1 · Wie viele Symmetrieachsen hat ein Quadrat?
Lösung und Rechenweg ansehen
Vier: die beiden Mittellinien und die beiden Diagonalen.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Symmetrie: verstehen und üben
Erkenne Symmetrieachsen, finde Symmetriezentren und ergänze Figuren. Mit verständlichen Zeichnungen, Falt- und Drehproben, Selbstcheck und kostenlosen Arbeitsblättern.
Die Figur passt auf sich selbst
Falten: Achsensymmetrie.
Halbe Drehung: Punktsymmetrie.
Entscheidend ist, ob die ganze Figur danach wieder genau dieselbe Fläche und denselben Rand einnimmt.
Lernschritt 1
Was bedeutet Symmetrie?
Eine Figur ist bezüglich einer Abbildung symmetrisch, wenn ihr Bild genau auf die ursprüngliche Figur passt. Es reicht nicht, dass beide Figuren gleich groß sind oder ähnlich aussehen.
Du kannst jede Figur spiegeln. Aber nur wenn das Spiegelbild die ursprüngliche Figur vollständig überdeckt, ist die gewählte Achse oder das gewählte Zentrum eine Symmetrieachse beziehungsweise ein Symmetriezentrum.
In den Beispielen betrachten wir die geometrische Form. Bei einem Muster mit Farben, Buchstaben oder Markierungen müssen auch diese bei der Symmetrieprobe zusammenpassen.
Lernschritt 2
Achsensymmetrie: die Faltprobe
Eine Symmetrieachse ist eine Gerade, an der du eine Figur gedanklich falten kannst. Die beiden Seiten passen dabei genau aufeinander. Die Achse darf senkrecht, waagerecht oder schräg verlaufen.
- Zeichne eine vermutete Symmetrieachse ein.
- Wähle einen Punkt außerhalb der Achse und suche seinen Partner auf der anderen Seite.
- Prüfe: Beide haben denselben senkrechten Abstand zur Achse.
- Wiederhole die Prüfung an Ecken und Randstücken der ganzen Figur.
Eine Achse teilt die Figur in zwei spiegelbildliche Teile. Zwei bloß gleich große Flächen genügen nicht.
Probier es selbst: Ist eine Diagonale bei jedem Rechteck eine Symmetrieachse?
Lösung ansehen
Nein. Bei einem Rechteck mit unterschiedlichen Seitenlängen passen die Hälften beim Falten entlang einer Diagonale nicht aufeinander. Beim Quadrat klappt es.
Lernschritt 3
Punktsymmetrie: die halbe Drehung
Eine Figur ist punktsymmetrisch zu Z, wenn sie nach einer Drehung um 180° um Z wieder auf sich selbst passt. Zu jedem Punkt P gehört ein Punkt P′ der Figur, sodass Z der Mittelpunkt von PP′ ist.
Für eine Drehprobe kannst du die Figur auf Transparentpapier abpausen, Z markieren und die Kopie um eine halbe Umdrehung drehen. Rand und Ecken müssen anschließend wieder auf dem Original liegen.
Eine Figur kann punktsymmetrisch sein, ohne eine Symmetrieachse zu haben. Umgekehrt muss eine achsensymmetrische Figur nicht punktsymmetrisch sein.
Lernschritt 4
Welche Figuren haben welche Symmetrie?
| Figur | Anzahl Symmetrieachsen | Punktsymmetrisch? |
|---|---|---|
| Quadrat | 4: zwei Mittellinien, zwei Diagonalen | Ja, zum Mittelpunkt |
| Rechteck, kein Quadrat | 2: die Mittellinien | Ja, zum Mittelpunkt |
| Gleichseitiges Dreieck | 3 | Nein |
| Gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck | 1 | Nein |
| Parallelogramm, weder Rechteck noch Raute | 0 | Ja, zum Diagonalenschnittpunkt |
| Kreis | Unendlich viele: jede Gerade durch den Mittelpunkt | Ja, zum Mittelpunkt |
Beim Dreieck führt eine halbe Drehung nicht wieder zur ursprünglichen Figur. Ein gleichseitiges Dreieck passt jedoch nach 120° und 240° wieder auf sich selbst. Das ist eine andere Drehsymmetrie.
Lernschritt 5
Eine symmetrische Figur ergänzen
An einer Achse ergänzen
Spiegle jede vorhandene Ecke mit gleichem senkrechtem Abstand auf die andere Seite. Punkte auf der Achse bleiben stehen. Verbinde die Bildpunkte passend zur ursprünglichen Figur. Bei gebogenen Rändern reichen nur die Eckpunkte nicht; übertrage auch den Verlauf.
Zu einem Zentrum ergänzen
Zeichne von jeder Ecke eine Gerade durch Z. Trage auf der anderen Seite von Z denselben Abstand ab. Verbinde die erhaltenen Punkte entsprechend.
Probier es selbst: P(3 | 1) soll an der y-Achse ergänzt werden. Wo liegt sein Partner?
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Bei P′(−3 | 1). Für eine Ergänzung zum Zentrum (0 | 0) läge er dagegen bei (−3 | −1).
Lernschritt 6
Drehsymmetrie als nächster Schritt
Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn sie bei einer Drehung um einen Winkel größer als 0° und kleiner als 360° wieder auf sich selbst passt. Die volle Drehung zählt für diese Prüfung nicht, weil sie bei jeder Figur funktioniert.
Ein Quadrat passt nach 90°, 180° und 270° wieder auf sich selbst. Seine kleinste positive passende Drehung beträgt 90°. Ein gleichseitiges Dreieck braucht mindestens 120°. Punktsymmetrie ist der besondere Fall, bei dem 180° eine passende Drehung ist.
Lernschritt 7
Diese Fehler kannst du vermeiden
- Gleich groß mit spiegelbildlich verwechseln: Nutze die Faltprobe oder prüfe Punktpaare.
- Nur senkrechte Achsen suchen: Prüfe auch waagerechte und schräge Richtungen.
- Beim Quadrat zwei Achsen vergessen: Auch die beiden Diagonalen sind Symmetrieachsen.
- Eine volle Drehung als Beweis nehmen: Teste bei Punktsymmetrie genau 180°.
- Nur einzelne Ecken prüfen: Die ganze Figur einschließlich ihres Randes muss passen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Ist jedes Rechteck punktsymmetrisch?
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Ja. Eine halbe Drehung um den Mittelpunkt bildet es auf sich selbst ab.
Erklärung wiederholen →3 · Hat ein gleichseitiges Dreieck ein Symmetriezentrum?
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Nein. Es hat drei Symmetrieachsen und passende Drehungen um 120° und 240°, aber nicht um 180°.
Erklärung wiederholen →4 · Ergänze P(−2 | 3) symmetrisch zur y-Achse.
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P′(2 | 3). Der senkrechte Abstand zur Achse bleibt gleich.
Erklärung wiederholen →5 · Ergänze denselben Punkt punktsymmetrisch zum Ursprung.
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P′(2 | −3). Der Ursprung liegt in der Mitte der Verbindungsstrecke.
Erklärung wiederholen →6 · Reicht eine Teilung in zwei gleich große Flächen als Beweis für eine Symmetrieachse?
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Nein. Die Teile müssen spiegelbildlich sein und beim Falten genau aufeinanderpassen.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Kann eine Figur beide Symmetriearten haben?
Ja. Ein Quadrat ist beispielsweise achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.
Wie finde ich das Zentrum eines Parallelogramms?
Zeichne beide Diagonalen. Ihr Schnittpunkt ist das Symmetriezentrum.
Sind Buchstaben immer symmetrisch?
Das hängt vom Buchstaben und von der konkreten Schriftgestaltung ab. Prüfe die tatsächlich gezeichnete Form.