Ordne Höhe, Hypotenuse und ihre Abschnitte sicher zu. Wähle den passenden Satz, stelle nach der gesuchten Länge um und kontrolliere dein Ergebnis an der Skizze.
Hilfreiches Vorwissen: Pythagoras, Wurzeln, Gleichungen umstellen und Ähnlichkeit.
Berechne Höhe und Hypotenuse und prüfe die Zuordnung einer Kathete zu ihrem Abschnitt.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit /. Exakte Wurzeln als sqrt(...), zum Beispiel sqrt(52). Falls erlaubt, auf zwei Nachkommastellen runden. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Drei Sätze für dieselbe Figur
Höhensatz: h² = p · q
Kathetensatz: a² = c · p
und b² = c · q
Die Höhe auf die Hypotenuse teilt c in die Abschnitte p und q.
Ausgangspunkt ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit rechtem Winkel bei C. Die Hypotenuse AB hat die Länge c. Die beiden Katheten heißen a = BC und b = AC.
Zeichne von C eine Senkrechte auf die Hypotenuse. Ihr Fußpunkt heißt D, die Höhe CD hat die Länge h. Sie teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte: AD = q und DB = p. Zusammen ergeben sie c = p + q.
Die Buchstaben p und q können in Schulbüchern vertauscht sein. Entscheidend ist die Zuordnung in der Zeichnung: Zur Kathete a gehört ihr anliegender Hypotenusenabschnitt p; zur Kathete b gehört q. Übernimm nicht nur die Buchstaben einer auswendig gelernten Formel.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die senkrechte Projektion der Kathete AC auf die Hypotenuse ist AD = q. Entscheidend ist die Zuordnung in deiner Zeichnung, nicht ein auswendig gelernter Buchstabe.
Das Quadrat der Höhe auf die Hypotenuse ist gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte.
Die Regel
h² = p · q
Sind p und q bekannt, multiplizierst du sie und ziehst anschließend die positive Wurzel. Eine Länge ist nicht negativ.
Die Regel
h = √(p · q)
Beispiel – Schritt für Schritt
p = 16 cm; q = 9 cm
Wähle den Höhensatz für die Höhe auf die Hypotenuse.
Multipliziere die beiden Längen; das Ergebnis ist eine Fläche.
Ziehe die positive Wurzel, denn h ist eine Länge.
Wichtig: Unter der Wurzel steht das gesamte Produkt. Die Rechnung √16 · 9 wäre etwas anderes und würde hier ein falsches Ergebnis liefern.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Das gesamte Produkt steht unter der Wurzel: √(4 · 9).
Hier wurde nur aus 4 die Wurzel gezogen. Klammern machen die richtige Rechnung eindeutig.
Das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt aus der ganzen Hypotenuse und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt.
Die Regel
a² = c · p und b² = c · q
Stelle dir vor, du projizierst die Kathete senkrecht auf die Hypotenuse. BC wird dabei auf BD abgebildet: Deshalb gehören a und p zusammen. AC wird auf AD abgebildet: Deshalb gehören b und q zusammen.
Beispiel – Schritt für Schritt
p = 16 cm; q = 9 cm
Beispiel mit derselben Skizze: p = 16 cm und q = 9 cm.
Die ganze Hypotenuse ist die Summe beider Abschnitte.
Zu a gehört in der Skizze der Abschnitt p.
Ziehe die positive Wurzel.
Zu b gehört der Abschnitt q.
Auch die zweite Kathete ist eine positive Länge.
Kontrolliere die Katheten mit Pythagoras.
Die Kontrolle passt: (25 cm)² = 625 cm². Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Zur Kathete b gehört der Abschnitt q.
p und q ergeben zusammen die ganze Hypotenuse. b und q sind verschiedene Längen.
In einem nicht entarteten rechtwinkligen Dreieck sind alle genannten Längen positiv. Deshalb darfst du durch p, q oder c teilen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Gegeben: h und q
Gesucht: p
Gesucht: p; gegeben: h und q.
Beginne mit dem passenden Höhen- oder Kathetensatz.
Teile beide Seiten durch q und lies die gesuchte Größe ab.
Beispiel – Schritt für Schritt
Gegeben: h und p
Gesucht: q
Gesucht: q; gegeben: h und p.
Beginne mit dem passenden Höhen- oder Kathetensatz.
Teile beide Seiten durch p und lies die gesuchte Größe ab.
Beispiel – Schritt für Schritt
Gegeben: a und c
Gesucht: p
Gesucht: p; gegeben: a und c.
Beginne mit dem passenden Höhen- oder Kathetensatz.
Teile beide Seiten durch c und lies die gesuchte Größe ab.
Beispiel – Schritt für Schritt
Gegeben: b und c
Gesucht: q
Gesucht: q; gegeben: b und c.
Beginne mit dem passenden Höhen- oder Kathetensatz.
Teile beide Seiten durch c und lies die gesuchte Größe ab.
Beispiel – Schritt für Schritt
Gegeben: a und p
Gesucht: c
Gesucht: c; gegeben: a und p.
Beginne mit dem passenden Höhen- oder Kathetensatz.
Teile beide Seiten durch p und lies die gesuchte Größe ab.
Beispiel – Schritt für Schritt
h = 6 cm; q = 4 cm
Gesucht sind p und anschließend c.
Stelle den Höhensatz nach p um.
Quadriere die Höhe und teile durch q. Es bleibt die Einheit cm.
Addiere beide Hypotenusenabschnitte.
Beispiel – Schritt für Schritt
a = 10 cm; c = 12,5 cm
Gesucht sind p und anschließend q.
Stelle den Kathetensatz für a nach p um.
Quadriere a und teile durch die ganze Hypotenuse.
Ziehe p von c ab; beide Abschnitte sind positiv.
Alle eingesetzten Längen müssen dieselbe Einheit haben. Beim Teilen einer quadrierten Länge durch eine Länge bleibt wieder eine Längeneinheit übrig, zum Beispiel cm² geteilt durch cm = cm.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Quadriere zuerst die Höhe. Danach teilst du durch den bekannten Abschnitt.
Die Summe der Abschnitte ist die Hypotenuse c, nicht die Höhe h.
Vergleiche den Höhensatz oder prüfe die Längen an der Skizze.
Die Höhe zerlegt das große rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Alle drei sind zueinander ähnlich: Sie haben jeweils einen rechten Winkel und dieselben beiden spitzen Winkel.
Beispiel – Schritt für Schritt
Die beiden kleinen Dreiecke
Aus der Ähnlichkeit der beiden kleinen Dreiecke erhältst du das Seitenverhältnis:
Entsprechende Seiten der beiden ähnlichen kleinen Dreiecke haben gleiche Verhältnisse.
Multipliziere beide Seiten mit p · h. Die Längen sind positiv.
Beispiel – Schritt für Schritt
Großes Dreieck und ΔCBD
Aus der Ähnlichkeit des großen Dreiecks mit dem kleinen Dreieck CBD folgt:
Vergleiche entsprechende Seiten des großen Dreiecks und des Dreiecks CBD.
Multipliziere beide Seiten mit a · c.
Beispiel – Schritt für Schritt
a² = c · p; b² = c · q
Für die andere Kathete nutzt du entsprechend das Dreieck ACD.
Multipliziere beide Seiten mit b · c.
Addiere beide Kathetensätze.
Klammere die gemeinsame Hypotenusenlänge c aus.
Setze p + q = c ein. So ergibt sich der Satz des Pythagoras.
| Was kennst du? | Was suchst du? | Direkter Weg |
|---|---|---|
| Zwei Seiten des großen Dreiecks | Dritte Seite | Satz des Pythagoras |
| Beide Hypotenusenabschnitte | Höhe auf die Hypotenuse | Höhensatz |
| Hypotenuse und ein Abschnitt | Zugehörige Kathete | Kathetensatz |
| Hypotenuse und eine Kathete | Zugehöriger Abschnitt | Kathetensatz umstellen |
Oft brauchst du zuerst c = p + q oder q = c − p, bevor du einen Satz einsetzen kannst. Markiere gegebene und gesuchte Größen in der Skizze; dann lässt sich der passende Weg leichter erkennen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Lösung – Schritt für Schritt
c = 10 cm; p = 6,4 cm
Ergänze zuerst den fehlenden Hypotenusenabschnitt.
Ziehe den bekannten Abschnitt von der ganzen Hypotenuse ab.
Setze p und q in den Höhensatz ein.
Ziehe die positive Wurzel.
Die Sätze gelten in dieser Form für rechtwinklige Dreiecke. Bei einem beliebigen Dreieck darfst du sie nicht ohne Weiteres auf die Seiten und Höhen übertragen.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Wähle Höhen- oder Kathetensatz und die gesuchte Länge. Die Skizze zeigt unsere Bezeichnungen: AD = q, DB = p, a gehört zu p und b zu q. Trage nur die beiden bekannten Werte ein.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
p = 4 cm; q = 9 cm
Beide Hypotenusenabschnitte sind bekannt: Nutze den Höhensatz.
Setze die Längen ein.
Eine Länge ist positiv; wähle die positive Wurzel.
Lösung – Schritt für Schritt
p = 8 cm; q = 4,5 cm
Die beiden Abschnitte bilden zusammen die Hypotenuse.
Addiere die Längen in derselben Einheit.
Lösung – Schritt für Schritt
c = 25 cm; p = 16 cm
Zu a gehört der Hypotenusenabschnitt p.
Setze in den Kathetensatz ein.
Ziehe die positive Wurzel. Die Kathete ist kürzer als c = 25 cm.
Lösung – Schritt für Schritt
h = 12 cm; p = 16 cm
Beginne mit dem Höhensatz.
Teile durch den positiven Abschnitt p.
Quadriere 12 cm und teile durch 16 cm.
Lösung – Schritt für Schritt
c = 10 cm; b = 6 cm
Zu b gehört in der Zeichnung der Abschnitt q.
Teile den Kathetensatz durch c.
Setze b = 6 cm und c = 10 cm ein.
Berechne den übrigen Hypotenusenabschnitt.
Lösung – Schritt für Schritt
Zuordnung in unserer Skizze:
a = BC; p = DB
Die senkrechte Projektion von BC auf die Hypotenuse ist BD.
Daher gehört im Kathetensatz zu a der Abschnitt p, nicht q.
Entsprechend gehört zu b der Abschnitt q. a² = c · q ist keine allgemein gültige Zuordnung für diese Skizze; bei p = q stimmen die Zahlenwerte allerdings überein.
Dein nächster Schritt
Ergänzendes kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Katheten und Hypotenuse. Es übt Pythagoras; Höhensatz und Kathetensatz trainierst du im Selbstcheck dieser Seite.
Material ansehen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Manche Darstellungen vertauschen die Buchstaben. Ordne die Abschnitte deshalb anhand der Skizze den Katheten zu.
Nein. h ist eine innere Höhe. In den beiden kleineren Dreiecken bildet sie jeweils eine Kathete.
Ja. Im großen Dreieck gilt a² + b² = c². In den kleinen Dreiecken gilt h² + p² = a² beziehungsweise h² + q² = b².
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Gegeben sind beide Hypotenusenabschnitte des rechtwinkligen Dreiecks.