1 · Bestimme sin(0) und cos(0).
Lösung und Rechenweg ansehen
sin(0) = 0 und cos(0) = 1.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 10–11 · Grundlagen und Wiederholung
Sinus- und Kosinusfunktionen: verstehen und üben
Verstehe die Graphen von Sinus und Kosinus. Bestimme Amplitude, Periode und Verschiebungen und löse einfache trigonometrische Gleichungen. Mit Beispielen und kostenlosen Materialien.
Regelmäßig wiederkehrende Werte
f(x) = sin(x)
g(x) = cos(x)
Beide Grundfunktionen haben die Amplitude 1 und die Periode 2π im Bogenmaß.
Lernschritt 1
Sinus und Kosinus als Funktionen
Sinus und Kosinus ordnen jedem Winkel eine Zahl zwischen −1 und 1 zu. Auf dem Einheitskreis ist der Kosinus die x-Koordinate eines Kreispunkts und der Sinus seine y-Koordinate. Beim Umlaufen des Kreises wiederholen sich die Werte nach einer vollen Umdrehung.
Für Funktionsgleichungen verwenden wir auf dieser Seite das Bogenmaß. Eine volle Umdrehung entspricht 2π, ein rechter Winkel . Der Definitionsbereich der Grundfunktionen ist ganz ℝ, der Wertebereich ist [−1; 1].
Steht ein Winkel mit Gradzeichen da, rechnest du im Gradmaß. Für sin(x) mit x im Bogenmaß muss der Taschenrechner auf RAD stehen. Für sin(30°) brauchst du DEG.
Lernschritt 2
Wichtige Werte und Eigenschaften
| x im Bogenmaß | Gradmaß | sin(x) | cos(x) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 0 | 1 |
| 90° | 1 | 0 | |
| π | 180° | 0 | −1 |
| 270° | −1 | 0 | |
| 2π | 360° | 0 | 1 |
Die Sinuskurve startet bei (0 | 0) und steigt zunächst an. Die Kosinuskurve startet bei (0 | 1). Beide haben dieselbe Form, aber eine andere Lage entlang der x-Achse.
cos(x) = sin(x + )
Der Kosinusgraph entsteht aus dem Sinusgraphen durch Verschiebung um nach links. Die Grundfunktion Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung: sin(−x) = −sin(x). Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse: cos(−x) = cos(x).
Lernschritt 3
Amplitude und Mittellinie bestimmen
Bei f(x) = a · sin(x) + d bestimmt |a| die Amplitude. Sie ist der Abstand von der Mittellinie y = d zum höchsten oder tiefsten Punkt.
Amplitude A = |a|
Der höchste Wert ist d + |a|, der niedrigste d − |a|. Ein negatives a spiegelt die Schwingung an ihrer Mittellinie, ändert aber nicht die positive Amplitude.
Beispiel: f(x) = −3sin(x) + 2 hat die Amplitude 3 und die Mittellinie y = 2. Der Wertebereich ist [−1; 5]. Der Abstand zwischen Minimum und Maximum ist 6, also doppelt so groß wie die Amplitude.
Probier es selbst: Welche Amplitude und Mittellinie hat f(x) = 2sin(x) − 4?
Lösung ansehen
Amplitude 2; Mittellinie y = −4. Minimum −6, Maximum −2.
Lernschritt 4
Die Periode aus dem Faktor b berechnen
Bei f(x) = a · sin(bx) + d mit a ≠ 0 und b ≠ 0 verändert b die Länge einer vollständigen Schwingung. Im Bogenmaß gilt:
T =
| Funktion | Periode | Vergleich zur Grundfunktion |
|---|---|---|
| sin(2x) | π | doppelt so viele Schwingungen auf derselben Strecke |
| sin(0,5x) | 4π | halb so viele Schwingungen auf derselben Strecke |
| sin(−3x) | kürzere Periode; zusätzlich Vorzeichenwirkung |
Wenn die Argumente ausdrücklich im Gradmaß angegeben sind, steht entsprechend 360° statt 2π im Zähler. Bei a = 0 oder b = 0 ist die Funktion konstant; dann gibt es keine kleinste positive Schwingungsperiode.
Lernschritt 5
Verschiebungen richtig ablesen
f(x) = a · sin(b(x − c)) + d
In dieser Form liest du die Verschiebung c direkt ab: c > 0 bedeutet nach rechts, c < 0 nach links. d verschiebt die Mittellinie nach oben oder unten. Für Kosinus gelten dieselben Parameterregeln.
Beispiel: f(x) = 2sin(3(x − )) − 1 hat die Amplitude 2, die Periode , die Verschiebung nach rechts und die Mittellinie y = −1.
Steht die Funktion als a · sin(bx + φ) + d da, ist φ nicht direkt die horizontale Verschiebung. Klammere b aus. Bei b ≠ 0 gilt c = −. Beispiel: sin(2x − π) = sin(2(x − )).
Lernschritt 6
Eine veränderte Sinuskurve zeichnen
Beispiel: f(x) = 2sin(x) − 1. Beginne mit der Mittellinie y = −1 und markiere Maximum 1 und Minimum −3. Die Periode bleibt 2π.
| x | 0 | π | 2π | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −1 | 1 | −1 | −3 | −1 |
Trage diese fünf Punkte ein und verbinde sie mit einer glatten Welle. Wiederhole das Muster nach links und rechts. Bei einer zusätzlichen Verschiebung beginnst du die entsprechende Periode bei x = c. Bei negativem a verläuft die erste Viertelschwingung der Sinuskurve nach unten.
Lernschritt 7
Einfache Sinusgleichungen lösen
Gesucht sind alle Lösungen von sin(x) = im Intervall 0 ≤ x < 2π. Auf dem Einheitskreis gibt es zwei Punkte mit der y-Koordinate . Daher:
x = oder x =
Ohne Intervallbegrenzung kommen ganze Umdrehungen dazu:
x = + 2kπ oder x = + 2kπ
Dabei ist k eine beliebige ganze Zahl. Die Umkehrfunktion arcsin liefert nur einen Hauptwert; sie zeigt nicht automatisch alle Lösungen einer periodischen Gleichung.
Die Nullstellen von sin(x) sind x = kπ. Die Nullstellen von cos(x) sind x = + kπ, jeweils für ganze k.
Lernschritt 8
Eine periodische Bewegung modellieren
Ein vereinfachtes Riesenradmodell hat den Radius 10 m, seine Mitte liegt 12 m über dem Boden und eine Umdrehung dauert 40 Sekunden. Zum Zeitpunkt t = 0 startet die betrachtete Gondel am tiefsten Punkt. Ein passendes Höhenmodell in Metern ist:
h(t) = 12 − 10cos( · t)
Die Zeit t wird in Sekunden eingesetzt, der Kosinus im Bogenmaß ausgewertet. Das Modell ergibt h(0) = 2 m, h(10) = 12 m, h(20) = 22 m und h(40) = 2 m.
Hier entsprechen Radius und Amplitude einander. Die Höhe der Radmitte ist die Mittellinie; die Umlaufzeit ist die Periode. Prüfe bei Sachaufgaben immer auch den Startpunkt und die Bewegungsrichtung.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Amplitude hat f(x) = −4sin(x)?
Lösung und Rechenweg ansehen
Amplitude 4. Die Amplitude ist der Betrag des Vorfaktors.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Periode hat f(x) = sin(4x)?
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T = = .
Erklärung wiederholen →4 · Bestimme den Wertebereich von f(x) = 3cos(x) − 2.
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Minimum −2 − 3 = −5; Maximum −2 + 3 = 1. Wertebereich [−5; 1].
Erklärung wiederholen →5 · Welche Verschiebung steckt in sin(2x − π)?
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sin(2(x − )): um nach rechts.
Erklärung wiederholen →6 · Löse sin(x) = 0 für 0 ≤ x < 2π.
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x = 0 oder x = π. 2π liegt nicht im angegebenen Intervall.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
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Sinusfunktionen untersuchen
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Amplitude, Periode und der Untersuchung von Sinusfunktionen.
Material ansehen →Häufige Fragen
Warum ist die Periode 2π statt 360?
Hier wird das Bogenmaß verwendet. 2π und 360° beschreiben dieselbe volle Umdrehung.
Kann eine Amplitude negativ sein?
Nein. Sie ist ein Abstand und wird als |a| angegeben. Ein negatives a beeinflusst die Orientierung der Kurve.
Zeigt arcsin alle Lösungen?
Nein. arcsin liefert einen Hauptwert. Weitere Lösungen ergeben sich aus der Symmetrie und Periodizität; beachte das gefragte Intervall.