Wie verändern sich Spannung und Strom nach dem Einschalten? Verstehe den RC-Kreis, die Zeitkonstante und exponentielle Lade- und Entladekurven. Mit Schaltungsvergleich, Rechenbeispielen und Aufgaben mit Lösungen.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Laden: Quelle liefert Energie
Die technische Stromrichtung ist grün markiert. Der anfangs ungeladene Kondensator lädt sich über R auf. Sein Strom wird dabei kleiner.
Gezeigt ist der jeweilige Zustand nach dem Umschalten. Beim Entladen bleibt die Kondensatorpolung zunächst erhalten.
Entladen: geschlossener Weg über R
Die technische Stromrichtung ist grün markiert. Die Quelle ist entfernt. Der Strom fließt von der positiven Kondensatorplatte durch R zur negativen.
Gezeigt ist der jeweilige Zustand nach dem Umschalten. Beim Entladen bleibt die Kondensatorpolung zunächst erhalten.
Ein RC-Kreis enthält einen Widerstand R und einen Kondensator mit der Kapazität C. Wir betrachten ideale Bauteile mit konstanten positiven Werten für R und C. Leitungs- und Quellenwiderstände werden vernachlässigt oder in R einbezogen.
Laden: Ein anfangs ungeladener Kondensator wird bei t = 0 über R mit einer konstanten Gleichspannungsquelle U₀ verbunden. Der Widerstand begrenzt den Strom. Der Kondensator lädt sich allmählich auf.
Entladen: Ein anfangs auf U₀ geladener Kondensator wird von der Quelle getrennt und mit einem geschlossenen Stromweg über R verbunden. Die gespeicherte Energie wird im Widerstand in innere Energie umgesetzt.
Nur die Quelle abzutrennen bedeutet noch nicht, dass ein idealer Kondensator entladen wird. Ohne leitenden Entladeweg behält er im idealen Modell seine Ladung. Das Schaubild zeigt deshalb ausdrücklich zwei verschiedene geschlossene Stromkreise nach dem Umschalten.
Lernschritt 2
Zu Beginn ist die Kondensatorspannung UC gleich null. Die gesamte Quellenspannung fällt am Widerstand ab. Daher ist der anfängliche Ladestrom am größten:
I₀ =
Während Ladung auf die Platten gelangt, wächst UC. Für den Widerstand bleibt immer weniger Spannung übrig. Nach dem Spannungsgesetz gilt:
U₀ = UR + UC → I =
Deshalb sinkt der Strom. Je kleiner der Strom wird, desto langsamer kommt zusätzliche Ladung hinzu. Die Spannung steigt somit anfangs schnell und später immer langsamer.
Ein fast geladener Kondensator hat eine hohe Spannung, aber nur noch einen kleinen Ladestrom. Spannung und Strom dürfen hier nicht verwechselt werden.
Im Grenzfall für sehr lange Zeit nähert sich UC der Quellenspannung U₀, während I gegen null geht. Die Ladung nähert sich Q∞ = C · U₀.
Lernschritt 3
Laden: Spannung steigt, Strom fällt
Oben: Spannung geteilt durch U₀. Unten: Strombetrag geteilt durch I₀ = U₀ / R. Eine Höhe von 1 entspricht jeweils 100 %.
Die Zeit ist in Vielfachen von τ = RC angegeben. Bei τ = 2 s bedeutet die Markierung 3 eine Zeit von 6 s.
Anfangsbedingungen: Laden ab U꜀ = 0; Entladen ab U꜀ = U₀. Stromrichtung siehe Schaltung.
Entladen: beide Beträge fallen
Oben: Spannung geteilt durch U₀. Unten: Strombetrag geteilt durch I₀ = U₀ / R. Eine Höhe von 1 entspricht jeweils 100 %.
Die Zeit ist in Vielfachen von τ = RC angegeben. Bei τ = 2 s bedeutet die Markierung 3 eine Zeit von 6 s.
Anfangsbedingungen: Laden ab U꜀ = 0; Entladen ab U꜀ = U₀. Stromrichtung siehe Schaltung.
Das obere Diagramm zeigt die Kondensatorspannung geteilt durch U₀. Das untere zeigt den Strombetrag geteilt durch I₀ = U₀ geteilt durch R. Beide Kurven sind dadurch dimensionslos dargestellt; eine Höhe 1 bedeutet jeweils 100 % der eigenen Bezugsgröße.
Beim Laden startet die Spannung bei null und steigt gegen 1. Der Strombetrag startet bei 1 und fällt gegen null. Beim Entladen fallen sowohl die Spannung als auch der Strombetrag exponentiell.
Die technische Stromrichtung kehrt sich zwischen Laden und Entladen um. In den Diagrammen vergleichen wir ausdrücklich den Betrag, damit die Zeitverläufe leicht erkennbar sind. Bei einer durchgehend festgelegten positiven Laderichtung wäre der Entladestrom negativ.
Die waagerechte Achse zeigt Vielfache von τ. Bei einem Kreis mit τ = 2 s entspricht die Markierung 3 also 6 s. Beim anderen Kreis mit τ = 5 s entspricht sie 15 s. Gleiche Kurvenform bedeutet nicht automatisch gleiche Dauer in Sekunden.
Lernschritt 4
Für das Laden eines anfangs ungeladenen Kondensators über R an U₀ gilt ab t = 0:
UC(t) = U₀ · (1 − e−t/(RC))
I(t) = · e−t/(RC)
Die Ladung folgt aus Q(t) = C · UC(t). Beim Entladen eines anfangs auf U₀ geladenen Kondensators über R gelten:
UC(t) = U₀ · e−t/(RC)
|I(t)| = · e−t/(RC)
e ist die Eulersche Zahl, ungefähr 2,718. Der Exponent −t geteilt durch RC ist dimensionslos, weil RC eine Zeit ist. Die Formeln gelten für die genannten Anfangsbedingungen. Ein bereits teilweise geladener Kondensator beim Einschalten erfordert eine entsprechend angepasste Lösung.
Ein schneller Startwerttest schützt vor Verwechslungen: Für t = 0 ist e⁰ = 1. Die Ladeformel liefert UC(0) = 0; die Entladeformel liefert UC(0) = U₀. Setze diese Werte ein, bevor du längere Rechnungen beginnst.
Lernschritt 5
τ = R · C
Nach einer Zeitkonstante ist e−1 ≈ 0,368. Deshalb erreicht die Ladespannung rund 63,2 % ihres Endwerts. Beim Entladen verbleiben rund 36,8 % der Anfangsspannung. Auch der Strombetrag ist dann auf 36,8 % seines Anfangswerts gefallen.
Nach 3τ sind beim Laden etwa 95,0 % erreicht. Nach 5τ sind es etwa 99,3 %. „Nach fünf Zeitkonstanten praktisch geladen“ ist deshalb eine verbreitete Näherung, kein exakter Endzeitpunkt.
Eine Verdopplung von R bei gleichem C verdoppelt τ und halbiert bei gleichem U₀ den Anfangsstrom. Eine Verdopplung von C bei gleichem R verdoppelt ebenfalls τ, lässt aber den Anfangsstrom U₀ geteilt durch R unverändert. Dafür verdoppelt sich die später gespeicherte Ladung.
R beeinflusst bei idealer Quelle und idealem Kondensator nicht die Endspannung. Er beeinflusst, wie schnell sie angenähert wird.
Lernschritt 6
Verwende im Exponenten dieselbe Zeiteinheit für t und τ.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein ungeladener Kondensator wird über einen Widerstand geladen.
C = 100 µF; R = 20 kΩ; U₀ = 10 V; t = 4,0 s.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| C = 1,0 · 10−4 F R = 20 000 Ω |
1Einheiten vorbereiten
Mikrofarad in Farad und Kiloohm in Ohm umrechnen. |
| τ = R · C = 2,0 s |
2Zeitkonstante bestimmen
RC hat die Einheit Sekunde. |
| t / τ = 2; e−2 ≈ 0,1353 |
3Zeit einordnen
4 Sekunden entsprechen zwei Zeitkonstanten. |
| UC = 10 · (1 − e−2) V ≈ 8,65 V |
4Ladeformel anwenden
Beim Laden steigt U꜀ von null aus. Deshalb steht 1 minus Exponentialfaktor in der Formel. |
| I₀ = U₀ / R = 0,50 mA I = I₀ · e−2 ≈ 0,0677 mA |
5Strom getrennt berechnen
Der Strom nimmt ab, obwohl die Kondensatorspannung wächst. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Anfangs sind 10 V gespeichert. Welche Spannung bleibt nach 4,0 s?
Quelle entfernt; geschlossener Entladeweg über R; τ = 2,0 s.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| UC = U₀ · e−t/τ |
1Entladeformel wählen
Hier fehlt das 1 −, denn die Spannung soll von U₀ auf null fallen. |
| UC = 10 V · e−2 ≈ 1,35 V |
2Zeit einsetzen
Die gleiche Zeitkonstante liefert denselben Exponentialfaktor. |
| |I| ≈ 0,0677 mA |
3Stromrichtung ergänzen
Der Betrag ist wie im Ladebeispiel; die technische Stromrichtung ist umgekehrt. |
Lernschritt 7
Lade- und Entladezeiten benötigen unterschiedliche Ausgangsformeln.
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie lange dauert das Laden auf 9,0 V bei einem Endwert von 10 V?
τ = 2,0 s; Anfangsspannung null.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| a = 9,0 / 10 = 0,90 |
1Ziel als Anteil schreiben
Die Ladeformel lautet a = 1 − e−t/τ, also e−t/τ = 1 − a. |
| t = −τ · ln(1 − a) |
2Nach der Zeit auflösen
Verwende den natürlichen Logarithmus ln. |
| t = −2,0 s · ln(0,10) ≈ 4,61 s |
3Einsetzen
ln(0,10) ist negativ; das vorangestellte Minus ergibt eine positive Zeit. |
| 2τ < t < 3τ |
4Plausibilität prüfen
Nach 2τ sind etwa 86,5 %, nach 3τ etwa 95 % erreicht. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Wann sind von 10 V nur noch 5 V übrig?
Entladung über R; τ = 2,0 s.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| UC / U₀ = 0,50 |
1Restanteil bestimmen
Beim Entladen steht der Restanteil direkt vor dem Logarithmus. |
| t = −τ · ln(0,50) |
2Entladeformel umstellen
Gleichwertig: t = τ · ln(2). |
| t ≈ 1,39 s |
3Berechnen
Die halbe Spannung wird schon vor einer Zeitkonstante erreicht. |
Lernschritt 8
Die gespeicherte Energie eines idealen Kondensators beträgt W = ½ · C · UC². Beim Entladen sinkt die Spannung exponentiell. Wegen des Quadrats gilt für die Energie:
W(t) = W₀ · e−2t/τ
Ist die Spannung halbiert, bleibt deshalb nur ein Viertel der ursprünglichen Energie. Nach einer Zeitkonstante sind noch ungefähr 13,5 % der Energie gespeichert, obwohl noch 36,8 % der Spannung vorhanden sind.
Beim Laden aus dem ungeladenen Zustand an einer idealen konstanten Quelle über einen ohmschen Widerstand liefert die Quelle insgesamt C · U₀². Davon landen im Grenzfall ½ · C · U₀² im Feld und ebenso viel im Widerstand als innere Energie. Diese Halbierung gilt für dieses Lademodell; sie ist kein allgemeines Gesetz für jede mögliche Ladeschaltung.
Ein kleinerer Widerstand verkürzt in diesem Modell die Ladezeit, beseitigt aber nicht den gesamten Energieumsatz im Widerstand. Die Leistung ist dann während des kürzeren Vorgangs entsprechend größer.
Lernschritt 9
Bei einer gemessenen Ladekurve kannst du zuerst den Endwert abschätzen und dann die Zeit ablesen, bei der etwa 63 % erreicht sind. Diese Zeit entspricht im idealen Modell τ. Bei einer Entladekurve suchst du die Zeit bis etwa 37 % des Anfangswerts.
Häufige Fehler: Mikrofarad nicht in Farad umrechnen; 1 − e−t/τ beim Entladen verwenden; Spannung und Strom verwechseln; 5τ als exakten Endpunkt ansehen; beim Entladen keinen geschlossenen Stromweg vorsehen.
Reale Messungen können durch Bauteiltoleranzen, Leckströme, Innenwiderstände und Messgeräte abweichen. Praktische Übungen nur an geeigneten Schulaufbauten durchführen; Kondensatoren können nach dem Trennen der Quelle weiterhin geladen sein.
Vorgehen · Schritt für Schritt
Eine Ladekurve nähert sich 10 V.
Das jeweils beschriebene Idealmodell beachten.
| Beobachtung / Entscheidung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Endwert U₀ ≈ 10 V |
1Endniveau bestimmen
Nutze den angenäherten Grenzwert, nicht irgendeinen frühen Messpunkt. |
| 0,632 · U₀ ≈ 6,32 V |
2Zielhöhe berechnen
Beim Laden entspricht 63,2 % des Endwerts einer Zeitkonstante. |
| Zeit bei 6,32 V ablesen |
3Zur Zeitachse gehen
Beginne beim Einschaltzeitpunkt. Die seitdem vergangene Zeit ist näherungsweise τ. |
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Du löst jeweils sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung, Tipps und Rechenwegen.
Optional: Dein Fortschritt wird nur in diesem Browser gespeichert.
Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne die Zeitkonstante τ = R · C oder die Ladung bei einer gegebenen Spannung. Der vollständige zeitliche Lade- und Entladeverlauf ist noch nicht enthalten. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
Kostenlos und ohne Anmeldung. Ein Rücklink führt dich wieder zu dieser Erklärung.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
τ = 10 000 · 200 · 10−6 s = 2,0 s.
Erklärung wiederholen →I₀ = U₀ geteilt durch R = 12 V geteilt durch 5 000 Ω = 0,0024 A = 2,4 mA.
Erklärung wiederholen →Ungefähr 63,2 %. Der Strom ist zu diesem Zeitpunkt auf etwa 36,8 % seines Anfangswerts gefallen.
Erklärung wiederholen →Ein Viertel der ursprünglichen Energie, weil W proportional zu UC² ist.
Erklärung wiederholen →t = −3,0 s · ln(0,10) ≈ 6,91 s.
Erklärung wiederholen →τ verdoppelt sich. Der Anfangsstrom I₀ = U₀ geteilt durch R bleibt bei anfangs ungeladenem Kondensator gleich.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Im idealen exponentiellen Modell wird der Endwert nur angenähert. Nach 5τ sind etwa 99,3 % der Endspannung erreicht; oft genügt das praktisch.
Beim anfangs ungeladenen Kondensator ist U꜀ = 0. Die gesamte Quellenspannung liegt am Widerstand, sodass I₀ = U₀ geteilt durch R gilt.
Nein. Im ideal isolierten Zustand behält er seine Ladung. Die beschriebene Entladung setzt einen geschlossenen Stromweg über einen Widerstand voraus.
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