Finde die passenden Strecken in der Strahlensatzfigur. Prüfe Parallelität, stelle gleiche Verhältnisse auf und unterscheide ganze Scheitelstrecken von Teilstrecken.
Hilfreiches Vorwissen: Ähnlichkeit, Dreisatz, Brüche und Umformen einfacher Gleichungen.
Berechne eine entsprechende Strecke und eine ganze Strecke und prüfe die Parallelitätsvoraussetzung.
Gib Längen in der gefragten Einheit ein. Komma oder Punkt und Brüche mit / sind möglich. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Entsprechende Strecken vergleichen
Parallelität → ähnliche Dreiecke → gleiche Verhältnisse
Markiere zuerst den gemeinsamen Scheitel S und die beiden parallelen Verbindungen.
Zwei Strahlen gehen vom selben Punkt S aus und werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. In unserer Skizze liegen A und B auf dem oberen Strahl, C und D auf dem unteren. AC ist parallel zu BD.
Die Dreiecke SAC und SBD haben dieselben Winkel und sind ähnlich. Deshalb werden alle entsprechenden Seiten mit demselben Faktor vergrößert oder verkleinert.
Die Parallelität muss gegeben oder begründet sein. Dass zwei Linien in einer ungenauen Skizze ungefähr parallel aussehen, genügt nicht. SA, SB und andere Streckenbezeichnungen stehen in den Formeln für positive Längen.
Vergleiche auf beiden Strahlen jeweils die Entfernung vom Scheitel bis zur nahen Parallelen mit der Entfernung bis zur fernen Parallelen:
Die Regel
=
Du darfst auch beide Brüche umkehren. Wichtig ist, dass dieselbe Reihenfolge auf beiden Seiten gilt.
Beispiel – Schritt für Schritt
SA = 4 cm; SB = 10 cm
SC = 6 cm; AC ∥ BD
Beispiel: SA = 4 cm, SB = 10 cm und SC = 6 cm. Gesucht ist SD.
Setze die bekannten Längen ein. SD ist eine positive Länge.
Multipliziere beide Seiten mit 10 cm · SD; beide Nenner sind ungleich null.
Teile durch 4 cm. Die verbleibende Einheit ist cm.
Die Probe bestätigt die übereinstimmenden Verhältnisse.
Beispiel – Schritt für Schritt
SA = 4 cm; SB = 10 cm
SC = 6 cm; AC ∥ BD
Bestimme den Faktor vom kleinen zum großen Dreieck. Die zugehörigen Längen haben dieselbe Einheit.
Vergrößere die entsprechende Scheitelstrecke SC mit demselben Faktor.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die zweite Parallele liegt auf beiden Strahlen dreimal so weit von S entfernt.
Probe: SA / SB = 3/9 = 1/3 und SC / SD = 4/12 = 1/3.
Auch die Längen der parallelen Verbindungen stehen im selben Verhältnis wie die entsprechenden Scheitelstrecken:
Die Regel
= =
Beispiel – Schritt für Schritt
SA = 3 cm; SB = 9 cm
AC = 4 cm; AC ∥ BD
Beispiel: SA = 3 cm, SB = 9 cm und AC = 4 cm. Der große Abstand BD ist dreimal so groß wie AC.
Die parallelen Verbindungen sichern die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke.
Berechne groß durch klein.
Übertrage den Faktor auf die entsprechende Parallelstrecke.
Im kleinen Dreieck gehören SA, SC und AC zusammen; im großen SB, SD und BD. Schreibe in deinen Brüchen entweder durchgehend „klein geteilt durch groß“ oder durchgehend „groß geteilt durch klein“.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Das ist der Faktor vom kleineren zum größeren Dreieck.
BD gehört zum größeren Dreieck. Für die kleinere Parallelstrecke brauchst du den Rückweg.
In der V-Figur ist SB die ganze obere Strecke vom Scheitel bis B. AB ist nur das Stück zwischen den Parallelen. Deshalb:
Die Regel
SB = SA + AB und SD = SC + CD
Beispiel – Schritt für Schritt
V-Figur: SA = 4 cm; AB = 6 cm
SC = 5 cm; AC ∥ BD
In der V-Figur liegt A zwischen S und B. Ergänze zuerst die Scheitelstrecke; AB allein wäre falsch.
Unter AC ∥ BD ist dies der Faktor vom kleinen zum großen Dreieck.
Berechne zunächst die gesamte Strecke vom Scheitel bis D.
C liegt zwischen S und D. Ziehe die nahe Scheitelstrecke ab, um die gesuchte Zwischenstrecke zu erhalten.
Setze nicht AB an die Stelle von SB, wenn die Formel eine Entfernung vom Scheitel verlangt. Das ist einer der häufigsten Fehler bei Strahlensatzaufgaben.
Es gibt auch gültige Verhältnisse mit Teilstrecken, etwa = in dieser V-Figur. Verwende sie nur, wenn du die Teilstrecken auf beiden Strahlen passend zuordnest.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
AB ist nur das Teilstück zwischen den Parallelen; im Strahlensatz brauchst du hier die ganze Strecke vom Scheitel.
Verwende auf beiden Strahlen denselben Faktor 10/4.
Die gesuchte Zwischenstrecke beginnt bei C, nicht bei S.
In einer X-Figur liegt der gemeinsame Schnittpunkt S zwischen den beiden parallelen Verbindungen. Die ähnlichen Dreiecke liegen auf gegenüberliegenden Seiten von S.
Für die positive Streckenlängen-Zuordnung unserer Skizze gilt weiterhin:
Die Regel
= =
Aber bei ganzen Verbindungsstrecken musst du anders denken: Hier gilt AB = AS + SB, weil S zwischen A und B liegt. Die V-Figur-Regel SB = SA + AB wäre hier falsch.
Beispiel – Schritt für Schritt
X-Figur: SA = 3 cm; SB = 6 cm
AC = 5 cm; AC ∥ BD
In der X-Figur liegen die ähnlichen Dreiecke auf gegenüberliegenden Seiten von S; AC ∥ BD ist vorausgesetzt.
Verwende positive Streckenlängen und die Zuordnung SA ↔ SB, AC ↔ BD.
Der entsprechende Seitenlängenfaktor ist 2, unabhängig von der gegenüberliegenden Lage.
Für die ganze Verbindung AB addierst du die beiden Abstände von S. Die Summenregel unterscheidet sich von der V-Figur.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
In der X-Figur besteht AB aus AS und SB. Die Addition SB = SA + AB wäre falsch.
Die entsprechenden Seiten sind SA ↔ SB und AC ↔ BD. Verwende positive Streckenlängen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Stab: 1,5 m; Schatten: 2 m
Baumschatten: 12 m
Ein senkrechter Stab ist 1,5 m hoch und wirft einen 2 m langen Schatten. Zur selben Zeit ist der Schatten eines senkrechten Baumes 12 m lang. Wie hoch ist der Baum?
Bei ebenem Boden und derselben Sonnenrichtung sind die entstehenden rechtwinkligen Dreiecke ähnlich. Die Sonnenstrahlen verlaufen näherungsweise parallel. Deshalb ist das Verhältnis aus Höhe und Schattenlänge gleich:
Im Modell stehen beide auf waagerechtem, ebenem Boden; die Schatten entstehen zur selben Zeit bei gleicher Sonnenrichtung. Die Sonnenstrahlen werden näherungsweise als parallel angenommen.
Ordne Höhe zu Höhe und Schatten zu Schatten. Alle Längen sind in Metern angegeben.
Multipliziere die Verhältnisgleichung mit 12 m.
Im idealisierten Modell beträgt die Baumhöhe 9 m. Bei gemessenen Schatten ist das ein entsprechend genauer Näherungswert.
Die Schattenlänge muss von der jeweiligen Basis bis zur Schattenspitze gemessen werden. Die Rechnung setzt voraus, dass Stab und Baum senkrecht stehen und die Bodenflächen passend zur Modellannahme eben sind.
Bei einer V-Figur mit der zweiten Parallelen weiter von S entfernt muss der Faktor vom kleinen zum großen Dreieck größer als 1 sein. Eine größere Scheitelstrecke bei gleichzeitig kleinerer entsprechender Parallelstrecke wäre ein Widerspruch.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Lösung – Schritt für Schritt
SA = 5 cm; SB = 8 cm
AC = 2,5 cm; AC ∥ BD
Verwende die Parallelität der beschriebenen Strahlensatzfigur.
Berechne den Faktor vom kleinen zum großen Dreieck.
Wende denselben Faktor auf die entsprechende Parallelstrecke an.
Die Strahlensätze sind eine Anwendung der Ähnlichkeit. Wenn die Zuordnung schwierig wird, betrachte die beiden Dreiecke einzeln und suche die entsprechenden Winkel und Seiten.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Wähle V- oder X-Figur, die gesuchte Strecke und ob SB oder AB vorliegt. Die beschriftete Skizze hilft beim Zuordnen. AC und BD müssen parallel sein; alle Angaben brauchen dieselbe Einheit.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
Scheitel S
Verbindungen AC und BD
Die Verbindungen müssen parallel sein. Das muss gegeben oder begründet sein; der Eindruck einer Skizze genügt nicht.
Mit der beschriebenen gemeinsamen Scheitellage entstehen gleiche entsprechende Winkel. Daher sind die Dreiecke ähnlich und passende Seitenverhältnisse gleich.
Lösung – Schritt für Schritt
V-Figur: SA = 2 cm; SB = 6 cm
SC = 4 cm; AC ∥ BD
Die V-Figur erfüllt die Voraussetzung der Strahlensätze.
Vergleiche die vollständigen Scheitelstrecken.
Übertrage den Faktor auf den anderen Strahl.
Lösung – Schritt für Schritt
SA = 4 cm; SB = 10 cm
AC = 6 cm; AC ∥ BD
Bei parallelen Verbindungen ist dies der Faktor vom kleinen zum großen Dreieck.
Ordne die Parallelstrecke AC der Parallelstrecke BD zu.
Lösung – Schritt für Schritt
V-Figur: SA = 3 cm; AB = 5 cm
In der V-Figur liegt A zwischen S und B.
Addiere die beiden aneinander anschließenden Teilstrecken. Für diese Streckensumme allein ist keine Verhältnisrechnung nötig.
Lösung – Schritt für Schritt
V-Figur: SA = 4 cm; AB = 4 cm
SC = 3 cm; AC ∥ BD
Ergänze in der V-Figur zuerst die ganze Scheitelstrecke.
Nutze die vorausgesetzte Parallelität.
Berechne die ganze Strecke auf dem anderen Strahl.
Ziehe das nahe Stück ab. Gesucht ist die Zwischenstrecke, nicht SD.
Lösung – Schritt für Schritt
Stab: 2 m; Schatten: 3 m
Baumschatten: 15 m
Unter denselben Modellbedingungen wie oben sind die Dreiecke ähnlich: senkrechte Objekte auf waagerechtem Boden, gleiche Sonnenrichtung und näherungsweise parallele Sonnenstrahlen.
Übertrage den Schattenlängenfaktor auf die Höhe.
Die Probe bestätigt das gleiche Verhältnis von Höhe zu Schattenlänge. Die Modellrechnung ergibt 10 m; Messungen haben begrenzte Genauigkeit.
Dein nächster Schritt
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Zuordnen und Berechnen von Streckenverhältnissen.
Material ansehen →
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen für den Transfer auf Anwendungsaufgaben.
Material ansehen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Entscheidend sind die gemeinsame Scheitellage und die parallelen Verbindungen. Die entstehenden Dreiecke müssen nicht rechtwinklig sein.
Ordne zuerst die Eckpunkte der ähnlichen Dreiecke zu: S zu S, A zu B und C zu D in unseren Skizzen. Dann gehören SA zu SB, SC zu SD und AC zu BD.
AB ist in der V-Figur nur eine Zwischenstrecke. SB misst vom Scheitel bis B und enthält zusätzlich SA. Verhältnisse müssen mit den tatsächlich entsprechenden Strecken gebildet werden.
Passende Materialien zum Thema „Strahlensätze“. Wähle aus, was dir beim Üben und Wiederholen hilft.
Diese Materialien ergänzen die Erklärung und unterstützen dich beim Üben und Nachschlagen.
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →Optionale Ergänzungen zum Üben und Nachschlagen. Klassenstufe und Umfang findest du beim jeweiligen Produkt.
Preise inkl. MwSt. Downloads erhältst du per E-Mail, gedruckte Materialien per Post. Ggf. zzgl. Versandkosten.
AC ∥ BD ist vorausgesetzt. Vergleiche auf beiden Strahlen nahe durch ferne Scheitelstrecke.