1 · Warum liegt für x² − 2 eine Nullstelle in [1; 2]?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Funktion ist stetig; f(1) = −1 und f(2) = 2 haben verschiedene Vorzeichen.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 9–13
Nullstellen näherungsweise bestimmen: verstehen und üben
Finde Näherungen für Nullstellen mit Intervallhalbierung und Newton-Verfahren. Prüfe Voraussetzungen, dokumentiere die Rechenschritte und unterscheide eine Näherung von einem exakten Wert.
Wenn eine exakte Lösung nicht direkt greifbar ist
f(x) = x² − 2
√2 ≈ 1,4142
Lernschritt 1
Eine Nullstelle eingrenzen
Eine Nullstelle erfüllt f(x) = 0. Nicht jede Gleichung lässt sich mit bekannten Schulformeln einfach exakt lösen. Numerische Verfahren liefern dann kontrollierte Näherungen.
Für f(x) = x² − 2 ist f(1) = −1 und f(2) = 2. Weil die Funktion auf [1; 2] stetig ist und das Vorzeichen wechselt, liegt dazwischen mindestens eine Nullstelle.
Ein Vorzeichenwechsel ohne Stetigkeit genügt nicht: 1 geteilt durch x hat auf den Seiten von 0 verschiedene Vorzeichen, aber keine Nullstelle. Umgekehrt kann eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel auftreten, etwa bei x².
Lernschritt 2
Das Intervall wiederholt halbieren
Berechne die Mitte m = (a + b) geteilt durch 2. Falls f(m) = 0 gilt, ist die Nullstelle gefunden. Andernfalls behältst du die Hälfte mit entgegengesetzten Funktionsvorzeichen an den Endpunkten.
Für x² − 2 beginnt das Verfahren mit [1; 2].
| Mitte m | f(m) | Neues Intervall |
|---|---|---|
| 1,5 | 0,25 | [1; 1,5] |
| 1,25 | −0,4375 | [1,25; 1,5] |
| 1,375 | −0,109375 | [1,375; 1,5] |
| 1,4375 | 0,06640625 | [1,375; 1,4375] |
Das Intervall bleibt eine sichere Einschließung. Hier ist die positive Nullstelle eindeutig, weil f auf [1; 2] streng steigt. Eine Vorzeichenprüfung allein garantiert bei anderen Funktionen noch keine Eindeutigkeit.
Lernschritt 3
Eine belastbare Genauigkeit angeben
Nach k Halbierungen ist die Intervallbreite gleich der ursprünglichen Breite geteilt durch 2ᵏ. Als Näherung kannst du die Mitte des zuletzt behaltenen Intervalls nehmen. Ihr Abstand zu einer darin liegenden Nullstelle beträgt höchstens die halbe Intervallbreite.
Nach den vier gezeigten Schritten ist die Breite 0,0625. Die neue Mitte ist 1,40625; der Fehler ist höchstens 0,03125. Die letzte geprüfte Mitte 1,4375 ist dagegen ein Randpunkt des neuen Intervalls. Verwechsle diese beiden Werte nicht.
Ausgehend von Breite 1 reichen neun Halbierungen für eine Mittelpunkt-Fehlerschranke von höchstens 0,001: ≈ 0,000977. Für korrekt gerundete Nachkommastellen prüfst du am besten, ob das ganze Endintervall auf denselben Rundungswert führt.
Lernschritt 4
Newton: Mit der Tangente weiterrechnen
xₙ₊₁ = xₙ −
Die Tangente an den Graphen im aktuellen Punkt trifft die x-Achse beim nächsten Näherungswert. Das erklärt die Formel. Du brauchst die Ableitung und einen Startwert; an jedem Schritt muss f′(xₙ) ≠ 0 sein.
Für f(x) = x² − 2 ist f′(x) = 2x. Mit x₀ = 1,5 ergibt sich x₁ = 1,5 − 0,25 geteilt durch 3 = 1,416666…. Der nächste Wert ist ungefähr 1,414215686.
Setze beim Weiterrechnen möglichst den ungerundeten Wert ein. Erst den ausgegebenen Endwert rundest du. Hier ist nach wenigen Schritten die positive Wurzel aus 2 gut angenähert.
Lernschritt 5
Warum Newton nicht immer funktioniert
Bei f′(xₙ) = 0 ist der Quotient nicht definiert. Kleine Ableitungen können zu sehr großen Schritten führen. Ein ungünstiger Startwert kann die Folge von der gesuchten Nullstelle wegführen.
Ein konkretes Gegenbeispiel ist f(x) = x³ − 2x + 2 mit x₀ = 0. Der nächste Wert ist 1; von dort führt der folgende Schritt wieder zu 0. Die Werte pendeln, statt eine Nullstelle zu erreichen.
Auch eine kleine Änderung der Näherungswerte oder ein kleiner Funktionswert ist ohne weitere Voraussetzungen keine universelle Garantie für einen kleinen x-Fehler. Wenn eine verlässliche Schranke verlangt ist, bietet eine geprüfte Intervallschachtelung eine klare Kontrolle.
Lernschritt 6
Eine Gleichung zuerst auf Null bringen
Für die Gleichung x³ + x = 1 verwendest du f(x) = x³ + x − 1. An den Stellen 0 und 1 sind die Werte −1 und 1. Die Funktion ist stetig, also eignet sich dieses Intervall.
Die Mitte 0,5 liefert −0,375; behalte [0,5; 1]. Die Mitte 0,75 liefert 0,171875; behalte [0,5; 0,75]. Wiederhole bis zur geforderten Genauigkeit.
Für Newton wäre f′(x) = 3x² + 1. Ein Start bei 0,5 führt zu x₁ ≈ 0,714286. Beide Verfahren bearbeiten dieselbe Nullstelle, aber mit unterschiedlichen Rechenschritten und Kontrollmöglichkeiten.
Lernschritt 7
Welches Verfahren passt?
Intervallhalbierung braucht ein stetiges Modell und ein geeignetes Startintervall. Sie ist gut nachvollziehbar und liefert eine Einschließung. Newton braucht zusätzlich Ableitungswerte und kann nahe einer geeigneten Nullstelle deutlich schneller sein, ist aber nicht allgemein abgesichert.
Halte Startwerte, Zwischenwerte und Abbruchgrund fest. In einer Sachaufgabe prüfst du anschließend, ob die Lösung im zulässigen Bereich liegt und welche Einheit sie hat.
Mit einem einzigen Startintervall oder Startwert findest du nicht automatisch sämtliche Nullstellen einer Funktion. Suche gegebenenfalls weitere Bereiche.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Hälfte bleibt nach der ersten Prüfung bei m = 1,5?
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[1; 1,5], weil f(1) negativ und f(1,5) positiv ist.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Breite hat ein Intervall der Startbreite 1 nach vier Halbierungen?
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1 geteilt durch 16 = 0,0625.
Erklärung wiederholen →4 · Wie lautet der erste Newton-Schritt für x² − 2 bei x₀ = 1,5?
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x₁ = 1,5 − 0,25 geteilt durch 3 = 1,416666….
Erklärung wiederholen →5 · Was passiert bei Newton, wenn f′(xₙ) = 0 ist?
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Die Formel würde durch 0 teilen. Dieser Schritt ist nicht definiert.
Erklärung wiederholen →6 · Garantiert der Vorzeichenwechsel von 1/x zwischen −1 und 1 eine Nullstelle?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Die Funktion ist im Intervall bei 0 nicht definiert und nicht durchgehend stetig.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ableitungen für das Newton-Verfahren
Wiederhole das Ableiten als direkte Voraussetzung für Newton. Die Iterationsschritte und Intervallhalbierung übst du auf dieser Seite.
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Spickzettel ansehen →Häufige Fragen
Ist 1,4142 die exakte Wurzel aus 2?
Nein. Es ist eine gerundete Näherung. Deshalb schreibst du √2 ≈ 1,4142.
Findet Newton immer die nächste Nullstelle?
Nein. Das Ergebnis hängt vom Startwert und der Funktion ab. Das Verfahren kann auch scheitern oder pendeln.
Wann endet die Intervallhalbierung?
Bei einem exakt getroffenen Nullwert oder sobald das Intervall die festgelegte Genauigkeit erreicht. Den Abbruchgrund solltest du angeben.