1 · Welcher Richtungsvektor gehört zu A(1 | 2 | 1) und B(3 | 1 | 3)?
Lösung und Rechenweg ansehen
. Rechne B minus A.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Geradengleichungen im Raum: verstehen und üben
Stelle Geraden in Parameterform auf und prüfe, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. Verstehe Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter an einem durchgängigen Beispiel im Raum.
Startpunkt plus Bewegungsrichtung
g: x = + t ·
Mit t = 0 erhältst du den Stützpunkt A. Mit t = 1 den nächsten Beispielpunkt B. Alle reellen Werte von t zusammen beschreiben die ganze Gerade.
Lernschritt 1
Die Parameterform verstehen
Eine Gerade im Raum besteht aus allen Punkten, die du von einem festen Punkt entlang einer festen Richtung erreichst. Ihre Parameterform lautet:
g: x = a + t · d, t ∈ ℝ
a ist der Stützvektor: Er führt vom Ursprung zu einem Punkt A auf der Geraden. d ist ein Richtungsvektor und muss ungleich dem Nullvektor sein. t ist der Parameter. x steht für den Ortsvektor eines beliebigen Geradenpunktes.
Ein Parameterwert liefert einen Punkt. Alle reellen Parameterwerte zusammen liefern die unendlich lange Gerade. Ein negativer Wert bewegt dich entgegen der gewählten Richtung.
Lernschritt 2
Eine Gerade durch zwei Punkte aufstellen
Gegeben sind die verschiedenen Punkte A(1 | 2 | 1) und B(3 | 1 | 3). Wähle A als Stützpunkt. Als Richtung verwendest du den Verbindungsvektor AB:
d = =
Damit lautet die Gerade:
g: x = + t · , t ∈ ℝ
Zwei verschiedene Punkte bestimmen genau eine Gerade. Sind beide gegebenen Punkte gleich, ergibt die Differenz den Nullvektor und es fehlt eine eindeutige Richtung.
Lernschritt 3
Punkte auf der Geraden berechnen
Setze einen Wert für t ein und rechne komponentenweise. Für t = 2 erhältst du:
x = + 2 · =
Der Punkt C(5 | 0 | 5) liegt also auf g. Die Koordinatenform macht den Zusammenhang besonders deutlich:
x₁ = 1 + 2t; x₂ = 2 − t; x₃ = 1 + 2t
Alle drei Koordinaten werden mit demselben t berechnet. t ist keine vierte Raumkoordinate, sondern eine Rechenvariable zur Beschreibung der Geraden.
Lernschritt 4
Mit einer Punktprobe die Zugehörigkeit prüfen
Liegt P(5 | 0 | 5) auf g? Setze die Koordinaten in alle drei Gleichungen ein:
- 5 = 1 + 2t ergibt t = 2.
- 0 = 2 − t ergibt ebenfalls t = 2.
- 5 = 1 + 2t ist für t = 2 erfüllt.
Ein gemeinsamer Parameter erfüllt alle Gleichungen. Deshalb liegt P auf g.
Für Q(3 | 1 | 4) liefern die ersten beiden Koordinaten t = 1. Die dritte würde dann aber x₃ = 3 statt 4 ergeben. Q liegt nicht auf g.
Eine passende Koordinate reicht nicht. Bestimme einen Kandidaten für t und prüfe damit jede der drei Koordinaten. Unterschiedliche Parameter pro Zeile sind nicht erlaubt.
Lernschritt 5
Was passiert bei einer Null im Richtungsvektor?
Betrachte h: x = + s · . Die erste Koordinate bleibt für jeden Parameterwert gleich 1. Sie bestimmt deshalb keinen Wert von s.
Bei einer Punktprobe muss die erste Koordinate trotzdem passen. Für P(1 | 4 | −1) liefert die zweite Zeile s = 2; die dritte ist damit ebenfalls erfüllt. Ein Punkt mit erster Koordinate 2 kann dagegen unabhängig von den übrigen Koordinaten nicht auf h liegen.
Teile bei einer Punktprobe nicht durch eine Nullkomponente. Nutze eine andere Zeile zur Bestimmung des Parameters.
Lernschritt 6
Verschiedene Gleichungen können dieselbe Gerade beschreiben
Du darfst einen anderen Punkt derselben Geraden als Stützpunkt wählen. Auch jedes von null verschiedene Vielfache des Richtungsvektors beschreibt dieselbe Richtungslinie.
Für unser Beispiel kannst du B als Stützpunkt und BA als Richtung verwenden:
g: x = + s ·
Das beschreibt dieselben Punkte wie die erste Gleichung. Die Parameterwerte sind jedoch anders: Es gilt s = 1 − t. Derselbe Zahlenwert für s und t muss also nicht denselben Punkt liefern.
Zum Prüfen zweier Darstellungen untersuchst du, ob ihre Richtungsvektoren parallel sind und ein Stützpunkt auf der jeweils anderen Geraden liegt.
Lernschritt 7
Gerade, Halbgerade und Strecke unterscheiden
| Parameterbereich bei A + t · AB | Beschriebene Menge |
|---|---|
| t ∈ ℝ | Die gesamte Gerade durch A und B |
| t ≥ 0 | Halbgerade ab A in Richtung B |
| 0 ≤ t ≤ 1 | Strecke von A nach B |
Bei t = 0 ist der Punkt A erreicht, bei t = 1 der Punkt B. Der Mittelpunkt entspricht t = 0,5.
Die Grenzen 0 und 1 gehören zur konkreten Wahl des Richtungsvektors AB. Verwendest du stattdessen 2 · AB, wird die Strecke mit 0 ≤ t ≤ 0,5 beschrieben. Der Parameterbereich muss zur Gleichung passen.
Lernschritt 8
Parameter und zurückgelegte Länge
Der Parameter ist nicht automatisch eine Entfernung. Zwischen den Punkten zu t₁ und t₂ ist der Verbindungsvektor (t₂ − t₁) · d. Seine Länge beträgt:
Abstand = |t₂ − t₁| · |d|
Unser Richtungsvektor (2; −1; 2) hat die Länge 3. Zwischen t = 0 und t = 2 liegen daher 2 · 3 = 6 Längeneinheiten. Zwischen t = −1 und t = 1 sind es ebenfalls 6.
Nur bei einem Richtungsvektor der Länge 1 entspricht eine Parameterdifferenz von 1 einer Längeneinheit.
Lernschritt 9
Dein Rechenplan für Geradenaufgaben
- Wähle einen sicheren Punkt als Stützpunkt.
- Bestimme einen Richtungsvektor ungleich null, etwa Ziel minus Start.
- Schreibe die Parameterform mit Parameterbereich auf.
- Berechne weitere Punkte durch Einsetzen eines gemeinsamen Parameters.
- Prüfe bei Punktproben alle drei Koordinaten.
- Unterscheide identische Geraden von nur parallelen Richtungen.
- Beachte bei Strecken und Halbgeraden die Einschränkung des Parameters.
Diese Grundlagen brauchst du später, um Schnittpunkte, parallele und windschiefe Geraden oder Geraden-Ebenen-Schnitte zu untersuchen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welchen Punkt erhältst du auf g für t = −1?
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(−1 | 3 | −1), denn (1; 2; 1) − (2; −1; 2) = (−1; 3; −1).
Erklärung wiederholen →3 · Liegt Q(3 | 1 | 4) auf g?
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Nein. t = 1 erfüllt die ersten beiden Koordinaten, liefert aber als dritte Koordinate 3 statt 4.
Erklärung wiederholen →4 · Darf der Richtungsvektor der Nullvektor sein?
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Nein. Dann wäre a + t · 0 immer derselbe Punkt und keine Gerade.
Erklärung wiederholen →5 · Welcher Parameterbereich beschreibt die Strecke A bis B bei a + t · AB?
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0 ≤ t ≤ 1, einschließlich beider Endpunkte.
Erklärung wiederholen →6 · Wie weit liegen die Punkte zu t = 0 und t = 2 auf g auseinander?
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6 Längeneinheiten. Die Parameterdifferenz 2 wird mit der Richtungsvektorlänge 3 multipliziert.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Als nächsten Schritt: Lagebeziehungen
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Ist der Stützvektor eindeutig?
Nein. Der Ortsvektor jedes Punktes auf der Geraden kann als Stützvektor verwendet werden.
Ist der Richtungsvektor eindeutig?
Nein. Jedes von null verschiedene Vielfache beschreibt dieselbe Richtungslinie. Dabei ändert sich die Zuordnung der Parameterwerte.
Reicht ein passender Wert aus einer Koordinate für die Punktprobe?
Nein. Derselbe Parameter muss alle Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllen.