Wie werden Elektronen beschleunigt oder zwischen Kondensatorplatten abgelenkt? Verbinde elektrische Kraft, Energie und Bewegung. Mit umschaltbarer Teilchenbahn, schrittweisen Rechnungen und Aufgaben für die Oberstufe.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Auf ein geladenes Teilchen wirkt im elektrischen Feld die Kraft Kraftvektor = q · Feldvektor. Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz folgt die Beschleunigung. Für eine gewählte y-Richtung schreiben wir ay = q · Ey geteilt durch m.
Im homogenen Feld ist die elektrische Kraft auf ein Teilchen mit unveränderlicher Ladung konstant. Seine Beschleunigung ist im nichtrelativistischen Modell ebenfalls konstant. Die Geschwindigkeit kann sich trotzdem fortlaufend verändern.
Wir betrachten einzelne Teilchen im Vakuum. Stöße, Schwerkraft, Strahlungsverluste und die gegenseitige Beeinflussung mehrerer Teilchen werden vernachlässigt. Die Geschwindigkeiten sollen deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit liegen.
Ein Elektron hat q = −e und me ≈ 9,109 · 10−31 kg. Ein Proton hat q = +e und mp ≈ 1,673 · 10−27 kg. Der Ladungsbetrag e beträgt ungefähr 1,602 · 10−19 C.
Beschleunigung und Geschwindigkeit sind verschiedene Vektoren. Ein Elektron wird entgegen E beschleunigt, kann aber zunächst in Feldrichtung fliegen und dabei langsamer werden.
Lernschritt 2
Zeigen Anfangsgeschwindigkeit und Kraft in dieselbe Richtung, wird das Teilchen schneller. Zeigen sie entgegengesetzt, wird es zunächst langsamer. Bei ausreichend langem Feldbereich kann es zum Stillstand kommen und anschließend umkehren.
Für eine geradlinige Bewegung mit konstanter gerichteter Beschleunigung gelten:
v(t) = v₀ + a · t
s(t) = v₀ · t + · a · t²
Setze für a ein Vorzeichen passend zu deiner positiven Achsenrichtung ein. Die Formel mit positivem Beschleunigungsbetrag darf nicht ungeprüft auf einen Bremsvorgang übertragen werden.
Beispiel: Ein Elektron fliegt nach rechts in ein nach rechts gerichtetes Feld. Seine elektrische Kraft zeigt nach links. Seine Geschwindigkeit nach rechts nimmt zunächst ab; das Feld verrichtet in dieser Phase negative Arbeit am Elektron.
Lernschritt 3
Die Abkürzung |q| · Uᴮ gilt für eine tatsächlich beschleunigend durchlaufene Spannung.
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie schnell wird ein Elektron, das näherungsweise aus der Ruhe startet?
Uᴮ = 100 V, beschleunigend durchlaufen; e = 1,602 · 10⁻¹⁹ C; mₑ = 9,109 · 10⁻³¹ kg.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| ΔEkin = e · Uᴮ |
1Energiezunahme bestimmen
Der positive Spannungsbetrag wird mit dem Ladungsbetrag multipliziert. |
| ΔEkin = 1,602 · 10−17 J = 100 eV |
2Einsetzen
Elektronenvolt ist eine Energieeinheit, keine Spannung. |
| ½ · mₑ · v² = e · Uᴮ |
3Energie in Bewegung umrechnen
Die Anfangsenergie wird hier als null angenähert. |
| v = √(2 · e · Uᴮ / mₑ) ≈ 5,93 · 106 m/s |
4Gesamten Quotienten unter die Wurzel setzen
Die klassische Formel liefert hier knapp 2 % der Lichtgeschwindigkeit. |
Bei vorhandener Anfangsenergie gilt Ekin,Ende = Ekin,Start + ΔEkin. Allgemein ist ΔEkin = q · (φStart − φEnde), wenn nur das elektrostatische Feld Arbeit verrichtet. Ein zweifach geladenes Ion gewinnt an derselben Beschleunigungsspannung die doppelte Energie.
Lernschritt 4
Positive Ladung: Ablenkung nach unten
Feld von der positiven oberen zur negativen unteren Platte. Grün: Bahn und Kraft. Waagerechter Eintritt von links.
Im Feld ist die Bahn parabelförmig. Danach verläuft sie gerade entlang der Austrittstangente. Gleiche Masse, gleicher Ladungsbetrag und gleiche Eintrittsgeschwindigkeit in beiden Ansichten.
Negative Ladung: Ablenkung nach oben
Feld von der positiven oberen zur negativen unteren Platte. Grün: Bahn und Kraft. Waagerechter Eintritt von links.
Im Feld ist die Bahn parabelförmig. Danach verläuft sie gerade entlang der Austrittstangente. Gleiche Masse, gleicher Ladungsbetrag und gleiche Eintrittsgeschwindigkeit in beiden Ansichten.
Das Teilchen tritt waagerecht in den Raum zwischen den Platten ein. Das elektrische Feld zeigt nach unten: von der positiven oberen zur negativen unteren Platte. Ein positives Teilchen wird nach unten abgelenkt, ein negatives nach oben.
Die Kraft ist senkrecht zur anfänglichen Geschwindigkeit, aber nicht dauerhaft senkrecht zur späteren Geschwindigkeit. Im Laufe der Bewegung wächst eine vertikale Geschwindigkeitskomponente. Deshalb kann das elektrische Feld hier den Geschwindigkeitsbetrag und die kinetische Energie erhöhen.
Der Umschalter vergleicht gleiche Masse, gleichen Ladungsbetrag und gleiche Eintrittsgeschwindigkeit. Er zeigt deshalb spiegelbildliche Bahnen. Ein echtes Elektron und ein echtes Proton haben sehr unterschiedliche Massen und würden bei gleichen übrigen Bedingungen unterschiedlich stark abgelenkt.
Lernschritt 5
Wähle x waagerecht nach rechts und y nach oben. Der Eintritt liegt bei x = y = 0, mit vx(0) = v₀ und vy(0) = 0. Da das Feld nach unten zeigt, gilt Ey = −E.
Waagerecht: Es wirkt keine elektrische Kraft in x-Richtung. Deshalb bleibt vx = v₀ konstant und x = v₀ · t.
Senkrecht: Die konstante gerichtete Beschleunigung ist ay = q · Ey geteilt durch m. Es gilt:
vy = ay · t; y = · ay · t²
Mit t = x geteilt durch v₀ erhältst du die Bahnkurve im Feld:
y(x) = · x²
Die Bahn ist eine Parabel. Die Vorzeichen erklären die Richtung: Für ein Elektron sind q und Ey beide negativ, deshalb wird y positiv und die Bahn krümmt sich nach oben.
Beispiel: Elektron wird nach oben abgelenkt
Die grüne Geschwindigkeit setzt sich aus vₓ nach rechts und vᵧ nach oben zusammen. Das Verhältnis vᵧ / vₓ bestimmt die Neigung der Bahn.
Im elektrischen Feld bleibt vₓ konstant, während vᵧ wächst. Außerhalb bleiben im Modell beide Komponenten konstant. Vektorskizze ohne Maßstab.
Lernschritt 6
Rechne waagerechte und senkrechte Bewegung getrennt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie weit wird ein Elektron bis zum Feldende abgelenkt?
v₀ = 1,0 · 10⁷ m/s; E = 1 000 V/m nach unten; l = 0,020 m; Eintritt mittig; Plattenabstand d = 0,020 m.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| x nach rechts; y nach oben |
1Achsen und Richtung festlegen
q = −e und Eᵧ = −E. Daher zeigt die Kraft auf das Elektron nach oben. |
| tF = l / v₀ = 2,0 · 10−9 s |
2Durchflugzeit berechnen
Waagerecht bleibt die Geschwindigkeit konstant. |
| aᵧ = e · E / mₑ ≈ +1,76 · 1014 m/s² |
3Senkrechte Beschleunigung bestimmen
Elektronenmasse mₑ ≈ 9,109 · 10⁻³¹ kg; e ≈ 1,602 · 10⁻¹⁹ C. |
| yA = ½ · aᵧ · tF² ≈ 0,352 mm |
4Ablenkung berechnen
Die senkrechte Anfangsgeschwindigkeit ist null. Quadriere die Flugzeit. |
| 0,352 mm < d / 2 = 10 mm |
5Auf einen Plattentreffer prüfen
Die Ablenkung bleibt in diesem Modell deutlich kleiner als der halbe Plattenabstand. |
Beispiel · Schritt für Schritt
In welche Richtung fliegt das Elektron weiter?
Werte aus dem Beispiel oben.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| vᵧ,A = aᵧ · tF ≈ 3,52 · 105 m/s |
1Senkrechte Komponente berechnen
Die waagerechte Komponente bleibt v₀. |
| tan α = vᵧ,A / v₀ ≈ 0,0352 |
2Komponenten ins Verhältnis setzen
α wird gegenüber der ursprünglichen waagerechten Richtung gemessen. |
| α = arctan(0,0352) ≈ 2,01° |
3Winkel ablesen
Den Taschenrechner für dieses Ergebnis auf Grad stellen. |
Lernschritt 7
Hinter dem ideal begrenzten Feld wirkt in unserem Modell keine Kraft mehr. Beide Geschwindigkeitskomponenten bleiben konstant. Die Bahn geht entlang der Austrittstangente geradlinig weiter; sie wird weder weiter parabelförmig noch sofort wieder waagerecht.
Steht ein Schirm im waagerechten Abstand s vom Feldende, ist die zusätzliche Flugzeit s geteilt durch v₀. Der Auftreffpunkt liegt bei:
ySchirm = yA + vy,A ·
Im Beispiel sei s = 0,10 m. Die zusätzliche Ablenkung beträgt etwa 3,52 mm. Zusammen mit 0,352 mm im Feld ergibt sich ySchirm ≈ 3,87 mm oberhalb der ursprünglichen Achse.
Das ist zugleich eine wichtige Plausibilitätsprüfung: Ein langer Weg zum Schirm kann aus einer kleinen Austrittsneigung eine gut sichtbare Verschiebung machen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Der Schirm steht 0,10 m hinter dem Feldende.
yA = 0,352 mm; vᵧ,A ≈ 3,52 · 10⁵ m/s; v₀ = 1,0 · 10⁷ m/s.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Δt = s / v₀ = 1,0 · 10−8 s |
1Zusätzliche Flugzeit bestimmen
Hinter dem ideal begrenzten Feld wirkt keine Kraft mehr. |
| Δy = vᵧ,A · Δt ≈ 3,52 mm |
2Geradlinige Fortsetzung berechnen
Die senkrechte Geschwindigkeit bleibt jetzt konstant. |
| ySchirm = yA + Δy ≈ 3,87 mm |
3Beide Weganteile addieren
Die Ablenkung im Feld gehört zum Auftreffpunkt dazu. |
Lernschritt 8
Bei festem v₀ und fester Plattenlänge wächst der Ablenkungsbetrag proportional zu |q| und E und sinkt mit größerer Masse. Doppeltes v₀ führt bei gleichem E und l zu einem Viertel der Ablenkung am Feldende, weil die Flugzeit halbiert wird und y vom Quadrat der Zeit abhängt.
Eine Verlängerung des Feldbereichs verstärkt die Ablenkung nur so lange, wie das Teilchen nicht vorher auf eine Platte trifft. Prüfe bei Eintritt in der Mitte deshalb |y| < d geteilt durch 2 im durchflogenen Bereich.
Die ideal scharfe Feldgrenze ist eine Näherung. Reale Platten besitzen Randfelder. Bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit reichen die hier verwendeten klassischen Bewegungs- und Energieformeln nicht aus.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Du löst jeweils sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung, Tipps und Rechenwegen.
Optional: Dein Fortschritt wird nur in diesem Browser gespeichert.
Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne den Betrag der elektrischen Kraft. Flugbahn und vollständige Bewegung geladener Teilchen werden hier nicht berechnet.
Passende Aufgabe öffnen →Kostenlos und ohne Anmeldung. Ein Rücklink führt dich wieder zu dieser Erklärung.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Nein. Die Kraft zeigt nach links. Das Elektron wird zunächst langsamer und kann bei ausreichend langem Feldbereich umkehren.
Erklärung wiederholen →200 eV, entsprechend etwa 3,20 · 10−17 J.
Erklärung wiederholen →Das Feld und damit die elektrische Kraft haben keine x-Komponente. Es gibt dort keine Beschleunigung in x-Richtung.
Erklärung wiederholen →Sie sinkt auf ein Viertel. Die Flugzeit halbiert sich; die Ablenkung ist proportional zur Flugzeit im Quadrat.
Erklärung wiederholen →Geradlinig entlang der Austrittstangente, mit unveränderten Geschwindigkeitskomponenten.
Erklärung wiederholen →Nein. Die halbe Spaltbreite beträgt nur 4 mm. Das Teilchen würde vorher auf eine Platte treffen; die freie Flugrechnung bis zum Feldende ist dann nicht gültig.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Nein. Die Feldlinie beschreibt die Kraftrichtung auf positive Probeladungen. Die Teilchenbahn hängt zusätzlich von der Anfangsgeschwindigkeit und der Masse ab.
Waagerecht ist die Bewegung gleichförmig, senkrecht gleichmäßig beschleunigt. Eliminiert man die Zeit, ergibt sich y proportional zu x².
Im Allgemeinen nicht. Nach dem Eintritt entsteht eine Geschwindigkeitskomponente entlang der Kraft. Das Feld kann Arbeit verrichten und den Geschwindigkeitsbetrag verändern.
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