Physik · Elektrizitätslehre · Oberstufe
Wie werden Elektronen beschleunigt oder zwischen Kondensatorplatten abgelenkt? Verbinde elektrische Kraft, Energie und Bewegung. Mit umschaltbarer Teilchenbahn, schrittweisen Rechnungen und Aufgaben für die Oberstufe.
Erst die Kraft, dann die Bewegung
Fel = |q| · E und a =
Diese Formeln geben die Beträge an. Positive Ladungen werden in Feldrichtung beschleunigt, negative entgegen der Feldrichtung.
Lernschritt 1
Auf ein geladenes Teilchen wirkt im elektrischen Feld die Kraft Kraftvektor = q · Feldvektor. Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz folgt die Beschleunigung. Für eine gewählte y-Richtung schreiben wir ay = q · Ey geteilt durch m.
Im homogenen Feld ist die elektrische Kraft auf ein Teilchen mit unveränderlicher Ladung konstant. Seine Beschleunigung ist im nichtrelativistischen Modell ebenfalls konstant. Die Geschwindigkeit kann sich trotzdem fortlaufend verändern.
Wir betrachten einzelne Teilchen im Vakuum. Stöße, Schwerkraft, Strahlungsverluste und die gegenseitige Beeinflussung mehrerer Teilchen werden vernachlässigt. Die Geschwindigkeiten sollen deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit liegen.
Ein Elektron hat q = −e und me ≈ 9,109 · 10−31 kg. Ein Proton hat q = +e und mp ≈ 1,673 · 10−27 kg. Der Ladungsbetrag e beträgt ungefähr 1,602 · 10−19 C.
Beschleunigung und Geschwindigkeit sind verschiedene Vektoren. Ein Elektron wird entgegen E beschleunigt, kann aber zunächst in Feldrichtung fliegen und dabei langsamer werden.
Lernschritt 2
Zeigen Anfangsgeschwindigkeit und Kraft in dieselbe Richtung, wird das Teilchen schneller. Zeigen sie entgegengesetzt, wird es zunächst langsamer. Bei ausreichend langem Feldbereich kann es zum Stillstand kommen und anschließend umkehren.
Für eine geradlinige Bewegung mit konstanter gerichteter Beschleunigung gelten:
v(t) = v₀ + a · t
s(t) = v₀ · t + · a · t²
Setze für a ein Vorzeichen passend zu deiner positiven Achsenrichtung ein. Die Formel mit positivem Beschleunigungsbetrag darf nicht ungeprüft auf einen Bremsvorgang übertragen werden.
Beispiel: Ein Elektron fliegt nach rechts in ein nach rechts gerichtetes Feld. Seine elektrische Kraft zeigt nach links. Seine Geschwindigkeit nach rechts nimmt zunächst ab; das Feld verrichtet in dieser Phase negative Arbeit am Elektron.
Lernschritt 3
Durchläuft ein Teilchen eine beschleunigende Spannung mit dem positiven Betrag UB, nimmt seine kinetische Energie um |q| · UB zu. Startet es näherungsweise aus der Ruhe, gilt:
· m · v² = |q| · UB
v = √()
Beispiel Elektron: UB = 100 V. Seine Energiezunahme beträgt 1,602 · 10−17 J = 100 eV. Mit der Elektronenmasse folgt v ≈ 5,93 · 106 Meter pro Sekunde. Das sind knapp 2 % der Lichtgeschwindigkeit; die klassische Näherung passt hier gut.
Ein Elektronenvolt ist eine Energieeinheit, keine Spannung: 1 eV = 1,602 · 10−19 J. Ein zweifach geladenes Ion gewinnt beim Durchlaufen derselben beschleunigenden Spannung die doppelte Energie.
Allgemein gilt bei elektrostatischen Feldern ΔEkin = q · (φStart − φEnde), wenn nur die elektrische Kraft Arbeit verrichtet. Die Abkürzung |q| · UB setzt voraus, dass die Spannung tatsächlich beschleunigend durchlaufen wird. Bei vorhandener Anfangsenergie muss diese zusätzlich berücksichtigt werden.
Lernschritt 4
Das Teilchen tritt waagerecht in den Raum zwischen den Platten ein. Das elektrische Feld zeigt nach unten: von der positiven oberen zur negativen unteren Platte. Ein positives Teilchen wird nach unten abgelenkt, ein negatives nach oben.
Die Kraft ist senkrecht zur anfänglichen Geschwindigkeit, aber nicht dauerhaft senkrecht zur späteren Geschwindigkeit. Im Laufe der Bewegung wächst eine vertikale Geschwindigkeitskomponente. Deshalb kann das elektrische Feld hier den Geschwindigkeitsbetrag und die kinetische Energie erhöhen.
Der Umschalter vergleicht gleiche Masse, gleichen Ladungsbetrag und gleiche Eintrittsgeschwindigkeit. Er zeigt deshalb spiegelbildliche Bahnen. Ein echtes Elektron und ein echtes Proton haben sehr unterschiedliche Massen und würden bei gleichen übrigen Bedingungen unterschiedlich stark abgelenkt.
Lernschritt 5
Wähle x waagerecht nach rechts und y nach oben. Der Eintritt liegt bei x = y = 0, mit vx(0) = v₀ und vy(0) = 0. Da das Feld nach unten zeigt, gilt Ey = −E.
Waagerecht: Es wirkt keine elektrische Kraft in x-Richtung. Deshalb bleibt vx = v₀ konstant und x = v₀ · t.
Senkrecht: Die konstante gerichtete Beschleunigung ist ay = q · Ey geteilt durch m. Es gilt:
vy = ay · t; y = · ay · t²
Mit t = x geteilt durch v₀ erhältst du die Bahnkurve im Feld:
y(x) = · x²
Die Bahn ist eine Parabel. Die Vorzeichen erklären die Richtung: Für ein Elektron sind q und Ey beide negativ, deshalb wird y positiv und die Bahn krümmt sich nach oben.
Lernschritt 6
Ein Elektron tritt mit v₀ = 1,0 · 107 Metern pro Sekunde in ein nach unten gerichtetes Feld mit E = 1 000 Volt pro Meter ein. Die Plattenlänge in Flugrichtung beträgt l = 0,020 m. Der Plattenabstand sei 0,020 m; das Elektron startet mittig.
1. Durchflugzeit:
tF = = 2,0 · 10−9 s
2. Beschleunigung: Der Betrag ist e · E geteilt durch me ≈ 1,76 · 1014 Meter pro Quadratsekunde. Die Richtung ist nach oben.
3. Ablenkung am Feldende:
yA = 0,5 · ay · tF² ≈ 3,52 · 10−4 m = 0,352 mm
4. Vertikale Austrittsgeschwindigkeit: vy,A = ay · tF ≈ 3,52 · 105 Meter pro Sekunde. Waagerecht bleiben es 1,0 · 107 Meter pro Sekunde.
tan(α) = ≈ 0,0352 → α ≈ 2,01°
Das Elektron tritt ungefähr 2,01° oberhalb der ursprünglichen Flugrichtung aus. Die Ablenkung 0,352 mm ist deutlich kleiner als der halbe Plattenabstand 10 mm; im Modell trifft es keine Platte.
Lernschritt 7
Hinter dem ideal begrenzten Feld wirkt in unserem Modell keine Kraft mehr. Beide Geschwindigkeitskomponenten bleiben konstant. Die Bahn geht entlang der Austrittstangente geradlinig weiter; sie wird weder weiter parabelförmig noch sofort wieder waagerecht.
Steht ein Schirm im waagerechten Abstand s vom Feldende, ist die zusätzliche Flugzeit s geteilt durch v₀. Der Auftreffpunkt liegt bei:
ySchirm = yA + vy,A ·
Im Beispiel sei s = 0,10 m. Die zusätzliche Ablenkung beträgt etwa 3,52 mm. Zusammen mit 0,352 mm im Feld ergibt sich ySchirm ≈ 3,87 mm oberhalb der ursprünglichen Achse.
Das ist zugleich eine wichtige Plausibilitätsprüfung: Ein langer Weg zum Schirm kann aus einer kleinen Austrittsneigung eine gut sichtbare Verschiebung machen.
Lernschritt 8
Bei festem v₀ und fester Plattenlänge wächst der Ablenkungsbetrag proportional zu |q| und E und sinkt mit größerer Masse. Doppeltes v₀ führt bei gleichem E und l zu einem Viertel der Ablenkung am Feldende, weil die Flugzeit halbiert wird und y vom Quadrat der Zeit abhängt.
Eine Verlängerung des Feldbereichs verstärkt die Ablenkung nur so lange, wie das Teilchen nicht vorher auf eine Platte trifft. Prüfe bei Eintritt in der Mitte deshalb |y| < d geteilt durch 2 im durchflogenen Bereich.
Die ideal scharfe Feldgrenze ist eine Näherung. Reale Platten besitzen Randfelder. Bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit reichen die hier verwendeten klassischen Bewegungs- und Energieformeln nicht aus.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Nein. Die Kraft zeigt nach links. Das Elektron wird zunächst langsamer und kann bei ausreichend langem Feldbereich umkehren.
Erklärung wiederholen →200 eV, entsprechend etwa 3,20 · 10−17 J.
Erklärung wiederholen →Das Feld und damit die elektrische Kraft haben keine x-Komponente. Es gibt dort keine Beschleunigung in x-Richtung.
Erklärung wiederholen →Sie sinkt auf ein Viertel. Die Flugzeit halbiert sich; die Ablenkung ist proportional zur Flugzeit im Quadrat.
Erklärung wiederholen →Geradlinig entlang der Austrittstangente, mit unveränderten Geschwindigkeitskomponenten.
Erklärung wiederholen →Nein. Die halbe Spaltbreite beträgt nur 4 mm. Das Teilchen würde vorher auf eine Platte treffen; die freie Flugrechnung bis zum Feldende ist dann nicht gültig.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Buch, Preis und Details ansehen →Nein. Die Feldlinie beschreibt die Kraftrichtung auf positive Probeladungen. Die Teilchenbahn hängt zusätzlich von der Anfangsgeschwindigkeit und der Masse ab.
Waagerecht ist die Bewegung gleichförmig, senkrecht gleichmäßig beschleunigt. Eliminiert man die Zeit, ergibt sich y proportional zu x².
Im Allgemeinen nicht. Nach dem Eintritt entsteht eine Geschwindigkeitskomponente entlang der Kraft. Das Feld kann Arbeit verrichten und den Geschwindigkeitsbetrag verändern.
