1 · p = 4 cm und q = 9 cm: Berechne h.
Lösung und Rechenweg ansehen
h = √(4 · 9) = 6 cm.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Höhensatz und Kathetensatz: verstehen und üben
Berechne Höhen, Katheten und Hypotenusenabschnitte im rechtwinkligen Dreieck. Mit einer klar beschrifteten Skizze, schrittweisen Beispielen und sechs Aufgaben mit Lösungen.
Drei Sätze für dieselbe Figur
Höhensatz: h² = p · q
Kathetensatz: a² = c · p
und b² = c · q
Die Höhe auf die Hypotenuse teilt c in die Abschnitte p und q.
Lernschritt 1
Die Höhe auf die Hypotenuse einzeichnen
Ausgangspunkt ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit rechtem Winkel bei C. Die Hypotenuse AB hat die Länge c. Die beiden Katheten heißen a = BC und b = AC.
Zeichne von C eine Senkrechte auf die Hypotenuse. Ihr Fußpunkt heißt D, die Höhe CD hat die Länge h. Sie teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte: AD = q und DB = p. Zusammen ergeben sie c = p + q.
Die Buchstaben p und q können in Schulbüchern vertauscht sein. Entscheidend ist die Zuordnung in der Zeichnung: Zur Kathete a gehört ihr anliegender Hypotenusenabschnitt p; zur Kathete b gehört q. Übernimm nicht nur die Buchstaben einer auswendig gelernten Formel.
Lernschritt 2
Der Höhensatz: h² = p · q
Das Quadrat der Höhe auf die Hypotenuse ist gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte.
h² = p · q
Sind p und q bekannt, multiplizierst du sie und ziehst anschließend die positive Wurzel. Eine Länge ist nicht negativ.
h = √(p · q)
Beispiel: p = 16 cm und q = 9 cm. Dann gilt h² = 16 · 9 = 144 und damit h = 12 cm.
Wichtig: Unter der Wurzel steht das gesamte Produkt. Die Rechnung √16 · 9 wäre etwas anderes und würde hier ein falsches Ergebnis liefern.
Lernschritt 3
Der Kathetensatz: die richtige Projektion wählen
Das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt aus der ganzen Hypotenuse und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt.
a² = c · p und b² = c · q
Stelle dir vor, du projizierst die Kathete senkrecht auf die Hypotenuse. BC wird dabei auf BD abgebildet: Deshalb gehören a und p zusammen. AC wird auf AD abgebildet: Deshalb gehören b und q zusammen.
Beispiel mit derselben Skizze: Aus p = 16 cm und q = 9 cm folgt c = 25 cm. Damit:
a = √(25 · 16) = 20 cm
b = √(25 · 9) = 15 cm
Die Kontrolle mit Pythagoras passt: 20² + 15² = 400 + 225 = 625 = 25². Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete.
Lernschritt 4
Fehlende Abschnitte durch Umstellen berechnen
| Gesucht | Gegeben | Umgestellte Formel |
|---|---|---|
| p | h und q | p = |
| q | h und p | q = |
| p | a und c | p = |
| q | b und c | q = |
| c | a und p | c = |
Beispiel 1: h = 6 cm und q = 4 cm. Dann ist p = cm = 9 cm. Die ganze Hypotenuse ist c = 9 cm + 4 cm = 13 cm.
Beispiel 2: a = 10 cm und c = 12,5 cm. Dann ist p = cm = 8 cm. Der andere Abschnitt ist q = 12,5 cm − 8 cm = 4,5 cm.
Alle eingesetzten Längen müssen dieselbe Einheit haben. Beim Teilen einer quadrierten Länge durch eine Länge bleibt wieder eine Längeneinheit übrig, zum Beispiel cm² geteilt durch cm = cm.
Lernschritt 5
Warum gelten die Sätze?
Die Höhe zerlegt das große rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Alle drei sind zueinander ähnlich: Sie haben jeweils einen rechten Winkel und dieselben beiden spitzen Winkel.
Aus der Ähnlichkeit der beiden kleinen Dreiecke erhältst du das Seitenverhältnis:
= → h² = p · q
Aus der Ähnlichkeit des großen Dreiecks mit dem kleinen Dreieck CBD folgt:
= → a² = c · p
Für die andere Kathete folgt entsprechend b² = c · q. Addierst du beide Kathetensätze, entsteht a² + b² = c(p + q) = c². So hängen Kathetensatz und Satz des Pythagoras zusammen.
Lernschritt 6
Pythagoras, Höhensatz oder Kathetensatz?
| Was kennst du? | Was suchst du? | Direkter Weg |
|---|---|---|
| Zwei Seiten des großen Dreiecks | Dritte Seite | Satz des Pythagoras |
| Beide Hypotenusenabschnitte | Höhe auf die Hypotenuse | Höhensatz |
| Hypotenuse und ein Abschnitt | Zugehörige Kathete | Kathetensatz |
| Hypotenuse und eine Kathete | Zugehöriger Abschnitt | Kathetensatz umstellen |
Oft brauchst du zuerst c = p + q oder q = c − p, bevor du einen Satz einsetzen kannst. Markiere gegebene und gesuchte Größen in der Skizze; dann lässt sich der passende Weg leichter erkennen.
Probier es selbst: Du kennst c = 10 cm und p = 6,4 cm. Wie findest du h?
Lösung ansehen
Zuerst q = 10 − 6,4 = 3,6 cm. Dann h = √(6,4 · 3,6) = √23,04 = 4,8 cm.
Lernschritt 7
Typische Fehler sicher vermeiden
- Höhe verwechselt: h muss die Höhe vom rechten Winkel auf die Hypotenuse sein.
- Ganze Seite und Abschnitt verwechselt: c ist p + q, nicht nur einer der Abschnitte.
- Falsche Kathete zugeordnet: Prüfe in der Zeichnung, welcher Abschnitt an der betrachteten Kathete liegt.
- Wurzel vergessen: h² = 144 ergibt h = 12, nicht h = 144.
- Zu früh gerundet: Rechne mit ungerundeten Zwischenwerten weiter.
Die Sätze gelten in dieser Form für rechtwinklige Dreiecke. Bei einem beliebigen Dreieck darfst du sie nicht ohne Weiteres auf die Seiten und Höhen übertragen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · p = 8 cm und q = 4,5 cm: Berechne c.
Lösung und Rechenweg ansehen
c = p + q = 12,5 cm.
Erklärung wiederholen →3 · c = 25 cm und p = 16 cm: Berechne a.
Lösung und Rechenweg ansehen
a = √(c · p) = √400 = 20 cm.
Erklärung wiederholen →4 · h = 12 cm und p = 16 cm: Berechne q.
Lösung und Rechenweg ansehen
q = = cm = 9 cm.
Erklärung wiederholen →5 · c = 10 cm und b = 6 cm: Berechne q und p.
Lösung und Rechenweg ansehen
q = cm = 3,6 cm. Dann p = 10 cm − 3,6 cm = 6,4 cm.
Erklärung wiederholen →6 · Gilt a² = c · q für unsere Skizze?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Zu a gehört der Abschnitt p. In unserer Skizze gilt a² = c · p und b² = c · q.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
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Vorwissen festigen: Pythagoras
Ergänzendes kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Katheten und Hypotenuse. Es übt Pythagoras; Höhensatz und Kathetensatz trainierst du im Selbstcheck dieser Seite.
Material ansehen →Häufige Fragen
Sind p und q immer gleich beschriftet?
Nein. Manche Darstellungen vertauschen die Buchstaben. Ordne die Abschnitte deshalb anhand der Skizze den Katheten zu.
Ist h eine dritte Kathete des großen Dreiecks?
Nein. h ist eine innere Höhe. In den beiden kleineren Dreiecken bildet sie jeweils eine Kathete.
Kann ich die Ergebnisse mit Pythagoras prüfen?
Ja. Im großen Dreieck gilt a² + b² = c². In den kleinen Dreiecken gilt h² + p² = a² beziehungsweise h² + q² = b².