1 · Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Hypotenuse. Sie ist zugleich die längste Seite.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck: verstehen und üben
Verstehe Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse. Erkunde ein Dreieck mit dem Winkelregler und berechne fehlende Seiten und Winkel mit Beispielen, Selbstcheck und kostenlosen Arbeitsblättern.
Der Bezugswinkel entscheidet
Sinus:
Kosinus:
Tangens:
Die Seitenrollen gehören immer zu einem bestimmten spitzen Winkel.
Lernschritt 1
Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete erkennen
Wir betrachten rechtwinklige Dreiecke und einen spitzen Winkel α, also 0° < α < 90°. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Gegenkathete liegt gegenüber von α. Die Ankathete liegt an α und ist nicht die Hypotenuse.
Wählst du den anderen spitzen Winkel als Bezugswinkel, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt dieselbe. Deshalb solltest du zuerst den rechten Winkel und danach deinen Bezugswinkel markieren.
Lernschritt 2
Sinus, Kosinus und Tangens verstehen
| Funktion | Seitenverhältnis bezüglich α |
|---|---|
| sin(α) | |
| cos(α) | |
| tan(α) |
Diese Verhältnisse haben keine Einheit. Werden alle Seiten eines Dreiecks beispielsweise verdoppelt, kürzt sich der Faktor 2 in jedem Verhältnis weg. Ähnliche rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel haben deshalb dieselben Werte für Sinus, Kosinus und Tangens.
Für einen spitzen Winkel liegen Sinus und Kosinus zwischen 0 und 1. Tangens kann größer als 1 sein. Außerdem gilt tan(α) = .
Lernschritt 3
Den Winkel verändern und Seitenverhältnisse beobachten
Entdecke: Vergleiche 30°, 45° und 60°. Bei 45° sind beide Katheten gleich lang. Wenn α größer wird, wächst die Gegenkathete, während die Ankathete kürzer wird. Die Hypotenuse bleibt hier 10 Längeneinheiten lang.
Bei 30° ist die Gegenkathete genau halb so lang wie die Hypotenuse: sin(30°) = 0,5. Die angezeigten Dezimalzahlen sind gerundet.
Lernschritt 4
Fehlende Seiten berechnen
Beispiel 1 – Gegenkathete gesucht: Die Hypotenuse ist 10 cm lang und α = 30°. Sinus verbindet diese Angaben:
sin(30°) = → g = 10 · sin(30°) = 5
Die Gegenkathete ist 5 cm lang.
Beispiel 2 – Ankathete gesucht: Mit derselben Hypotenuse und demselben Winkel gilt:
a = 10 · cos(30°) ≈ 8,66
Die Ankathete ist etwa 8,66 cm lang.
Beispiel 3 – Hypotenuse gesucht: Sind Gegenkathete g = 4 cm und α = 35° bekannt, stelle zuerst um:
sin(35°) = → h = ≈ 6,97
Die Hypotenuse ist etwa 6,97 cm lang. Sie muss länger sein als die bekannte Kathete.
Hier stehen g, a und h für Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse. In deiner Aufgabe können andere Buchstaben vorkommen. Wähle die Formel nach den Seitenrollen.
Lernschritt 5
Einen Winkel aus Seitenlängen berechnen
Wenn zwei Seiten bekannt sind, kannst du den Winkel mit der passenden Umkehrfunktion bestimmen. Bei Gegenkathete 3 cm und Hypotenuse 5 cm ist sin(α) = = 0,6.
α = arcsin(0,6) ≈ 36,87°
Auf dem Taschenrechner heißt arcsin häufig sin⁻¹. Entsprechend gibt es arccos beziehungsweise cos⁻¹ und arctan beziehungsweise tan⁻¹. Diese Tasten liefern hier den gesuchten spitzen Winkel.
| Bekannte Seiten | Passende Umkehrfunktion |
|---|---|
| Gegenkathete und Hypotenuse | α = arcsin() |
| Ankathete und Hypotenuse | α = arccos() |
| Gegenkathete und Ankathete | α = arctan() |
Stelle den Taschenrechner auf Gradmaß: DEG, nicht RAD. sin⁻¹ bedeutet hier die Umkehrfunktion und nicht . Der zweite spitze Winkel ist β = 90° − α.
Lernschritt 6
Eine Höhe mit Tangens bestimmen
Du stehst auf waagerechtem Boden 12 m von einem senkrechten Gebäude entfernt. Vom Messgerät auf 1,5 m Höhe peilst du das Dach unter einem Höhenwinkel von 35° an. Gesucht ist die Gebäudehöhe.
- Skizziere ein rechtwinkliges Dreieck zwischen waagerechter Visierlinie, Dachkante und Sichtlinie.
- Die Ankathete ist der waagerechte Abstand 12 m. Die Gegenkathete g ist der Höhenunterschied zwischen Messgerät und Dach.
- Verwende tan(35°) = .
- Rechne g = 12 · tan(35°) ≈ 8,40 m.
- Addiere die Gerätehöhe: Gebäudehöhe ≈ 8,40 m + 1,50 m = 9,90 m.
Die Rechnung setzt ebenen Boden und einen senkrechten Gebäudeverlauf voraus. Bei einer anderen Situation musst du die Skizze und die Bezugshöhe entsprechend anpassen.
Lernschritt 7
Die richtige Formel wählen und Ergebnisse prüfen
- Ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben oder in der Figur enthalten?
- Markiere den Bezugswinkel und ordne die Seitenrollen zu.
- Wähle die Funktion mit bekannter und gesuchter Seite.
- Stelle die Gleichung vor dem Einsetzen nach der gesuchten Größe um.
- Rechne im Gradmaß und runde erst das Endergebnis passend zur Aufgabe.
- Prüfe Einheit und Größenordnung.
Bei einer gesuchten Hypotenuse muss das Ergebnis größer als jede Kathete sein. Bei einem gesuchten spitzen Winkel muss es zwischen 0° und 90° liegen. Liegt ein Verhältnis über 1, ist die Zuordnung oder Eingabe falsch.
Wenn zwei Seiten bekannt sind und nur die dritte gesucht wird, ist der Satz des Pythagoras häufig der direkte Weg. Für Winkel oder die Verbindung von Winkel und Seite helfen die trigonometrischen Verhältnisse.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Gegenkathete 6 cm, Hypotenuse 10 cm: Wie groß ist sin(α)?
Lösung und Rechenweg ansehen
sin(α) = = 0,6. Das Verhältnis hat keine Einheit.
Erklärung wiederholen →3 · Hypotenuse 8 cm und α = 30°: Berechne die Gegenkathete.
Lösung und Rechenweg ansehen
g = 8 · sin(30°) = 8 · 0,5 = 4 cm.
Erklärung wiederholen →4 · Ankathete 7 cm und α = 45°: Berechne die Gegenkathete.
Lösung und Rechenweg ansehen
g = 7 · tan(45°) = 7 · 1 = 7 cm.
Erklärung wiederholen →5 · Gegenkathete 3 cm und Ankathete 4 cm: Berechne α.
Lösung und Rechenweg ansehen
α = arctan() ≈ 36,87°. Der Rechner muss auf DEG stehen.
Erklärung wiederholen →6 · Ein spitzer Winkel beträgt 28°. Wie groß ist der andere?
Lösung und Rechenweg ansehen
90° − 28° = 62°, denn zusammen mit dem rechten Winkel ergeben die Innenwinkel 180°.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Kostenlos weiterlernen
Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Sinus, Kosinus und Tangens üben
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Berechnen von Seiten und Winkeln.
Material ansehen →
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Trigonometrie in Sachaufgaben
Übertrage Situationen in eine Skizze und berechne gesuchte Größen. Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen.
Material ansehen →Häufige Fragen
Wann benutze ich Sinus, Kosinus oder Tangens?
Entscheidend sind die bekannten und gesuchten Seiten bezogen auf deinen Winkel. Sinus verbindet Gegenkathete und Hypotenuse, Kosinus Ankathete und Hypotenuse, Tangens die beiden Katheten.
Gelten die Formeln auch in beliebigen Dreiecken?
Die hier verwendeten Seitenverhältnisse gelten direkt im rechtwinkligen Dreieck. Ein anderes Dreieck lässt sich manchmal durch eine Höhe in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen.
Warum zeigt der Taschenrechner einen anderen Wert?
Prüfe zuerst DEG statt RAD, dann Seitenzuordnung und Klammern. Für einen gesuchten Winkel brauchst du die passende Umkehrfunktion.