Mathe · Klasse 10–11 · etwa 35–50 Minuten
Du rechnest zwischen Grad und Bogenmaß um, liest Sinus und Kosinus auf dem Einheitskreis und berechnest Bogenlängen.
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck, Brüche und Koordinaten.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Wandle einen Winkel um, bestimme einen Kreispunkt und prüfe die Voraussetzung der Bogenlängenformel.
π ist auch als pi möglich, etwa 2pi/3. Wurzeln: sqrt(2)/2. Punkte: x | y. Gib exakte Werte ein; bei Winkelumrechnungen die gefragte Einheit beachten. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Dieselbe Drehung, zwei Maße
180° = π rad
360° = 2π rad
Der Einheitskreis hat den Radius 1. Sein Umfang beträgt 2π.
Ein Winkel kann in Grad oder im Bogenmaß angegeben werden. Für das Bogenmaß vergleichst du die Länge s des zugehörigen Kreisbogens mit dem Radius r:
Die Regel
Winkel im Bogenmaß =
Die Bogenlänge und der Radius müssen in derselben Längeneinheit stehen. Das Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Für einen Winkel von 1 Radiant ist der Kreisbogen genau so lang wie der Radius.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine volle Umdrehung: 360°
Dividiere die Bogenlänge durch den positiven Radius. So erhältst du das Bogenmaß.
Eine volle Umdrehung entspricht 2π Radiant.
Die halbe Umdrehung entspricht π Radiant. 1 rad entspricht ungefähr 57,30°.
Das Bogenmaß ist ein Verhältnis zweier Längen. „rad“ kennzeichnet die Winkelangabe; in mathematischen Funktionsargumenten wird es häufig weggelassen. sin(π) meint deshalb gewöhnlich den Sinus von π Radiant.
Zum Umrechnen nutzt du die Zuordnung 180° ↔ π. Wenn g der Zahlenwert des Winkels in Grad und r der Zahlenwert im Bogenmaß ist, gilt:
Die Regel
r = g ·
Die Regel
g = r ·
Beispiel · Schritt für Schritt
60° → Bogenmaß
Beispiel 1: Wandle 60° ins Bogenmaß um. g ist der Zahlenwert in Grad.
Multipliziere den Grad-Zahlenwert mit π/180.
Kürze 60/180 auf 1/3. Der Winkel beträgt π/3 rad.
Beispiel · Schritt für Schritt
3π4 rad → Gradmaß
Beispiel 2: Wandle 3π/4 rad in Grad um.
Multipliziere den Zahlenwert im Bogenmaß mit 180/π.
Kürze π und berechne 180 : 4 = 45. Der Winkel beträgt 135°.
| Gradmaß | Bogenmaß |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 30° | |
| 45° | |
| 60° | |
| 90° | |
| 180° | π |
| 270° | |
| 360° | 2π |
Lass π möglichst stehen und kürze den Bruch. Die exakte Angabe ist meist hilfreicher als der gerundete Wert 1,047.
Der Einheitskreis hat den Mittelpunkt O(0 | 0) und den Radius 1. Die Winkelmessung startet an der positiven x-Achse beim Punkt (1 | 0). Positive Winkel drehen gegen den Uhrzeigersinn, negative im Uhrzeigersinn.
Die Regel
P = (cos(α) | sin(α))
Die waagerechte Koordinate des Kreispunkts ist der Kosinus, die senkrechte der Sinus. Im ersten Quadranten entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit passen die bekannten Seitenverhältnisse genau zu den Koordinaten.
Diese Definition erweitert Sinus und Kosinus auch auf Winkel über 90°, negative Winkel und mehrere Umdrehungen. Außerhalb des ersten Quadranten können Koordinaten negativ werden.
Ziehe den Regler oder nutze nach dem Auswählen die Pfeiltasten. Positive Winkel laufen gegen den Uhrzeigersinn.
45° ≈ 0,785 rad · P(0,707 | 0,707)
Versuch 1: Stelle 0°, 90°, 180° und 270° ein. Welche Koordinate ist jeweils 0, welche ist 1 oder −1?
Versuch 2: Vergleiche 30° und 150°. Die y-Koordinate ist gleich, aber die x-Koordinate wechselt das Vorzeichen.
Versuch 3: Vergleiche 0° und 360°. Der Punkt liegt wieder an derselben Stelle. Der Winkel hat sich um eine volle Umdrehung verändert.
Die Dezimalanzeigen sind gerundet. Für exakte Werte helfen die Tabelle und die Bruchdarstellungen weiter unten.
| Winkelbereich | cos(α): x-Koordinate | sin(α): y-Koordinate |
|---|---|---|
| 0° < α < 90° | positiv | positiv |
| 90° < α < 180° | negativ | positiv |
| 180° < α < 270° | negativ | negativ |
| 270° < α < 360° | positiv | negativ |
Die Achsenwinkel sind in der Tabelle bewusst nicht enthalten. Dort ist mindestens eine der beiden Koordinaten 0.
Beispiel: 150° liegt im zweiten Quadranten. Daher ist cos(150°) negativ, sin(150°) positiv. Ein negativer Sinuswert wäre hier ein Hinweis auf einen Eingabefehler.
| Winkel | sin(α) | cos(α) |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 |
| 30° | ||
| 45° | ||
| 60° | ||
| 90° | 1 | 0 |
Beispiel · Schritt für Schritt
α = 45°; Hypotenuse: 1
Beim 45°-Winkel sind die Katheten gleich lang. Die Hypotenuse hat im Einheitskreis die Länge 1. Verwende Pythagoras.
Fasse die beiden gleichen Quadrate zusammen.
Teile beide Seiten durch 2.
Ziehe die positive Wurzel, weil a eine Seitenlänge ist. Die Werte für 30° und 60° erhältst du aus einem halbierten gleichseitigen Dreieck.
Andere Quadranten erschließt du über die Lage auf dem Kreis. Bei 150° ist sin(150°) = und cos(150°) = −.
Die Regel
sin²(α) + cos²(α) = 1
Diese Identität gilt für jeden Winkel, weil der Kreispunkt immer den Abstand 1 vom Ursprung hat. Dabei bedeutet sin²(α) das Quadrat des Sinuswerts, also (sin(α))².
Eine volle Umdrehung verändert die Position auf dem Kreis nicht. Deshalb stimmen Sinus und Kosinus von α und α + 360° überein. Im Bogenmaß entspricht das α und α + 2π.
Beispiel · Schritt für Schritt
α = 450°
Zerlege den Winkel in eine volle Umdrehung und 90°.
Nach der vollen Umdrehung liegt der Kreispunkt wie bei 90° oben auf der y-Achse.
Lies die y-Koordinate ab.
Lies die x-Koordinate ab.
Beispiel · Schritt für Schritt
α = −90°
−90° dreht um einen rechten Winkel im Uhrzeigersinn. Durch Hinzufügen einer vollen Umdrehung erhältst du 270°.
Beide Winkel führen zum selben Kreispunkt unten auf der y-Achse.
Gleiche Kreispunkte bedeuten nicht identische Winkelangaben. 90° und 450° unterscheiden sich um eine Umdrehung, haben aber dieselben Sinus- und Kosinuswerte.
Aus dem Verhältnis s geteilt durch r folgt die Bogenlänge s = r · α, wenn α im Bogenmaß angegeben wird. Für eine gewöhnliche Bogenlänge verwendest du einen nichtnegativen Winkel beziehungsweise den Betrag des Drehwinkels.
Beispiel · Schritt für Schritt
Radius: 6 cm; Winkel: 60°
Ein Kreis hat den Radius 6 cm. Gesucht ist die Länge des Bogens zu 60°.
Wandle zuerst in das Bogenmaß um.
Setze Radius und Winkel im Bogenmaß in s = r · α ein.
Kürze 6/3. Das ist die exakte Bogenlänge.
Runde erst am Ende auf zwei Nachkommastellen.
Die Rechnung 6 · 60 wäre falsch, weil 60 hier der Zahlenwert in Grad ist. Prüfe deshalb immer, welches Winkelmaß eine Formel voraussetzt.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Bei exakten Winkel- und Bogenlängenangaben bleibt π stehen. Kosinus gehört zur x-Koordinate, Sinus zur y-Koordinate.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
120° → Bogenmaß
Multipliziere den Zahlenwert 120 mit π/180.
Kürze 120/180 auf 2/3. Der Winkel beträgt 2π/3 rad.
Lösung · Schritt für Schritt
5π6 rad → Gradmaß
Multipliziere den Zahlenwert im Bogenmaß mit 180/π.
Kürze π und berechne 180 : 6 = 30. Das Ergebnis ist 150 Grad.
Lösung · Schritt für Schritt
α = 180°
Nach einer halben Umdrehung liegt der Punkt auf der negativen x-Achse. Seine x-Koordinate ist −1.
Der Punkt liegt auf der x-Achse; seine y-Koordinate ist 0.
Notiere zuerst Kosinus als x-Koordinate, dann Sinus als y-Koordinate.
Lösung · Schritt für Schritt
α = 240°
Der Kreispunkt liegt im dritten Quadranten.
Die y-Koordinate ist negativ.
Die x-Koordinate ist ebenfalls negativ. Beide Werte haben ein negatives Vorzeichen.
Lösung · Schritt für Schritt
α = −90°
−90° bedeutet eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn. Der Kreispunkt liegt unten.
Sinus ist die y-Koordinate. Lies −1 ab.
Lösung · Schritt für Schritt
Radius: 4 cm; Winkel: π rad
Der Winkel π rad ist bereits im Bogenmaß gegeben. Setze in s = r · α ein.
Das ist die exakte Bogenlänge. Es handelt sich um einen Halbkreis.
Runde erst am Ende auf zwei Nachkommastellen.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Diese Materialien ergänzen die Erklärung und unterstützen dich beim Üben und Nachschlagen.
Trigonometrie für Klasse 10 am Gymnasium üben oder die Grundlagen im Nachschlagewerk für Klasse 5–10 wiederholen.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Sinus- und Kosinusfunktionen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Weil sein Radius genau eine Längeneinheit beträgt. Dadurch sind die Koordinaten des Kreispunkts direkt Kosinus und Sinus des Winkels.
DEG für Winkel in Grad, RAD für Winkel im Bogenmaß. Beispielsweise liefern sin(30°) im Gradmaß und sin(π geteilt durch 6) im Bogenmaß denselben Wert 0,5.
Nein. Die Vorzeichen hängen vom Quadranten ab. Kosinus ist die x-Koordinate, Sinus die y-Koordinate.
Eine volle Umdrehung hat die Bogenlänge 2πr.