1 · Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Hypotenuse. Sie ist zugleich die längste Seite.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · etwa 35–50 Minuten
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
Du ordnest die Seiten zum Bezugswinkel zu, berechnest fehlende Seiten und Winkel und löst Höhenaufgaben mit der passenden Bezugshöhe.
Voraussetzungen ansehen
Bruchrechnung, Gleichungen umstellen und Winkelsumme im Dreieck.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Prüfe ein Seitenverhältnis, berechne eine Seite und entscheide über die Seitenrollen.
Zahlen mit Komma oder Punkt und Brüche mit / sind möglich. Runde wie angegeben auf zwei Nachkommastellen. Gib Längen in der gefragten Einheit und Winkel in Grad ein. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete erkennen
Der Bezugswinkel entscheidet
Sinus:
Kosinus:
Tangens:
Die Seitenrollen gehören immer zu einem bestimmten spitzen Winkel.
Wir betrachten rechtwinklige Dreiecke und einen spitzen Winkel α, also 0° < α < 90°. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Gegenkathete liegt gegenüber von α. Die Ankathete liegt an α und ist nicht die Hypotenuse.
Wählst du den anderen spitzen Winkel als Bezugswinkel, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt dieselbe. Deshalb solltest du zuerst den rechten Winkel und danach deinen Bezugswinkel markieren.
Sinus, Kosinus und Tangens verstehen
| Funktion | Seitenverhältnis bezüglich α |
|---|---|
| sin(α) | |
| cos(α) | |
| tan(α) |
Diese Verhältnisse haben keine Einheit. Werden alle Seiten eines Dreiecks beispielsweise verdoppelt, kürzt sich der Faktor 2 in jedem Verhältnis weg. Ähnliche rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel haben deshalb dieselben Werte für Sinus, Kosinus und Tangens.
Für einen spitzen Winkel liegen Sinus und Kosinus zwischen 0 und 1. Tangens kann größer als 1 sein. Außerdem gilt tan(α) = .
Den Winkel verändern und Seitenverhältnisse beobachten
Entdecke: Vergleiche 30°, 45° und 60°. Bei 45° sind beide Katheten gleich lang. Wenn α größer wird, wächst die Gegenkathete, während die Ankathete kürzer wird. Die Hypotenuse bleibt hier 10 Längeneinheiten lang.
Bei 30° ist die Gegenkathete genau halb so lang wie die Hypotenuse: sin(30°) = 0,5. Die angezeigten Dezimalzahlen sind gerundet.
Fehlende Seiten berechnen
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Gegenkathete
h = 10 cm; α = 30°
Beispiel 1 – Gegenkathete gesucht: Die Hypotenuse ist 10 cm lang und α = 30°. Sinus verbindet diese Angaben:
RechnungErklärung zum Schritt
sin(30°) =
g = 10 cm · sin(30°)
2 Umstellen
Multipliziere beide Seiten mit 10 cm.
g = 10 cm · 0,5
3 Winkelwert einsetzen
sin(30°) = 0,5. Stelle den Taschenrechner auf DEG, wenn du ihn verwendest.
g = 5 cm
4 Ergebnis
Die Gegenkathete ist 5 cm lang.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Ankathete
h = 10 cm; α = 30°
Beispiel 2 – Ankathete gesucht: Mit derselben Hypotenuse und demselben Winkel gilt:
RechnungErklärung zum Schritt
cos(30°) =
1 Kosinus wählen
Kosinus verbindet Ankathete und Hypotenuse.
a = 10 cm · cos(30°)
2 Umstellen
Multipliziere beide Seiten mit der Hypotenusenlänge.
a ≈ 8,66 cm
3 Berechnen und runden
Rechne in DEG und runde erst das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. Die Ankathete ist etwa 8,66 cm lang.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Hypotenuse
g = 4 cm; α = 35°
Beispiel 3 – Hypotenuse gesucht: Sind Gegenkathete g = 4 cm und α = 35° bekannt, stelle zuerst um:
RechnungErklärung zum Schritt
sin(35°) =
1 Sinus wählen
Bekannt sind Gegenkathete und Winkel; gesucht ist die Hypotenuse h.
h · sin(35°) = 4 cm
2 Mit h multiplizieren
Multipliziere beide Seiten mit h, damit h nicht mehr im Nenner steht.
h =
3 Durch sin(35°) teilen
So erhältst du h allein. Für den spitzen Winkel ist sin(35°) positiv.
h ≈ 6,97 cm
4 Ergebnis
Rechne in DEG mit dem ungerundeten Sinuswert und runde die Länge erst am Ende.
Die Hypotenuse ist etwa 6,97 cm lang. Sie muss länger sein als die bekannte Kathete. Da sin(35°) zwischen 0 und 1 liegt, wird 4 beim Teilen durch diesen Wert größer.
Hier stehen g, a und h für Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse. In deiner Aufgabe können andere Buchstaben vorkommen. Wähle die Formel nach den Seitenrollen.
Einen Winkel aus Seitenlängen berechnen
Wenn zwei Seiten bekannt sind, kannst du den Winkel mit der passenden Umkehrfunktion bestimmen. Hier sind die Gegenkathete 3 cm und die Hypotenuse 5 cm lang.
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme den Winkel α
g = 3 cm; h = 5 cm
RechnungErklärung zum Schritt
sin(α) =
1 Verhältnis bilden
Verwende Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse.
sin(α) = 0,6
2 Verhältnis berechnen
Die gleichen Längeneinheiten kürzen sich heraus.
α = arcsin(0,6)
3 Umkehrfunktion anwenden
arcsin liefert den gesuchten spitzen Winkel.
α ≈ 36,87°
4 Im Gradmaß auswerten
Stelle den Rechner auf DEG und runde auf zwei Nachkommastellen.
Auf dem Taschenrechner heißt arcsin häufig sin⁻¹. Entsprechend gibt es arccos beziehungsweise cos⁻¹ und arctan beziehungsweise tan⁻¹. Diese Tasten liefern hier den gesuchten spitzen Winkel.
| Bekannte Seiten | Passende Umkehrfunktion |
|---|---|
| Gegenkathete und Hypotenuse | α = arcsin() |
| Ankathete und Hypotenuse | α = arccos() |
| Gegenkathete und Ankathete | α = arctan() |
Stelle den Taschenrechner auf Gradmaß: DEG, nicht RAD. sin⁻¹ bedeutet hier die Umkehrfunktion und nicht . Der zweite spitze Winkel ist β = 90° − α.
Eine Höhe mit Tangens bestimmen
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie hoch ist das Gebäude?
Abstand: 12 m; Winkel: 35°
Gerätehöhe: 1,5 m
Du stehst auf waagerechtem Boden 12 m von einem senkrechten Gebäude entfernt. Vom Messgerät auf 1,5 m Höhe peilst du das Dach unter einem Höhenwinkel von 35° an. Gesucht ist die Gebäudehöhe.
Skizziere zuerst das rechtwinklige Dreieck zwischen waagerechter Visierlinie, Dachkante und Sichtlinie.
RechnungErklärung zum Schritt
a = 12 m
1 Seiten zuordnen
Die Ankathete ist der waagerechte Abstand. Die Gegenkathete g ist der Höhenunterschied vom Messgerät zum Dach.
tan(35°) =
2 Tangens wählen
Tangens verbindet Gegenkathete und Ankathete.
g = 12 m · tan(35°)
3 Nach g umstellen
Multipliziere beide Seiten mit 12 m. Der Höhenunterschied beträgt ungefähr 8,40 m; rechne intern ungerundet weiter.
H = 12 m · tan(35°)
+ 1,50 m
+ 1,50 m
4 Gerätehöhe ergänzen
Zur Höhendifferenz kommt die Höhe des Messgeräts über dem Boden hinzu.
H ≈ 9,90 m
5 Gebäudehöhe angeben
Runde erst das Endergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Die Rechnung setzt ebenen Boden und einen senkrechten Gebäudeverlauf voraus. Bei einer anderen Situation musst du die Skizze und die Bezugshöhe entsprechend anpassen.
Die richtige Formel wählen und Ergebnisse prüfen
- Ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben oder in der Figur enthalten?
- Markiere den Bezugswinkel und ordne die Seitenrollen zu.
- Wähle die Funktion mit bekannter und gesuchter Seite.
- Stelle die Gleichung vor dem Einsetzen nach der gesuchten Größe um.
- Rechne im Gradmaß und runde erst das Endergebnis passend zur Aufgabe.
- Prüfe Einheit und Größenordnung.
Bei einer gesuchten Hypotenuse muss das Ergebnis größer als jede Kathete sein. Bei einem gesuchten spitzen Winkel muss es zwischen 0° und 90° liegen. Liegt ein Verhältnis über 1, ist die Zuordnung oder Eingabe falsch.
Wenn zwei Seiten bekannt sind und nur die dritte gesucht wird, ist der Satz des Pythagoras häufig der direkte Weg. Für Winkel oder die Verbindung von Winkel und Seite helfen die trigonometrischen Verhältnisse.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Verwende DEG für die angegebenen Gradwinkel. Runde erst am Ende und beachte die Einheit in der Aufgabe.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Gegenkathete 6 cm, Hypotenuse 10 cm: Wie groß ist sin(α)?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne sin(α)
g = 6 cm; h = 10 cm
RechnungErklärung zum Schritt
sin(α) =
1 Formel wählen
Sinus verbindet Gegenkathete und Hypotenuse.
sin(α) =
2 Einsetzen
Setze beide Seitenlängen in derselben Einheit ein.
sin(α) = 0,6
3 Ergebnis
Das Verhältnis hat keine Einheit; cm kürzt sich heraus.
3 · Ankathete 6 cm und α = 40°: Berechne die Hypotenuse.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Hypotenuse
a = 6 cm; α = 40°
RechnungErklärung zum Schritt
cos(40°) =
1 Formel wählen
Kosinus verbindet Ankathete und Hypotenuse.
h · cos(40°) = 6 cm
2 Mit h multiplizieren
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit h.
h =
3 Durch cos(40°) teilen
Teile beide Seiten durch den positiven Kosinuswert.
h ≈ 7,83 cm
4 Berechnen und prüfen
Rechne im Gradmaß und runde erst das Ergebnis. 7,83 cm ist länger als die Ankathete von 6 cm.
4 · Ankathete 7 cm und α = 45°: Berechne die Gegenkathete.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Gegenkathete
a = 7 cm; α = 45°
RechnungErklärung zum Schritt
tan(45°) =
1 Tangens wählen
Bekannt ist die Ankathete, gesucht die Gegenkathete.
g = 7 cm · tan(45°)
2 Umstellen
Multipliziere beide Seiten mit 7 cm.
g = 7 cm · 1 = 7 cm
3 Ergebnis
tan(45°) = 1. Beide Katheten sind gleich lang.
5 · Gegenkathete 3 cm und Ankathete 4 cm: Berechne α.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme den Winkel α
g = 3 cm; a = 4 cm
RechnungErklärung zum Schritt
tan(α) =
1 Tangens wählen
Die beiden Katheten sind gegeben.
tan(α) = 0,75
2 Verhältnis berechnen
Die Längeneinheiten kürzen sich heraus.
α = arctan(0,75)
3 Umkehrfunktion nutzen
Verwende arctan beziehungsweise tan⁻¹.
α ≈ 36,87°
4 Ergebnis
Der Rechner muss auf DEG stehen. Runde auf zwei Nachkommastellen.
6 · Ein Messgerät steht 10 m von einem senkrechten Turm entfernt auf 1,6 m Höhe. Der Höhenwinkel zur Spitze beträgt 30°. Wie hoch ist der Turm bei waagerechtem Boden?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Wie hoch ist der Turm?
Abstand: 10 m; Winkel: 30°
Gerätehöhe: 1,6 m
RechnungErklärung zum Schritt
a = 10 m
1 Seiten zuordnen
Die Ankathete ist der waagerechte Abstand. Die Gegenkathete g reicht von der Gerätehöhe zur Turmspitze.
tan(30°) =
2 Tangens wählen
Tangens verbindet die beiden Katheten.
g = 10 m · tan(30°)
3 Umstellen
Multipliziere beide Seiten mit 10 m und rechne in DEG.
H = 10 m · tan(30°)
+ 1,6 m
+ 1,6 m
4 Gerätehöhe ergänzen
Nur g zu berechnen würde die 1,6 m unterhalb der waagerechten Visierlinie auslassen.
H ≈ 7,37 m
5 Turmhöhe angeben
Runde erst das Endergebnis. Der Turm ist etwa 7,37 m hoch.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Bogenmaß und Einheitskreis →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Wann benutze ich Sinus, Kosinus oder Tangens?
Entscheidend sind die bekannten und gesuchten Seiten bezogen auf deinen Winkel. Sinus verbindet Gegenkathete und Hypotenuse, Kosinus Ankathete und Hypotenuse, Tangens die beiden Katheten.
Gelten die Formeln auch in beliebigen Dreiecken?
Die hier verwendeten Seitenverhältnisse gelten direkt im rechtwinkligen Dreieck. Ein anderes Dreieck lässt sich manchmal durch eine Höhe in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen.
Warum zeigt der Taschenrechner einen anderen Wert?
Prüfe zuerst DEG statt RAD, dann Seitenzuordnung und Klammern. Für einen gesuchten Winkel brauchst du die passende Umkehrfunktion.
Sinus verbindet die gesuchte Gegenkathete mit der bekannten Hypotenuse.