Steckbriefaufgaben – Funktionen aus Bedingungen bestimmen: verstehen und üben

Lernschritt 1

Den passenden Funktionsansatz wählen

Bei einer Steckbriefaufgabe kennst du Eigenschaften des Graphen und suchst die Funktion. Häufig ist eine ganzrationale Funktion vorgegeben. Der Grad bestimmt den allgemeinen Ansatz:

Grad 2: f(x) = ax² + bx + c

Grad 3: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Eine Funktion höchstens dritten Grades besitzt vier Koeffizienten. Für eine eindeutige Bestimmung brauchst du genügend unabhängige und miteinander verträgliche Bedingungen. Soll sie genau dritten Grades sein, muss am Ende a ungleich 0 gelten.

Vier Angaben garantieren nicht automatisch Eindeutigkeit: Manche sagen dasselbe aus, andere widersprechen sich. Entscheidend ist das entstehende Gleichungssystem.

Lernschritt 2

Angaben in mathematische Bedingungen übersetzen

Ein Punkt liefert eine Funktionswertbedingung. Ein benannter Extrem- oder Wendepunkt enthält zusätzlich eine Ableitungsbedingung. Nutze dabei immer die x-Koordinate als Einsetzstelle.

Lernschritt 3

Eine Parabel aus drei Angaben bestimmen

Gesucht ist eine quadratische Funktion durch P(0 | 1) und Q(2 | 5), deren Tangente bei x = 0 die Steigung −2 hat. Setze an:

f(x) = ax² + bx + c, f′(x) = 2ax + b

Übersetze die Angaben:

f(0) = 1 → c = 1

f′(0) = −2 → b = −2

f(2) = 5 → 4a + 2b + c = 5

Mit b = −2 und c = 1 folgt 4a − 4 + 1 = 5, also a = 2. Die Funktion lautet:

f(x) = 2x² − 2x + 1

Kontrolle: f(0) = 1, f(2) = 5 und f′(0) = −2. Alle drei Bedingungen stimmen.

Lernschritt 4

Eine kubische Funktion mit Extrempunkten

Gesucht ist eine Funktion dritten Grades mit Hochpunkt H(0 | 2) und Tiefpunkt T(2 | −2). Setze f(x) = ax³ + bx² + cx + d und f′(x) = 3ax² + 2bx + c an.

Die vier Bedingungen ergeben:

f(0) = 2 → d = 2

f′(0) = 0 → c = 0

f(2) = −2 → 8a + 4b + 2c + d = −2

f′(2) = 0 → 12a + 4b + c = 0

Nach Einsetzen von c und d bleiben 8a + 4b = −4 und 12a + 4b = 0. Subtrahiere: 4a = 4, also a = 1. Danach folgt b = −3.

f(x) = x³ − 3x² + 2

Die Funktion hat tatsächlich Grad 3. Jetzt müssen noch Hoch- und Tiefpunkt bestätigt werden.

Lernschritt 5

Die Art der Punkte bestätigen

Für die gefundene Funktion ist f″(x) = 6x − 6. Es gilt f″(0) = −6 < 0 und f″(2) = 6 > 0. Damit ist H tatsächlich ein Hochpunkt und T ein Tiefpunkt.

Die Punktproben liefern f(0) = 2 und f(2) = −2. Die erste Ableitung ist an beiden Stellen 0. Somit erfüllt die Funktion alle geforderten Eigenschaften.

Der Wendepunkt liegt zusätzlich bei x = 1. Mit f(1) = 0 und f‴(1) = 6 ungleich 0 ergibt sich W(1 | 0). Diese zusätzliche Eigenschaft wurde nicht benötigt, ist aber eine hilfreiche Kontrolle des Verlaufs.

Lernschritt 6

Eine Tangentengleichung richtig verwenden

Ist t(x) = mx + n die Tangente an f an der Stelle x = u, entstehen zwei Bedingungen:

f(u) = mu + n

f′(u) = m

Beispiel: Die Tangente bei x = 1 lautet y = 3x − 2. Dann muss f(1) = 1 und f′(1) = 3 gelten. Die Zahl −2 ist der y-Achsenabschnitt der Tangente, nicht automatisch f(0).

Wenn eine Gerade nur irgendwo Tangente sein soll und keine Berührstelle gegeben ist, wird die Berührstelle selbst zu einer weiteren Unbekannten.

Lernschritt 7

Mit Symmetrie den Ansatz verkürzen

Ist eine ganzrationale Funktion zur y-Achse symmetrisch, enthält sie nur gerade Potenzen. Eine gerade Funktion höchstens vierten Grades hat deshalb den Ansatz f(x) = ax⁴ + bx² + c.

Bei Punktsymmetrie zum Ursprung enthält sie nur ungerade Potenzen. Für höchstens dritten Grad genügt f(x) = ax³ + bx. Dadurch brauchst du weniger unbekannte Koeffizienten zu bestimmen.

Diese Regeln gelten für die genannten Symmetriezentren beziehungsweise Achsen. Eine Symmetrie zu einem verschobenen Punkt oder zu x = 2 erfordert einen entsprechend verschobenen Ansatz.

Lernschritt 8

Wendepunkt und stationärer Wendepunkt unterscheiden

Ein Wendepunkt W(u | v) liefert f(u) = v und f″(u) = 0. Die Steigung f′(u) muss dort nicht 0 sein.

Nur wenn ein stationärer Wendepunkt oder eine waagerechte Wendetangente gefordert ist, kommt f′(u) = 0 hinzu. Anschließend prüfst du den Krümmungswechsel, zum Beispiel über f‴(u) ungleich 0 als hinreichendes Kriterium.

Das unnötige Hinzufügen von f′(u) = 0 bei einem gewöhnlichen Wendepunkt kann aus einer lösbaren Aufgabe ein widersprüchliches Gleichungssystem machen.

Lernschritt 9

Dein Rechenplan

1. Lies Grad, Symmetrie und alle Angaben sorgfältig.
2. Wähle einen Ansatz mit unbekannten Koeffizienten.
3. Berechne die benötigten Ableitungen.
4. Übersetze jede Angabe einzeln in eine Gleichung.
5. Löse das System und setze die Koeffizienten in f ein.
6. Prüfe den geforderten Grad und sämtliche Ausgangsbedingungen.
7. Bestätige die Art von Extrem- und Wendepunkten zusätzlich.

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Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.

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