1 · Warum liegt für x² − 2 eine Nullstelle in [1; 2]?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Funktion ist stetig; f(1) = −1 und f(2) = 2 haben verschiedene Vorzeichen.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 9–13 · etwa 45–60 Minuten
Nullstellen näherungsweise bestimmen
Du schließt Nullstellen sicher ein, berechnest Newton-Schritte und begründest die Genauigkeit deiner Näherung.
Voraussetzungen ansehen
Funktionswerte, Brüche, Stetigkeit; für Newton zusätzlich Ableitungen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit /. Mehrere Werte mit Semikolon trennen und die verlangte Reihenfolge beachten. Terme mit x oder t und Potenzen wie x^2. Entscheidungen: ja oder nein. Beachte die in der Frage genannten Antwortmöglichkeiten.
02 · Verstehen
Eine Nullstelle eingrenzen
Wenn eine exakte Lösung nicht direkt greifbar ist
f(x) = x² − 2
√2 ≈ 1,4142
Eine Nullstelle erfüllt f(x) = 0. Nicht jede Gleichung lässt sich mit bekannten Schulformeln einfach exakt lösen. Numerische Verfahren liefern dann kontrollierte Näherungen.
Beispiel: Untersuche f(x) = x² − 2 auf [1; 2].
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Nullstelle durch einen Vorzeichenwechsel eingrenzen
f(x) = x² − 2
Intervall: [1; 2]
RechnungErklärung zum Schritt
f(1) = 1² − 2 = −1
f(2) = 2² − 2 = 2
f(2) = 2² − 2 = 2
f(1) · f(2) = −2 < 0
2 Vorzeichenwechsel und Stetigkeit prüfen
Das Polynom ist auf [1; 2] stetig. Deshalb liegt zwischen 1 und 2 mindestens eine Nullstelle.
Ein Vorzeichenwechsel ohne Stetigkeit genügt nicht: 1 geteilt durch x hat auf den Seiten von 0 verschiedene Vorzeichen, aber keine Nullstelle. Umgekehrt kann eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel auftreten, etwa bei x².
Das Intervall wiederholt halbieren
Berechne die Mitte m = (a + b) geteilt durch 2. Falls f(m) = 0 gilt, ist die Nullstelle gefunden. Andernfalls behältst du die Hälfte mit entgegengesetzten Funktionsvorzeichen an den Endpunkten.
Für x² − 2 beginnt das Verfahren mit [1; 2].
| Mitte m | f(m) | Neues Intervall |
|---|---|---|
| 1,5 | 0,25 | [1; 1,5] |
| 1,25 | −0,4375 | [1,25; 1,5] |
| 1,375 | −0,109375 | [1,375; 1,5] |
| 1,4375 | 0,06640625 | [1,375; 1,4375] |
So entstehen die ersten beiden Tabellenzeilen:
Beispiel · Schritt für Schritt
Die ersten beiden Intervallhalbierungen durchführen
f(x) = x² − 2
Startintervall: [1; 2]
RechnungErklärung zum Schritt
m₁ = (1 + 2) : 2 = 1,5
f(1,5) = 1,5² − 2 = 0,25
f(1,5) = 1,5² − 2 = 0,25
1 Erste Mitte berechnen
Die Mitte hat einen positiven Funktionswert.
Neues Intervall: [1; 1,5]
2 Vorzeichenwechsel behalten
f(1) ist negativ. Deshalb bleibt die linke Hälfte erhalten.
m₂ = (1 + 1,5) : 2 = 1,25
f(1,25) = −0,4375
f(1,25) = −0,4375
3 Erneut halbieren
Der Funktionswert an der neuen Mitte ist negativ.
Neues Intervall: [1,25; 1,5]
4 Zweite Hälfte auswählen
f(1,5) ist positiv. Behalte diesmal die rechte Hälfte des aktuellen Intervalls.
Das Intervall bleibt eine sichere Einschließung. Hier ist die positive Nullstelle eindeutig, weil f auf [1; 2] streng steigt. Eine Vorzeichenprüfung allein garantiert bei anderen Funktionen noch keine Eindeutigkeit.
Eine belastbare Genauigkeit angeben
Nach k Halbierungen ist die Intervallbreite gleich der ursprünglichen Breite geteilt durch 2ᵏ. Als Näherung kannst du die Mitte des zuletzt behaltenen Intervalls nehmen. Ihr Abstand zu einer darin liegenden Nullstelle beträgt höchstens die halbe Intervallbreite.
Beispiel · Schritt für Schritt
Näherungswert und Fehlerschranke unterscheiden
f(x) = x² − 2
Nach vier Halbierungen: [1,375; 1,4375]
RechnungErklärung zum Schritt
b − a = 1,4375 − 1,375
b − a = 0,0625
b − a = 0,0625
1 Breite nach vier Schritten
Das zuletzt behaltene Intervall ist [1,375; 1,4375].
m = (1,375 + 1,4375) : 2
m = 1,40625
m = 1,40625
2 Neue Intervallmitte berechnen
Diese Mitte verwendest du als Näherung.
Fehler ≤ 0,0625 : 2
Fehler ≤ 0,03125
Fehler ≤ 0,03125
3 Fehlerschranke angeben
Die Nullstelle liegt im Intervall, also höchstens eine halbe Intervallbreite von m entfernt. Die zuletzt geprüfte Mitte 1,4375 ist jetzt ein Randpunkt; verwechsle sie nicht mit der neuen Mitte.
Ausgehend von Breite 1 reichen neun Halbierungen für eine Mittelpunkt-Fehlerschranke von höchstens 0,001: ≈ 0,000977. Für korrekt gerundete Nachkommastellen prüfst du am besten, ob das ganze Endintervall auf denselben Rundungswert führt.
Newton: Mit der Tangente weiterrechnen
xₙ₊₁ = xₙ −
Die Tangente an den Graphen im aktuellen Punkt trifft die x-Achse beim nächsten Näherungswert. Das erklärt die Formel. Du brauchst die Ableitung und einen Startwert; an jedem Schritt muss f′(xₙ) ≠ 0 sein.
Beispiel: f(x) = x² − 2 mit Startwert x₀ = 1,5.
Beispiel · Schritt für Schritt
Zwei Newton-Schritte mit ungerundeten Werten berechnen
f(x) = x² − 2
Startwert: x₀ = 1,5
RechnungErklärung zum Schritt
f′(x) = 2x
f(1,5) = 0,25; f′(1,5) = 3
f(1,5) = 0,25; f′(1,5) = 3
1 Funktionswert und Ableitung berechnen
Die Ableitung am Startwert ist ungleich null. Der erste Newton-Schritt ist damit definiert.
x₁ = 1,5 −
x₁ = ≈ 1,416666667
x₁ = ≈ 1,416666667
2 Newton-Formel anwenden
Ziehe den Quotienten aus Funktionswert und Ableitung vom Startwert ab.
x₂ = −
x₂ = ≈ 1,414215686
x₂ = ≈ 1,414215686
3 Mit dem exakten Wert weiterrechnen
Bei x₁ = 17/12 gilt f(x₁) = 1/144 und f′(x₁) = 17/6. Die Dezimalzahlen sind nur gerundete Anzeigen.
Setze beim Weiterrechnen möglichst den ungerundeten Wert ein. Erst den ausgegebenen Endwert rundest du. Hier ist nach wenigen Schritten die positive Wurzel aus 2 gut angenähert.
Warum Newton nicht immer funktioniert
Bei f′(xₙ) = 0 ist der Quotient nicht definiert. Kleine Ableitungen können zu sehr großen Schritten führen. Ein ungünstiger Startwert kann die Folge von der gesuchten Nullstelle wegführen.
Gegenbeispiel: f(x) = x³ − 2x + 2 mit x₀ = 0.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Gegenbeispiel zur Konvergenz von Newton untersuchen
f(x) = x³ − 2x + 2
Startwert: x₀ = 0
RechnungErklärung zum Schritt
f′(x) = 3x² − 2
f(0) = 2; f′(0) = −2
f(0) = 2; f′(0) = −2
1 Startwerte bestimmen
Die Ableitung ist ungleich null; der Rechenschritt ist definiert.
x₁ = 0 − = 1
2 Ersten Schritt ausführen
Newton führt vom Startwert 0 zum Wert 1.
f(1) = 1; f′(1) = 1
x₂ = 1 − = 0
x₂ = 1 − = 0
3 Zweiten Schritt ausführen
Der nächste Schritt führt zum Startwert zurück. Die Werte pendeln zwischen 0 und 1, statt eine Nullstelle zu erreichen.
Auch eine kleine Änderung der Näherungswerte oder ein kleiner Funktionswert ist ohne weitere Voraussetzungen keine universelle Garantie für einen kleinen x-Fehler. Wenn eine verlässliche Schranke verlangt ist, bietet eine geprüfte Intervallschachtelung eine klare Kontrolle.
Eine Gleichung zuerst auf Null bringen
Gesucht ist eine Lösung von x³ + x = 1.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Gleichung mit Intervallhalbierung lösen
x³ + x = 1
Startintervall: [0; 1]
RechnungErklärung zum Schritt
x³ + x − 1 = 0
f(x) = x³ + x − 1
f(x) = x³ + x − 1
1 Gleichung auf null bringen
Subtrahiere 1 auf beiden Seiten und verwende die linke Seite als Funktion.
f(0) = −1; f(1) = 1
2 Startintervall prüfen
Die Funktion ist auf [0; 1] stetig. Wegen des Vorzeichenwechsels ist das Intervall geeignet.
m₁ = 0,5
f(0,5) = −0,375
f(0,5) = −0,375
3 Erste Halbierung
Behalte [0,5; 1], denn der Funktionswert bei 1 ist positiv.
m₂ = 0,75
f(0,75) = 0,171875
f(0,75) = 0,171875
4 Zweite Halbierung
Behalte [0,5; 0,75]. Wiederhole bis zur geforderten Genauigkeit.
Zum Vergleich: Newton für dieselbe Funktion mit x₀ = 0,5.
Beispiel · Schritt für Schritt
Für dieselbe Gleichung einen Newton-Schritt berechnen
f(x) = x³ + x − 1
Startwert: x₀ = 0,5
RechnungErklärung zum Schritt
f′(x) = 3x² + 1
f′(0,5) = 1,75
f′(0,5) = 1,75
1 Ableitung am Startwert berechnen
Die Ableitung ist ungleich null.
x₁ = 0,5 −
x₁ = ≈ 0,714286
x₁ = ≈ 0,714286
2 Newton-Schritt berechnen
Ein negativer Quotient wird abgezogen; der Näherungswert wächst. Beide Verfahren bearbeiten dieselbe Nullstelle, aber mit unterschiedlichen Rechenschritten und Kontrollmöglichkeiten.
Welches Verfahren passt?
Intervallhalbierung braucht ein stetiges Modell und ein geeignetes Startintervall. Sie ist gut nachvollziehbar und liefert eine Einschließung. Newton braucht zusätzlich Ableitungswerte und kann nahe einer geeigneten Nullstelle deutlich schneller sein, ist aber nicht allgemein abgesichert.
Halte Startwerte, Zwischenwerte und Abbruchgrund fest. In einer Sachaufgabe prüfst du anschließend, ob die Lösung im zulässigen Bereich liegt und welche Einheit sie hat.
Mit einem einzigen Startintervall oder Startwert findest du nicht automatisch sämtliche Nullstellen einer Funktion. Suche gegebenenfalls weitere Bereiche.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Nutze die Abbildungen und gib anschließend die gefragte Antwort ein. Prüfe Reihenfolge, Vorzeichen und Sonderfälle.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Hälfte bleibt nach der ersten Prüfung bei m = 1,5?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die richtige Intervallhälfte auswählen
f(x) = x² − 2
Startintervall: [1; 2]
Erste Mitte: m = 1,5
RechnungErklärung zum Schritt
f(1) = −1
f(1,5) = 1,5² − 2 = 0,25
f(1,5) = 1,5² − 2 = 0,25
1 Vorzeichen berechnen
Der linke Randwert ist negativ, der Wert an der Mitte positiv.
Neues Intervall: [1; 1,5]
2 Passende Hälfte behalten
Die stetige Funktion hat in dieser Hälfte weiterhin einen Vorzeichenwechsel.
3 · Welche Breite hat ein Intervall der Startbreite 1 nach vier Halbierungen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die verbleibende Intervallbreite berechnen
Startbreite: 1
Anzahl der Halbierungen: 4
RechnungErklärung zum Schritt
Breite =
1 Viermal halbieren
Jede Halbierung teilt die aktuelle Breite durch 2.
Breite = = 0,0625
2 Berechnen
Das ist die gesamte Intervallbreite. Die Fehlerschranke der neuen Intervallmitte ist nur halb so groß.
4 · Wie lautet der erste Newton-Schritt für x² − 2 bei x₀ = 1,5?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den ersten Newton-Schritt auswerten
f(x) = x² − 2
Startwert: x₀ = 1,5
RechnungErklärung zum Schritt
f(1,5) = 0,25
f′(1,5) = 3
f′(1,5) = 3
1 Werte einsetzen
Bei f(x) = x² − 2 lautet die Ableitung f′(x) = 2x.
x₁ = 1,5 −
x₁ = ≈ 1,416666667
x₁ = ≈ 1,416666667
2 Newton-Formel auswerten
Verwende zum Weiterrechnen den exakten Bruch beziehungsweise den intern ungerundeten Wert.
5 · Was passiert bei Newton, wenn f′(xₙ) = 0 ist?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Formel würde durch 0 teilen. Dieser Schritt ist nicht definiert.
Erklärung wiederholen →6 · Garantiert der Vorzeichenwechsel von 1/x zwischen −1 und 1 eine Nullstelle?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Die Funktion ist im Intervall bei 0 nicht definiert und nicht durchgehend stetig.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Ist 1,4142 die exakte Wurzel aus 2?
Nein. Es ist eine gerundete Näherung. Deshalb schreibst du √2 ≈ 1,4142.
Findet Newton immer die nächste Nullstelle?
Nein. Das Ergebnis hängt vom Startwert und der Funktion ab. Das Verfahren kann auch scheitern oder pendeln.
Wann endet die Intervallhalbierung?
Bei einem exakt getroffenen Nullwert oder sobald das Intervall die festgelegte Genauigkeit erreicht. Den Abbruchgrund solltest du angeben.
Der linke Funktionswert ist negativ, der rechte positiv.