1 · Ist ein Bauch immer maximal ausgelenkt?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Dort ist die Schwingungsamplitude maximal. Momentan kann der Bauch auch durch die Ruhelage gehen.
Erklärung wiederholen →Physik · Schwingungen und Wellen
Stehende Wellen: verstehen und üben
Warum bleiben manche Punkte einer schwingenden Saite ruhig? Entdecke Knoten und Bäuche, vergleiche Eigenschwingungen und berechne Wellenlängen sowie Frequenzen einer eingespannten Saite.
Das Muster steht – die Saite schwingt
fn =
Für eine ideale Saite mit zwei festen Enden passen ganzzahlige Vielfache einer halben Wellenlänge auf die Länge L. Die Randbedingungen bestimmen die erlaubten Eigenschwingungen.
Lernschritt 1
Wie entsteht eine stehende Welle?
Zwei gleichartige Wellen laufen in entgegengesetzte Richtungen. Stimmen Frequenz, Wellenlänge und Amplitude überein, kann ihre Überlagerung ein Muster mit ortsfesten Knoten und Bäuchen bilden: eine stehende Welle.
Auf einer Saite entstehen gegenläufige Beiträge beispielsweise durch Reflexion an einem Ende. Die hinlaufende und die zurücklaufende Welle überlagern sich. Bei geeigneter Anregung und passenden Randbedingungen wird eine Eigenschwingung sichtbar.
„Stehend“ bedeutet nicht, dass die Saite überall stillsteht. Viele Punkte schwingen auf und ab. Nur das räumliche Muster der maximalen Amplituden wandert nicht über die Saite.
Lernschritt 2
Knoten und Bäuche richtig unterscheiden
Ein Knoten ist ein Ort, an dem die Auslenkung bei der idealen stehenden Welle zu allen Zeiten null bleibt. Ein Bauch ist ein Ort mit maximaler Schwingungsamplitude.
Zwischen zwei benachbarten Knoten liegt ein Bauch. Der Knotenabstand beträgt λ/2. Von einem Knoten zum unmittelbar benachbarten Bauch ist es λ/4.
Ein Bauch kann gerade die Ruhelage durchqueren. Dann ist seine momentane Auslenkung null, seine Amplitude bleibt aber maximal. Deshalb erkennst du Knoten nicht zuverlässig an einem einzigen Foto, auf dem die ganze Saite gerade durch die Ruhelage läuft.
Knoten werden über den zeitlichen Verlauf definiert: Sie bleiben ruhig. Ein momentaner Nulldurchgang allein macht einen Punkt noch nicht zum Knoten.
Lernschritt 3
Ausprobieren: Grundschwingung oder zweite Eigenschwingung?
In der Grundschwingung sind die beiden festen Enden Knoten. Dazwischen liegt genau ein Bauch. Auf die Länge L passt eine halbe Wellenlänge, also λ₁ = 2L.
In der zweiten Eigenschwingung kommt in der Mitte ein weiterer Knoten hinzu. Es gibt zwei Bäuche. Nun passt eine ganze Wellenlänge auf die Saite, also λ₂ = L. Bei gleicher Wellengeschwindigkeit ist die Frequenz doppelt so groß.
Die durchgezogene und die gestrichelte Linie stellen zwei Zustände derselben Schwingung dar, die eine halbe Periode auseinanderliegen. Sie sind nicht zwei verschiedene Saiten und werden nicht als zusätzliche Wellen addiert.
Lernschritt 4
Die erlaubten Frequenzen einer festen Saite herleiten
An beiden Enden muss die Auslenkung immer null sein. Daher passen nur ganze Anzahlen von halben Wellenlängen auf die Saitenlänge:
L = n · mit n = 1, 2, 3, …
λn = und fn =
n ist die Nummer der Eigenschwingung. Bei n = 1 sprechen wir von der Grundschwingung. Die zweite Eigenschwingung ist die zweite Harmonische und zugleich der erste Oberton.
Für die ideale Saite mit näherungsweise frequenzunabhängiger Wellengeschwindigkeit v sind die Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz. Die dritte Eigenschwingung hat drei Bäuche und insgesamt vier Knoten einschließlich der beiden Enden.
Lernschritt 5
Wellenlänge und Frequenz vollständig berechnen
Eine Saite ist L = 0,80 m lang. Die Wellengeschwindigkeit auf ihr beträgt v = 120 Meter pro Sekunde. Beide Enden sind fest.
λ₁ = 2 · 0,80 m = 1,60 m
f₁ = = 75 Hz
Für die zweite Eigenschwingung gilt λ₂ = 0,80 m und f₂ = 150 Hz. Für die dritte gilt λ₃ ≈ 0,533 m und f₃ = 225 Hz.
Die Wellengeschwindigkeit ist nicht die Geschwindigkeit, mit der ein einzelner Saitenpunkt auf und ab schwingt. Sie beschreibt die Ausbreitung einer Störung entlang der Saite. Obwohl das stehende Muster nicht wandert, ist v weiterhin die Geschwindigkeit der zugrunde liegenden laufenden Wellen.
Umkehrung: Sind L = 0,80 m und f₁ = 75 Hz gemessen, folgt v = 2L · f₁ = 120 Meter pro Sekunde.
Lernschritt 6
Aus Knotenabständen auf die Welle schließen
Benachbarte Knoten liegen 15 cm auseinander. Dann ist λ/2 = 15 cm und damit λ = 30 cm = 0,30 m. Bei f = 200 Hz folgt v = λ · f = 60 Meter pro Sekunde.
Wird stattdessen der Abstand von einem Knoten zum unmittelbar nächsten Bauch mit 15 cm angegeben, gilt λ/4 = 15 cm. Dann ist λ = 60 cm und bei derselben Frequenz v = 120 Meter pro Sekunde.
Die Zahl 15 cm reicht ohne die Beschreibung der beiden Messpunkte also nicht aus. Markiere zuerst Knoten und Bäuche in der Skizze und entscheide dann, welcher Bruchteil von λ gemessen wurde.
Lernschritt 7
Was hat Resonanz mit stehenden Wellen zu tun?
Wird ein System periodisch nahe einer seiner Eigenfrequenzen angeregt, kann es besonders stark reagieren. Diese Erscheinung heißt Resonanz. Die anregende Bewegung führt dem System passend zum Schwingungsablauf Energie zu.
Auf einer angetriebenen Saite lassen sich dadurch bestimmte Eigenschwingungen deutlich aufbauen. Die Amplitude wächst real nicht unbegrenzt: Dämpfung und die Art der Anregung begrenzen sie. Außerdem muss die Anregung zur jeweiligen Schwingungsform passen.
Bei gleicher Saitenspannung und gleichem Materialzustand sinkt die Grundfrequenz bei größerer Länge. Eine Verdopplung von L halbiert f₁, sofern v unverändert bleibt. Beim Ändern der Spannung verändert sich dagegen auch v; dann reicht ein reiner Längenvergleich nicht mehr.
Lernschritt 8
Warum die Randbedingungen entscheidend sind
Die Formel fn = n · v/(2L) gehört zur hier betrachteten Saite mit zwei festen Enden. Sie ist keine universelle Formel für jedes Rohr oder jedes schwingende System.
Bei einem festen und einem ideal freien Ende besitzt die Auslenkung am festen Ende einen Knoten und am freien einen Bauch. Die Grundschwingung enthält dann eine Viertelwellenlänge: λ₁ = 4L. Es ergeben sich im einfachen Modell andere erlaubte Frequenzen.
Bei stehenden Schallwellen in Rohren muss man zusätzlich sagen, welche Größe gezeichnet wird. Ein Druckknoten liegt dort, wo eine Auslenkungs- beziehungsweise Schallschnelle-Amplitude maximal sein kann. „Am offenen Ende ist ein Knoten“ bleibt ohne Angabe der Größe unvollständig.
Diese Seite verwendet die seitliche Auslenkung einer Saite. Für Luftsäulen braucht es eine eigene Erklärung der Druck- und Bewegungsgrößen.
Lernschritt 9
Bewegung und Energie einer stehenden Welle
Bei einer idealen stehenden Welle aus zwei gleich starken gegenläufigen Wellen verschwindet der zeitlich gemittelte Nettoenergietransport längs der Saite. Trotzdem besitzt die Saite Energie und schwingt.
Bewegungsenergie und elastische Energie verändern sich während der Schwingung. Im Nulldurchgang kann die ganze Saite momentan gerade aussehen und sich dennoch bewegen. Eine gerade Linie bedeutet deshalb nicht automatisch „keine Welle“.
Für eine reale angetriebene Saite wird weiterhin Energie zugeführt, um Verluste auszugleichen. Die ideale Aussage zum Nettoenergietransport darf nicht als Behauptung verstanden werden, der Antrieb brauche grundsätzlich keine Leistung.
Für den Unterricht: Zwei Momentaufnahmen mit entgegengesetzten Auslenkungen vergleichen und die unveränderten Punkte markieren lassen. Anschließend die Grundschwingung aus den festen Enden herleiten. Erst danach die Frequenzformel einführen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Benachbarte Knoten liegen 20 cm auseinander. Wie groß ist λ?
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λ = 40 cm. Der Abstand benachbarter Knoten beträgt eine halbe Wellenlänge.
Erklärung wiederholen →3 · Eine beidseitig feste Saite hat L = 1,0 m und v = 100 Meter pro Sekunde. Bestimme f₁.
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f₁ = v/(2L) = 100 geteilt durch 2 Hz = 50 Hz.
Erklärung wiederholen →4 · Wie viele Bäuche besitzt die dritte Eigenschwingung einer Saite mit festen Enden?
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Drei Bäuche und vier Knoten einschließlich beider Enden.
Erklärung wiederholen →5 · Die Länge verdoppelt sich bei unverändertem v. Was geschieht mit f₁?
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Die Grundfrequenz halbiert sich, weil f₁ umgekehrt proportional zur Länge ist.
Erklärung wiederholen →6 · Kann dieselbe Frequenzformel ohne Prüfung auf ein Rohr mit einem offenen Ende übertragen werden?
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Nein. Randbedingungen und betrachtete Größe müssen zuerst geklärt werden. Druck und Teilchenbewegung besitzen unterschiedliche Knotenlagen.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Warum heißt die Welle stehend, obwohl sich die Saite bewegt?
Die Orte von Knoten und Bäuchen bleiben fest. Die Saitenpunkte zwischen den Knoten schwingen trotzdem.
Ist die zweite Eigenschwingung der zweite Oberton?
Nein. Sie ist die zweite Harmonische und der erste Oberton. Die Grundschwingung wird beim Zählen der Obertöne nicht mitgezählt.
Ist eine stehende Welle energielos?
Nein. Das System besitzt Bewegungs- und elastische Energie. Im idealen gleichstarken Gegenwellenmodell ist nur der zeitlich gemittelte Nettoenergietransport null.