1 · Ein Elektron ruht in einem Magnetfeld. Wie groß ist seine rein magnetische Kraft?
Lösung und Rechenweg ansehen
Null, weil v = 0 ist. Ein zusätzliches elektrisches Feld könnte trotzdem eine Kraft verursachen.
Erklärung wiederholen →Physik · Elektrizitätslehre · Oberstufe
Lorentzkraft auf geladene Teilchen: verstehen und üben
Warum krümmt ein Magnetfeld die Bahn eines Elektrons? Bestimme die Lorentzkraft, berücksichtige das Ladungsvorzeichen und verstehe Kreisbahn und Energie. Mit Richtungsmodell, Schaubildern und Aufgaben für die Oberstufe.
Magnetische Kraft lenkt quer zur Bewegung
Fmag = |q| · v · B · sin(α)
α ist der Winkel zwischen Geschwindigkeit und Magnetfeld. Bei senkrechtem Eintritt ist die Kraft maximal, bei paralleler Bewegung null.
Lernschritt 1
Welche Lorentzkraft ist hier gemeint?
Auf ein bewegtes geladenes Teilchen kann in einem Magnetfeld eine magnetische Kraft wirken. In vielen Schulbüchern heißt dieser magnetische Anteil Lorentzkraft. Allgemeiner bezeichnet der Name auch die gesamte elektromagnetische Kraft mit elektrischem und magnetischem Anteil.
Auf dieser Seite betrachten wir zunächst ausschließlich die magnetische Kraft. Ihre Vektorform lautet F⃗mag = q · (v⃗ × B⃗). Das Kreuzprodukt beschreibt, dass sie senkrecht auf der Geschwindigkeit und auf dem Magnetfeld steht.
Für einen von null verschiedenen Kraftbetrag gilt:
Fmag = |q| · v · B · sin(α)
q ist die Ladung in Coulomb, v der Geschwindigkeitsbetrag in Metern pro Sekunde und B die magnetische Flussdichte in Tesla. α liegt zwischen 0° und 180° und ist der Winkel zwischen den Vektoren v⃗ und B⃗, nicht zwischen Bahn und Kraft.
Wir verwenden das klassische Einzelteilchenmodell: homogenes zeitlich konstantes Magnetfeld, keine Stöße, keine weiteren Kräfte und vernachlässigte Strahlungsverluste. Für die späteren Bahnformeln soll v deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein.
Lernschritt 2
Ausprobieren: Drei Richtungen und das Vorzeichen
Für eine positive Ladung kannst du die Drei-Finger-Regel der rechten Hand verwenden: Daumen in Bewegungsrichtung, Zeigefinger in B-Richtung und Mittelfinger in Kraftrichtung. Die drei Finger stehen senkrecht zueinander; bei schrägem Eintritt beschreibt die Regel die Richtung des Kreuzprodukts.
Für eine negative Ladung kehrst du die so gefundene Kraftrichtung um. Verwende beim Daumen die tatsächliche Teilchengeschwindigkeit und vertausche nicht unbemerkt Elektronenbewegung mit technischer Stromrichtung.
Im Bild zeigt v nach rechts und B in die Bildebene hinein. Die Kraft auf eine positive Ladung zeigt nach oben. Für ein Elektron zeigt sie nach unten.
Kreuz bedeutet „von dir weg“, wie die Federn eines fortfliegenden Pfeils. Punkt bedeutet „zu dir hin“, wie seine auf dich gerichtete Spitze. Diese Zeichen stehen hier für die Magnetfeldrichtung, nicht für eine Ladung.
Das Modell hält B, v und den Ladungsbetrag fest. Es zeigt eine Momentaufnahme vor einer nennenswerten Bahnänderung. Nach dem Umschalten kehrt sich die Kraftrichtung um, der Betrag bleibt gleich.
Lernschritt 3
Wann wirkt keine magnetische Kraft?
Bei v = 0 ruht die Ladung und die magnetische Kraft ist null. Auch für eine bewegte Ladung kann sie null sein: Wenn v parallel oder antiparallel zu B liegt, ist sin(α) = 0.
Bei α = 90° ist sin(α) = 1. Dann gilt die häufig verwendete Kurzform:
Fmag = |q| · v · B
Bei α = 30° ist der Betrag nur halb so groß wie bei 90°, sofern q, v und B gleich bleiben. Ein Magnetfeld übt also nicht auf jede bewegte Ladung automatisch dieselbe Kraft aus.
Hilfreich ist die Zerlegung v⊥ = v · sin(α). Nur die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum Feld trägt zum Betrag bei: Fmag = |q| · v⊥ · B.
Lernschritt 4
Eine Kraft mit Einheiten berechnen
Ein Elektron bewegt sich mit v = 2,0 · 106 Metern pro Sekunde senkrecht zu B = 5,0 mT. Gesucht ist der Kraftbetrag. Der Ladungsbetrag ist e ≈ 1,602 · 10−19 C.
1. Feld umrechnen: 5,0 mT = 5,0 · 10−3 T.
2. Winkel berücksichtigen: Bei 90° ist der Sinusfaktor 1.
3. Einsetzen:
Fmag = 1,602 · 10−19 · 2,0 · 106 · 5,0 · 10−3 N
Fmag ≈ 1,60 · 10−15 N
Der Kraftbetrag ist sehr klein, aber die Elektronenmasse ebenfalls. Daher kann sich die Bewegungsrichtung trotzdem schnell ändern. Die Richtung der Kraft bestimmst du getrennt mit v, B und dem negativen Ladungsvorzeichen.
Bei gleichem Elektron, gleichem v und B, aber α = 30°, wäre der Betrag nur etwa 8,01 · 10−16 N.
Lernschritt 5
Warum ändert die magnetische Kraft nicht das Tempo?
Die magnetische Kraft steht immer senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit. Dadurch ist ihre Leistung am Teilchen null: Das Skalarprodukt F⃗mag · v⃗ verschwindet. Sie verrichtet keine Arbeit am Teilchen.
Im betrachteten Modell bleiben deshalb kinetische Energie und Geschwindigkeitsbetrag konstant. Trotzdem ändert sich die Geschwindigkeit als Vektor, weil ihre Richtung wechselt. Das ist eine Beschleunigung.
„Beschleunigt“ bedeutet in der Physik nicht nur „wird schneller“. Auch eine Richtungsänderung bei gleichbleibendem Tempo ist eine Beschleunigung.
Diese Aussage betrifft die rein magnetische Kraft. Ist zusätzlich ein elektrisches Feld vorhanden, kann dessen Kraft sehr wohl Energie übertragen. Auch reale Energieverluste durch Stöße oder Strahlung sind in unserem einfachen Modell nicht enthalten.
Lernschritt 6
Senkrechter Eintritt: Die Kraft hält die Kreisbahn
Bei senkrechtem Eintritt in ein ausreichend ausgedehntes homogenes Magnetfeld hat die Kraft einen konstanten Betrag und zeigt immer senkrecht zur Geschwindigkeit. Sie übernimmt die Rolle der Zentripetalkraft.
|q| · v · B =
r =
r ist der Radius, nicht der Durchmesser. Eine zusätzliche „Zentripetalkraft“ musst du nicht zur magnetischen Kraft addieren: Zentripetalkraft beschreibt hier deren Rolle als zum Kreismittelpunkt gerichtete resultierende Kraft.
Für das Elektron aus dem Rechenbeispiel gilt mit me ≈ 9,109 · 10−31 kg:
r = m ≈ 0,00227 m
Der Radius beträgt etwa 2,27 mm, der Durchmesser etwa 4,55 mm. Für eine vollständige Kreisbahn muss das Feld den nötigen Bereich abdecken und kein Hindernis die Bahn unterbrechen.
Lernschritt 7
Wie ändern sich Radius und Umlaufzeit?
Aus r = m · v geteilt durch |q| · B folgt bei sonst gleichen Größen: Doppeltes v ergibt doppelten Radius. Doppeltes B ergibt halben Radius. Doppelter Ladungsbetrag ergibt ebenfalls halben Radius.
Eine größere Masse bedeutet bei gleicher Geschwindigkeit einen größeren Radius. Vergleiche jedoch die gegebenen Bedingungen: Bei gleicher Beschleunigungsspannung haben Teilchen unterschiedlicher Masse im Allgemeinen nicht dieselbe Geschwindigkeit.
Die Umlaufzeit ist Weg pro Umlauf geteilt durch Geschwindigkeit. Im nichtrelativistischen Modell gilt:
T = =
Bei festem m, |q| und B hängt T hier nicht von v ab. Ein schnelleres Teilchen fliegt einen entsprechend größeren Kreis. Für das Beispiel ergeben sich etwa 7,15 ns pro Umlauf.
Bei relativistischen Geschwindigkeiten ist diese Geschwindigkeitsunabhängigkeit nicht mehr gültig. Dann wird für die Radiusbeziehung der relativistische Impuls benötigt.
Lernschritt 8
Schräger Eintritt: eine Schraubenbahn
Bei schrägem Eintritt zerlegst du die Geschwindigkeit in einen Anteil parallel zu B und einen Anteil senkrecht zu B. Der parallele Anteil erfährt keine magnetische Kraft und bleibt konstant. Der senkrechte Anteil führt eine Kreisbewegung aus.
Zusammen ergibt sich im homogenen Feld eine Schraubenbahn entlang der Feldrichtung. Der Kreisradius wird mit v⊥ berechnet, nicht mit dem gesamten Geschwindigkeitsbetrag:
r = ; Ganghöhe h = |v∥| · T
Bei genau senkrechtem Eintritt ist v∥ = 0: Es bleibt die Kreisbahn. Bei genau parallelem Eintritt ist v⊥ = 0: Das Teilchen fliegt gerade weiter.
Lernschritt 9
Elektrische und magnetische Ablenkung auseinanderhalten
Elektrische Kraft: F⃗el = q · E⃗. Sie wirkt auch auf ruhende Ladungen und kann den Geschwindigkeitsbetrag ändern. Im homogenen Querfeld ergibt sich bei waagerechtem Eintritt eine Parabel.
Magnetische Kraft: F⃗mag = q · (v⃗ × B⃗). Sie verschwindet bei ruhenden Ladungen und bei Bewegung parallel zum Feld. Unter unseren Modellannahmen bleibt das Tempo konstant; bei senkrechtem Eintritt entsteht eine Kreisbahn.
Die Formel B · I · l gehört zur Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter. Für ein einzelnes bewegtes Teilchen verwenden wir |q| · v · B · sin(α). Die Zusammenhänge sind verwandt, die eingesetzten Größen dürfen aber nicht vermischt werden.
Für den Unterricht: Lasst die drei Richtungspfeile zuerst ohne Rechnung bestimmen. Danach das Ladungsvorzeichen wechseln. Zum Schluss die Frage stellen, ob die Kraft das Tempo verändert – und die Antwort mit dem Winkel zwischen Kraft und Geschwindigkeit begründen lassen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · v zeigt nach rechts, B ins Bild hinein. Wohin zeigt die Kraft auf eine positive Ladung?
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Nach oben. Für eine negative Ladung wäre es nach unten.
Erklärung wiederholen →3 · Der Winkel zwischen v und B sinkt von 90° auf 30°. Wie ändert sich der Kraftbetrag?
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Bei sonst gleichen Größen halbiert er sich, weil sin(30°) = 0,5 statt sin(90°) = 1 gilt.
Erklärung wiederholen →4 · Wird ein Teilchen durch die rein magnetische Kraft auf seiner Kreisbahn immer schneller?
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Nein. Die Kraft steht senkrecht zur Geschwindigkeit und verrichtet keine Arbeit. Das Tempo bleibt konstant, die Richtung ändert sich.
Erklärung wiederholen →5 · B wird verdoppelt, Masse, Ladung und Geschwindigkeit bleiben gleich. Was passiert mit dem Kreisradius?
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Er halbiert sich, denn r = m · v geteilt durch |q| · B.
Erklärung wiederholen →6 · Ein Teilchen tritt schräg zu einem homogenen Magnetfeld ein. Welche Bahn entsteht?
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Eine Schraubenbahn, wenn sowohl der parallele als auch der senkrechte Geschwindigkeitsanteil von null verschieden sind. Der parallele Anteil bleibt konstant.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist die Lorentzkraft immer magnetisch?
Der Begriff wird in Schulaufgaben oft für den magnetischen Anteil verwendet. Allgemein umfasst die Lorentzkraft auch den elektrischen Anteil q · E.
Warum ist eine Kreisbahn trotz konstantem Tempo beschleunigt?
Die Geschwindigkeit als Vektor ändert fortlaufend ihre Richtung. Die Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt und wird durch die magnetische Kraft verursacht.
Kann ich für ein Elektron direkt die rechte Hand verwenden?
Zuerst mit der rechten Hand die Richtung für eine positive Ladung bei derselben Geschwindigkeit bestimmen. Für das negative Elektron wird die Kraftrichtung anschließend umgekehrt.