1 · Welche Dimension hat eine Matrix mit drei Zeilen und zwei Spalten?
Lösung und Rechenweg ansehen
3 × 2. Zeilen werden zuerst genannt.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Matrizenrechnung
Du berechnest vollständige Matrizen, achtest auf Dimensionen und Reihenfolge und prüfst Inverse sowie Gleichungssysteme.
Voraussetzungen ansehen
Grundrechenarten, Brüche und lineare Gleichungssysteme.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Mehrere Komponenten mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Brüche mit / und Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt eingeben. Matrizen zeilenweise eingeben: 1; 2 | 3; 4 bedeutet erste Zeile 1; 2 und zweite Zeile 3; 4. Prozentanteile als Dezimalzahl oder Bruch schreiben, sofern kein Prozentwert gefragt ist.
02 · Verstehen
Dimension und Einträge lesen
Zeilen und Spalten geordnet verknüpfen
A = 1234
A hat zwei Zeilen und zwei Spalten. Der Eintrag a₂₁ ist 3.
Eine m × n-Matrix hat m Zeilen und n Spalten. Beim Eintrag aᵢⱼ steht i für die Zeile und j für die Spalte. Eine 2 × 3-Matrix ist daher etwas anderes als eine 3 × 2-Matrix.
Matrizen können geordnete Daten, Gleichungskoeffizienten oder Zuordnungen beschreiben. Welche Bedeutung die Zahlen haben, muss zum Modell angegeben sein. Eine Matrix ist zunächst keine Gleichung und kein einzelner Zahlenwert.
Die Transponierte Aᵀ vertauscht Zeilen und Spalten. Aus einer 2 × 3-Matrix wird dadurch eine 3 × 2-Matrix.
Addieren und mit einer Zahl multiplizieren
Nur Matrizen gleicher Dimension werden eintragsweise addiert oder subtrahiert. Eine Multiplikation mit einer Zahl wirkt dagegen auf jeden Eintrag.
Beispiel · Schritt für Schritt
Zwei Matrizen eintragsweise addieren
A = B =
RechnungErklärung zum Schritt
1234 + 20−15
A + B = 1 + 22 + 03 + (−1)4 + 5
2 Positionen beibehalten
Hier bezeichnet B die zweite Matrix der Addition. Addiere jeweils die Einträge an derselben Position.
A + B = 3229
3 Einträge ausrechnen
Die Summe ist wieder eine 2 × 2-Matrix.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren
A =
Gesucht: 2A
RechnungErklärung zum Schritt
2 · 1234 = 2 · 12 · 22 · 32 · 4
1 Jeden Eintrag multiplizieren
Die Zahl 2 wirkt auf alle vier Einträge; die Dimension bleibt gleich.
2A = 2468
2 Ergebnis notieren
Die Reihenfolge der Einträge bleibt erhalten.
Bei der Addition bleibt die Anordnung erhalten. Einträge an verschiedenen Positionen dürfen nicht miteinander vertauscht werden.
Matrix mal Matrix: Zeile mal Spalte
Das Produkt AB ist definiert, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt. Aus (m × n) mal (n × p) entsteht eine m × p-Matrix.
Für jedes Ergebnisfeld multiplizierst du die passenden Einträge einer Zeile von A mit einer Spalte von B und addierst die Produkte.
Beispiel · Schritt für Schritt
Das Matrixprodukt Zeile für Spalte berechnen
A = B =
Gesucht: AB
RechnungErklärung zum Schritt
A = 1234, B = 2012
1 Dimensionen prüfen
2 × 2 mal 2 × 2 ist definiert und ergibt eine 2 × 2-Matrix.
(AB)₁₁ = 1 · 2 + 2 · 1 = 4
2 Oben links
Multipliziere die erste Zeile von A mit der ersten Spalte von B.
(AB)₁₂ = 1 · 0 + 2 · 2 = 4
3 Oben rechts
Multipliziere die erste Zeile von A mit der zweiten Spalte von B.
(AB)₂₁ = 3 · 2 + 4 · 1 = 10
4 Unten links
Multipliziere die zweite Zeile von A mit der ersten Spalte von B.
(AB)₂₂ = 3 · 0 + 4 · 2 = 8
5 Unten rechts
Multipliziere die zweite Zeile von A mit der zweiten Spalte von B.
AB = 44108
6 Ergebnis zusammensetzen
Trage die vier berechneten Werte an ihren Positionen ein.
Einträge nur paarweise an derselben Position zu multiplizieren wäre eine andere Operation und ist hier nicht gemeint.
Die Reihenfolge verändert das Ergebnis
Mit denselben Matrizen ergibt sich in umgekehrter Reihenfolge:
Beispiel · Schritt für Schritt
Die umgekehrte Reihenfolge untersuchen
A = B =
Gesucht: BA im Vergleich zu AB
RechnungErklärung zum Schritt
BA = 2012 · 1234
1 Faktoren vertauschen
Jetzt stammen die Zeilen aus B und die Spalten aus A.
BA = 2 · 1 + 0 · 32 · 2 + 0 · 41 · 1 + 2 · 31 · 2 + 2 · 4
2 Zeile mal Spalte rechnen
Berechne wieder alle vier Einträge; beide Reihenfolgen sind hier definiert.
BA = 24710 ≠ 44108 = AB
3 Ergebnisse vergleichen
Schon der Eintrag oben links unterscheidet sich: 2 statt 4.
AB und BA sind also verschieden. Bei anderen Dimensionen kann sogar nur eine der beiden Reihenfolgen definiert sein. Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
Assoziativität und Distributivität gelten bei passenden Dimensionen: (AB)C = A(BC) und A(B + C) = AB + AC. Umgruppieren darfst du, die Reihenfolge der Faktoren dabei aber nicht verändern.
Einheitsmatrix und Matrixpotenz
Die Einheitsmatrix I hat Einsen auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen. Für passende Dimensionen gilt AI = IA = A. Für eine quadratische Matrix bedeutet A² das Produkt AA, nicht das Quadrieren aller Einträge.
I = 1001
A⁰ ist die passende Einheitsmatrix. Positive ganze Potenzen entstehen durch wiederholte Matrizenmultiplikation. Eine nichtquadratische Matrix kann nicht ohne Weiteres mit sich selbst multipliziert werden.
Eine inverse 2 × 2-Matrix bestimmen
Eine inverse Matrix A⁻¹ erfüllt AA⁻¹ = A⁻¹A = I. Sie macht die Wirkung von A rückgängig. Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse.
Für A mit erster Zeile (a, b) und zweiter Zeile (c, d) berechnest du zunächst die Determinante Δ = ad − bc. Wenn Δ ≠ 0 ist, gilt:
A⁻¹ = · d−b−ca
Beispiel · Schritt für Schritt
Die inverse Matrix bestimmen
A =
RechnungErklärung zum Schritt
A = 1234
Δ = 1 · 4 − 2 · 3 = −2 ≠ 0
Δ = 1 · 4 − 2 · 3 = −2 ≠ 0
1 Invertierbarkeit prüfen
Die Determinante ist ungleich null; die inverse Matrix existiert.
A⁻¹ = (−1/2) · 4−2−31
2 Inverse aufstellen
Vertausche die Diagonaleinträge, ändere die Vorzeichen der anderen beiden Einträge und multipliziere mit 1/Δ.
A⁻¹ = −211,5−0,5
3 Faktor verteilen
Multipliziere jeden Eintrag mit −1/2. Die Inverse entsteht nicht durch Kehrwertbildung jedes Eintrags.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Inverse durch Multiplikation prüfen
A = A⁻¹ =
RechnungErklärung zum Schritt
AA⁻¹ = 1234 · −211,5−0,5
1 Probe ansetzen
Das Produkt muss die Einheitsmatrix liefern.
AA⁻¹ = −2 + 31 − 1−6 + 63 − 2
2 Vier Skalarprodukte bilden
Jeder Eintrag entsteht aus einer Zeile von A und einer Spalte der inversen Matrix.
AA⁻¹ = 1001 = I
3 Probe auswerten
Die Diagonaleinträge sind 1, die übrigen Einträge sind 0.
Ein Gleichungssystem als Ax = b schreiben
Das System x + 2y = 5 und 3x + 4y = 11 lässt sich schreiben als:
Beispiel · Schritt für Schritt
Das Gleichungssystem mit einer inversen Matrix lösen
x + 2y = 5
3x + 4y = 11
RechnungErklärung zum Schritt
1234xy = 511
1 Matrixgleichung aufstellen
Die erste Zeile beschreibt x + 2y = 5, die zweite Zeile 3x + 4y = 11.
x = A⁻¹b = −211,5−0,5 · 511
2 Von links mit der Inversen multiplizieren
Für den Lösungsvektor gilt A⁻¹Ax = A⁻¹b. Wegen A⁻¹A = I bleibt links x.
x = −2 · 5 + 1 · 111,5 · 5 − 0,5 · 11 = 12
3 Zeile mal Spalte rechnen
Berechne beide Komponenten des Lösungsvektors.
x = 1, y = 2
4 Lösung ablesen
Die erste Komponente ist x, die zweite ist y.
Für größere Systeme ist Gauß oft der praktischere Weg. Die Inverse erklärt den Zusammenhang, ist aber kein Pflichtumweg für jedes Gleichungssystem.
Was bedeutet Determinante 0?
Beispiel · Schritt für Schritt
Bei Determinante null unendlich viele Lösungen erkennen
x + 2y = 5
2x + 4y = 10
RechnungErklärung zum Schritt
A = 1224
Δ = 1 · 4 − 2 · 2 = 0
Δ = 1 · 4 − 2 · 2 = 0
1 Determinante berechnen
Die zweite Zeile ist das Doppelte der ersten; A hat keine Inverse.
x + 2y = 5
2x + 4y = 10
0 = 0
2x + 4y = 10
0 = 0
2 Passende rechte Seiten
Subtrahiere das Doppelte der ersten Gleichung von der zweiten. Es entsteht keine zusätzliche Bedingung.
y = t, x = 5 − 2t, t ∈ ℝ
3 Unendlich viele Lösungen
Jede reelle Wahl von t ergibt eine Lösung des Systems mit rechten Seiten 5 und 10.
Beispiel · Schritt für Schritt
Bei derselben Matrix einen Widerspruch erkennen
x + 2y = 5
2x + 4y = 11
RechnungErklärung zum Schritt
x + 2y = 5
2x + 4y = 11
2x + 4y = 11
1 Andere rechte Seite betrachten
Die Koeffizientenmatrix ist dieselbe; nur rechts steht nun 11 statt 10.
(2x + 4y) − 2(x + 2y) = 11 − 2 · 5
2 Gleichungen vergleichen
Subtrahiere wieder das Doppelte der ersten Gleichung von der zweiten.
0 = 1
3 Widerspruch erkennen
Dieses System hat keine Lösung. Keine Inverse bedeutet daher nicht automatisch keine Lösung; die rechte Seite entscheidet mit.
Kontrolliere immer Dimensionen, Reihenfolge und Ergebnis. Eine Probe durch Einsetzen in das ursprüngliche System bleibt besonders hilfreich.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib die vollständige gefragte Antwort ein und prüfe sie in den Ausgangsbedingungen.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Dimension entsteht bei (2 × 3) mal (3 × 4)?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Dimension des Produkts AB bestimmen
A: 2 × 3-Matrix
B: 3 × 4-Matrix
RechnungErklärung zum Schritt
A: 2 × 3, B: 3 × 4
1 Innere Dimensionen vergleichen
Die Spaltenzahl von A und die Zeilenzahl von B sind beide 3; AB ist definiert.
AB: 2 × 4
2 Äußere Dimensionen übernehmen
Das Produkt hat zwei Zeilen wie A und vier Spalten wie B.
3 · Berechne die erste Zeile des Produkts aus dem Hauptbeispiel.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die erste Zeile von AB berechnen
A = B =
RechnungErklärung zum Schritt
(AB)₁₁ = 1 · 2 + 2 · 1 = 4
1 Erste Spalte verwenden
Multipliziere die erste Zeile (1, 2) mit der ersten Spalte (2, 1).
(AB)₁₂ = 1 · 0 + 2 · 2 = 4
2 Zweite Spalte verwenden
Multipliziere dieselbe Zeile mit der zweiten Spalte (0, 2).
Erste Zeile von AB: (4, 4)
3 Ergebnis zusammenstellen
Die beiden Ergebnisse stehen in der ersten Zeile in dieser Reihenfolge.
4 · Gilt immer AB = BA?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Die Reihenfolge kann das Ergebnis oder sogar die Zulässigkeit des Produkts verändern.
Erklärung wiederholen →5 · Hat die Matrix mit Zeilen (1, 2) und (2, 4) eine Inverse?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Prüfen, ob eine inverse Matrix existiert
A =
RechnungErklärung zum Schritt
Δ = 1 · 4 − 2 · 2 = 0
1 Determinante berechnen
Für eine 2 × 2-Matrix gilt Δ = ad − bc.
Δ = 0
2 Invertierbarkeit entscheiden
Die Matrix besitzt keine Inverse; ihre zweite Zeile ist das Doppelte der ersten.
6 · Prüfe x = 1, y = 2 für x + 2y = 5 und 3x + 4y = 11.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Lösung in beide Gleichungen einsetzen
x + 2y = 5
3x + 4y = 11
Zu prüfen: x = 1, y = 2
RechnungErklärung zum Schritt
1 + 2 · 2 = 1 + 4 = 5
1 Erste Gleichung prüfen
Setze x = 1 und y = 2 ein. Die linke Seite stimmt mit der rechten Seite 5 überein.
3 · 1 + 4 · 2 = 3 + 8 = 11
2 Zweite Gleichung prüfen
Auch die zweite Gleichung ist erfüllt. Damit ist (1, 2) eine Lösung des gesamten Systems.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Matrizen in Zustandsmodellen anwenden →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Kann ich jede Matrix invertieren?
Nein. Eine gewöhnliche zweiseitige Inverse setzt eine quadratische, invertierbare Matrix voraus. Bei 2 × 2 prüfst du, ob die Determinante ungleich 0 ist.
Ist A² das Quadrat jedes Eintrags?
Nein. A² bedeutet A mal A mit der Zeile-mal-Spalte-Regel.
Sind Matrizen in jedem Mathe-Abitur gleich wichtig?
Die Gewichtung hängt von Bundesland, Schulform und Kurs ab. Verwende die Seite passend zu deinem Unterricht.
Beide Matrizen haben zwei Zeilen und zwei Spalten; die Addition ist definiert.