1 · Welche Bedingung liefert P(2 | 5) auf dem Graphen?
Lösung und Rechenweg ansehen
f(2) = 5.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Steckbriefaufgaben
Du übersetzt Grapheneigenschaften in Gleichungen, bestimmst die ganze Funktion und prüfst alle Bedingungen.
Voraussetzungen ansehen
Ableitungen, lineare Gleichungssysteme und Kurvendiskussion.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit /. Terme mit x und Potenzen wie x^3. Mehrere Werte mit Semikolon trennen und die verlangte Reihenfolge beachten. Punkte als x | y. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Den passenden Funktionsansatz wählen
Vom Graphenmerkmal zur Gleichung
P(1 | 2) auf dem Graphen → f(1) = 2
Waagerechte Tangente bei x = 1 → f′(1) = 0
Jede Angabe liefert eine Bedingung für die unbekannten Koeffizienten.
Bei einer Steckbriefaufgabe kennst du Eigenschaften des Graphen und suchst die Funktion. Häufig ist eine ganzrationale Funktion vorgegeben. Der Grad bestimmt den allgemeinen Ansatz:
Grad 2: f(x) = ax² + bx + c
Grad 3: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Eine Funktion höchstens dritten Grades besitzt vier Koeffizienten. Für eine eindeutige Bestimmung brauchst du genügend unabhängige und miteinander verträgliche Bedingungen. Soll sie genau dritten Grades sein, muss am Ende a ungleich 0 gelten.
Vier Angaben garantieren nicht automatisch Eindeutigkeit: Manche sagen dasselbe aus, andere widersprechen sich. Entscheidend ist das entstehende Gleichungssystem.
Angaben in mathematische Bedingungen übersetzen
| Angabe | Bedingung |
|---|---|
| P(u | v) liegt auf dem Graphen | f(u) = v |
| Nullstelle bei u | f(u) = 0 |
| Steigung m an der Stelle u | f′(u) = m |
| Waagerechte Tangente bei u | f′(u) = 0 |
| Extrempunkt E(u | v) | f(u) = v und f′(u) = 0; Art anschließend prüfen |
| Wendepunkt W(u | v) | f(u) = v und f″(u) = 0; Krümmungswechsel anschließend prüfen |
Ein Punkt liefert eine Funktionswertbedingung. Ein benannter Extrem- oder Wendepunkt enthält zusätzlich eine Ableitungsbedingung. Nutze dabei immer die x-Koordinate als Einsetzstelle.
f′(u) = 0 allein beweist keinen Extrempunkt. Auch f″(u) = 0 allein beweist keinen Wendepunkt. Diese Gleichungen liefern zunächst notwendige Bedingungen für die hier betrachteten Polynome.
Eine Parabel aus drei Angaben bestimmen
Gesucht ist eine quadratische Funktion durch P(0 | 1) und Q(2 | 5), deren Tangente bei x = 0 die Steigung −2 hat. Setze an:
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Parabel aus zwei Punkten und einer Steigung bestimmen
Gesucht: Funktion 2. Grades
P(0 | 1), Q(2 | 5) · f′(0) = −2
RechnungErklärung zum Schritt
f(x) = ax² + bx + c
f′(x) = 2ax + b
f′(x) = 2ax + b
f(0) = 1 ⇒ c = 1
2 Punkt P einsetzen
P(0 | 1) legt den konstanten Term fest.
f′(0) = −2 ⇒ b = −2
3 Steigung einsetzen
Die Tangentensteigung wird in die erste Ableitung eingesetzt.
f(2) = 5
4a + 2b + c = 5
4a + 2b + c = 5
4 Punkt Q einsetzen
Setze x = 2 und den Funktionswert 5 ein.
4a − 4 + 1 = 5
5 Bekannte Werte einsetzen
Verwende b = −2 und c = 1.
4a = 8 ⇒ a = 2
6 Nach a auflösen
Addiere 3 und teile dann durch 4.
f(x) = 2x² − 2x + 1
7 Funktion angeben
a = 2 ist ungleich 0. Der geforderte Grad 2 ist erfüllt.
Kontrolle: f(0) = 1, f(2) = 8 − 4 + 1 = 5 und f′(0) = −2. Alle drei Bedingungen stimmen.
Eine kubische Funktion mit Extrempunkten
Gesucht ist eine Funktion dritten Grades mit Hochpunkt H(0 | 2) und Tiefpunkt T(2 | −2). Setze f(x) = ax³ + bx² + cx + d und f′(x) = 3ax² + 2bx + c an.
Beispiel · Schritt für Schritt
Aus Extrempunkten ein Gleichungssystem aufstellen
Gesucht: Funktion 3. Grades
Hochpunkt H(0 | 2) · Tiefpunkt T(2 | −2)
RechnungErklärung zum Schritt
f(0) = 2 ⇒ d = 2
f′(0) = 0 ⇒ c = 0
f′(0) = 0 ⇒ c = 0
1 Hochpunkt übersetzen
Der Punkt H(0 | 2) liefert Funktionswert und waagerechte Tangente.
8a + 4b + 2c + d = −2
12a + 4b + c = 0
12a + 4b + c = 0
2 Tiefpunkt übersetzen
T(2 | −2) bedeutet f(2) = −2 und f′(2) = 0.
I: 8a + 4b = −4
II: 12a + 4b = 0
II: 12a + 4b = 0
3 Vereinfachen
Setze c = 0 und d = 2 ein. Es bleiben zwei Gleichungen für a und b.
II − I: 4a = 4
a = 1
a = 1
4 b eliminieren
Subtrahiere Gleichung I von Gleichung II und teile durch 4.
12 + 4b = 0
b = −3
b = −3
5 Rückeinsetzen
Setze a = 1 in Gleichung II ein, subtrahiere 12 und teile durch 4.
f(x) = x³ − 3x² + 2
6 Koeffizienten einsetzen
a = 1, b = −3, c = 0 und d = 2.
Die Funktion hat tatsächlich Grad 3. Jetzt müssen noch Hoch- und Tiefpunkt bestätigt werden.
Die Art der Punkte bestätigen
Beispiel · Schritt für Schritt
Die geforderten Extrempunkte bestätigen
f(x) = x³ − 3x² + 2
Vorgaben: H(0 | 2) und T(2 | −2)
RechnungErklärung zum Schritt
f(0) = 2
f(2) = 8 − 12 + 2 = −2
f(2) = 8 − 12 + 2 = −2
1 Punkte prüfen
Beide vorgegebenen Punkte liegen auf dem Graphen.
f′(x) = 3x² − 6x
f′(0) = 0, f′(2) = 0
f′(0) = 0, f′(2) = 0
2 Waagerechte Tangenten prüfen
Die notwendige Extremstellenbedingung gilt an beiden Stellen.
f″(x) = 6x − 6
f″(0) = −6 < 0
f″(0) = −6 < 0
3 Hochpunkt bestätigen
Zusammen mit f′(0) = 0 weist die negative zweite Ableitung den Hochpunkt H(0 | 2) nach.
f″(2) = 6 > 0
4 Tiefpunkt bestätigen
Zusammen mit f′(2) = 0 weist die positive zweite Ableitung den Tiefpunkt T(2 | −2) nach. Alle geforderten Eigenschaften sind erfüllt.
Zusätzliche Kontrolle des Verlaufs: Bestimme den Wendepunkt. Diese Eigenschaft wurde für die ursprüngliche Aufgabe nicht benötigt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Wendepunkt als zusätzliche Kontrolle bestimmen
f(x) = x³ − 3x² + 2
RechnungErklärung zum Schritt
f″(x) = 6x − 6 = 0
x = 1
x = 1
1 Kandidat bestimmen
Löse die Gleichung für die zweite Ableitung.
f‴(1) = 6 ≠ 0
2 Wendestelle bestätigen
Bei diesem Polynom ist der Test mit der dritten Ableitung anwendbar.
f(1) = 1 − 3 + 2 = 0
3 Höhe berechnen
Setze die bestätigte Wendestelle in f ein.
W(1 | 0)
4 Punkt angeben
Der Krümmungswechsel liegt bei x = 1.
Eine Tangentengleichung richtig verwenden
Ist t(x) = mx + n die Tangente an f an der Stelle x = u, entstehen zwei Bedingungen:
f(u) = mu + n
f′(u) = m
Beispiel: Die Tangente bei x = 1 lautet y = 3x − 2.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Tangentengleichung in zwei Bedingungen übersetzen
Tangente: y = 3x − 2
Berührstelle: x = 1
RechnungErklärung zum Schritt
t(1) = 3 · 1 − 2 = 1
1 Berührpunkt berechnen
Setze die Berührstelle x = 1 in die Tangentengleichung ein.
f(1) = 1
2 Funktionswertbedingung
Tangente und Funktionsgraph haben am Berührpunkt denselben Wert.
f′(1) = 3
3 Steigungsbedingung
Die Steigung der Tangente ist 3. Die Zahl −2 ist ihr y-Achsenabschnitt, nicht automatisch f(0).
Wenn eine Gerade nur irgendwo Tangente sein soll und keine Berührstelle gegeben ist, wird die Berührstelle selbst zu einer weiteren Unbekannten.
Mit Symmetrie den Ansatz verkürzen
Ist eine ganzrationale Funktion zur y-Achse symmetrisch, enthält sie nur gerade Potenzen. Eine gerade Funktion höchstens vierten Grades hat deshalb den Ansatz f(x) = ax⁴ + bx² + c.
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung enthält sie nur ungerade Potenzen. Für höchstens dritten Grad genügt f(x) = ax³ + bx. Dadurch brauchst du weniger unbekannte Koeffizienten zu bestimmen.
Diese Regeln gelten für die genannten Symmetriezentren beziehungsweise Achsen. Eine Symmetrie zu einem verschobenen Punkt oder zu x = 2 erfordert einen entsprechend verschobenen Ansatz.
Wendepunkt und stationärer Wendepunkt unterscheiden
Ein Wendepunkt W(u | v) liefert f(u) = v und f″(u) = 0. Die Steigung f′(u) muss dort nicht 0 sein.
Nur wenn ein stationärer Wendepunkt oder eine waagerechte Wendetangente gefordert ist, kommt f′(u) = 0 hinzu. Anschließend prüfst du den Krümmungswechsel, zum Beispiel über f‴(u) ungleich 0 als hinreichendes Kriterium.
Das unnötige Hinzufügen von f′(u) = 0 bei einem gewöhnlichen Wendepunkt kann aus einer lösbaren Aufgabe ein widersprüchliches Gleichungssystem machen.
Dein Rechenplan
- Lies Grad, Symmetrie und alle Angaben sorgfältig.
- Wähle einen Ansatz mit unbekannten Koeffizienten.
- Berechne die benötigten Ableitungen.
- Übersetze jede Angabe einzeln in eine Gleichung.
- Löse das System und setze die Koeffizienten in f ein.
- Prüfe den geforderten Grad und sämtliche Ausgangsbedingungen.
- Bestätige die Art von Extrem- und Wendepunkten zusätzlich.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib anschließend den vollständigen Term oder die gefragten Werte ein. Prüfe auch Bedingungen, Einheiten und Sonderfälle.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche zwei Bedingungen liefert eine Tangente y = 3x − 2 bei x = 1?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Funktionswert und Ableitungswert bestimmen
Tangente: y = 3x − 2 bei x = 1
RechnungErklärung zum Schritt
t(1) = 3 · 1 − 2 = 1
1 Berührpunkt bestimmen
Setze x = 1 in die Tangente ein.
f(1) = 1
2 Erste Bedingung
Der Funktionsgraph geht durch denselben Punkt.
f′(1) = 3
3 Zweite Bedingung
Die Tangentensteigung ist die Ableitung an der Berührstelle.
3 · Nenne die Parabel aus P(0 | 1), Q(2 | 5) und Steigung −2 bei x = 0.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Parabel aus den Angaben bestimmen
Gesucht: Parabel durch P(0 | 1) und Q(2 | 5)
Steigung bei x = 0: −2
RechnungErklärung zum Schritt
f(x) = ax² + bx + c
f′(x) = 2ax + b
f′(x) = 2ax + b
1 Ansatz wählen
Gesucht ist eine Parabel.
f(0) = 1 ⇒ c = 1
f′(0) = −2 ⇒ b = −2
f′(0) = −2 ⇒ b = −2
2 Erste Angaben einsetzen
Punkt und Steigung bei 0 legen c und b fest.
f(2) = 5
4a − 4 + 1 = 5
4a − 4 + 1 = 5
3 Zweiten Punkt einsetzen
Verwende die schon bestimmten Werte.
4a = 8 ⇒ a = 2
4 Verbleibenden Koeffizienten lösen
Addiere 3 und teile durch 4.
f(x) = 2x² − 2x + 1
5 Ergebnis
Die Funktion hat Grad 2 und erfüllt alle Angaben.
Probe: f(0) = 1, f(2) = 5 und f′(0) = −2.
4 · Warum reicht f′(u) = 0 nicht für einen Hochpunkt?
Lösung und Rechenweg ansehen
Auch ein Tiefpunkt oder ein stationärer Wendepunkt kann diese Bedingung erfüllen. Die Art muss zusätzlich geprüft werden.
Erklärung wiederholen →5 · Welcher Ansatz passt zu y-Achsensymmetrie und höchstens Grad 4?
Lösung und Rechenweg ansehen
f(x) = ax⁴ + bx² + c.
Erklärung wiederholen →6 · Muss an jedem Wendepunkt f′(u) = 0 gelten?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Das gilt nur bei einer waagerechten Wendetangente.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Mit Extremwertaufgaben weiterlernen →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Wie viele Bedingungen brauche ich?
Bei einem Polynom höchstens n-ten Grades gibt es n + 1 Koeffizienten. Für eine eindeutige Lösung brauchst du entsprechend viele unabhängige, verträgliche Gleichungen.
Was bedeutet ein widersprüchliches Gleichungssystem?
Entweder wurden Angaben falsch übersetzt oder es existiert im gewählten Ansatz keine Funktion, die alle Bedingungen erfüllt.
Sind notwendige Bedingungen schon eine vollständige Lösung?
Nein. Nach dem Lösen musst du die geforderten Eigenschaften und gegebenenfalls den exakten Grad kontrollieren.
Die quadratische Funktion hat drei unbekannte Koeffizienten.