Sinus- und Kosinusfunktionen

02 · Verstehen

Sinus und Kosinus als Funktionen

Sinus und Kosinus ordnen jedem Winkel eine Zahl zwischen −1 und 1 zu. Auf dem Einheitskreis ist der Kosinus die x-Koordinate eines Kreispunkts und der Sinus seine y-Koordinate. Beim Umlaufen des Kreises wiederholen sich die Werte nach einer vollen Umdrehung.

So wird aus dem Kreis eine Kurve: Trage den Winkel im Bogenmaß auf der waagerechten Achse eines neuen Koordinatensystems ab. Für den Sinus übernimmst du dazu die Höhe des Kreispunkts als Funktionswert. Bei einer halben Umdrehung beträgt der Winkel π und die Höhe 0: Im Sinusgraphen entsteht der Punkt (π | 0). Für den Kosinus übernimmst du stattdessen die waagerechte Koordinate des Kreispunkts; bei π ist sie −1, also entsteht (π | −1). Die waagerechte Achse des Funktionsgraphen zeigt somit den Winkel, nicht die x-Koordinate auf dem Kreis.

Für Funktionsgleichungen verwenden wir auf dieser Seite das Bogenmaß. Eine volle Umdrehung entspricht 2π, ein rechter Winkel π2. Der Definitionsbereich der Grundfunktionen ist ganz ℝ, der Wertebereich ist [−1; 1].

Wichtige Werte und Eigenschaften

Die Sinuskurve startet bei (0 | 0) und steigt zunächst an. Die Kosinuskurve startet bei (0 | 1). Beide haben dieselbe Form, aber eine andere Lage entlang der x-Achse.

cos(x) = sin(x + π2)

Der Kosinusgraph entsteht aus dem Sinusgraphen durch Verschiebung um π2 nach links. Die Grundfunktion Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung: sin(−x) = −sin(x). Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse: cos(−x) = cos(x).

Amplitude und Mittellinie bestimmen

Bei f(x) = a · sin(x) + d bestimmt |a| die Amplitude. Sie ist der Abstand von der Mittellinie y = d zum höchsten oder tiefsten Punkt.

Der höchste Wert ist d + |a|, der niedrigste d − |a|. Ein negatives a spiegelt die Schwingung an ihrer Mittellinie, ändert aber nicht die positive Amplitude.

Die Periode aus dem Faktor b berechnen

Bei f(x) = a · sin(bx) + d mit a ≠ 0 und b ≠ 0 verändert b die Länge einer vollständigen Schwingung. Im Bogenmaß gilt:

Wenn die Argumente ausdrücklich im Gradmaß angegeben sind, steht entsprechend 360° statt 2π im Zähler. Bei a = 0 oder b = 0 ist die Funktion konstant; dann gibt es keine kleinste positive Schwingungsperiode.

Verschiebungen richtig ablesen

In dieser Form liest du die Verschiebung c direkt ab: c > 0 bedeutet nach rechts, c < 0 nach links. d verschiebt die Mittellinie nach oben oder unten. Für Kosinus gelten dieselben Parameterregeln.

Eine veränderte Sinuskurve zeichnen

Trage diese fünf Punkte ein und verbinde sie mit einer glatten Welle. Wiederhole das Muster nach links und rechts. Für f(x) = a · sin(b(x − c)) + d mit a ≠ 0 und b ≠ 0 kannst du eine Periode bei (c | d) beginnen. Die fünf Stützstellen liegen jeweils eine Viertelperiode T : 4 auseinander.

Für b > 0 geht die Kurve ab x = c bei positivem a zunächst nach oben, bei negativem a nach unten. Bei b < 0 kehrt sich diese Richtung nochmals um. Zum Beispiel gilt −sin(−x) = sin(x): Trotz negativem a steigt diese Kurve ab x = 0 zunächst an.

Einfache Sinusgleichungen lösen

Ohne Intervallbegrenzung kommen ganze Umdrehungen dazu:

x = π6 + 2kπ oder x = 5π6 + 2kπ

Dabei ist k eine beliebige ganze Zahl. Die Umkehrfunktion arcsin liefert nur einen Hauptwert; sie zeigt nicht automatisch alle Lösungen einer periodischen Gleichung.

Die Nullstellen von sin(x) sind x = kπ. Die Nullstellen von cos(x) sind x = π2 + kπ, jeweils für ganze k.

Eine periodische Bewegung modellieren

Hier entsprechen Radius und Amplitude einander. Die Höhe der Radmitte ist die Mittellinie; die Umlaufzeit ist die Periode. Prüfe bei Sachaufgaben immer auch den Startpunkt und die Bewegungsrichtung.