1 · Welchen Grad hat f(x) = 7x⁵ − 2x + 1?
Lösung und Rechenweg ansehen
Grad 5, Leitkoeffizient 7.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Ganzrationale Funktionen: verstehen und üben
Erkenne Polynome, bestimme Grad und Leitkoeffizient und untersuche Nullstellen, Symmetrie und das Verhalten für große x-Werte. Verbinde die verschiedenen Darstellungen mit dem Verlauf des Graphen.
Eine Funktion – zwei hilfreiche Formen
f(x) = x³ − 3x + 2
f(x) = (x + 2)(x − 1)²
In der ausmultiplizierten Form erkennst du den Grad. In der Produktform liest du die Nullstellen ab.
Lernschritt 1
Was ist eine ganzrationale Funktion?
Eine ganzrationale Funktion ist eine Polynomfunktion. Ihr Term besteht aus einer endlichen Summe von Potenzen von x mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten und konstanten Koeffizienten.
f(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀
Beispiele sind 3x² − 2x + 7, −x⁵ + 4x und die konstante Funktion f(x) = 5. Auch Brüche oder Wurzeln als feste Koeffizienten sind erlaubt, etwa 0,5x² oder √2 · x.
Ein x im Nenner, unter einer Wurzel oder als Exponent passt dagegen nicht zu einem Polynomterm: Beispiele sind 1 geteilt durch x, √x und 2ˣ. Ganzrationale Funktionen sind für alle reellen x definiert.
Wenn sich bei einem ursprünglich anders aufgebauten Term Faktoren kürzen lassen, musst du dessen ursprüngliche Definitionsmenge trotzdem beachten.
Lernschritt 2
Grad, Leitkoeffizient und Achsenabschnitt erkennen
Der Grad ist der größte vorkommende Exponent mit einem Koeffizienten ungleich 0. Fasse den Term dafür zuerst vollständig zusammen.
Bei f(x) = −2x⁴ + 3x² − 7 ist der Grad 4 und der Leitkoeffizient −2. Der konstante Term ist −7. Deshalb liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0 | −7).
Die Anzahl der Summanden ist nicht der Grad. Auch −2x⁴ allein hat Grad 4. Die fehlenden Potenzen haben jeweils den Koeffizienten 0.
Eine von 0 verschiedene konstante Funktion hat Grad 0. Die Nullfunktion f(x) = 0 ist ein Sonderfall; ihr Grad wird hier nicht festgelegt, und jedes x ist eine Nullstelle.
Lernschritt 3
Der führende Term bestimmt das Endverhalten
Für sehr große positive oder negative x dominiert der Term mit der höchsten Potenz. Daraus ergeben sich bei positivem Grad vier Fälle:
- Gerader Grad, positiver Leitkoeffizient: Beide Enden gehen nach oben.
- Gerader Grad, negativer Leitkoeffizient: Beide Enden gehen nach unten.
- Ungerader Grad, positiver Leitkoeffizient: Links nach unten, rechts nach oben.
- Ungerader Grad, negativer Leitkoeffizient: Links nach oben, rechts nach unten.
Bei −2x⁴ + 3x² − 7 gehen beide Enden nach unten. Bei x³ − 3x + 2 geht das linke Ende nach unten und das rechte nach oben.
Das beschreibt nur das Verhalten weit außen. Dazwischen kann der Graph mehrere Hoch- und Tiefpunkte besitzen.
Lernschritt 4
Nullstellen über Faktoren bestimmen
Eine Nullstelle erfüllt f(x) = 0. In der Produktform hilft der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
f(x) = (x + 2)(x − 1)²
x + 2 = 0 oder x − 1 = 0
Die Nullstellen sind x = −2 und x = 1. Der Faktor x − 1 kommt zweimal vor; deshalb ist 1 eine doppelte Nullstelle. −2 ist eine einfache Nullstelle.
Um zur Produktform zu gelangen, helfen Ausklammern, binomische Formeln, quadratische Lösungsformeln oder die Polynomdivision bei bekannter Nullstelle.
Lernschritt 5
Schneiden oder Berühren: die Vielfachheit hilft
Bei einer Nullstelle ungerader Vielfachheit wechselt das Vorzeichen der Funktion: Der Graph schneidet die x-Achse. Bei gerader Vielfachheit bleibt das Vorzeichen auf beiden Seiten gleich: Der Graph berührt die Achse.
Eine dreifache Nullstelle kann die Achse mit waagerechter Tangente schneiden. Waagerecht bedeutet deshalb nicht automatisch „nur berühren“.
Ein von 0 verschiedenes Polynom vom Grad n hat höchstens n verschiedene reelle Nullstellen. Es muss nicht genau n haben: x² + 1 hat keine reelle Nullstelle. Bei ungeradem Grad und reellen Koeffizienten gibt es mindestens eine reelle Nullstelle.
Lernschritt 6
Symmetrie zuverlässig prüfen
Für Achsensymmetrie zur y-Achse prüfst du f(−x) = f(x). Bei einem Polynom mit reellen Koeffizienten ist das der Fall, wenn nur gerade Potenzen von x und gegebenenfalls ein konstanter Term auftreten.
Für Punktsymmetrie zum Ursprung prüfst du f(−x) = −f(x). Dafür dürfen nur ungerade Potenzen auftreten; ein konstanter Term muss 0 sein.
Beispiele: x⁴ − 3x² + 2 ist y-achsensymmetrisch. x³ − 3x ist punktsymmetrisch zum Ursprung. x³ − 3x + 2 ist dagegen nicht ursprungssymmetrisch; sein Graph ist zum Punkt (0 | 2) punktsymmetrisch.
Ein gerader Grad allein beweist keine y-Achsensymmetrie. Der Term x² + x enthält auch eine ungerade Potenz.
Lernschritt 7
Die Verbindung zur Kurvendiskussion
Bei f(x) = x³ − 3x + 2 sind die Ableitungen:
f′(x) = 3x² − 3; f″(x) = 6x; f‴(x) = 6
Aus f′(x) = 0 folgen x = −1 und x = 1. Die zweite Ableitung ist bei −1 negativ und bei 1 positiv. Daher liegen H(−1 | 4) und T(1 | 0) vor.
Aus f″(x) = 0 folgt x = 0. Weil f‴(0) = 6 ungleich 0 ist, liegt dort ein Wendepunkt: W(0 | 2).
Ein Polynom positiven Grades n hat höchstens n − 1 Extremstellen. Das ist eine Obergrenze, keine Zusage. x³ hat beispielsweise keinen Hoch- oder Tiefpunkt.
Lernschritt 8
Dein Überblick für eine Untersuchung
- Fasse den Term zusammen und bestimme Grad und Leitkoeffizient.
- Notiere die Definitionsmenge ℝ und den y-Achsenabschnitt.
- Bestimme Nullstellen und ihre Vielfachheiten, soweit möglich.
- Prüfe Symmetrie und Endverhalten.
- Wenn verlangt: Berechne Extrem- und Wendepunkte mithilfe der Ableitungen.
- Verbinde alle Informationen zu einer plausiblen Skizze.
Eine Zeichnung allein ersetzt keine Rechnung. Umgekehrt hilft der Graph, Vorzeichen, Nullstellen und das Verhalten der gefundenen Punkte zu kontrollieren.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Ist √2 · x² eine ganzrationale Funktion?
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Ja. √2 ist ein konstanter Koeffizient, der Exponent von x ist die nichtnegative ganze Zahl 2.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Nullstellen hat (x + 3)(x − 2)²?
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−3 ist einfach, 2 ist doppelt.
Erklärung wiederholen →4 · Schneidet der Graph bei einer doppelten Nullstelle die x-Achse?
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Nein. Er berührt sie; das Vorzeichen wechselt dort nicht.
Erklärung wiederholen →5 · Ist x⁴ + x zur y-Achse symmetrisch?
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Nein. f(−x) = x⁴ − x ist nicht gleich f(x).
Erklärung wiederholen →6 · Wie verhält sich −x³ + 2x weit außen?
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Links geht der Graph nach oben, rechts nach unten: ungerader Grad und negativer Leitkoeffizient.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Hat ein Polynom vom Grad 4 immer vier reelle Nullstellen?
Nein. Es hat höchstens vier verschiedene reelle Nullstellen. Die Anzahl kann kleiner sein, auch 0.
Sind Brüche als Koeffizienten erlaubt?
Ja. Entscheidend sind die Potenzen von x. Ein konstanter Bruch als Faktor ist erlaubt; x im Nenner eines nicht kürzbaren Terms nicht.
Bedeutet eine waagerechte Tangente an einer Nullstelle immer Berühren?
Nein. Bei einer dreifachen Nullstelle kann der Graph die Achse mit waagerechter Tangente schneiden.