1 · Eine Feder wächst von 10 cm auf 13 cm. Wie groß ist s in Metern?
Lösung und Rechenweg ansehen
s = 13 − 10 = 3 cm = 0,03 m. Die unbelastete Länge wird abgezogen.
Erklärung wiederholen →Physik · Mechanik · Mittelstufe
Federkraft und Hookesches Gesetz: verstehen und üben
Warum braucht eine harte Feder mehr Kraft? Verstehe Federkonstante, Verlängerung und Spannenergie. Lerne, ein Kraft-Weg-Diagramm zu lesen und typische Einheitenfehler zu vermeiden.
Doppelt ziehen – doppelt dehnen?
F = D · s
Für eine ideale Feder im elastischen Bereich: Doppelte Verlängerung bedeutet doppelte Kraft.
Die gespeicherte Energie vervierfacht sich dabei.
Lernschritt 1
Zuerst die Verlängerung bestimmen
Eine unbelastete Feder hat die Länge l₀. Ziehst du langsam daran, wird sie länger. Die Verlängerung s ist der Unterschied zwischen neuer Länge l und unbelasteter Länge – nicht die gesamte Federlänge.
s = l − l₀
Beispiel: Eine Feder ist unbelastet 12 cm und unter Belastung 16 cm lang. Ihre Verlängerung beträgt 4 cm = 0,04 m. Für die folgenden Rechnungen betrachten wir eine ideale lineare Feder und vernachlässigen ihre eigene Masse.
Markiere bei einer Messung zuerst die unbelastete Länge. Lies danach die zusätzliche Verlängerung ab. Sonst beginnt schon der Ansatz mit der falschen Größe.
Lernschritt 2
Was sagt das Hookesche Gesetz?
Für die Beträge von Federkraft F und Verlängerung s gilt im linearen elastischen Bereich:
F = D · s
D heißt Federkonstante, oft wird auch k verwendet. Die Einheit ist Newton pro Meter. Eine große Federkonstante bedeutet eine steife Feder: Für dieselbe Verlängerung brauchst du mehr Kraft.
D = und s =
Beispiel: D = 50 Newton pro Meter, s = 0,04 m. Daraus folgt F = 50 · 0,04 N = 2 N. Für 0,08 m wären rechnerisch 4 N nötig – vorausgesetzt, die Feder bleibt in ihrem linearen Bereich.
Rechne Zentimeter in Meter um, wenn D in Newton pro Meter gegeben ist. 50 Newton pro Meter entsprechen 0,5 Newton pro Zentimeter. Beide Angaben beschreiben dieselbe Feder.
Lernschritt 3
Warum zeigt die Federkraft zurück?
Die Feder wirkt ihrer Verformung entgegen. Eine nach rechts gedehnte Feder zieht den angehängten Körper nach links zurück. Eine zusammengedrückte Feder drückt ihn in die Gegenrichtung.
FFeder = −D · x
Hier ist x eine gerichtete Auslenkung aus der unverformten Lage. Das Minuszeichen beschreibt die entgegengesetzte Richtung. In F = D · s rechnen wir dagegen mit positiven Beträgen.
Ziehst du einen Körper langsam und hältst ihn schließlich ruhig, gleichen sich äußere Zugkraft und Federkraft am Körper aus. Sie sind gleich groß, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen. Ein ruhender Körper kann also durchaus von Kräften beeinflusst werden.
Lernschritt 4
Das Kraft-Weg-Diagramm lesen
Trage die Verlängerung waagerecht und den Betrag der benötigten Zugkraft senkrecht ein. Eine ideale Hookesche Feder ergibt eine Gerade durch den Ursprung.
Steigung bestimmen: Beim Übergang von 0,02 m zu 0,06 m steigt die Kraft von 1 N auf 3 N. Deshalb ist D = Newton pro Meter = 50 Newton pro Meter.
Bei denselben Achsenskalierungen gehört die steilere Gerade zur härteren Feder. Eine gekrümmte Kennlinie zeigt, dass D nicht im gesamten betrachteten Bereich konstant ist.
Lernschritt 5
Eine Masse an der Feder
An einer senkrechten Feder hängt eine Masse von 0,2 kg ruhig. Wir verwenden für dieses Beispiel g = 10 Meter pro Sekunde zum Quadrat. Die Gewichtskraft beträgt 2 N nach unten.
FG = m · g = 0,2 · 10 N = 2 N
Im Gleichgewicht ist die Federkraft nach oben genauso groß. Mit D = 50 Newton pro Meter folgt:
s = = m = 0,04 m = 4 cm
Die Feder ist nun länger als unbelastet, obwohl die resultierende Kraft null ist. Schwingt die Masse dagegen auf und ab, herrscht nicht in jedem Moment Kräftegleichgewicht. Dann darfst du D · s = m · g nicht für jede Position ansetzen.
Die Formel im Bild
Wo wirken die Kräfte – und was bedeutet s?
So ordnest du die Formel zu: D beschreibt die Steifigkeit der Feder; s ist die grün markierte Verlängerung. Ihr Produkt D · s ist der Betrag der nach oben gerichteten Federkraft. m ist die angehängte Masse und m · g der Betrag ihrer Gewichtskraft nach unten. Die Feder selbst wird im Modell als masselos betrachtet.
Für das Beispiel D = 50 Newton pro Meter, m = 0,2 kg und g = 10 Meter pro Sekunde zum Quadrat gilt: Beide Kräfte haben den Betrag 2 N und die Verlängerung beträgt 4 cm. Die Zeichnung ist schematisch.
Lernschritt 6
Wie viel Energie steckt in der Feder?
Beim langsamen Dehnen steigt die benötigte Zugkraft von null bis zum Endwert. Die Arbeit entspricht der Fläche unter der Kraft-Weg-Geraden. Diese ist ein Dreieck.
Esp = · D · s²
Für D = 50 Newton pro Meter und s = 0,06 m ergibt sich:
Esp = · 50 · 0,06² J = 0,09 J
Kontrolle über die Dreiecksfläche: halbe Grundseite 0,06 m mal Höhe 3 N ergibt ebenfalls 0,09 J. Die Einheit Newtonmeter entspricht Joule.
Bei derselben Feder verdoppelt eine doppelte Verlängerung die Endkraft, aber vervierfacht die Spannenergie. F · s mit der Endkraft wäre hier doppelt so groß wie die tatsächlich verrichtete Arbeit.
Lernschritt 7
Wann gilt das Gesetz nicht mehr?
Hookes Gesetz ist ein Modell für einen begrenzten Bereich. Eine reale Feder kann bei zu großer Belastung dauerhaft verformt werden. Auch ein Gummiband muss keine lineare Kraft-Verlängerungs-Beziehung besitzen, obwohl es in seine Ausgangsform zurückkehren kann.
Elastisch bedeutet rückkehrfähig; linear bedeutet proportional. Das ist nicht dasselbe. Prüfe bei Messdaten daher sowohl die Rückkehr zur Ausgangslänge als auch den Verlauf der Kennlinie.
Für den Unterricht
Miss bei kleinen schrittweise erhöhten Belastungen die Verlängerung einer geeigneten Schulfeder. Lass zuerst eine Verdopplung vorhersagen und danach Messpunkte zeichnen. Vergleiche zwei Federn bei gleicher Kraft. Beachte die zulässige Belastung und werte kleine Abweichungen als Messunsicherheit aus, statt sofort ein neues Gesetz zu vermuten.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · D = 80 Newton pro Meter, s = 0,05 m. Welche Kraft?
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F = 80 · 0,05 N = 4 N.
Erklärung wiederholen →3 · Eine Kraft von 3 N verlängert eine Feder um 6 cm. Bestimme D.
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D = 3 geteilt durch 0,06 = 50 Newton pro Meter.
Erklärung wiederholen →4 · Eine Feder ist doppelt so steif. Wie weit dehnt sie sich bei derselben Kraft?
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Nur halb so weit, denn s = F geteilt durch D. Beide Federn müssen im linearen Bereich bleiben.
Erklärung wiederholen →5 · D = 100 Newton pro Meter, s = 0,02 m. Welche Spannenergie?
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E = · 100 · 0,02² J = 0,02 J.
Erklärung wiederholen →6 · An einer Feder hängt eine Masse ruhig. Ist die Federkraft null?
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Nein. Sie gleicht die Gewichtskraft aus. Nur die Summe aller Kräfte auf die Masse ist null.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist die Federkonstante immer konstant?
Bei einer idealen Hookeschen Feder ist sie im betrachteten linearen Bereich konstant. Reale Federn können außerhalb dieses Bereichs abweichen.
Warum steht manchmal ein Minus vor D · x?
Es kennzeichnet die Rückstellrichtung. Bei positiven Beträgen schreibt man F = D · s; bei einer gerichteten Auslenkung F = −D · x.
Ist s die Länge der Feder?
Nein. s bezeichnet hier die Verlängerung gegenüber der unbelasteten Länge.