1 · Welchen Grad hat f(x) = 7x⁵ − 2x + 1?
Lösung und Rechenweg ansehen
Grad 5, Leitkoeffizient 7.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 35–50 Minuten
Ganzrationale Funktionen
Du untersuchst Polynomfunktionen anhand von Grad, Nullstellen, Symmetrie und Endverhalten und verbindest diese Informationen mit Ableitungen.
Voraussetzungen ansehen
Terme, Gleichungen und Funktionen. Für Stufe 3: Potenzregel beim Ableiten sowie Extrem- und Wendepunkte.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Bestimme einen Grad, alle Nullstellen und die Symmetrie eines Polynoms.
Zahlen mit Komma oder Punkt. Alle Nullstellen mit Semikolon, etwa −2; 1; keine für keine reelle Nullstelle. Terme mit x und ^, etwa 3x^2 − 3. Punkte: x | y. Symmetrie: y-Achse, Ursprung oder keine. Endverhalten: links; rechts, etwa unten; oben.
02 · Verstehen
Was ist eine ganzrationale Funktion?
Eine Funktion – zwei hilfreiche Formen
f(x) = x³ − 3x + 2
f(x) = (x + 2)(x − 1)²
In der ausmultiplizierten Form erkennst du den Grad. In der Produktform liest du die Nullstellen ab.
Eine ganzrationale Funktion ist eine Polynomfunktion. Ihr Term besteht aus einer endlichen Summe von Potenzen von x mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten und konstanten Koeffizienten.
f(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀
Beispiele sind 3x² − 2x + 7, −x⁵ + 4x und die konstante Funktion f(x) = 5. Auch Brüche oder Wurzeln als feste Koeffizienten sind erlaubt, etwa 0,5x² oder √2 · x.
Ein x im Nenner, unter einer Wurzel oder als Exponent passt dagegen nicht zu einem Polynomterm: Beispiele sind 1 geteilt durch x, √x und 2ˣ. Ganzrationale Funktionen sind für alle reellen x definiert.
Wenn sich bei einem ursprünglich anders aufgebauten Term Faktoren kürzen lassen, musst du dessen ursprüngliche Definitionsmenge trotzdem beachten.
Grad, Leitkoeffizient und Achsenabschnitt erkennen
Der Grad ist der größte vorkommende Exponent mit einem Koeffizienten ungleich 0. Fasse den Term dafür zuerst vollständig zusammen.
Bei f(x) = −2x⁴ + 3x² − 7 ist der Grad 4 und der Leitkoeffizient −2. Der konstante Term ist −7. Deshalb liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0 | −7).
Die Anzahl der Summanden ist nicht der Grad. Auch −2x⁴ allein hat Grad 4. Die fehlenden Potenzen haben jeweils den Koeffizienten 0.
Eine von 0 verschiedene konstante Funktion hat Grad 0. Die Nullfunktion f(x) = 0 ist ein Sonderfall; ihr Grad wird hier nicht festgelegt, und jedes x ist eine Nullstelle.
Der führende Term bestimmt das Endverhalten
Für sehr große positive oder negative x dominiert der Term mit der höchsten Potenz. Daraus ergeben sich bei positivem Grad vier Fälle:
- Gerader Grad, positiver Leitkoeffizient: Beide Enden gehen nach oben.
- Gerader Grad, negativer Leitkoeffizient: Beide Enden gehen nach unten.
- Ungerader Grad, positiver Leitkoeffizient: Links nach unten, rechts nach oben.
- Ungerader Grad, negativer Leitkoeffizient: Links nach oben, rechts nach unten.
Bei −2x⁴ + 3x² − 7 gehen beide Enden nach unten. Bei x³ − 3x + 2 geht das linke Ende nach unten und das rechte nach oben.
Das beschreibt nur das Verhalten weit außen. Dazwischen kann der Graph mehrere Hoch- und Tiefpunkte besitzen.
Nullstellen über Faktoren bestimmen
Eine Nullstelle erfüllt f(x) = 0. In der Produktform hilft der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Beispiel · Schritt für Schritt
Nullstellen und Vielfachheiten aus der Produktform bestimmen
f(x) = (x + 2)(x − 1)²
f(x) = (x + 2)(x − 1)²
(x + 2)(x − 1)² = 0
2 Nullstellenbedingung
Setze f(x) gleich 0.
x + 2 = 0
oder (x − 1)² = 0
oder (x − 1)² = 0
3 Nullproduktregel
Mindestens einer der Faktoren muss 0 sein.
x = −2 oder x = 1
4 Beide Fälle lösen
Subtrahiere im ersten Fall 2. Im zweiten Fall muss x − 1 = 0 gelten.
−2: einfach
1: doppelt
1: doppelt
5 Vielfachheiten ablesen
Der Faktor x + 2 kommt einmal vor, der Faktor x − 1 zweimal.
Um zur Produktform zu gelangen, helfen Ausklammern, binomische Formeln, quadratische Lösungsformeln oder die Polynomdivision bei bekannter Nullstelle.
Schneiden oder Berühren: die Vielfachheit hilft
Bei einer Nullstelle ungerader Vielfachheit wechselt das Vorzeichen der Funktion: Der Graph schneidet die x-Achse. Bei gerader Vielfachheit bleibt das Vorzeichen auf beiden Seiten gleich: Der Graph berührt die Achse.
Eine dreifache Nullstelle kann die Achse mit waagerechter Tangente schneiden. Waagerecht bedeutet deshalb nicht automatisch „nur berühren“.
Ein von 0 verschiedenes Polynom vom Grad n hat höchstens n verschiedene reelle Nullstellen. Es muss nicht genau n haben: x² + 1 hat keine reelle Nullstelle. Bei ungeradem Grad und reellen Koeffizienten gibt es mindestens eine reelle Nullstelle.
Symmetrie zuverlässig prüfen
Für Achsensymmetrie zur y-Achse prüfst du f(−x) = f(x). Bei einem Polynom mit reellen Koeffizienten ist das der Fall, wenn nur gerade Potenzen von x und gegebenenfalls ein konstanter Term auftreten.
Für Punktsymmetrie zum Ursprung prüfst du f(−x) = −f(x). Dafür dürfen nur ungerade Potenzen auftreten; ein konstanter Term muss 0 sein.
Beispiele: x⁴ − 3x² + 2 ist y-achsensymmetrisch. x³ − 3x ist punktsymmetrisch zum Ursprung. x³ − 3x + 2 ist dagegen nicht ursprungssymmetrisch; sein Graph ist zum Punkt (0 | 2) punktsymmetrisch.
Ein gerader Grad allein beweist keine y-Achsensymmetrie. Der Term x² + x enthält auch eine ungerade Potenz.
Die Verbindung zur Kurvendiskussion
Bei f(x) = x³ − 3x + 2 sind die Ableitungen:
Beispiel · Schritt für Schritt
Die ersten drei Ableitungen bilden
f(x) = x³ − 3x + 2
f(x) = x³ − 3x + 2
1 Ausgangsfunktion
Leite die einzelnen Summanden ab.
f′(x) = 3x² − 3
2 Erste Ableitung
Die Potenzregel liefert 3x². Aus −3x wird −3, aus der Konstanten 2 wird 0.
f″(x) = 6x
3 Zweite Ableitung
Leite 3x² − 3 erneut ab.
f‴(x) = 6
4 Dritte Ableitung
Die Ableitung von 6x ist 6.
Beispiel · Schritt für Schritt
Hochpunkt und Tiefpunkt bestimmen
f(x) = x³ − 3x + 2
3x² − 3 = 0
1 Extremstellen suchen
Notwendige Bedingung: f′(x) = 0.
3x² = 3
x² = 1
x² = 1
2 Umformen
Addiere 3 auf beiden Seiten und teile dann durch 3.
x = −1 oder x = 1
3 Beide Wurzelfälle
Die erste Ableitung ist an beiden Stellen 0.
f″(−1) = −6 < 0
f″(1) = 6 > 0
f″(1) = 6 > 0
4 Art bestimmen
Negative zweite Ableitung: Hochpunkt. Positive zweite Ableitung: Tiefpunkt.
f(−1) = −1 + 3 + 2 = 4
f(1) = 1 − 3 + 2 = 0
f(1) = 1 − 3 + 2 = 0
5 Funktionswerte berechnen
Setze die Stellen in die ursprüngliche Funktion ein.
H(−1 | 4)
T(1 | 0)
T(1 | 0)
6 Punkte angeben
Zu jedem Punkt gehören x- und y-Koordinate.
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Wendepunkt berechnen und bestätigen
f(x) = x³ − 3x + 2
6x = 0
1 Wendestelle suchen
Setze die zweite Ableitung gleich 0.
x = 0
2 Durch 6 teilen
Das ist zunächst eine mögliche Wendestelle.
f‴(0) = 6 ≠ 0
3 Wendestelle bestätigen
Zusammen mit f″(0) = 0 ist dies ein hinreichendes Kriterium.
f(0) = 0³ − 3 · 0 + 2 = 2
4 y-Koordinate berechnen
Setze x = 0 in die ursprüngliche Funktion ein.
W(0 | 2)
5 Ergebnis
Der Wendepunkt liegt bei (0 | 2).
Ein Polynom positiven Grades n hat höchstens n − 1 Extremstellen. Das ist eine Obergrenze, keine Zusage. x³ hat beispielsweise keinen Hoch- oder Tiefpunkt.
Dein Überblick für eine Untersuchung
- Fasse den Term zusammen und bestimme Grad und Leitkoeffizient.
- Notiere die Definitionsmenge ℝ und den y-Achsenabschnitt.
- Bestimme Nullstellen und ihre Vielfachheiten, soweit möglich.
- Prüfe Symmetrie und Endverhalten.
- Wenn verlangt: Berechne Extrem- und Wendepunkte mithilfe der Ableitungen.
- Verbinde alle Informationen zu einer plausiblen Skizze.
Eine Zeichnung allein ersetzt keine Rechnung. Umgekehrt hilft der Graph, Vorzeichen, Nullstellen und das Verhalten der gefundenen Punkte zu kontrollieren.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Fasse Terme zuerst zusammen. Gib jede verschiedene Nullstelle einmal an. Bei Symmetrie beziehen sich y-Achse und Ursprung genau auf diese Achse bzw. diesen Punkt.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Ist √2 · x² eine ganzrationale Funktion?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ja. √2 ist ein konstanter Koeffizient, der Exponent von x ist die nichtnegative ganze Zahl 2.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Nullstellen hat (x + 3)(x − 2)²?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Nullstellen mit ihren Vielfachheiten angeben
f(x) = (x + 3)(x − 2)²
(x + 3)(x − 2)² = 0
1 Nullstellenbedingung
Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
x + 3 = 0
oder (x − 2)² = 0
oder (x − 2)² = 0
2 Faktoren prüfen
Löse beide Fälle getrennt.
x = −3 oder x = 2
3 Nullstellen bestimmen
Aus dem Quadrat gleich 0 folgt x − 2 = 0.
−3: einfach
2: doppelt
2: doppelt
4 Vielfachheiten
Die Hochzahl des jeweiligen Linearfaktors gibt seine Vielfachheit an.
4 · Schneidet der Graph bei einer doppelten Nullstelle die x-Achse?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Er berührt sie; das Vorzeichen wechselt dort nicht.
Erklärung wiederholen →5 · Ist x⁴ + x zur y-Achse symmetrisch?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Symmetrie zur y-Achse prüfen
f(x) = x⁴ + x
f(x) = x⁴ + x
1 Ausgangsfunktion
Prüfe f(−x) = f(x).
f(−x) = (−x)⁴ + (−x)
2 −x einsetzen
Ersetze jedes x durch den Ausdruck −x.
f(−x) = x⁴ − x
3 Vorzeichen vereinfachen
Die gerade Potenz bleibt positiv; der lineare Term wechselt sein Vorzeichen.
x⁴ − x ≠ x⁴ + x
als Funktionsterme
als Funktionsterme
4 Symmetrie beurteilen
Die Ausdrücke stimmen nicht für alle x überein. Deshalb ist der Graph nicht y-achsensymmetrisch.
6 · Wie verhält sich −x³ + 2x weit außen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Links geht der Graph nach oben, rechts nach unten: ungerader Grad und negativer Leitkoeffizient.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Kurvendiskussion →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Hat ein Polynom vom Grad 4 immer vier reelle Nullstellen?
Nein. Es hat höchstens vier verschiedene reelle Nullstellen. Die Anzahl kann kleiner sein, auch 0.
Sind Brüche als Koeffizienten erlaubt?
Ja. Entscheidend sind die Potenzen von x. Ein konstanter Bruch als Faktor ist erlaubt; x im Nenner eines nicht kürzbaren Terms nicht.
Bedeutet eine waagerechte Tangente an einer Nullstelle immer Berühren?
Nein. Bei einer dreifachen Nullstelle kann der Graph die Achse mit waagerechter Tangente schneiden.
Die Funktion steht bereits in Produktform.