1 · Wandle 120° ins Bogenmaß um.
Lösung und Rechenweg ansehen
120 · = rad.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 10–11 · Grundlagen und Wiederholung
Bogenmaß und Einheitskreis: verstehen und üben
Rechne Winkel zwischen Gradmaß und Bogenmaß um und entdecke Sinus und Kosinus am Einheitskreis. Mit interaktivem Winkelregler, wichtigen Winkelwerten und Aufgaben mit Lösungen.
Dieselbe Drehung, zwei Maße
180° = π rad
360° = 2π rad
Der Einheitskreis hat den Radius 1. Sein Umfang beträgt 2π.
Lernschritt 1
Was bedeutet das Bogenmaß?
Ein Winkel kann in Grad oder im Bogenmaß angegeben werden. Für das Bogenmaß vergleichst du die Länge s des zugehörigen Kreisbogens mit dem Radius r:
Winkel im Bogenmaß =
Die Bogenlänge und der Radius müssen in derselben Längeneinheit stehen. Das Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Für einen Winkel von 1 Radiant ist der Kreisbogen genau so lang wie der Radius.
Eine volle Umdrehung hat die Bogenlänge 2πr. Nach Division durch r bleibt 2π. Deshalb gilt 360° = 2π rad und 180° = π rad. 1 rad entspricht ungefähr 57,30°.
Das Bogenmaß ist ein Verhältnis zweier Längen. „rad“ kennzeichnet die Winkelangabe; in mathematischen Funktionsargumenten wird es häufig weggelassen. sin(π) meint deshalb gewöhnlich den Sinus von π Radiant.
Lernschritt 2
Gradmaß und Bogenmaß umrechnen
Zum Umrechnen nutzt du die Zuordnung 180° ↔ π. Wenn g der Zahlenwert des Winkels in Grad und r der Zahlenwert im Bogenmaß ist, gilt:
r = g ·
g = r ·
Beispiel 1: 60° entsprechen 60 · = rad.
Beispiel 2: rad entsprechen · = 135°.
| Gradmaß | Bogenmaß |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 30° | |
| 45° | |
| 60° | |
| 90° | |
| 180° | π |
| 270° | |
| 360° | 2π |
Lass π möglichst stehen und kürze den Bruch. Die exakte Angabe ist meist hilfreicher als der gerundete Wert 1,047.
Lernschritt 3
Der Einheitskreis im Koordinatensystem
Der Einheitskreis hat den Mittelpunkt O(0 | 0) und den Radius 1. Die Winkelmessung startet an der positiven x-Achse beim Punkt (1 | 0). Positive Winkel drehen gegen den Uhrzeigersinn, negative im Uhrzeigersinn.
P = (cos(α) | sin(α))
Die waagerechte Koordinate des Kreispunkts ist der Kosinus, die senkrechte der Sinus. Im ersten Quadranten entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit passen die bekannten Seitenverhältnisse genau zu den Koordinaten.
Diese Definition erweitert Sinus und Kosinus auch auf Winkel über 90°, negative Winkel und mehrere Umdrehungen. Außerhalb des ersten Quadranten können Koordinaten negativ werden.
Lernschritt 4
Den Kreispunkt mit dem Winkelregler bewegen
Ziehe den Regler oder nutze nach dem Auswählen die Pfeiltasten. Positive Winkel laufen gegen den Uhrzeigersinn.
45° ≈ 0,785 rad · P(0,707 | 0,707)
Versuch 1: Stelle 0°, 90°, 180° und 270° ein. Welche Koordinate ist jeweils 0, welche ist 1 oder −1?
Versuch 2: Vergleiche 30° und 150°. Die y-Koordinate ist gleich, aber die x-Koordinate wechselt das Vorzeichen.
Versuch 3: Vergleiche 0° und 360°. Der Punkt liegt wieder an derselben Stelle. Der Winkel hat sich um eine volle Umdrehung verändert.
Die Dezimalanzeigen sind gerundet. Für exakte Werte helfen die Tabelle und die Bruchdarstellungen weiter unten.
Lernschritt 5
Vorzeichen in den vier Quadranten
| Winkelbereich | cos(α): x-Koordinate | sin(α): y-Koordinate |
|---|---|---|
| 0° < α < 90° | positiv | positiv |
| 90° < α < 180° | negativ | positiv |
| 180° < α < 270° | negativ | negativ |
| 270° < α < 360° | positiv | negativ |
Die Achsenwinkel sind in der Tabelle bewusst nicht enthalten. Dort ist mindestens eine der beiden Koordinaten 0.
Beispiel: 150° liegt im zweiten Quadranten. Daher ist cos(150°) negativ, sin(150°) positiv. Ein negativer Sinuswert wäre hier ein Hinweis auf einen Eingabefehler.
Lernschritt 6
Wichtige Sinus- und Kosinuswerte
| Winkel | sin(α) | cos(α) |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 |
| 30° | ||
| 45° | ||
| 60° | ||
| 90° | 1 | 0 |
Beim 45°-Winkel sind die Katheten gleich lang. Mit der Hypotenuse 1 folgt aus Pythagoras: 2a² = 1, also a = . Die Werte für 30° und 60° erhältst du aus einem halbierten gleichseitigen Dreieck.
Andere Quadranten erschließt du über die Lage auf dem Kreis. Bei 150° ist sin(150°) = und cos(150°) = −.
sin²(α) + cos²(α) = 1
Diese Identität gilt für jeden Winkel, weil der Kreispunkt immer den Abstand 1 vom Ursprung hat. Dabei bedeutet sin²(α) das Quadrat des Sinuswerts, also (sin(α))².
Lernschritt 7
Negative Winkel und mehrere Umdrehungen
Eine volle Umdrehung verändert die Position auf dem Kreis nicht. Deshalb stimmen Sinus und Kosinus von α und α + 360° überein. Im Bogenmaß entspricht das α und α + 2π.
Beispiel: 450° = 360° + 90°. Der Punkt ist (0 | 1), also sin(450°) = 1 und cos(450°) = 0.
Negativer Winkel: −90° dreht um einen rechten Winkel im Uhrzeigersinn. Der Punkt ist (0 | −1), derselbe wie bei 270°.
Gleiche Kreispunkte bedeuten nicht identische Winkelangaben. 90° und 450° unterscheiden sich um eine Umdrehung, haben aber dieselben Sinus- und Kosinuswerte.
Lernschritt 8
Mit dem Bogenmaß eine Bogenlänge berechnen
Aus dem Verhältnis s geteilt durch r folgt die Bogenlänge s = r · α, wenn α im Bogenmaß angegeben wird. Für eine gewöhnliche Bogenlänge verwendest du einen nichtnegativen Winkel beziehungsweise den Betrag des Drehwinkels.
Beispiel: Ein Kreis hat den Radius 6 cm. Gesucht ist die Länge des Bogens zu 60°. Wandle zuerst um: 60° = rad. Dann:
s = 6 · cm = 2π cm ≈ 6,28 cm
Die Rechnung 6 · 60 wäre falsch, weil 60 hier der Zahlenwert in Grad ist. Prüfe deshalb immer, welches Winkelmaß eine Formel voraussetzt.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Wandle rad in Grad um.
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· = 150°, also 150 Grad.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Koordinaten hat der Kreispunkt bei 180°?
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P(−1 | 0): cos(180°) = −1 und sin(180°) = 0.
Erklärung wiederholen →4 · Welche Vorzeichen haben Sinus und Kosinus bei 240°?
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Beide sind negativ. Der Punkt liegt im dritten Quadranten.
Erklärung wiederholen →5 · Bestimme sin(−90°).
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−1. Der Kreispunkt liegt unten bei (0 | −1).
Erklärung wiederholen →6 · Radius 4 cm, Winkel π rad: Wie lang ist der Bogen?
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s = 4 · π cm = 4π cm ≈ 12,57 cm. Es ist ein Halbkreis.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
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Vorwissen: Trigonometrie im Dreieck
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Seiten und Winkeln im rechtwinkligen Dreieck. Als Wiederholung der Grundlagen; die Umrechnung ins Bogenmaß übst du im Selbstcheck.
Material ansehen →Häufige Fragen
Warum heißt der Kreis Einheitskreis?
Weil sein Radius genau eine Längeneinheit beträgt. Dadurch sind die Koordinaten des Kreispunkts direkt Kosinus und Sinus des Winkels.
Wann stelle ich DEG oder RAD ein?
DEG für Winkel in Grad, RAD für Winkel im Bogenmaß. Beispielsweise liefern sin(30°) im Gradmaß und sin(π geteilt durch 6) im Bogenmaß denselben Wert 0,5.
Sind Sinus und Kosinus auf dem Kreis immer positiv?
Nein. Die Vorzeichen hängen vom Quadranten ab. Kosinus ist die x-Koordinate, Sinus die y-Koordinate.