1 · Welche Voraussetzung brauchen die Verbindungen AC und BD?
Lösung und Rechenweg ansehen
Sie müssen parallel sein. Dann sind die beiden beschriebenen Dreiecke ähnlich.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Strahlensätze: verstehen und üben
Berechne unbekannte Strecken mit ähnlichen Dreiecken. Erkenne parallele Verbindungen, stelle passende Verhältnisse auf und unterscheide ganze Strecken von Teilstrecken.
Entsprechende Strecken vergleichen
Parallelität → ähnliche Dreiecke → gleiche Verhältnisse
Markiere zuerst den gemeinsamen Scheitel S und die beiden parallelen Verbindungen.
Lernschritt 1
Die Strahlensatzfigur erkennen
Zwei Strahlen gehen vom selben Punkt S aus und werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. In unserer Skizze liegen A und B auf dem oberen Strahl, C und D auf dem unteren. AC ist parallel zu BD.
Die Dreiecke SAC und SBD haben dieselben Winkel und sind ähnlich. Deshalb werden alle entsprechenden Seiten mit demselben Faktor vergrößert oder verkleinert.
Die Parallelität muss gegeben oder begründet sein. Dass zwei Linien in einer ungenauen Skizze ungefähr parallel aussehen, genügt nicht. SA, SB und andere Streckenbezeichnungen stehen in den Formeln für positive Längen.
Lernschritt 2
Der erste Strahlensatz
Vergleiche auf beiden Strahlen jeweils die Entfernung vom Scheitel bis zur nahen Parallelen mit der Entfernung bis zur fernen Parallelen:
=
Du darfst auch beide Brüche umkehren. Wichtig ist, dass dieselbe Reihenfolge auf beiden Seiten gilt.
Beispiel: SA = 4 cm, SB = 10 cm und SC = 6 cm. Gesucht ist SD.
=
Multipliziere beide Seiten mit 10 · SD: 4 · SD = 60. Teile anschließend durch 4: SD = 15 cm.
Alternativ erkennst du den Streckfaktor k = = 2,5. Multipliziere SC mit demselben Faktor: SD = 6 · 2,5 = 15 cm.
Lernschritt 3
Der zweite Strahlensatz
Auch die Längen der parallelen Verbindungen stehen im selben Verhältnis wie die entsprechenden Scheitelstrecken:
= =
Beispiel: SA = 3 cm, SB = 9 cm und AC = 4 cm. Der große Abstand BD ist dreimal so groß wie AC.
BD = · 4 cm = 12 cm
Im kleinen Dreieck gehören SA, SC und AC zusammen; im großen SB, SD und BD. Schreibe in deinen Brüchen entweder durchgehend „klein geteilt durch groß“ oder durchgehend „groß geteilt durch klein“.
Lernschritt 4
Ganze Strecken und Teilstrecken unterscheiden
In der V-Figur ist SB die ganze obere Strecke vom Scheitel bis B. AB ist nur das Stück zwischen den Parallelen. Deshalb:
SB = SA + AB und SD = SC + CD
Beispiel: SA = 4 cm, AB = 6 cm und SC = 5 cm. Zuerst berechnest du SB = 10 cm. Daraus folgt SD = 5 · cm = 12,5 cm. Die gesuchte Zwischenstrecke CD wäre dann 12,5 cm − 5 cm = 7,5 cm.
Setze nicht AB an die Stelle von SB, wenn die Formel eine Entfernung vom Scheitel verlangt. Das ist einer der häufigsten Fehler bei Strahlensatzaufgaben.
Es gibt auch gültige Verhältnisse mit Teilstrecken, etwa = in dieser V-Figur. Verwende sie nur, wenn du die Teilstrecken auf beiden Strahlen passend zuordnest.
Lernschritt 5
Die Strahlensätze in der X-Figur
In einer X-Figur liegt der gemeinsame Schnittpunkt S zwischen den beiden parallelen Verbindungen. Die ähnlichen Dreiecke liegen auf gegenüberliegenden Seiten von S.
Für die positive Streckenlängen-Zuordnung unserer Skizze gilt weiterhin:
= =
Aber bei ganzen Verbindungsstrecken musst du anders denken: Hier gilt AB = AS + SB, weil S zwischen A und B liegt. Die V-Figur-Regel SB = SA + AB wäre hier falsch.
Beispiel: SA = 3 cm, SB = 6 cm und AC = 5 cm. Dann ist BD = 10 cm. Der Scheitel liegt zwischen den beiden Dreiecken; ihre Seitenlängen werden trotzdem mit dem Faktor 2 verglichen.
Lernschritt 6
Eine Höhe über Schattenlängen bestimmen
Ein senkrechter Stab ist 1,5 m hoch und wirft einen 2 m langen Schatten. Zur selben Zeit ist der Schatten eines senkrechten Baumes 12 m lang. Wie hoch ist der Baum?
Bei ebenem Boden und derselben Sonnenrichtung sind die entstehenden rechtwinkligen Dreiecke ähnlich. Die Sonnenstrahlen verlaufen näherungsweise parallel. Deshalb ist das Verhältnis aus Höhe und Schattenlänge gleich:
=
Baumhöhe = 12 · m = 9 m
Die Schattenlänge muss von der jeweiligen Basis bis zur Schattenspitze gemessen werden. Die Rechnung setzt voraus, dass Stab und Baum senkrecht stehen und die Bodenflächen passend zur Modellannahme eben sind.
Lernschritt 7
In fünf Schritten zur richtigen Verhältnisgleichung
- Markiere S und die parallelen Verbindungen.
- Zeichne die beiden ähnlichen Dreiecke nach und ordne entsprechende Seiten zu.
- Trage alle bekannten Längen ein und berechne nötige Summen oder Differenzen.
- Stelle ein Verhältnis mit nur einer Unbekannten auf und löse es.
- Prüfe das Ergebnis mit dem Streckfaktor und den Einheiten.
Bei einer V-Figur mit der zweiten Parallelen weiter von S entfernt muss der Faktor vom kleinen zum großen Dreieck größer als 1 sein. Eine größere Scheitelstrecke bei gleichzeitig kleinerer entsprechender Parallelstrecke wäre ein Widerspruch.
Probier es selbst: SA = 5 cm, SB = 8 cm, AC = 2,5 cm. Bestimme BD.
Lösung ansehen
Der Faktor ist = 1,6. Also BD = 2,5 · 1,6 = 4 cm.
Lernschritt 8
Typische Fehler erkennen
- Parallelität vergessen: Ohne diese Voraussetzung ist der Ansatz nicht gesichert.
- Nur einen Bruch umgekehrt: Die Reihenfolge muss auf beiden Seiten stimmen.
- Zwischenstrecke statt Scheitelstrecke benutzt: Berechne die ganze Strecke zuerst.
- V- und X-Figur gleich behandelt: Prüfe, welcher Punkt zwischen welchen anderen liegt.
- Einheiten gemischt: Wandle etwa Zentimeter und Meter vor dem Einsetzen in dieselbe Einheit um.
Die Strahlensätze sind eine Anwendung der Ähnlichkeit. Wenn die Zuordnung schwierig wird, betrachte die beiden Dreiecke einzeln und suche die entsprechenden Winkel und Seiten.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · SA = 2 cm, SB = 6 cm, SC = 4 cm: Berechne SD in der V-Figur.
Lösung und Rechenweg ansehen
Der Faktor ist 3. Daher SD = 12 cm.
Erklärung wiederholen →3 · SA = 4 cm, SB = 10 cm, AC = 6 cm: Berechne BD.
Lösung und Rechenweg ansehen
BD = 6 · cm = 15 cm.
Erklärung wiederholen →4 · SA = 3 cm und AB = 5 cm: Wie lang ist SB in der V-Figur?
Lösung und Rechenweg ansehen
SB = SA + AB = 8 cm.
Erklärung wiederholen →5 · SA = 4 cm, AB = 4 cm, SC = 3 cm: Berechne CD in der V-Figur.
Lösung und Rechenweg ansehen
SB = 8 cm. Der Faktor ist 2, also SD = 6 cm. Damit CD = 6 − 3 = 3 cm.
Erklärung wiederholen →6 · Ein 2 m hoher Stab hat einen 3 m langen Schatten. Der Baumschatten ist 15 m lang. Bestimme die Baumhöhe unter denselben Bedingungen.
Lösung und Rechenweg ansehen
Baumhöhe = 15 · m = 10 m.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Strahlensätze in Anwendungen
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Material ansehen →Häufige Fragen
Muss ein rechter Winkel vorhanden sein?
Nein. Entscheidend sind die gemeinsame Scheitellage und die parallelen Verbindungen. Die entstehenden Dreiecke müssen nicht rechtwinklig sein.
Wie erkenne ich entsprechende Strecken?
Ordne zuerst die Eckpunkte der ähnlichen Dreiecke zu: S zu S, A zu B und C zu D in unseren Skizzen. Dann gehören SA zu SB, SC zu SD und AC zu BD.
Warum entstehen falsche Ergebnisse mit AB statt SB?
AB ist in der V-Figur nur eine Zwischenstrecke. SB misst vom Scheitel bis B und enthält zusätzlich SA. Verhältnisse müssen mit den tatsächlich entsprechenden Strecken gebildet werden.