koordinaten nicht auf h liegen.
Teile bei einer Punktprobe nicht durch eine Nullkomponente. Nutze eine andere Zeile zur Bestimmung des Parameters.
Du darfst einen anderen Punkt derselben Geraden als Stützpunkt wählen. Auch jedes von null verschiedene Vielfache des Richtungsvektors beschreibt dieselbe Richtungslinie.
Für unser Beispiel kannst du B als Stützpunkt und BA als Richtung verwenden:
g: x = + s ·
Beispiel · Schritt für Schritt
Stützpunkte: A(1 | 2 | 1), B(3 | 1 | 3)
Richtungen: AB und BA
Vergleiche die erste Koordinate der beiden Darstellungen für denselben Punkt.
Stelle nach s um.
So hängen die Parameter zusammen.
Auch die zweite Koordinate stimmt nach diesem Einsetzen überein. Die dritte hat dieselbe Form wie die erste. Beide Gleichungen beschreiben dieselben Punkte; derselbe Zahlenwert für s und t muss nicht denselben Punkt liefern.
Zum Prüfen zweier Darstellungen untersuchst du, ob ihre Richtungsvektoren parallel sind und ein Stützpunkt auf der jeweils anderen Geraden liegt.
| Parameterbereich bei A + t · AB | Beschriebene Menge |
|---|---|
| t ∈ ℝ | Die gesamte Gerade durch A und B |
| t ≥ 0 | Halbgerade ab A in Richtung B |
| 0 ≤ t ≤ 1 | Strecke von A nach B |
Bei t = 0 ist der Punkt A erreicht, bei t = 1 der Punkt B. Der Mittelpunkt entspricht t = 0,5.
Die Grenzen 0 und 1 gehören zur konkreten Wahl des Richtungsvektors AB. Verwendest du stattdessen 2 · AB, wird die Strecke mit 0 ≤ t ≤ 0,5 beschrieben. Der Parameterbereich muss zur Gleichung passen.
Der Parameter ist nicht automatisch eine Entfernung. Zwischen den Punkten zu t₁ und t₂ ist der Verbindungsvektor (t₂ − t₁) · d. Seine Länge beträgt:
Abstand = |t₂ − t₁| · |d|
Beispiel · Schritt für Schritt
d = (2; −1; 2)
Parameterpaare: 0 und 2; −1 und 1
Berechne die Länge des Richtungsvektors.
Fasse die Quadrate zusammen und ziehe die Wurzel.
Zwischen den Punkten zu t = 0 und t = 2 liegen 6 Längeneinheiten.
Zwischen t = −1 und t = 1 ist die Parameterdifferenz ebenfalls 2; der Abstand beträgt wieder 6.
Nur bei einem Richtungsvektor der Länge 1 entspricht eine Parameterdifferenz von 1 einer Längeneinheit.
Diese Grundlagen brauchst du später, um Schnittpunkte, parallele und windschiefe Geraden oder Geraden-Ebenen-Schnitte zu untersuchen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib anschließend alle gefragten Komponenten oder den Zahlenwert ein. Achte auf die Reihenfolge und prüfe Sonderfälle.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
A(1 | 2 | 1)
B(3 | 1 | 3)
Berechne B minus A komponentenweise.
Dies ist ein geeigneter Richtungsvektor.
Lösung · Schritt für Schritt
Stützpunkt: A(1 | 2 | 1)
d = (2; −1; 2); t = −1
Setze t = −1 ein. Du gehst einmal entgegen der gewählten Richtung.
Subtrahiere komponentenweise. Beim mittleren Eintrag wird −(−1) zu +1.
Der resultierende Ortsvektor gehört zu diesem Punkt.
Lösung · Schritt für Schritt
Q(3 | 1 | 4)
g: x₁ = 1 + 2t; x₂ = 2 − t;
x₃ = 1 + 2t
Bestimme den Parameter aus der ersten Koordinate.
Prüfe damit die zweite Koordinate. Sie stimmt.
Die dritte Koordinate stimmt nicht. Nein, Q liegt nicht auf g.
Nein. Dann wäre a + t · 0 immer derselbe Punkt und keine Gerade.
Erklärung wiederholen →Lösung · Schritt für Schritt
Gerade: a + t · AB
Bei t = 0 ist der Endpunkt A erreicht.
Bei t = 1 ist der Endpunkt B erreicht; b ist sein Ortsvektor.
Alle Zwischenwerte beschreiben die Strecke von A bis B einschließlich beider Endpunkte, wenn der Richtungsvektor AB verwendet wird.
Lösung · Schritt für Schritt
d = (2; −1; 2)
t₁ = 0; t₂ = 2
Berechne die Länge des Richtungsvektors mit Komponenten 2, −1 und 2.
Bestimme den Betrag der Parameterdifferenz.
Multipliziere die Parameterdifferenz mit der Richtungsvektorlänge. Der Abstand beträgt 6 Längeneinheiten.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Passende Materialien zum Thema „Geradengleichungen im Raum“. Wähle aus, was dir beim Üben und Wiederholen hilft.
Diese Materialien ergänzen die Erklärung und unterstützen dich beim Üben und Nachschlagen.
Die kompakte Lernhilfe und ein passender Buchband ergänzen sich beim Wiederholen und Vertiefen. Beachte die jeweilige Klassenstufe.
Preise inkl. MwSt. Downloads erhältst du per E-Mail, gedruckte Materialien per Post. Ggf. zzgl. Versandkosten.
Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Lagebeziehungen und Schnittpunkte von Geraden untersuchen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Der Ortsvektor jedes Punktes auf der Geraden kann als Stützvektor verwendet werden.
Nein. Jedes von null verschiedene Vielfache beschreibt dieselbe Richtungslinie. Dabei ändert sich die Zuordnung der Parameterwerte.
Nein. Derselbe Parameter muss alle Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllen.
Wähle A(1 | 2 | 1) als Stützpunkt. Sein Ortsvektor ist der Stützvektor.