Polynomdivision: verstehen und üben

Lernschritt 1

Wozu braucht man die Polynomdivision?

Mit der Polynomdivision teilst du einen Polynomterm durch einen anderen, ähnlich wie beim schriftlichen Teilen von Zahlen. Das Ergebnis besteht aus einem Quotientenpolynom und gegebenenfalls einem Rest.

Sie hilft besonders, wenn du eine Nullstelle eines Polynoms bereits kennst. Ist x = a eine Nullstelle, dann ist x − a ein Faktor. Du kannst durch diesen Faktor teilen und anschließend ein Polynom kleineren Grades untersuchen.

Die Methode ist nicht nur für Nullstellen geeignet. Sie funktioniert auch mit Rest und etwa beim Umformen gebrochen-rationaler Funktionen. Der Divisor darf nicht das Nullpolynom sein.

Lernschritt 2

Potenzen ordnen und Lücken ergänzen

Schreibe den zu teilenden Term nach absteigenden Potenzen von x. Fehlende Potenzen ergänzt du mit dem Koeffizienten 0. Dadurch bleiben die Rechenschritte übersichtlich.

x³ − 1 = x³ + 0x² + 0x − 1

Halte während der Rechnung gleichartige Potenzen untereinander oder schreibe jeden Subtraktionsschritt vollständig mit Klammern. Ein Minus vor einer Klammer betrifft jeden Term darin.

Beim Divisor x − 1 ist der führende Term x. Bei 2x + 3 wäre er 2x; dann musst du auch den Zahlenfaktor 2 beim Teilen berücksichtigen.

Lernschritt 3

Erster Schritt: den höchsten Term teilen

Wir berechnen (x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1).

Teilen: x³ geteilt durch x ist x². Das ist der erste Term des Ergebnisses.

Multiplizieren:

x² · (x − 1) = x³ − x²

Subtrahieren: Ziehe dieses Produkt vom ursprünglichen Polynom ab.

(x³ − 6x² + 11x − 6) − (x³ − x²)

= −5x² + 11x − 6

Der x³-Term ist verschwunden. Genau das ist das Ziel jedes Schritts: Den höchsten verbleibenden Term beseitigen.

Lernschritt 4

Zweiter Schritt: mit dem neuen Rest weiterrechnen

Der höchste verbleibende Term ist −5x². Teile ihn durch x:

−5x² : x = −5x

Der Quotient beginnt jetzt mit x² − 5x. Multipliziere den neuen Term mit dem Divisor:

−5x · (x − 1) = −5x² + 5x

Subtrahiere das gesamte Produkt:

(−5x² + 11x − 6) − (−5x² + 5x)

= 6x − 6

Durch das Minus vor der Klammer wird aus −5x² ein Plus und aus +5x ein Minus. Diese Vorzeichen sind eine häufige Fehlerquelle.

Lernschritt 5

Dritter Schritt: fertig rechnen und prüfen

Teile den höchsten Restterm 6x durch x. Der nächste Quotiententerm ist 6.

6 · (x − 1) = 6x − 6

(6x − 6) − (6x − 6) = 0

Der Rest ist 0. Deshalb gilt die Polynomidentität:

x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)

Kontrolle durch Ausmultiplizieren:

(x − 1)(x² − 5x + 6)

= x³ − 5x² + 6x − x² + 5x − 6

= x³ − 6x² + 11x − 6

Damit ist das Ergebnis überprüft. Wenn du die Division als Bruchfunktion auffasst, ist x = 1 im ursprünglichen Nenner ausgeschlossen. Die Polynomidentität mit dem Produkt gilt hingegen für jedes x.

Lernschritt 6

Mit dem Ergebnis weitere Nullstellen finden

Das Quotientenpolynom lässt sich weiter zerlegen:

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Somit ergibt sich:

f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

Die drei Nullstellen sind 1, 2 und 3. Der erste Wert war der Ausgangspunkt für die Division, die beiden anderen folgen aus dem kleineren Polynom.

Beachte die Vorzeichen: Zur Nullstelle −2 gehört der Faktor x + 2. Zur Nullstelle 2 gehört der Faktor x − 2.

Lernschritt 7

Ein Beispiel mit fehlenden Potenzen

Teile x³ − 1 durch x − 1. Schreibe den Dividend zunächst als x³ + 0x² + 0x − 1.

1. Erster Quotiententerm x²: Nach Subtraktion von x³ − x² bleibt x² − 1.
2. Nächster Term x: Nach Subtraktion von x² − x bleibt x − 1.
3. Letzter Term 1: Nach Subtraktion von x − 1 bleibt 0.

x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1)

Auch wenn ein Koeffizient 0 ist, darf die entsprechende Potenz beim Ordnen nicht „verrutschen“. Mit ausgeschriebenen Nullen fällt das leichter.

Lernschritt 8

Was bedeutet ein Rest?

Teile x² + 1 durch x − 1. Der Quotient ist x + 1, denn (x − 1)(x + 1) = x² − 1. Es fehlen noch 2 zum ursprünglichen Term:

x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2

Der Rest ist 2. Als Bruchterm kannst du für x ≠ 1 schreiben:

x² + 1x − 1 = x + 1 + 2x − 1

Bei Division durch x − a ist der Rest genau f(a). Hier ist f(1) = 2. Nur wenn dieser Rest 0 ist, ist a eine Nullstelle und x − a ein Faktor.

Allgemein beendest du die Division, sobald der Rest 0 ist oder einen kleineren Grad als der Divisor besitzt.

Lernschritt 9

Dein Rechenplan

1. Ordne nach absteigenden Potenzen und ergänze fehlende Terme mit 0.
2. Teile den höchsten Restterm durch den höchsten Divisorterm.
3. Schreibe diesen Term zum Quotienten.
4. Multipliziere ihn mit dem vollständigen Divisor.
5. Subtrahiere das gesamte Produkt.
6. Wiederhole die Schritte bis zum passenden Restgrad.
7. Prüfe: Dividend = Divisor · Quotient + Rest.

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Häufige Fragen