1 · Welche Seite gehört im Sinussatz zum Winkel β?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die gegenüberliegende Seite b.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Sinussatz und Kosinussatz: verstehen und üben
Berechne Seiten und Winkel in beliebigen Dreiecken. Entscheide zwischen Sinussatz und Kosinussatz, ordne Angaben richtig zu und erkenne mögliche doppelte Lösungen.
Auch ohne rechten Winkel rechnen
Sinussatz: gegenüberliegende Paare
Kosinussatz: Seiten und eingeschlossener Winkel
Eine beschriftete Skizze zeigt dir, welche Formel zu den Angaben passt.
Lernschritt 1
Seiten und gegenüberliegende Winkel zuordnen
In einem Dreieck ABC heißen die Winkel bei A, B und C häufig α, β und γ. Die zugehörigen Seiten a, b und c liegen jeweils gegenüber vom gleichnamigen Winkel.
Diese Zuordnung gilt unabhängig davon, wie das Dreieck gedreht ist. Der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber. Außerdem gilt immer α + β + γ = 180°.
Auf dieser Seite sind Winkel im Gradmaß angegeben. Stelle den Taschenrechner auf DEG. Für die Seitenverhältnisse sin(α) = Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse brauchst du ein rechtwinkliges Dreieck; Sinussatz und Kosinussatz gelten dagegen für jedes nicht entartete Dreieck.
Lernschritt 2
Welche Formel passt zu den Angaben?
| Bekannt | Günstiger Einstieg |
|---|---|
| Eine Seite und zwei Winkel | Dritten Winkel berechnen, dann Sinussatz |
| Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel | Kosinussatz für die dritte Seite |
| Drei Seiten | Kosinussatz für einen Winkel |
| Zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel | Sinussatz; mögliche zweite Lösung prüfen |
Ein vollständiges gegenüberliegendes Paar bedeutet zum Beispiel: a und α sind beide bekannt. Dieses Paar ist der Anker für den Sinussatz. Beim Kosinussatz für c steht γ zwischen den bekannten Seiten a und b.
Lernschritt 3
Den Sinussatz anwenden
= =
Wähle die beiden Brüche, die zu den bekannten und gesuchten Größen passen. Wenn du b suchst und a, α und β kennst, stellst du um:
b =
Beispiel: a = 8 cm, α = 30° und β = 45°. Der dritte Winkel ist γ = 105°.
b = cm ≈ 11,31 cm
Weil β größer als α ist, muss b größer als a sein. Das Ergebnis passt. Wenn du anschließend c berechnest, verwende möglichst die ursprünglichen Angaben und keine gerundete Zwischenlösung.
Lernschritt 4
Mit dem Sinussatz einen Winkel berechnen
Sind a, b und α gegeben, erhältst du:
sin(β) =
Die Umkehrfunktion arcsin liefert zunächst einen Winkel. Auf vielen Taschenrechnern heißt sie sin⁻¹. Im Dreieck ist zusätzlich zu prüfen, ob der Ergänzungswinkel 180° − β ebenfalls möglich ist.
Beispiel mit zwei Lösungen: a = 5 cm, b = 8 cm und α = 30°. Dann gilt sin(β) = 0,8.
| Möglichkeit | β | γ = 180° − α − β |
|---|---|---|
| 1 | etwa 53,13° | etwa 96,87° |
| 2 | etwa 126,87° | etwa 23,13° |
Beide dritten Winkel sind positiv. Deshalb sind hier zwei verschiedene Dreiecke möglich. Wenn der zweite Kandidat mit α zusammen mindestens 180° ergibt, entfällt er. Bei β = 90° fallen beide Kandidaten zusammen.
Ergibt die Rechnung einen Sinuswert größer als 1, passen die Angaben nicht zu einem Dreieck. Ein negativer oder 0 großer Innenwinkel ist ebenfalls nicht zulässig. Verlasse dich bei diesem Fall nicht allein auf die eine Anzeige der arcsin-Taste.
Lernschritt 5
Mit dem Kosinussatz eine Seite berechnen
c² = a² + b² − 2ab · cos(γ)
γ ist der Winkel zwischen den Seiten a und b. Die gesuchte Seite c liegt ihm gegenüber. Entsprechend gelten a² = b² + c² − 2bc · cos(α) und b² = a² + c² − 2ac · cos(β).
Beispiel: a = 5 cm, b = 8 cm und γ = 60°.
- Setze ein: c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos(60°).
- Rechne cos(60°) = 0,5.
- Fasse zusammen: c² = 25 + 64 − 40 = 49.
- Ziehe die positive Wurzel: c = 7 cm.
Bei γ = 90° ist cos(γ) = 0. Dann bleibt c² = a² + b² übrig: Der Satz des Pythagoras ist ein besonderer Fall des Kosinussatzes.
Lernschritt 6
Aus drei Seiten einen Winkel bestimmen
Stelle den Kosinussatz nach dem Kosinus des gesuchten Winkels um:
cos(γ) =
Beispiel: a = 7 cm, b = 8 cm und c = 9 cm. Dann ist:
cos(γ) = =
Mit arccos erhältst du γ ≈ 73,40°. Anders als beim Sinus liefert der Kosinus im Innenwinkelbereich zwischen 0° und 180° genau einen passenden Winkel.
Prüfe vor dem Rechnen die Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss jeweils größer als die dritte Seite sein. Angaben wie 2 cm, 3 cm und 6 cm ergeben kein Dreieck.
Lernschritt 7
Den Flächeninhalt mit zwei Seiten und Winkel berechnen
Wenn du zwei Seiten und ihren eingeschlossenen Winkel kennst, lässt sich auch die Fläche berechnen:
A = · a · b · sin(γ)
Die Formel folgt aus „Grundseite mal Höhe geteilt durch 2“: Zur Grundseite a gehört hier die Höhe b · sin(γ).
Beispiel: a = 6 cm, b = 8 cm und γ = 30°. Dann ist A = 0,5 · 6 · 8 · 0,5 = 12 cm².
Bei Seitenlängen steht am Ende beispielsweise cm, beim Flächeninhalt cm². Der eingesetzte Winkel muss zwischen den beiden verwendeten Seiten liegen.
Lernschritt 8
Rechenweg und Ergebnis prüfen
- Zeichne eine Skizze und trage Seiten-Winkel-Paare ein.
- Prüfe, ob die Angaben überhaupt zu einem Dreieck passen.
- Wähle die Formel und stelle nach der gesuchten Größe um.
- Rechne im Gradmaß und runde erst am Ende.
- Prüfe bei der Winkelberechnung mit Sinus eine mögliche zweite Lösung.
- Kontrolliere Winkelsumme und Größenordnung: größte Seite gegenüber größtem Winkel.
Ein fehlender rechter Winkel ist kein Hindernis: Die beiden Sätze sind gerade dafür gedacht, allgemeine Dreiecke zu berechnen. Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind Pythagoras oder die einfachen trigonometrischen Seitenverhältnisse häufig kürzer.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · α = 40° und β = 65°: Bestimme γ.
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γ = 180° − 40° − 65° = 75°.
Erklärung wiederholen →3 · a = 6 cm, α = 30°, β = 90°: Berechne b.
Lösung und Rechenweg ansehen
b = cm = 12 cm.
Erklärung wiederholen →4 · a = 3 cm, b = 4 cm, γ = 60°: Berechne c.
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c² = 9 + 16 − 24 · 0,5 = 13. Also c = √13 cm ≈ 3,61 cm.
Erklärung wiederholen →5 · Warum kann arcsin allein beim Sinussatz unvollständig sein?
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Weil sin(β) = sin(180° − β). Beide Winkel können mit den übrigen Angaben ein Dreieck bilden. Die Winkelsumme entscheidet mit.
Erklärung wiederholen →6 · a = 5 cm, b = 6 cm, γ = 90°: Berechne die Fläche.
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A = 0,5 · 5 · 6 · sin(90°) = 15 cm².
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Vorwissen: Trigonometrie im Dreieck
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck. Als Wiederholung; Sinussatz und Kosinussatz übst du im Selbstcheck dieser Seite.
Material ansehen →Häufige Fragen
Gelten Sinussatz und Kosinussatz nur bei 90°?
Nein. Beide gelten in jedem nicht entarteten Dreieck. Die gewohnten Seiten-Winkel-Zuordnungen müssen stimmen.
Wann gibt es beim Sinussatz zwei Lösungen?
Bei bestimmten Angaben aus zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel können sowohl β als auch 180° − β passen. Prüfe beide mit der Winkelsumme.
Welchen Satz nutze ich bei drei gegebenen Seiten?
Beginne mit dem Kosinussatz für einen Winkel. Prüfe davor die Dreiecksungleichung.