Folgen: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was ist eine Folge?

Eine Zahlenfolge ordnet jedem erlaubten natürlichen Index n eine Zahl aₙ zu. Der Index gibt die Position an, aₙ den Wert an dieser Position. Hier beginnen wir zunächst mit n = 1.

Bei 4, 7, 10, 13, … ist a₁ = 4 und a₃ = 10. Die tiefgestellte 3 bedeutet „drittes Glied“, nicht „dritte Potenz“.

Einige Aufgaben beginnen stattdessen bei n = 0, etwa wenn n die Anzahl vergangener Zeitschritte zählt. Prüfe den Startindex, bevor du eine Formel verwendest.

Aus wenigen Zahlen allein ist eine Fortsetzung nicht eindeutig bewiesen. Mehrere Regeln können dieselben ersten Glieder erzeugen. In Aufgaben brauchst du eine angegebene Regel oder eine begründete Annahme zum Muster.

Lernschritt 2

Explizite und rekursive Darstellung unterscheiden

Eine explizite Formel berechnet aₙ direkt aus n. Für die Folge 4, 7, 10, 13, … kannst du schreiben:

aₙ = 4 + 3(n − 1) = 3n + 1

Eine rekursive Darstellung beschreibt dagegen, wie das nächste Glied aus vorherigen Gliedern entsteht. Ein Startwert gehört dazu:

a₁ = 4; aₙ₊₁ = aₙ + 3 für n ≥ 1

Mit der expliziten Formel erhältst du a₁₀ = 31 sofort. Bei der Rekursion gehst du vom Startwert aus wiederholt weiter. Ohne Startwert bestimmt die Vorschrift „immer 3 addieren“ noch keine eindeutige Folge.

Lernschritt 3

Arithmetische Folgen: immer dieselbe Differenz

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant. Nenne sie d. Dann gilt:

aₙ₊₁ = aₙ + d

aₙ = a₁ + (n − 1)d

Zwischen dem ersten und dem n-ten Glied liegen n − 1 Schritte. Deshalb steht in der Formel nicht einfach n · d.

Beispiel a₁ = 5 und d = −2: Die Folge lautet 5, 3, 1, −1, … Das sechste Glied ist a₆ = 5 + 5 · (−2) = −5.

Für d > 0 steigt die Folge streng, für d < 0 fällt sie streng. Bei d = 0 ist sie konstant.

Lernschritt 4

Geometrische Folgen: immer derselbe Faktor

Bei einer geometrischen Folge wird jedes Glied mit demselben Faktor q multipliziert:

aₙ₊₁ = q · aₙ

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Beispiel a₁ = 3 und q = 2: 3, 6, 12, 24, 48, … Für n = 6 ergibt sich a₆ = 3 · 2⁵ = 96.

Wenn das vorherige Glied ungleich 0 ist, kannst du q als Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder berechnen. Bei Nullgliedern ist eine Division durch das vorherige Glied nicht erlaubt; nutze dann die Rekursion direkt.

Für q = 0 lautet die Folge a₁, 0, 0, … Den ersten Wert übernimmst du in diesem Sonderfall direkt, statt einen Ausdruck 0⁰ auszuwerten.

Lernschritt 5

Faktoren und wechselnde Vorzeichen richtig lesen

Bei positivem Startwert und q > 1 wächst eine geometrische Folge. Für 0 < q < 1 werden die Werte kleiner. Ein Minuszeichen kann das Bild verändern: Für q < 0 wechseln bei einem Startwert ungleich 0 die Vorzeichen.

Beispiel a₁ = 8 und q = −0,5: 8, −4, 2, −1, 0,5, … Die Beträge nehmen ab, die Folge ist wegen des Vorzeichenwechsels aber weder insgesamt steigend noch insgesamt fallend.

Eine Zunahme um 20 % pro Schritt entspricht dem Faktor 1,2. Eine Abnahme um 20 % entspricht 0,8. Ein Faktor von 0,2 würde dagegen bedeuten, dass nur noch 20 % des vorherigen Werts übrig bleiben.

Lernschritt 6

Wenn der Prozess bei n = 0 beginnt

Ein Modell startet mit 100 Einheiten und behält nach jedem Schritt 80 % des vorherigen Werts. Wenn n die Zahl der bereits vergangenen Schritte bezeichnet, ist a₀ = 100.

aₙ = 100 · 0,8ⁿ für n ≥ 0

Nach einem Schritt sind es 80, nach zwei Schritten 64 und nach drei Schritten 51,2 Einheiten. Hier steht n im Exponenten, weil seit dem Startwert genau n Multiplikationen ausgeführt wurden.

Die Formeln mit a₀ und a₁ beschreiben dieselbe Art von Prozess, zählen die Position aber anders. Überprüfe die Formel immer am Startindex.

Lernschritt 7

Endliche Summen berechnen

Eine Folge besteht aus einzelnen Gliedern. Die Summe der ersten n Glieder bezeichnen wir mit Sₙ.

Für eine arithmetische Folge gilt:

Sₙ = n2(a₁ + aₙ)

Im Beispiel 4, 7, 10, … ist a₁₀ = 31. Damit S₁₀ = 5 · (4 + 31) = 175.

Für eine geometrische Folge mit q ≠ 1 gilt:

Sₙ = a₁ · 1 − qⁿ1 − q

Bei 3, 6, 12, 24, 48 ergibt sich S₅ = 3 · (1 − 32) geteilt durch (1 − 2) = 93. Für q = 1 sind alle Glieder gleich a₁; dann ist Sₙ = n · a₁.

Diese Formeln behandeln eine endliche Anzahl von Gliedern. Eine unendliche Reihe verlangt eine eigene Untersuchung der Konvergenz.

Lernschritt 8

Eine Sitzplatzfolge als Anwendung

In einem kleinen Theater hat die erste Reihe 12 Plätze. Jede weitere Reihe hat 2 Plätze mehr. Es gibt 8 Reihen.

Die Plätze pro Reihe bilden eine arithmetische Folge mit a₁ = 12 und d = 2. In der achten Reihe stehen:

a₈ = 12 + 7 · 2 = 26 Plätze

Für die Gesamtzahl addierst du alle Reihen mithilfe der Summenformel:

S₈ = 82(12 + 26) = 152 Plätze

26 ist die Anzahl in einer bestimmten Reihe, 152 die Summe über alle Reihen. Glied und Summe beantworten unterschiedliche Fragen.

Lernschritt 9

Ein erster Blick auf Grenzwerte

Die Folge aₙ = 1 geteilt durch n wird beliebig nahe an 0 heranrücken, wenn n groß genug wird. Ihr Grenzwert ist 0, obwohl kein einziges Glied gleich 0 ist.

Die Folge (−1)ⁿ springt dagegen zwischen −1 und 1. Sie ist beschränkt, nähert sich aber keinem einzelnen Wert an und besitzt keinen Grenzwert.

Bei einer geometrischen Folge mit |q| < 1 gehen die Glieder gegen 0. Bei negativem q geschieht das mit wechselnden Vorzeichen. Eine Folge kann also konvergieren, ohne monoton zu sein.

Für die Beurteilung reichen einige Anfangswerte nicht als Beweis. Nutze die Bildungsvorschrift und prüfe, wie sie sich für beliebig große Indizes verhält.

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Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

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Häufige Fragen