Du berechnest Glieder und endliche Summen arithmetischer und geometrischer Folgen und unterscheidest Startindex, Vorzeichen und Grenzwert.
Voraussetzungen ansehen
Potenzen, Prozentrechnung und das Einsetzen in Terme.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
3 kurze Aufgaben
Berechne je ein arithmetisches und geometrisches Glied und prüfe die Bedeutung des Startwerts.
Zahlen mit Komma oder Punkt; Brüche mit /. Für eine explizite Formel nur den Term mit n eingeben, etwa 3n + 1. Gib bei Summen den Gesamtwert, bei a_n das einzelne Glied an. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Was ist eine Folge?
Gleiche Differenz oder gleicher Faktor?
4, 7, 10, 13, … → jeweils +3
3, 6, 12, 24, … → jeweils ·2
Die erste Folge ist arithmetisch, die zweite geometrisch. Die Zahl n bezeichnet die Position eines Glieds.
Eine Zahlenfolge ordnet jedem erlaubten natürlichen Index n eine Zahl aₙ zu. Der Index gibt die Position an, aₙ den Wert an dieser Position. Hier beginnen wir zunächst mit n = 1.
Bei 4, 7, 10, 13, … ist a₁ = 4 und a₃ = 10. Die tiefgestellte 3 bedeutet „drittes Glied“, nicht „dritte Potenz“.
Einige Aufgaben beginnen stattdessen bei n = 0, etwa wenn n die Anzahl vergangener Zeitschritte zählt. Prüfe den Startindex, bevor du eine Formel verwendest.
Aus wenigen Zahlen allein ist eine Fortsetzung nicht eindeutig bewiesen. Mehrere Regeln können dieselben ersten Glieder erzeugen. In Aufgaben brauchst du eine angegebene Regel oder eine begründete Annahme zum Muster.
Explizite und rekursive Darstellung unterscheiden
Eine explizite Formel berechnet aₙ direkt aus n. Für die Folge 4, 7, 10, 13, … kannst du schreiben:
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine explizite Formel aufstellen und vereinfachen
4, 7, 10, 13, … Startindex: n = 1 Je Schritt: +3
RechnungErklärung zum Schritt
aₙ = 4 + 3(n − 1)
1 Startwert und Schrittzahl verbinden
Beginne bei a₁ = 4 und addiere für die n − 1 Schritte jeweils 3.
aₙ = 4 + 3n − 3
2 Die Klammer ausmultiplizieren
Multipliziere die Klammer aus.
aₙ = 3n + 1
3 Gleichartige Summanden zusammenfassen
Fasse die konstanten Summanden zusammen. Die Formel gilt für n ≥ 1.
Eine rekursive Darstellung beschreibt dagegen, wie das nächste Glied aus vorherigen Gliedern entsteht. Ein Startwert gehört dazu:
a₁ = 4; aₙ₊₁ = aₙ + 3 für n ≥ 1
Mit der expliziten Formel erhältst du a₁₀ = 31 sofort. Bei der Rekursion gehst du vom Startwert aus wiederholt weiter. Ohne Startwert bestimmt die Vorschrift „immer 3 addieren“ noch keine eindeutige Folge.
Arithmetische Folgen: immer dieselbe Differenz
Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant. Nenne sie d. Dann gilt:
aₙ₊₁ = aₙ + d
aₙ = a₁ + (n − 1)d
Zwischen dem ersten und dem n-ten Glied liegen n − 1 Schritte. Deshalb steht in der Formel nicht einfach n · d.
Beispiel · Schritt für Schritt
Das sechste Glied einer arithmetischen Folge berechnen
a₁ = 5 und d = −2 Gesucht: a₆
RechnungErklärung zum Schritt
a₁ = 5, d = −2
1 Startwert und Differenz ablesen
Die Folge lautet 5, 3, 1, −1, … Gesucht ist das sechste Glied.
a₆ = 5 + (6 − 1) · (−2)
2 Den gesuchten Index einsetzen
Vom ersten zum sechsten Glied liegen fünf Schritte.
a₆ = 5 + 5 · (−2)
3 Die Anzahl der Schritte berechnen
Berechne zuerst die Schrittzahl.
a₆ = −5
4 Das Folgenglied bestimmen
Multipliziere die Schrittzahl mit der Differenz und addiere den Startwert.
Für d > 0 steigt die Folge streng, für d < 0 fällt sie streng. Bei d = 0 ist sie konstant.
Geometrische Folgen: immer derselbe Faktor
Bei einer geometrischen Folge wird jedes Glied mit demselben Faktor q multipliziert:
aₙ₊₁ = q · aₙ
aₙ = a₁ · qn−1
Beispiel · Schritt für Schritt
Das sechste Glied einer geometrischen Folge berechnen
a₁ = 3 und q = 2 Gesucht: a₆
RechnungErklärung zum Schritt
a₁ = 3, q = 2
1 Startwert und Faktor ablesen
Die Folge lautet 3, 6, 12, 24, 48, … Gesucht ist a₆.
a₆ = 3 · 26−1
2 Den gesuchten Index einsetzen
Bei Startindex 1 gibt es bis zum sechsten Glied fünf Multiplikationen.
a₆ = 3 · 2⁵
3 Den Exponenten berechnen
Berechne den Exponenten.
a₆ = 96
4 Mit dem Startwert multiplizieren
2⁵ = 32; multipliziere mit dem Anfangswert 3.
Wenn das vorherige Glied ungleich 0 ist, kannst du q als Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder berechnen. Bei Nullgliedern ist eine Division durch das vorherige Glied nicht erlaubt; nutze dann die Rekursion direkt.
Für q = 0 lautet die Folge a₁, 0, 0, … Den ersten Wert übernimmst du in diesem Sonderfall direkt, statt einen Ausdruck 0⁰ auszuwerten.
Faktoren und wechselnde Vorzeichen richtig lesen
Bei positivem Startwert und q > 1 wächst eine geometrische Folge. Für 0 < q < 1 werden die Werte kleiner. Ein Minuszeichen kann das Bild verändern: Für q < 0 wechseln bei einem Startwert ungleich 0 die Vorzeichen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Folge mit wechselnden Vorzeichen fortsetzen
a₁ = 8 und q = −0,5 Gesucht: die ersten fünf Glieder
RechnungErklärung zum Schritt
a₁ = 8
1 Mit dem ersten Glied beginnen
Beginne beim angegebenen ersten Glied.
a₂ = 8 · (−0,5) = −4
2 Das zweite Glied berechnen
Multipliziere mit dem negativen Faktor. Das Vorzeichen wechselt.
a₃ = −4 · (−0,5) = 2
3 Den Faktor erneut anwenden
Wende denselben Faktor erneut an.
a₄ = 2 · (−0,5) = −1
4 Das vierte Glied berechnen
Die Beträge werden kleiner, die Vorzeichen wechseln weiter.
a₅ = −1 · (−0,5) = 0,5
5 Das fünfte Glied und den Verlauf einordnen
Die Folge 8, −4, 2, −1, 0,5, … ist daher weder insgesamt steigend noch insgesamt fallend.
Eine Zunahme um 20 % pro Schritt entspricht dem Faktor 1,2. Eine Abnahme um 20 % entspricht 0,8. Ein Faktor von 0,2 würde dagegen bedeuten, dass nur noch 20 % des vorherigen Werts übrig bleiben.
Wenn der Prozess bei n = 0 beginnt
Ein Modell startet mit 100 Einheiten und behält nach jedem Schritt 80 % des vorherigen Werts. Wenn n die Zahl der bereits vergangenen Schritte bezeichnet, ist a₀ = 100.
aₙ = 100 · 0,8ⁿ für n ≥ 0
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Folge ab dem Startindex null berechnen
aₙ = 100 · 0,8ⁿ für n ≥ 0 Gesucht: a₀, a₁, a₂ und a₃
RechnungErklärung zum Schritt
a₀ = 100 · 0,8⁰ = 100
1 Den Startwert bei n = 0 prüfen
Prüfe die Formel am Startindex n = 0.
a₁ = 100 · 0,8 = 80
2 Einen Schritt berechnen
Nach einem Schritt bleiben 80 Einheiten.
a₂ = 100 · 0,8² = 64
3 Zwei Schritte berechnen
Nach zwei Schritten bleiben 64 Einheiten.
a₃ = 100 · 0,8³ = 51,2
4 Drei Schritte berechnen
Nach drei Schritten bleiben 51,2 Einheiten. Im Exponenten steht n, weil seit a₀ genau n Multiplikationen ausgeführt wurden.
Die Formeln mit a₀ und a₁ beschreiben dieselbe Art von Prozess, zählen die Position aber anders. Überprüfe die Formel immer am Startindex.
Endliche Summen berechnen
Eine Folge besteht aus einzelnen Gliedern. Die Summe der ersten n Glieder bezeichnen wir mit Sₙ.
Für eine arithmetische Folge gilt:
Sₙ = n2(a₁ + aₙ)
Beispiel · Schritt für Schritt
Die ersten zehn Folgenglieder addieren
Arithmetische Folge: a₁ = 4, d = 3 Gesucht: S₁₀
RechnungErklärung zum Schritt
a₁₀ = 4 + 9 · 3 = 31
1 Das zehnte Glied berechnen
Berechne zuerst das zehnte Glied der arithmetischen Folge.
S₁₀ = 102 · (4 + 31)
2 Die arithmetische Summenformel einsetzen
Setze n = 10, a₁ = 4 und a₁₀ = 31 in die Summenformel ein.
S₁₀ = 5 · 35 = 175
3 Die Summe ausrechnen
Berechne die Summe der ersten zehn Glieder.
Warum funktioniert die arithmetische Summenformel?
Die Idee: Addiere dieselbe Summe vorwärts und rückwärts. Im Beispiel ergeben die untereinandergehörenden Zahlen immer 35: 4 + 31, 7 + 28, 10 + 25 und so weiter.
Lösung · Schritt für Schritt
Die arithmetische Summenformel mit Zahlenpaaren erklären
S₁₀ = 4 + 7 + 10 + … + 28 + 31
RechnungErklärung zum Schritt
S₁₀ = 4 + 7 + … + 28 + 31
1 Die Summe vorwärts aufschreiben
Schreibe die Summe vorwärts. Das dritte Glied ist 10; die weiteren Glieder folgen mit Differenz 3.
S₁₀ = 31 + 28 + … + 7 + 4
2 Dieselbe Summe rückwärts aufschreiben
Schreibe dieselbe Summe rückwärts. Das dritte Glied dieser Reihe ist 25.
2S₁₀ = 10 · 35 = 350
3 Zehn gleich große Paare addieren
Addiere die beiden Reihen. Alle zehn zusammengehörenden Paare ergeben 35.
S₁₀ = 175
4 Die doppelte Zählung ausgleichen
Jede Zahl wurde zweimal gezählt. Teile deshalb durch 2.
Wir haben jede Zahl zweimal gezählt. Deshalb teilen wir durch 2 und erhalten S₁₀ = 175.
Allgemein ergeben erstes und letztes Glied zusammen a₁ + aₙ. Gehst du eine Position nach innen, wächst der eine Summand um d und der andere wird um d kleiner. Die Paarsumme bleibt gleich. Beim Addieren der beiden vollständigen Reihen entstehen genau n solche Paare:
2Sₙ = n · (a₁ + aₙ)
Teilen durch 2 liefert die Formel oben. Das funktioniert auch bei einer ungeraden Anzahl von Gliedern, weil zwei vollständige Reihen addiert werden.
Für eine geometrische Folge mit q ≠ 1 gilt:
Sₙ = a₁ · 1 − qn1 − q
Beispiel · Schritt für Schritt
Die ersten fünf geometrischen Folgenglieder addieren
Geometrische Folge: a₁ = 3, q = 2 Gesucht: S₅
RechnungErklärung zum Schritt
a₁ = 3, q = 2, n = 5
1 Startglied, Faktor und Anzahl festhalten
Für die fünf Glieder 3, 6, 12, 24, 48 gilt die geometrische Summenformel, denn q ≠ 1.
S₅ = 3 · 1 − 2⁵1 − 2
2 Die geometrische Summenformel einsetzen
Setze Startglied, Faktor und Anzahl ein.
S₅ = 3 · −31−1
3 Potenz und Differenzen berechnen
Berechne 2⁵ = 32 und beide Differenzen.
S₅ = 93
4 Die Summe bestimmen
Der Quotient ist 31. Für den Sonderfall q = 1 wären alle Glieder gleich a₁; dann gilt Sₙ = n · a₁.
Warum funktioniert die geometrische Summenformel?
Die Idee: Multipliziere die Summe mit q und subtrahiere die ursprüngliche Summe. Für das Beispiel mit q = 2 gilt:
Lösung · Schritt für Schritt
Die geometrische Summenformel durch Subtraktion erklären
S₅ = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 Faktor: q = 2
RechnungErklärung zum Schritt
S₅ = 3 + 6 + 12 + 24 + 48
1 Die ursprüngliche Summe notieren
Schreibe die ursprüngliche geometrische Summe auf.
2S₅ = 6 + 12 + 24 + 48 + 96
2 Jeden Summanden mit zwei multiplizieren
Multipliziere jeden Summanden mit q = 2.
2S₅ − S₅ = 96 − 3
3 Die ursprüngliche Summe abziehen
Subtrahiere die ursprüngliche Summe. Die mittleren Summanden heben sich auf.
S₅ = 93
4 Die verbleibende Differenz berechnen
Links bleibt eine Summe S₅; rechts berechnest du 96 − 3.
Die Zahlen 6, 12, 24 und 48 kommen in beiden Summen vor und fallen beim Subtrahieren weg. Übrig bleiben der neue letzte und der ursprüngliche erste Summand. Links ist 2S₅ − S₅ einfach S₅.
Allgemein bleibt nach demselben Schritt:
Lösung · Schritt für Schritt
Die allgemeine geometrische Summenformel herleiten
Geometrische Folge mit Startglied a₁ Gesucht: Sₙ für n ≥ 1 Faktor q; Sonderfall q = 1 beachten
RechnungErklärung zum Schritt
(q − 1)Sₙ = a₁(qn − 1)
1 Die Differenz der beiden Summen bilden
Nach q-mal Summe minus ursprünglicher Summe bleiben nur der neue letzte und der ursprüngliche erste Summand.
Sₙ = a₁ · qn − 1q − 1
2 Für q ≠ 1 nach Sₙ auflösen
Teile für q ≠ 1 durch q − 1.
Sₙ = a₁ · 1 − qn1 − q
3 Zähler und Nenner umformen
Wechsle in Zähler und Nenner jeweils das Vorzeichen. Das ergibt die Formel oben.
q = 1: Sₙ = n · a₁
4 Den Sonderfall q = 1 getrennt berechnen
Für q = 1 wäre die Division nicht erlaubt. Addiere dann einfach n-mal a₁.
Diese Formeln behandeln eine endliche Anzahl von Gliedern. Eine unendliche Reihe verlangt eine eigene Untersuchung der Konvergenz.
Eine Sitzplatzfolge als Anwendung
In einem kleinen Theater hat die erste Reihe 12 Plätze. Jede weitere Reihe hat 2 Plätze mehr. Es gibt 8 Reihen.
Die Plätze pro Reihe bilden eine arithmetische Folge mit a₁ = 12 und d = 2. In der achten Reihe stehen:
Beispiel · Schritt für Schritt
Plätze in der achten Reihe und im ganzen Theater bestimmen
Erste Reihe: 12 Plätze Je weitere Reihe: 2 Plätze mehr Insgesamt: 8 Reihen
RechnungErklärung zum Schritt
a₈ = 12 + (8 − 1) · 2
1 Das achte Folgenglied aufstellen
Von der ersten bis zur achten Reihe liegen sieben Zuwächse um jeweils zwei Plätze.
a₈ = 26
2 Die Plätze der achten Reihe berechnen
In der achten Reihe gibt es 26 Plätze.
S₈ = 82 · (12 + 26)
3 Die Summe aller Reihen aufstellen
Für die Gesamtzahl der Plätze addierst du alle Reihen mit der arithmetischen Summenformel.
S₈ = 4 · 38 = 152
4 Die Gesamtzahl der Plätze bestimmen
Das Theater hat insgesamt 152 Plätze.
26 ist die Anzahl in einer bestimmten Reihe, 152 die Summe über alle Reihen. Glied und Summe beantworten unterschiedliche Fragen.
Ein erster Blick auf Grenzwerte
Die ersten sechs Glieder von aₙ = 1 geteilt durch n. Die Punkte nähern sich der Höhe 0 an. Zwischen den ganzzahligen Indizes sind keine weiteren Folgenglieder definiert.
Die Folge aₙ = 1 geteilt durch n wird beliebig nahe an 0 heranrücken, wenn n groß genug wird. Ihr Grenzwert ist 0, obwohl kein einziges Glied gleich 0 ist.
Die Folge (−1)ⁿ springt dagegen zwischen −1 und 1. Sie ist beschränkt, nähert sich aber keinem einzelnen Wert an und besitzt keinen Grenzwert.
Bei einer geometrischen Folge mit |q| < 1 gehen die Glieder gegen 0. Bei negativem q geschieht das mit wechselnden Vorzeichen. Eine Folge kann also konvergieren, ohne monoton zu sein.
Für die Beurteilung reichen einige Anfangswerte nicht als Beweis. Nutze die Bildungsvorschrift und prüfe, wie sie sich für beliebig große Indizes verhält.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
18 Aufgaben · 3 Stufen
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Prüfe immer den Startindex und ob ein einzelnes Glied oder eine Summe gefragt ist. Ein Index gibt die Position an und ist kein Exponent.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
5 gemischte Aufgaben
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
1 · Bei 2, 5, 8, 11, … ist welche Differenz konstant?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Eine arithmetische Fortsetzungsregel erkennen
2, 5, 8, 11, … Gesucht: die konstante Differenz
RechnungErklärung zum Schritt
5 − 2 = 3
1 Die erste Differenz berechnen
Berechne die erste Differenz.
8 − 5 = 3, 11 − 8 = 3
2 Die weiteren Differenzen vergleichen
Auch die weiteren gezeigten Differenzen sind 3.
d = 3
3 Die Differenz unter der Musterannahme angeben
Unter der angenommenen Fortsetzungsregel ist die Folge arithmetisch.
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Ist aₙ eine Potenz?
Nein. Der tiefgestellte Index n bezeichnet die Position des Glieds. Eine Potenz wird hochgestellt geschrieben.
Woran erkenne ich arithmetisch oder geometrisch?
Arithmetisch bedeutet konstante Differenz, geometrisch konstanter Multiplikationsfaktor. Quotienten darfst du nur bilden, wenn der Nenner ungleich 0 ist.
Ist jede beschränkte Folge konvergent?
Nein. Die Folge (−1)ⁿ ist beschränkt, springt aber zwischen zwei Werten und hat keinen Grenzwert.
Beginne bei a₁ = 4 und addiere für die n − 1 Schritte jeweils 3.