Warum krümmt ein Magnetfeld die Bahn eines Elektrons? Bestimme die Lorentzkraft, berücksichtige das Ladungsvorzeichen und verstehe Kreisbahn und Energie. Mit Richtungsmodell, Schaubildern und Aufgaben für die Oberstufe.
FLUnsicher beim Einstieg?3 Aufgaben im freiwilligen Kurzcheck
Finde heraus, was du schon kannst
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lösungen mit Erklärungen
3,2 – F = 1,6 · 10⁻¹⁹ · 200000 · 0,1 N = 3,2 fN.
10 – r = (3,2 · 10⁻²⁶ · 100000)/(1,6 · 10⁻¹⁹ · 0,2) = 0,1 m = 10 cm.
200 – Der Geschwindigkeitsbetrag bleibt 200000 m/s = 200 km/s. Nur die Richtung ändert sich.
Auf ein bewegtes geladenes Teilchen kann in einem Magnetfeld eine magnetische Kraft wirken. In vielen Schulbüchern heißt dieser magnetische Anteil Lorentzkraft. Allgemeiner bezeichnet der Name auch die gesamte elektromagnetische Kraft mit elektrischem und magnetischem Anteil.
Auf dieser Seite betrachten wir zunächst ausschließlich die magnetische Kraft. Ihre Vektorform lautet F⃗mag = q · (v⃗ × B⃗). Das Kreuzprodukt beschreibt, dass sie senkrecht auf der Geschwindigkeit und auf dem Magnetfeld steht.
Für einen von null verschiedenen Kraftbetrag gilt:
Fmag = |q| · v · B · sin(α)
q ist die Ladung in Coulomb, v der Geschwindigkeitsbetrag in Metern pro Sekunde und B die magnetische Flussdichte in Tesla. α liegt zwischen 0° und 180° und ist der Winkel zwischen den Vektoren v⃗ und B⃗, nicht zwischen Bahn und Kraft.
Wir verwenden das klassische Einzelteilchenmodell: homogenes zeitlich konstantes Magnetfeld, keine Stöße, keine weiteren Kräfte und vernachlässigte Strahlungsverluste. Für die späteren Bahnformeln soll v deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein.
Lernschritt 2
Ausprobieren: Drei Richtungen und das Vorzeichen
Positive Ladung: Kraft nach oben
Kreuze markieren das Magnetfeld in die Bildebene hinein. Die Geschwindigkeit zeigt in dieser Momentaufnahme nach rechts.
Die magnetische Kraft steht senkrecht auf v und B. Das Vorzeichen der Ladung kehrt die Kraft um, nicht das äußere Feld.
Negative Ladung: Kraft nach unten
Kreuze markieren das Magnetfeld in die Bildebene hinein. Die Geschwindigkeit zeigt in dieser Momentaufnahme nach rechts.
Die magnetische Kraft steht senkrecht auf v und B. Das Vorzeichen der Ladung kehrt die Kraft um, nicht das äußere Feld.
Für eine positive Ladung kannst du die Drei-Finger-Regel der rechten Hand verwenden: Daumen in Bewegungsrichtung, Zeigefinger in B-Richtung und Mittelfinger in Kraftrichtung. Die drei Finger stehen senkrecht zueinander; bei schrägem Eintritt beschreibt die Regel die Richtung des Kreuzprodukts.
Für eine negative Ladung kehrst du die so gefundene Kraftrichtung um. Verwende beim Daumen die tatsächliche Teilchengeschwindigkeit und vertausche nicht unbemerkt Elektronenbewegung mit technischer Stromrichtung.
Im Bild zeigt v nach rechts und B in die Bildebene hinein. Die Kraft auf eine positive Ladung zeigt nach oben. Für ein Elektron zeigt sie nach unten.
Kreuz bedeutet „von dir weg“, wie die Federn eines fortfliegenden Pfeils. Punkt bedeutet „zu dir hin“, wie seine auf dich gerichtete Spitze. Diese Zeichen stehen hier für die Magnetfeldrichtung, nicht für eine Ladung.
Das Modell hält B, v und den Ladungsbetrag fest. Es zeigt eine Momentaufnahme vor einer nennenswerten Bahnänderung. Nach dem Umschalten kehrt sich die Kraftrichtung um, der Betrag bleibt gleich.
Vorgehen · Schritt für Schritt
Die Richtung für ein Elektron bestimmen
v zeigt nach rechts; B zeigt in die Bildebene hinein.
Das jeweils beschriebene Idealmodell beachten.
Vorgehen: Die Richtung für ein Elektron bestimmen
Beobachtung / Entscheidung
Erklärung zum Schritt
Daumen: v →
1Mit positiver Ladung beginnen
Rechte Hand verwenden. Der Daumen folgt der tatsächlichen Teilchengeschwindigkeit.
Zeigefinger: B hinein
2Kreuzprodukt zuordnen
Der Mittelfinger zeigt für die positive Ladung nach oben.
Elektron: F nach unten
3Negatives Vorzeichen berücksichtigen
Für q < 0 kehrst du die gefundene Kraftrichtung um.
Ergebnis: Die Elektronenkraft zeigt in dieser Momentaufnahme nach unten.
Lernschritt 3
Wann wirkt keine magnetische Kraft?
Bei v = 0 ruht die Ladung und die magnetische Kraft ist null. Auch für eine bewegte Ladung kann sie null sein: Wenn v parallel oder antiparallel zu B liegt, ist sin(α) = 0.
Bei α = 90° ist sin(α) = 1. Dann gilt die häufig verwendete Kurzform:
Fmag = |q| · v · B
Bei α = 30° ist der Betrag nur halb so groß wie bei 90°, sofern q, v und B gleich bleiben. Ein Magnetfeld übt also nicht auf jede bewegte Ladung automatisch dieselbe Kraft aus.
Hilfreich ist die Zerlegung v⊥ = v · sin(α). Nur die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum Feld trägt zum Betrag bei: Fmag = |q| · v⊥ · B.
Lernschritt 4
Eine Kraft mit Einheiten berechnen
Die Kraft ist klein, die Elektronenmasse aber ebenfalls. Deshalb kann die Bahn deutlich gekrümmt werden.
Beispiel · Schritt für Schritt
Magnetische Kraft auf ein Elektron
Wie groß ist die Kraft bei senkrechtem Eintritt?
v = 2,0 · 10⁶ m/s; B = 5,0 mT; |q| = e ≈ 1,602 · 10⁻¹⁹ C.
Rechenweg: Magnetische Kraft auf ein Elektron
Rechnung
Erklärung zum Schritt
B = 5,0 · 10−3 T
1Millitesla umrechnen
Milli bedeutet ein Tausendstel.
α = 90° → sin α = 1
2Winkel berücksichtigen
Der Winkel liegt zwischen Geschwindigkeit und Feld.
F = |q| · v · B
3Betragsformel wählen
Das negative Elektronenvorzeichen wird für die Richtung separat berücksichtigt.
F ≈ 1,60 · 10−15 N
4Werte einsetzen
1,602 · 10⁻¹⁹ · 2,0 · 10⁶ · 5,0 · 10⁻³ ergibt den Kraftbetrag in Newton.
Ergebnis: Der Kraftbetrag beträgt etwa 1,60 · 10⁻¹⁵ N.
Vergleich: Eintritt unter 30°
Bei gleichen q, v und B gilt sin 30° = 0,5. Die Kraft halbiert sich auf etwa 8,01 · 10⁻¹⁶ N. Bei 0° oder 180° verschwindet sie.
Lernschritt 5
Warum ändert die magnetische Kraft nicht das Tempo?
Die magnetische Kraft steht immer senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit. Dadurch ist ihre Leistung am Teilchen null: Das Skalarprodukt F⃗mag · v⃗ verschwindet. Sie verrichtet keine Arbeit am Teilchen.
Im betrachteten Modell bleiben deshalb kinetische Energie und Geschwindigkeitsbetrag konstant. Trotzdem ändert sich die Geschwindigkeit als Vektor, weil ihre Richtung wechselt. Das ist eine Beschleunigung.
„Beschleunigt“ bedeutet in der Physik nicht nur „wird schneller“. Auch eine Richtungsänderung bei gleichbleibendem Tempo ist eine Beschleunigung.
Diese Aussage betrifft die rein magnetische Kraft. Ist zusätzlich ein elektrisches Feld vorhanden, kann dessen Kraft sehr wohl Energie übertragen. Auch reale Energieverluste durch Stöße oder Strahlung sind in unserem einfachen Modell nicht enthalten.
Lernschritt 6
Senkrechter Eintritt: Die Kraft hält die Kreisbahn
v tangential · F zum Mittelpunkt
Das Magnetfeld zeigt ins Bild. An der rechten Kreisposition fliegt die positive Ladung nach oben; ihre Kraft zeigt nach links zum Mittelpunkt M.
Senkrechter Eintritt, homogenes Feld, nur magnetische Kraft. Das Tempo bleibt gleich. Die Kraft ändert ständig die Richtung der Geschwindigkeit.
Bei senkrechtem Eintritt in ein ausreichend ausgedehntes homogenes Magnetfeld hat die Kraft einen konstanten Betrag und zeigt immer senkrecht zur Geschwindigkeit. Sie übernimmt die Rolle der Zentripetalkraft.
|q| · v · B = m · v²r
r = m · v|q| · B
r ist der Radius, nicht der Durchmesser. Eine zusätzliche „Zentripetalkraft“ musst du nicht zur magnetischen Kraft addieren: Zentripetalkraft beschreibt hier deren Rolle als zum Kreismittelpunkt gerichtete resultierende Kraft.
Für das Elektron aus dem Rechenbeispiel gilt mit me ≈ 9,109 · 10−31 kg:
r = 9,109 · 10−31 · 2,0 · 1061,602 · 10−19 · 5,0 · 10−3 m ≈ 0,00227 m
Der Radius beträgt etwa 2,27 mm, der Durchmesser etwa 4,55 mm. Für eine vollständige Kreisbahn muss das Feld den nötigen Bereich abdecken und kein Hindernis die Bahn unterbrechen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Radius der Kreisbahn berechnen
Welchen Kreisradius hat das Elektron aus dem Kraftbeispiel?
mₑ = 9,109 · 10⁻³¹ kg; v = 2,0 · 10⁶ m/s; B = 5,0 · 10⁻³ T; v senkrecht zu B.
Rechenweg: Den Radius der Kreisbahn berechnen
Rechnung
Erklärung zum Schritt
|q| · v · B = m · v² / r
1Kräftefunktion erkennen
Die magnetische Kraft übernimmt die Rolle der Zentripetalkraft. Es gibt hier keine zusätzliche zweite Kraft.
r = m · v / (|q| · B)
2Nach r auflösen
Eine Geschwindigkeit kürzt sich heraus.
r ≈ 0,00227 m = 2,27 mm
3Einsetzen
Der gesamte Ausdruck |q| · B steht im Nenner.
Durchmesser = 2r ≈ 4,55 mm
4Radius und Durchmesser unterscheiden
Das Magnetfeld muss den benötigten Bahnbereich abdecken.
Ergebnis: Der Kreisradius beträgt etwa 2,27 mm.
Lernschritt 7
Wie ändern sich Radius und Umlaufzeit?
Aus r = m · v geteilt durch |q| · B folgt bei sonst gleichen Größen: Doppeltes v ergibt doppelten Radius. Doppeltes B ergibt halben Radius. Doppelter Ladungsbetrag ergibt ebenfalls halben Radius.
Eine größere Masse bedeutet bei gleicher Geschwindigkeit einen größeren Radius. Vergleiche jedoch die gegebenen Bedingungen: Bei gleicher Beschleunigungsspannung haben Teilchen unterschiedlicher Masse im Allgemeinen nicht dieselbe Geschwindigkeit.
Die Umlaufzeit ist Weg pro Umlauf geteilt durch Geschwindigkeit. Im nichtrelativistischen Modell gilt:
T = 2πrv = 2πm|q| · B
Bei festem m, |q| und B hängt T hier nicht von v ab. Ein schnelleres Teilchen fliegt einen entsprechend größeren Kreis. Für das Beispiel ergeben sich etwa 7,15 ns pro Umlauf.
Bei relativistischen Geschwindigkeiten ist diese Geschwindigkeitsunabhängigkeit nicht mehr gültig. Dann wird für die Radiusbeziehung der relativistische Impuls benötigt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Umlaufzeit bestimmen
Wie lange braucht das Elektron für einen Umlauf?
r ≈ 2,274 mm; v = 2,0 · 10⁶ m/s; klassische Näherung.
Rechenweg: Eine Umlaufzeit bestimmen
Rechnung
Erklärung zum Schritt
T = 2πr / v
1Weg durch Geschwindigkeit teilen
Ein Umlauf umfasst den Kreisumfang 2πr.
T ≈ 7,15 · 10−9 s
2Meter und Sekunden verwenden
Setze den Radius in Metern ein.
T ≈ 7,15 ns
3Ergebnis einordnen
Bei gleichen m, |q| und B bleibt T klassisch gleich: Höheres Tempo führt zu einem größeren Kreis.
Ergebnis: Ein Umlauf dauert etwa 7,15 ns.
Lernschritt 8
Schräger Eintritt: eine Schraubenbahn
Bei schrägem Eintritt zerlegst du die Geschwindigkeit in einen Anteil parallel zu B und einen Anteil senkrecht zu B. Der parallele Anteil erfährt keine magnetische Kraft und bleibt konstant. Der senkrechte Anteil führt eine Kreisbewegung aus.
Vertiefung und Modellgrenzen
Zusammen ergibt sich im homogenen Feld eine Schraubenbahn entlang der Feldrichtung. Der Kreisradius wird mit v⊥ berechnet, nicht mit dem gesamten Geschwindigkeitsbetrag:
r = m · v⊥|q| · B; Ganghöhe h = |v∥| · T
Bei genau senkrechtem Eintritt ist v∥ = 0: Es bleibt die Kreisbahn. Bei genau parallelem Eintritt ist v⊥ = 0: Das Teilchen fliegt gerade weiter.
Lernschritt 9
Elektrische und magnetische Ablenkung auseinanderhalten
Elektrische Kraft: F⃗el = q · E⃗. Sie wirkt auch auf ruhende Ladungen und kann den Geschwindigkeitsbetrag ändern. Im homogenen Querfeld ergibt sich bei waagerechtem Eintritt eine Parabel.
Vertiefung und Modellgrenzen
Magnetische Kraft: F⃗mag = q · (v⃗ × B⃗). Sie verschwindet bei ruhenden Ladungen und bei Bewegung parallel zum Feld. Unter unseren Modellannahmen bleibt das Tempo konstant; bei senkrechtem Eintritt entsteht eine Kreisbahn.
Die Formel B · I · l gehört zur Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter. Für ein einzelnes bewegtes Teilchen verwenden wir |q| · v · B · sin(α). Die Zusammenhänge sind verwandt, die eingesetzten Größen dürfen aber nicht vermischt werden.
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Lösungen mit Erklärungen
16 – F = 1,6 · 10⁻¹⁹ · 1000000 · 0,1 N = 16 fN.
50 – r = (3,2 · 10⁻²⁶ · 500000)/(1,6 · 10⁻¹⁹ · 0,2) = 0,5 m = 50 cm.
1000 – Der Geschwindigkeitsbetrag bleibt 1000000 m/s = 1000 km/s. Nur die Richtung ändert sich.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Eigene Werte einsetzenMit dem Physikhelfer
Physikhelfer
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Berechne den magnetischen Kraftbetrag für eine Ladung, die sich senkrecht zum Magnetfeld bewegt. Die Kraftrichtung bestimmst du mit der Erklärung. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
6 · Ein Teilchen tritt schräg zu einem homogenen Magnetfeld ein. Welche Bahn entsteht?
Lösung und Rechenweg ansehen
Eine Schraubenbahn, wenn sowohl der parallele als auch der senkrechte Geschwindigkeitsanteil von null verschieden sind. Der parallele Anteil bleibt konstant.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Häufige Fragen
Ist die Lorentzkraft immer magnetisch?
Der Begriff wird in Schulaufgaben oft für den magnetischen Anteil verwendet. Allgemein umfasst die Lorentzkraft auch den elektrischen Anteil q · E.
Warum ist eine Kreisbahn trotz konstantem Tempo beschleunigt?
Die Geschwindigkeit als Vektor ändert fortlaufend ihre Richtung. Die Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt und wird durch die magnetische Kraft verursacht.
Kann ich für ein Elektron direkt die rechte Hand verwenden?
Zuerst mit der rechten Hand die Richtung für eine positive Ladung bei derselben Geschwindigkeit bestimmen. Für das negative Elektron wird die Kraftrichtung anschließend umgekehrt.
