Teile Polynome in klaren Schritten: höchste Terme teilen, zurückmultiplizieren und vollständig subtrahieren. Übe jeden Teil und prüfe am Ende Quotient und Rest.
Hilfreiches Vorwissen: Terme, Ausmultiplizieren, Potenzen und Nullstellen von Polynomen.
Prüfe den passenden Faktor, den ersten Divisionsterm und einen Rest.
Zahlen mit Komma oder Punkt. Terme mit x, Klammern und ^, etwa x^2 − 3x + 2. Mehrere Nullstellen mit Semikolon. Gib bei einer Division nur den gefragten Quotienten oder Rest ein.
Verstehen
Teilen – multiplizieren – subtrahieren
(x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1)
= x² − 5x + 6
Durch Division mit x − 1 sinkt der Grad um 1. Hier bleibt kein Rest.
Mit der Polynomdivision teilst du einen Polynomterm durch einen anderen, ähnlich wie beim schriftlichen Teilen von Zahlen. Das Ergebnis besteht aus einem Quotientenpolynom und gegebenenfalls einem Rest.
Sie hilft besonders, wenn du eine Nullstelle eines Polynoms bereits kennst. Ist x = a eine Nullstelle, dann ist x − a ein Faktor. Du kannst durch diesen Faktor teilen und anschließend ein Polynom kleineren Grades untersuchen.
Die Methode ist nicht nur für Nullstellen geeignet. Sie funktioniert auch mit Rest und etwa beim Umformen gebrochen-rationaler Funktionen. Der Divisor darf nicht das Nullpolynom sein.
Schreibe den zu teilenden Term nach absteigenden Potenzen von x. Fehlende Potenzen ergänzt du mit dem Koeffizienten 0. Dadurch bleiben die Rechenschritte übersichtlich.
x³ − 1 = x³ + 0x² + 0x − 1
Halte während der Rechnung gleichartige Potenzen untereinander oder schreibe jeden Subtraktionsschritt vollständig mit Klammern. Ein Minus vor einer Klammer betrifft jeden Term darin.
Beim Divisor x − 1 ist der führende Term x. Bei 2x + 3 wäre er 2x; dann musst du auch den Zahlenfaktor 2 beim Teilen berücksichtigen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der Koeffizient von x² ist 0.
Eine fehlende Potenz darf die Position der folgenden Terme nicht verschieben.
Wir berechnen (x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1).
Beispiel – Schritt für Schritt
(x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1)
Multipliziere den gefundenen Term mit dem vollständigen Divisor.
Ziehe das Produkt vom ursprünglichen Polynom ab. Das Minus betrifft beide Terme der zweiten Klammer.
x³ − x³ = 0 und −6x² + x² = −5x². Der neue Zwischenrest hat einen kleineren Grad.
Der x³-Term ist verschwunden. Genau das ist das Ziel jedes Schritts: Den höchsten verbleibenden Term beseitigen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Teile die führenden Zahlenfaktoren und subtrahiere die Exponenten.
Der neue Term wird mit dem ganzen Divisor multipliziert.
Beispiel – Schritt für Schritt
Zwischenrest: −5x² + 11x − 6
Divisor: x − 1
Der höchste verbleibende Term ist −5x². Der Quotient beginnt jetzt mit x² − 5x.
Multipliziere den neuen Quotiententerm mit x − 1.
Durch das Minus vor der Klammer wird aus −5x² ein Plus und aus +5x ein Minus.
Die quadratischen Terme heben sich auf. 11x − 5x = 6x; die −6 bleibt stehen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Das Minus vor der hinteren Klammer ändert beide Vorzeichen.
Erst die Klammer auflösen, danach gleichartige Terme zusammenfassen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Zwischenrest: 6x − 6
Divisor: x − 1
6 ist der nächste Quotiententerm.
Multipliziere 6 mit dem vollständigen Divisor.
Der Rest ist 0. Die Division ist abgeschlossen.
Fasse die drei gefundenen Quotiententerme zusammen.
Der Rest ist 0. Deshalb gilt die Polynomidentität:
x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)
Kontrolle durch Ausmultiplizieren:
Beispiel – Schritt für Schritt
Divisor: x − 1
Quotient: x² − 5x + 6 · Rest: 0
Bei Rest 0 muss das Produkt wieder den ursprünglichen Dividend ergeben.
Multipliziere zuerst mit x und dann mit −1. Achte besonders auf die Vorzeichen.
Fasse die x²-Terme und die x-Terme zusammen. Das ursprüngliche Polynom entsteht.
Damit ist das Ergebnis überprüft. Wenn du die Division als Bruchfunktion auffasst, ist x = 1 im ursprünglichen Nenner ausgeschlossen. Die Polynomidentität mit dem Produkt gilt hingegen für jedes x.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Divisor · Quotient + Rest muss wieder den Dividend ergeben.
Polynomidentität und Division durch einen Zahlenwert sind unterschiedliche Aussagen.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6
Bekannte Nullstelle: x = 1
Die Zahlen −2 und −3 ergeben die Summe −5 und das Produkt 6.
Der Faktor x − 1 stammt aus der bekannten Nullstelle 1.
Das Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
1 war der Ausgangspunkt der Division; 2 und 3 folgen aus dem kleineren Polynom.
Beachte die Vorzeichen: Zur Nullstelle −2 gehört der Faktor x + 2. Zur Nullstelle 2 gehört der Faktor x − 2.
Teile x³ − 1 durch x − 1. Schreibe den Dividend zunächst als x³ + 0x² + 0x − 1.
Beispiel – Schritt für Schritt
(x³ − 1) : (x − 1)
Multipliziere zurück: x² · (x − 1) = x³ − x².
Die Platzhalter mit Koeffizient 0 halten die Potenzen an der richtigen Stelle.
Multipliziere zurück: x · (x − 1) = x² − x.
Beachte: 0x − (−x) = x.
Multipliziere zurück: 1 · (x − 1) = x − 1.
Der Rest ist 0; der Quotient lautet x² + x + 1.
Dividend ist gleich Divisor mal Quotient.
Auch wenn ein Koeffizient 0 ist, darf die entsprechende Potenz beim Ordnen nicht „verrutschen“. Mit ausgeschriebenen Nullen fällt das leichter.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Nach jedem Zurückmultiplizieren die ganze Klammer subtrahieren.
Probe: (x − 1)(x² + x + 1) = x³ − 1.
Teile x² + 1 durch x − 1.
Beispiel – Schritt für Schritt
(x² + 1) : (x − 1)
Multipliziere zurück: x · (x − 1) = x² − x.
Schreibe den fehlenden x-Term als 0x.
Multipliziere zurück: 1 · (x − 1) = x − 1.
Der konstante Rest 2 hat einen kleineren Grad als der lineare Divisor. Beende die Division.
Der Quotient ist x + 1. Sein Produkt mit dem Divisor ist x² − 1; durch Addition des Rests 2 entsteht x² + 1.
Der Rest ist 2. Als Bruchterm kannst du für x ≠ 1 schreiben:
= x + 1 +
Bei Division durch x − a ist der Rest genau f(a). Hier ist f(1) = 2. Nur wenn dieser Rest 0 ist, ist a eine Nullstelle und x − a ein Faktor.
Allgemein beendest du die Division, sobald der Rest 0 ist oder einen kleineren Grad als der Divisor besitzt.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Subtrahieren: (x³ + 3x + 2) − (x³ + x) = 2x + 2.
Der Restgrad 1 ist kleiner als der Divisorgrad 2. Ein Rest muss nicht konstant sein.
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Mathehelfer
Trage Dividend und Divisor getrennt ein. Der Helfer zeigt jeden Subtraktionsschritt sowie Quotient, Rest und Rückprobe – auch bei fehlenden Potenzen oder einem quadratischen Divisor.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
x + 3, denn x − (−3) = x + 3.
Erklärung wiederholen →2x², denn 2x³ geteilt durch x ist 2x².
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
(x² − 9) : (x − 3)
Multipliziere zurück: x · (x − 3) = x² − 3x.
Achte auf das Minus vor der Klammer.
Multipliziere zurück: 3 · (x − 3) = 3x − 9.
Der Rest ist 0.
Der gefragte Quotient ist x + 3.
Kontrolle: (x − 3)(x + 3) = x² − 9.
x⁴ + 0x³ + 0x² + 2x − 1.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
(x² + 4) : (x − 2)
Der Divisor lautet x − 2; im Restsatz ist also a = 2.
Bei Division durch x − a ist der Rest f(a). Der gesuchte Rest ist 8.
Der Quotient ist x + 2. Divisor mal Quotient plus Rest ergibt den ursprünglichen Dividend.
Genau dann, wenn f(a) = 0, also der Rest bei der Division 0 ist.
Erklärung wiederholen →Dein nächster Schritt
Ergänzende Übersicht zur Kurvendiskussion. Die Polynomdivision selbst übst du mit den Rechenschritten und Selbstchecks auf dieser Seite.
Material ansehen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
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Spickzettel ansehen – Preis und Details →Nein. Ein Rest ist erlaubt. Rest 0 entsteht bei einem Linearfaktor x − a genau dann, wenn a eine Nullstelle ist.
Damit du beim Ordnen und Subtrahieren nur gleichartige Terme verrechnest. Ein fehlender Term hat den Koeffizienten 0.
Multipliziere Divisor und Quotient und addiere den Rest. Das Ergebnis muss der ursprüngliche Dividend sein.
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x² ist der erste Term des Quotienten.