Matrizenrechnung: verstehen und üben

Lernschritt 1

Dimension und Einträge lesen

Eine m × n-Matrix hat m Zeilen und n Spalten. Beim Eintrag aᵢⱼ steht i für die Zeile und j für die Spalte. Eine 2 × 3-Matrix ist daher etwas anderes als eine 3 × 2-Matrix.

Matrizen können geordnete Daten, Gleichungskoeffizienten oder Zuordnungen beschreiben. Welche Bedeutung die Zahlen haben, muss zum Modell angegeben sein. Eine Matrix ist zunächst keine Gleichung und kein einzelner Zahlenwert.

Die Transponierte Aᵀ vertauscht Zeilen und Spalten. Aus einer 2 × 3-Matrix wird dadurch eine 3 × 2-Matrix.

Lernschritt 2

Addieren und mit einer Zahl multiplizieren

Nur Matrizen gleicher Dimension werden eintragsweise addiert oder subtrahiert. Eine Multiplikation mit einer Zahl wirkt dagegen auf jeden Eintrag.

Bei der Addition bleibt die Anordnung erhalten. Einträge an verschiedenen Positionen dürfen nicht miteinander vertauscht werden.

Lernschritt 3

Matrix mal Matrix: Zeile mal Spalte

Das Produkt AB ist definiert, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt. Aus (m × n) mal (n × p) entsteht eine m × p-Matrix.

Für jedes Ergebnisfeld multiplizierst du die passenden Einträge einer Zeile von A mit einer Spalte von B und addierst die Produkte.

Oben links: 1·2 + 2·1 = 4. Oben rechts: 1·0 + 2·2 = 4. Unten links: 3·2 + 4·1 = 10. Unten rechts: 3·0 + 4·2 = 8.

Einträge nur paarweise an derselben Position zu multiplizieren wäre eine andere Operation und ist hier nicht gemeint.

Lernschritt 4

Die Reihenfolge verändert das Ergebnis

Mit denselben Matrizen ergibt sich in umgekehrter Reihenfolge:

AB und BA sind also verschieden. Bei anderen Dimensionen kann sogar nur eine der beiden Reihenfolgen definiert sein. Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ.

Assoziativität und Distributivität gelten bei passenden Dimensionen: (AB)C = A(BC) und A(B + C) = AB + AC. Umgruppieren darfst du, die Reihenfolge der Faktoren dabei aber nicht verändern.

Lernschritt 5

Einheitsmatrix und Matrixpotenz

Die Einheitsmatrix I hat Einsen auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen. Für passende Dimensionen gilt AI = IA = A. Für eine quadratische Matrix bedeutet A² das Produkt AA, nicht das Quadrieren aller Einträge.

A⁰ ist die passende Einheitsmatrix. Positive ganze Potenzen entstehen durch wiederholte Matrizenmultiplikation. Eine nichtquadratische Matrix kann nicht ohne Weiteres mit sich selbst multipliziert werden.

Lernschritt 6

Eine inverse 2 × 2-Matrix bestimmen

Eine inverse Matrix A⁻¹ erfüllt AA⁻¹ = A⁻¹A = I. Sie macht die Wirkung von A rückgängig. Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse.

Für A mit erster Zeile (a, b) und zweiter Zeile (c, d) berechnest du zunächst die Determinante Δ = ad − bc. Wenn Δ ≠ 0 ist, gilt:

Für A = ((1, 2), (3, 4)) ist Δ = −2. Daraus folgt die inverse Matrix mit den folgenden Einträgen:

Zur Probe liefert die erste Zeile von AA⁻¹ die Werte −2 + 3 = 1 und 1 − 1 = 0; die zweite Zeile liefert −6 + 6 = 0 und 3 − 2 = 1. Die Inverse ist nicht durch Kehrwertbildung jedes Eintrags gegeben.

Lernschritt 7

Ein Gleichungssystem als Ax = b schreiben

Das System x + 2y = 5 und 3x + 4y = 11 lässt sich schreiben als:

Mit der inversen Matrix folgt x als Lösungsvektor aus A⁻¹b. Das ergibt die Komponenten −2·5 + 11 = 1 und 1,5·5 − 0,5·11 = 2. Die Lösung ist also x = 1, y = 2.

Für größere Systeme ist Gauß oft der praktischere Weg. Die Inverse erklärt den Zusammenhang, ist aber kein Pflichtumweg für jedes Gleichungssystem.

Lernschritt 8

Was bedeutet Determinante 0?

Die Matrix mit Zeilen (1, 2) und (2, 4) hat Determinante 4 − 4 = 0 und keine Inverse. Ihre zweite Zeile ist ein Vielfaches der ersten.

Das zugehörige Gleichungssystem kann trotzdem Lösungen haben: Bei rechten Seiten 5 und 10 sind es unendlich viele. Bei rechten Seiten 5 und 11 gibt es keine Lösung. „Keine Inverse“ bedeutet also nicht automatisch „keine Lösung“.

Kontrolliere immer Dimensionen, Reihenfolge und Ergebnis. Eine Probe durch Einsetzen in das ursprüngliche System bleibt besonders hilfreich.

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Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.

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Häufige Fragen