1 · R = 10 kΩ und C = 200 µF. Wie groß ist τ?
Lösung und Rechenweg ansehen
τ = 10 000 · 200 · 10−6 s = 2,0 s.
Erklärung wiederholen →Physik · Elektrizitätslehre · Oberstufe
Kondensatoren laden und entladen: verstehen und üben
Wie verändern sich Spannung und Strom nach dem Einschalten? Verstehe den RC-Kreis, die Zeitkonstante und exponentielle Lade- und Entladekurven. Mit Schaltungsvergleich, Rechenbeispielen und Aufgaben mit Lösungen.
Eine Zeitkonstante ist noch nicht „fertig“
τ = R · C
Nach τ sind beim Laden etwa 63 % der Endspannung erreicht. Beim Entladen bleiben nach derselben Zeit etwa 37 % der Anfangsspannung übrig.
Lernschritt 1
Welche Schaltung betrachten wir?
Ein RC-Kreis enthält einen Widerstand R und einen Kondensator mit der Kapazität C. Wir betrachten ideale Bauteile mit konstanten positiven Werten für R und C. Leitungs- und Quellenwiderstände werden vernachlässigt oder in R einbezogen.
Laden: Ein anfangs ungeladener Kondensator wird bei t = 0 über R mit einer konstanten Gleichspannungsquelle U₀ verbunden. Der Widerstand begrenzt den Strom. Der Kondensator lädt sich allmählich auf.
Entladen: Ein anfangs auf U₀ geladener Kondensator wird von der Quelle getrennt und mit einem geschlossenen Stromweg über R verbunden. Die gespeicherte Energie wird im Widerstand in innere Energie umgesetzt.
Nur die Quelle abzutrennen bedeutet noch nicht, dass ein idealer Kondensator entladen wird. Ohne leitenden Entladeweg behält er im idealen Modell seine Ladung. Das Schaubild zeigt deshalb ausdrücklich zwei verschiedene geschlossene Stromkreise nach dem Umschalten.
Lernschritt 2
Warum fällt der Strom beim Laden?
Zu Beginn ist die Kondensatorspannung UC gleich null. Die gesamte Quellenspannung fällt am Widerstand ab. Daher ist der anfängliche Ladestrom am größten:
I₀ =
Während Ladung auf die Platten gelangt, wächst UC. Für den Widerstand bleibt immer weniger Spannung übrig. Nach dem Spannungsgesetz gilt:
U₀ = UR + UC → I =
Deshalb sinkt der Strom. Je kleiner der Strom wird, desto langsamer kommt zusätzliche Ladung hinzu. Die Spannung steigt somit anfangs schnell und später immer langsamer.
Ein fast geladener Kondensator hat eine hohe Spannung, aber nur noch einen kleinen Ladestrom. Spannung und Strom dürfen hier nicht verwechselt werden.
Im Grenzfall für sehr lange Zeit nähert sich UC der Quellenspannung U₀, während I gegen null geht. Die Ladung nähert sich Q∞ = C · U₀.
Lernschritt 3
Ausprobieren: Spannung und Strom getrennt lesen
Das obere Diagramm zeigt die Kondensatorspannung geteilt durch U₀. Das untere zeigt den Strombetrag geteilt durch I₀ = U₀ geteilt durch R. Beide Kurven sind dadurch dimensionslos dargestellt; eine Höhe 1 bedeutet jeweils 100 % der eigenen Bezugsgröße.
Beim Laden startet die Spannung bei null und steigt gegen 1. Der Strombetrag startet bei 1 und fällt gegen null. Beim Entladen fallen sowohl die Spannung als auch der Strombetrag exponentiell.
Die technische Stromrichtung kehrt sich zwischen Laden und Entladen um. In den Diagrammen vergleichen wir ausdrücklich den Betrag, damit die Zeitverläufe leicht erkennbar sind. Bei einer durchgehend festgelegten positiven Laderichtung wäre der Entladestrom negativ.
Die waagerechte Achse zeigt Vielfache von τ. Bei einem Kreis mit τ = 2 s entspricht die Markierung 3 also 6 s. Beim anderen Kreis mit τ = 5 s entspricht sie 15 s. Gleiche Kurvenform bedeutet nicht automatisch gleiche Dauer in Sekunden.
Lernschritt 4
Die Lade- und Entladeformeln anwenden
Für das Laden eines anfangs ungeladenen Kondensators über R an U₀ gilt ab t = 0:
UC(t) = U₀ · (1 − e−t/(RC))
I(t) = · e−t/(RC)
Die Ladung folgt aus Q(t) = C · UC(t). Beim Entladen eines anfangs auf U₀ geladenen Kondensators über R gelten:
UC(t) = U₀ · e−t/(RC)
|I(t)| = · e−t/(RC)
e ist die Eulersche Zahl, ungefähr 2,718. Der Exponent −t geteilt durch RC ist dimensionslos, weil RC eine Zeit ist. Die Formeln gelten für die genannten Anfangsbedingungen. Ein bereits teilweise geladener Kondensator beim Einschalten erfordert eine entsprechend angepasste Lösung.
Ein schneller Startwerttest schützt vor Verwechslungen: Für t = 0 ist e⁰ = 1. Die Ladeformel liefert UC(0) = 0; die Entladeformel liefert UC(0) = U₀. Setze diese Werte ein, bevor du längere Rechnungen beginnst.
Lernschritt 5
Was bedeutet die Zeitkonstante genau?
τ = R · C
Nach einer Zeitkonstante ist e−1 ≈ 0,368. Deshalb erreicht die Ladespannung rund 63,2 % ihres Endwerts. Beim Entladen verbleiben rund 36,8 % der Anfangsspannung. Auch der Strombetrag ist dann auf 36,8 % seines Anfangswerts gefallen.
Nach 3τ sind beim Laden etwa 95,0 % erreicht. Nach 5τ sind es etwa 99,3 %. „Nach fünf Zeitkonstanten praktisch geladen“ ist deshalb eine verbreitete Näherung, kein exakter Endzeitpunkt.
Eine Verdopplung von R bei gleichem C verdoppelt τ und halbiert bei gleichem U₀ den Anfangsstrom. Eine Verdopplung von C bei gleichem R verdoppelt ebenfalls τ, lässt aber den Anfangsstrom U₀ geteilt durch R unverändert. Dafür verdoppelt sich die später gespeicherte Ladung.
R beeinflusst bei idealer Quelle und idealem Kondensator nicht die Endspannung. Er beeinflusst, wie schnell sie angenähert wird.
Lernschritt 6
Ein vollständiges Rechenbeispiel
Ein Kondensator mit C = 100 µF wird über R = 20 kΩ an U₀ = 10 V geladen. Rechne zuerst um: C = 1,0 · 10−4 F und R = 20 000 Ω.
τ = 20 000 Ω · 1,0 · 10−4 F = 2,0 s
I₀ = = 0,00050 A = 0,50 mA
Nach 2,0 s: t entspricht genau τ. Deshalb ist die Spannung ungefähr 6,32 V. Der Strom beträgt 0,50 mA · 0,368 ≈ 0,184 mA.
Nach 4,0 s: t entspricht 2τ. Mit e−2 ≈ 0,135 folgt:
UC = 10 V · (1 − 0,135) ≈ 8,65 V
I = 0,50 mA · 0,135 ≈ 0,0677 mA
Die Ladung nach 4,0 s ist Q = C · UC ≈ 0,000865 C = 0,865 mC. Der Endwert wäre 1,0 mC.
Wird derselbe Kondensator stattdessen anfangs auf 10 V geladen und über diesen Widerstand entladen, bleiben nach 4,0 s nur 10 V · 0,135 ≈ 1,35 V. Der Strombetrag ist ebenfalls ungefähr 0,0677 mA, seine Richtung jedoch entgegengesetzt zur Laderichtung.
Lernschritt 7
Wie lange dauert es bis zu einer bestimmten Spannung?
Für die Entladung setzen wir UC = U₀ · e−t/τ an, teilen durch U₀ und wenden den natürlichen Logarithmus an:
ln() = −
t = −τ · ln()
Diese Form verlangt 0 < UC ≤ U₀. Für die Halbierung der Spannung ergibt sich t = τ · ln(2) ≈ 0,693τ. Bei τ = 2,0 s sind das etwa 1,39 s.
Für das Laden auf einen Anteil a des Endwerts, mit 0 ≤ a < 1, gilt dagegen:
t = −τ · ln(1 − a)
Um 90 % zu erreichen, setzen wir a = 0,90. Bei τ = 2,0 s folgt t = −2,0 s · ln(0,10) ≈ 4,61 s.
100 % erreicht das ideale exponentielle Modell erst im Grenzfall unendlich langer Zeit. Der Ausdruck ln(0) ist nicht definiert; eine endliche „exakte Ladezeit bis 100 %“ erhältst du mit diesen Formeln nicht.
Lernschritt 8
Die Energie nimmt anders ab als die Spannung
Die gespeicherte Energie eines idealen Kondensators beträgt W = ½ · C · UC². Beim Entladen sinkt die Spannung exponentiell. Wegen des Quadrats gilt für die Energie:
W(t) = W₀ · e−2t/τ
Ist die Spannung halbiert, bleibt deshalb nur ein Viertel der ursprünglichen Energie. Nach einer Zeitkonstante sind noch ungefähr 13,5 % der Energie gespeichert, obwohl noch 36,8 % der Spannung vorhanden sind.
Beim Laden aus dem ungeladenen Zustand an einer idealen konstanten Quelle über einen ohmschen Widerstand liefert die Quelle insgesamt C · U₀². Davon landen im Grenzfall ½ · C · U₀² im Feld und ebenso viel im Widerstand als innere Energie. Diese Halbierung gilt für dieses Lademodell; sie ist kein allgemeines Gesetz für jede mögliche Ladeschaltung.
Ein kleinerer Widerstand verkürzt in diesem Modell die Ladezeit, beseitigt aber nicht den gesamten Energieumsatz im Widerstand. Die Leistung ist dann während des kürzeren Vorgangs entsprechend größer.
Lernschritt 9
Kurven auswerten und typische Fehler vermeiden
Bei einer gemessenen Ladekurve kannst du zuerst den Endwert abschätzen und dann die Zeit ablesen, bei der etwa 63 % erreicht sind. Diese Zeit entspricht im idealen Modell τ. Bei einer Entladekurve suchst du die Zeit bis etwa 37 % des Anfangswerts.
Häufige Fehler: Mikrofarad nicht in Farad umrechnen; 1 − e−t/τ beim Entladen verwenden; Spannung und Strom verwechseln; 5τ als exakten Endpunkt ansehen; beim Entladen keinen geschlossenen Stromweg vorsehen.
Für den Unterricht: Lasst vor dem Anzeigen der Diagramme vier Start- und Endwerte vorhersagen: UC(0), I(0), UC nach langer Zeit und I nach langer Zeit. Danach erst die Kurvenform ergänzen. Die Logarithmusaufgabe eignet sich als Oberstufenvertiefung.
Reale Messungen können durch Bauteiltoleranzen, Leckströme, Innenwiderstände und Messgeräte abweichen. Praktische Übungen nur an geeigneten Schulaufbauten durchführen; Kondensatoren können nach dem Trennen der Quelle weiterhin geladen sein.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Ein ungeladener Kondensator wird über 5,0 kΩ an 12 V angeschlossen. Wie groß ist der Anfangsstrom?
Lösung und Rechenweg ansehen
I₀ = U₀ geteilt durch R = 12 V geteilt durch 5 000 Ω = 0,0024 A = 2,4 mA.
Erklärung wiederholen →3 · Welcher Anteil der Endspannung ist beim Laden nach τ erreicht?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ungefähr 63,2 %. Der Strom ist zu diesem Zeitpunkt auf etwa 36,8 % seines Anfangswerts gefallen.
Erklärung wiederholen →4 · Beim Entladen halbiert sich die Spannung. Wie viel Feldenergie bleibt?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ein Viertel der ursprünglichen Energie, weil W proportional zu UC² ist.
Erklärung wiederholen →5 · Ein Kondensator soll bei τ = 3,0 s auf 90 % geladen werden. Wie lange dauert das?
Lösung und Rechenweg ansehen
t = −3,0 s · ln(0,10) ≈ 6,91 s.
Erklärung wiederholen →6 · Nur die Kapazität wird verdoppelt. Was passiert bei gleicher Quelle und gleichem R mit τ und I₀?
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τ verdoppelt sich. Der Anfangsstrom I₀ = U₀ geteilt durch R bleibt bei anfangs ungeladenem Kondensator gleich.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wann ist ein Kondensator vollständig geladen?
Im idealen exponentiellen Modell wird der Endwert nur angenähert. Nach 5τ sind etwa 99,3 % der Endspannung erreicht; oft genügt das praktisch.
Warum fließt beim Laden anfangs der größte Strom?
Beim anfangs ungeladenen Kondensator ist U꜀ = 0. Die gesamte Quellenspannung liegt am Widerstand, sodass I₀ = U₀ geteilt durch R gilt.
Ist ein abgetrennter Kondensator sofort entladen?
Nein. Im ideal isolierten Zustand behält er seine Ladung. Die beschriebene Entladung setzt einen geschlossenen Stromweg über einen Widerstand voraus.